Teoria de Kaluza-Klein

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Teoria de campo unificada

Na física, a teoria de Kaluza-Klein (teoria KK) é uma teoria clássica de campo unificado de gravitação e eletromagnetismo construída em torno da ideia de uma quinta dimensão além da 4D comum do espaço e do tempo e considerado um importante precursor da teoria das cordas. Gunnar Nordström teve uma ideia anterior semelhante. Mas, nesse caso, um quinto componente foi adicionado ao potencial do vetor eletromagnético, representando o potencial gravitacional newtoniano e escrevendo as equações de Maxwell em cinco dimensões.

A teoria de cinco dimensões (5D) desenvolvida em três etapas. A hipótese original veio de Theodor Kaluza, que enviou seus resultados a Einstein em 1919 e os publicou em 1921. Kaluza apresentou uma extensão puramente clássica da relatividade geral para 5D, com um tensor métrico de 15 componentes. Dez componentes são identificados com a métrica do espaço-tempo 4D, quatro componentes com o potencial do vetor eletromagnético e um componente com um campo escalar não identificado, às vezes chamado de "radion" ou o "dilaton". Correspondentemente, as equações de Einstein 5D produzem as equações de campo de Einstein 4D, as equações de Maxwell para o campo eletromagnético e uma equação para o campo escalar. Kaluza também introduziu a "condição de cilindro" hipótese, que nenhum componente da métrica pentadimensional depende da quinta dimensão. Sem essa restrição, são introduzidos termos que envolvem derivadas dos campos em relação à quinta coordenada, e esse grau extra de liberdade torna a matemática da relatividade 5D totalmente variável extremamente complexa. A física 4D padrão parece manifestar essa "condição cilíndrica" e, junto com ela, matemática mais simples.

Em 1926, Oskar Klein deu à teoria clássica de cinco dimensões de Kaluza uma interpretação quântica, de acordo com as então recentes descobertas de Heisenberg e Schrödinger. Klein introduziu a hipótese de que a quinta dimensão era enrolada e microscópica, para explicar a condição do cilindro. Klein sugeriu que a geometria da quinta dimensão extra poderia assumir a forma de um círculo, com o raio de 10⁻³⁰ cm. Mais precisamente, o raio da dimensão circular é 23 vezes o comprimento de Planck, que por sua vez é da ordem de 10 ⁻³³ cm. Klein também fez uma contribuição para a teoria clássica ao fornecer uma métrica 5D devidamente normalizada. O trabalho continuou na teoria de campo de Kaluza durante a década de 1930 por Einstein e seus colegas em Princeton.

Na década de 1940, a teoria clássica foi concluída e as equações de campo completas, incluindo o campo escalar, foram obtidas por três grupos de pesquisa independentes: Thiry, trabalhando na França em sua dissertação sob Lichnerowicz; Jordan, Ludwig e Müller na Alemanha, com contribuições críticas de Pauli e Fierz; e Scherrer trabalhando sozinho na Suíça. O trabalho de Jordan levou à teoria escalar-tensor de Brans-Dicke; Brans e Dicke aparentemente não sabiam de Thiry ou Scherrer. As equações completas de Kaluza sob a condição do cilindro são bastante complexas, e a maioria das revisões em inglês, bem como as traduções em inglês de Thiry, contêm alguns erros. Os tensores de curvatura para as equações de Kaluza completas foram avaliados usando um software de álgebra tensorial em 2015, verificando os resultados de Ferrari e Coquereaux & Esposito-Farese. A forma covariante 5D dos termos da fonte de energia-momento é tratada por Williams.

Hipótese de Kaluza

Em seu artigo de 1921, Kaluza estabeleceu todos os elementos da teoria bidimensional clássica: a métrica, as equações de campo, as equações de movimento, o tensor de energia e a condição do cilindro. Sem parâmetros livres, ela simplesmente estende a relatividade geral a cinco dimensões. Um começa por hipotesiar uma forma da métrica cincodimensional ${widetilde {g}}_{ab}$ , onde os índices latinos abrangem cinco dimensões. Deixe-se também introduzir a métrica espaço-tempo quatrodimensional ${g}_{mu nu }$ , onde os índices gregos abrangem as quatro dimensões habituais do espaço e do tempo; um 4-vector $A^{mu }$ identificado com o potencial do vetor eletromagnético; e um campo escalar $phi$ . Em seguida, decomponha a métrica 5D para que a métrica 4D seja enquadrada pelo potencial do vetor eletromagnético, com o campo escalar na quinta diagonal. Isso pode ser visualizado como

{displaystyle {widetilde {g}}_{ab}equiv {begin{bmatrix}g_{mu nu }+phi ^{2}A_{mu }A_{nu }&phi ^{2}A_{mu }\phi ^{2}A_{nu }&phi ^{2}end{bmatrix}}.}

Pode-se escrever com mais precisão

{displaystyle {widetilde {g}}_{mu nu }equiv g_{mu nu }+phi ^{2}A_{mu }A_{nu },qquad {widetilde {g}}_{5nu }equiv {widetilde {g}}_{nu 5}equiv phi ^{2}A_{nu },qquad {widetilde {g}}_{55}equiv phi ^{2},}

onde o índice $5$ indica a quinta coordenada por convenção, embora as quatro primeiras coordenadas sejam indexadas com 0, 1, 2 e 3. A métrica inversa associada é

{displaystyle {widetilde {g}}^{ab}equiv {begin{bmatrix}g^{mu nu }&-A^{mu }\-A^{nu }&g_{alpha beta }A^{alpha }A^{beta }+{frac {1}{phi ^{2}}}end{bmatrix}}.}

Esta decomposição é bastante geral e todos os termos são adimensionais. Kaluza então aplica o maquinário da relatividade geral padrão a essa métrica. As equações de campo são obtidas a partir das equações de Einstein de cinco dimensões, e as equações de movimento da hipótese geodésica de cinco dimensões. As equações de campo resultantes fornecem as equações da relatividade geral e da eletrodinâmica; as equações de movimento fornecem a equação geodésica quadridimensional e a lei de força de Lorentz, e descobre-se que a carga elétrica é identificada com o movimento na quinta dimensão.

A hipótese para a métrica implica um elemento de comprimento bidimensional invariante $ds$ :

{displaystyle ds^{2}equiv {widetilde {g}}_{ab},dx^{a},dx^{b}=g_{mu nu },dx^{mu },dx^{nu }+phi ^{2}(A_{nu },dx^{nu }+dx^{5})^{2}.}

Equações de campo da hipótese de Kaluza

As equações de campo da teoria 5-dimensional nunca foram fornecidas adequadamente por Kaluza ou Klein porque eles ignoraram o campo escalar. As equações de campo de Kaluza completas são geralmente atribuídas a Thiry, que obteve equações de campo de vácuo, embora Kaluza originalmente tenha fornecido um tensor de energia-tensão para sua teoria, e Thiry incluiu um tensor de energia-tensão em sua tese. Mas, conforme descrito por Gonner, vários grupos independentes trabalharam nas equações de campo na década de 1940 e antes. Thiry é talvez mais conhecido apenas porque uma tradução para o inglês foi fornecida por Applequist, Chodos, & Freund em seu livro de resenhas. Applequist et ai. também forneceu uma tradução para o inglês do artigo de Kaluza. As traduções dos três artigos de Jordan (1946, 1947, 1948) podem ser encontradas nos arquivos ResearchGate e Academia.edu. As primeiras equações corretas de campo de Kaluza em inglês, incluindo o campo escalar, foram fornecidas por Williams.

Para obter as equações de campo 5D, as conexões 5D ${displaystyle {widetilde {Gamma }}_{bc}^{a}}$ são calculados a partir da métrica 5D ${displaystyle {widetilde {g}}_{ab}}$ , e o tensor 5D Ricci ${displaystyle {widetilde {R}}_{ab}}$ é calculado a partir das conexões 5D.

Os resultados clássicos de Thiry e outros autores presumem a condição do cilindro:

{displaystyle {frac {partial {widetilde {g}}_{ab}}{partial x^{5}}}=0.}

Sem essa suposição, as equações de campo se tornam muito mais complexas, fornecendo muito mais graus de liberdade que podem ser identificados com vários novos campos. Paul Wesson e seus colegas buscaram o relaxamento da condição do cilindro para obter termos extras que podem ser identificados com os campos de matéria, para os quais Kaluza inseriu manualmente um tensor tensão-energia.

Tem sido uma objeção à hipótese original de Kaluza invocar a quinta dimensão apenas para negar sua dinâmica. Mas Thiry argumentou que a interpretação da lei da força de Lorentz em termos de uma geodésica de 5 dimensões milita fortemente para uma quinta dimensão, independentemente da condição do cilindro. A maioria dos autores, portanto, empregou a condição do cilindro para derivar as equações de campo. Além disso, as equações de vácuo são normalmente assumidas para as quais

{displaystyle {widetilde {R}}_{ab}=0,}

onde

{displaystyle {widetilde {R}}_{ab}equiv partial _{c}{widetilde {Gamma }}_{ab}^{c}-partial _{b}{widetilde {Gamma }}_{ca}^{c}+{widetilde {Gamma }}_{cd}^{c}{widetilde {Gamma }}_{ab}^{d}-{widetilde {Gamma }}_{bd}^{c}{widetilde {Gamma }}_{ac}^{d}}

{displaystyle {widetilde {Gamma }}_{bc}^{a}equiv {frac {1}{2}}{widetilde {g}}^{ad}(partial _{b}{widetilde {g}}_{dc}+partial _{c}{widetilde {g}}_{db}-partial _{d}{widetilde {g}}_{bc}).}

As equações do campo de vácuo obtidas desta forma pelo grupo de Thiry e Jordan são as seguintes.

A equação de campo para $phi$ é obtido a partir de

{displaystyle {widetilde {R}}_{55}=0Rightarrow Box phi ={frac {1}{4}}phi ^{3}F^{alpha beta }F_{alpha beta },}

Onde? ${displaystyle F_{alpha beta }equiv partial _{alpha }A_{beta }-partial _{beta }A_{alpha },}$ ${displaystyle Box equiv g^{mu nu }nabla _{mu }nabla _{nu },}$ e $nabla _{mu }$ é um derivado covariante padrão 4D. Ele mostra que o campo eletromagnético é uma fonte para o campo escalar. Note que o campo escalar não pode ser definido como uma constante sem restringir o campo eletromagnético. Os tratamentos anteriores de Kaluza e Klein não tiveram uma descrição adequada do campo escalar e não perceberam a restrição implícita no campo eletromagnético, supondo que o campo escalar fosse constante.

A equação de campo para $A^{nu }$ é obtido a partir de

{displaystyle {widetilde {R}}_{5alpha }=0={frac {1}{2}}g^{beta mu }nabla _{mu }(phi ^{3}F_{alpha beta }).}

Tem a forma das equações de Maxwell do vácuo se o campo escalar for constante.

A equação de campo para o tensor 4D Ricci $R_{mu nu }$ é obtido a partir de

{displaystyle {begin{aligned}{widetilde {R}}_{mu nu }-{frac {1}{2}}{widetilde {g}}_{mu nu }{widetilde {R}}&=0Rightarrow \R_{mu nu }-{frac {1}{2}}g_{mu nu }R&={frac {1}{2}}phi ^{2}left(g^{alpha beta }F_{mu alpha }F_{nu beta }-{frac {1}{4}}g_{mu nu }F_{alpha beta }F^{alpha beta }right)+{frac {1}{phi }}(nabla _{mu }nabla _{nu }phi -g_{mu nu }Box phi),end{aligned}}}

Onde? $R$ é o escalar 4D Ricci padrão.

Esta equação mostra o resultado notável, chamado de "milagre de Kaluza", que a forma precisa para o tensor de tensão eletromagnética emerge das equações de vácuo 5D como fonte nas equações 4D: campo do vácuo. Esta relação permite a identificação definitiva de $A^{mu }$ com o potencial de vetor eletromagnético. Portanto, o campo precisa ser redimensionado com uma constante de conversão $k$ tal que ${displaystyle A^{mu }to kA^{mu }}$ .

A relação acima mostra que devemos ter

{displaystyle {frac {k^{2}}{2}}={frac {8pi G}{c^{4}}}{frac {1}{mu _{0}}}={frac {2G}{c^{2}}}4pi epsilon _{0},}

Onde? $G$ é a constante gravitacional, e $mu _{0}$ é a permeabilidade do espaço livre. Na teoria de Kaluza, a constante gravitacional pode ser entendida como uma constante de acoplamento eletromagnético na métrica. Há também um tensor de tensão-energia para o campo escalar. O campo escalar comporta-se como uma variável constante gravitacional, em termos de modulação do acoplamento do estresse eletromagnético-energia à curvatura espaço-tempo. O sinal de $phi ^{2}$ na métrica é fixada pela correspondência com a teoria 4D para que as densidades de energia eletromagnéticas sejam positivas. É frequentemente assumido que a quinta coordenada é semelhante ao espaço em sua assinatura na métrica.

Na presença de matéria, a condição de vácuo 5D não pode ser assumida. De fato, Kaluza não o assumiu. As equações de campo completas requerem avaliação do tensor de Einstein 5D

{displaystyle {widetilde {G}}_{ab}equiv {widetilde {R}}_{ab}-{frac {1}{2}}{widetilde {g}}_{ab}{widetilde {R}},}

como visto na recuperação do tensor eletromagnético-energia acima. Os tensores de curvatura 5D são complexos, e a maioria das avaliações em inglês contém erros em qualquer ${displaystyle {widetilde {G}}_{ab}}$ ou ${displaystyle {widetilde {R}}_{ab}}$ , como faz a tradução inglesa de Thiry. Veja Williams para um conjunto completo de tensores de curvatura 5D sob a condição do cilindro, avaliados usando software tensor-algebra.

Equações de movimento da hipótese de Kaluza

As equações de movimento são obtidas a partir da hipótese geodésica bidimensional em termos de uma 5-velocidade $widetilde {U}^{a}equiv dx^{a}/ds$ :

{displaystyle {widetilde {U}}^{b}{widetilde {nabla }}_{b}{widetilde {U}}^{a}={frac {d{widetilde {U}}^{a}}{ds}}+{widetilde {Gamma }}_{bc}^{a}{widetilde {U}}^{b}{widetilde {U}}^{c}=0.}

Esta equação pode ser reformulada de várias maneiras, e tem sido estudada em várias formas por autores, incluindo Kaluza, Pauli, Gross & Perry, Gegenberg & Kunstatter, e Wesson & Ponce de Leon, mas é instrutivo convertê-la de volta ao elemento de comprimento 4-dimensional habitual ${displaystyle c^{2},dtau ^{2}equiv g_{mu nu },dx^{mu },dx^{nu }}$ , que está relacionado com o elemento de comprimento 5-dimensional $ds$ como dado acima:

{displaystyle ds^{2}=c^{2},dtau ^{2}+phi ^{2}(kA_{nu },dx^{nu }+dx^{5})^{2}.}

Em seguida, a equação geodésica 5D pode ser escrita para os componentes do espaço-tempo da velocidade 4:

{displaystyle U^{nu }equiv {frac {dx^{nu }}{dtau }},}

{displaystyle {frac {dU^{nu }}{dtau }}+{widetilde {Gamma }}_{alpha beta }^{mu }U^{alpha }U^{beta }+2{widetilde {Gamma }}_{5alpha }^{mu }U^{alpha }U^{5}+{widetilde {Gamma }}_{55}^{mu }(U^{5})^{2}+U^{mu }{frac {d}{dtau }}ln {frac {c,dtau }{ds}}=0.}

O termo quadrático em $U^{nu }$ fornece a equação geodésica 4D mais alguns termos eletromagnéticos:

{displaystyle {widetilde {Gamma }}_{alpha beta }^{mu }=Gamma _{alpha beta }^{mu }+{frac {1}{2}}g^{mu nu }k^{2}phi ^{2}(A_{alpha }F_{beta nu }+A_{beta }F_{alpha nu }-A_{alpha }A_{beta }partial _{nu }ln phi ^{2}).}

O termo linear em $U^{nu }$ fornece a lei da força de Lorentz:

{displaystyle {widetilde {Gamma }}_{5alpha }^{mu }={frac {1}{2}}g^{mu nu }kphi ^{2}(F_{alpha nu }-A_{alpha }partial _{nu }ln phi ^{2}).}

Esta é outra expressão do "milagre Kaluza". A mesma hipótese para a métrica 5D que fornece tensão-energia eletromagnética nas equações de Einstein também fornece a lei de força de Lorentz na equação de movimentos junto com a equação geodésica 4D. No entanto, a correspondência com a lei da força de Lorentz exige que identifiquemos o componente de 5 velocidades ao longo da quinta dimensão com carga elétrica:

{displaystyle kU^{5}=k{frac {dx^{5}}{dtau }}to {frac {q}{mc}},}

Onde? $m$ é massa de partículas, e $q$ é carga elétrica de partículas. Assim, a carga elétrica é entendida como movimento ao longo da quinta dimensão. O fato de que a lei da força de Lorentz poderia ser entendida como uma geodésica em 5 dimensões era a Kaluza uma motivação primária para considerar a hipótese 5-dimensional, mesmo na presença da condição do cilindro esteticamente desagradável.

No entanto, há um problema: o termo quadrático em $U^{5}$ ,

{displaystyle {widetilde {Gamma }}_{55}^{mu }=-{frac {1}{2}}g^{mu alpha }partial _{alpha }phi ^{2}.}

Se não houver gradiente no campo escalar, o termo quadrático em $U^{5}$ desaparece. Mas de outra forma a expressão acima implica

{displaystyle U^{5}sim c{frac {q/m}{G^{1/2}}}.}

Para partículas elementares, $10^{20}c}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">U5>10.20.cNão. U^{5}>10^{20}c}10^{20}c}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55028d334268cb06b01acb608b7eeb4cccf02363" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.202ex; height:2.676ex;"/>$ . O termo quadrático em $U^{5}$ deve dominar a equação, talvez em contradição com a experiência. Esta foi a principal queda da teoria 5-dimensional como Kaluza viu, e ele dá-lhe alguma discussão em seu artigo original.

A equação de movimento para $U^{5}$ é particularmente simples sob a condição do cilindro. Comece com a forma alternativa da equação geodésica, escrita para a covariante 5-velocidade:

{displaystyle {frac {d{widetilde {U}}_{a}}{ds}}={frac {1}{2}}{widetilde {U}}^{b}{widetilde {U}}^{c}{frac {partial {widetilde {g}}_{bc}}{partial x^{a}}}.}

Isso significa que sob a condição do cilindro, $widetilde {U}_{5}$ é uma constante do movimento 5-dimensional:

{displaystyle {widetilde {U}}_{5}={widetilde {g}}_{5a}{widetilde {U}}^{a}=phi ^{2}{frac {c,dtau }{ds}}(kA_{nu }U^{nu }+U^{5})={text{constant}}.}

Hipótese de Kaluza para o tensor matéria tensão-energia

Kaluza propôs um tensor de estresse de matéria 5D $widetilde {T}_{M}^{{ab}}$ da forma

{displaystyle {widetilde {T}}_{M}^{ab}=rho {frac {dx^{a}}{ds}}{frac {dx^{b}}{ds}},}

Onde? $rho$ é uma densidade, e o elemento de comprimento $ds$ é como definido acima.

Em seguida, o componente de espaço-tempo fornece uma típica "poeira" tensor tensão-energia:

{displaystyle {widetilde {T}}_{M}^{mu nu }=rho {frac {dx^{mu }}{ds}}{frac {dx^{nu }}{ds}}.}

O componente misto fornece uma fonte de 4 correntes para as equações de Maxwell:

{displaystyle {widetilde {T}}_{M}^{5mu }=rho {frac {dx^{mu }}{ds}}{frac {dx^{5}}{ds}}=rho U^{mu }{frac {q}{kmc}}.}

Assim como a métrica de cinco dimensões compreende a métrica de 4-D emoldurada pelo potencial do vetor eletromagnético, o tensor de tensão-energia de 5 dimensões compreende o tensor de tensão-energia de 4-D enquadrado pelo vetor 4-corrente.

Interpretação quântica de Klein

A hipótese original de Kaluza era puramente clássica e extensa descobertas da relatividade geral. No momento da contribuição de Klein, as descobertas de Heisenberg, Schrödinger e de Broglie estavam recebendo muita atenção. Klein's Natureza artigo sugeriu que a quinta dimensão é fechada e periódica, e que a identificação de carga elétrica com movimento na quinta dimensão pode ser interpretada como ondas permanentes de comprimento de onda $lambda ^{5}$ , muito parecido com os elétrons em torno de um núcleo no modelo Bohr do átomo. A quantificação da carga elétrica poderia então ser bem compreendida em termos de múltiplos inteiros de impulso quinta-dimensional. Combinando o resultado anterior de Kaluza $U^{5}$ em termos de carga elétrica, e uma relação de Broglie para momentum $p^{5}=h/lambda ^{5}$ , Klein obteve uma expressão para o modo 0 de tais ondas:

{displaystyle mU^{5}={frac {cq}{G^{1/2}}}={frac {h}{lambda ^{5}}}quad Rightarrow quad lambda ^{5}sim {frac {hG^{1/2}}{cq}},}

Onde? $h$ é a constante Planck. Klein descobriu que ${displaystyle lambda ^{5}sim 10^{-30}}$ cm, e assim uma explicação para a condição do cilindro neste pequeno valor.

O artigo de

Klein Zeitschrift für Physik do mesmo ano, deu um tratamento mais detalhado que invocou explicitamente as técnicas de Schroedinger e de Broglie. Ele recapitulou muito da teoria clássica de Kaluza descrita acima e, em seguida, partiu para a interpretação quântica de Klein. Klein resolveu uma equação de onda do tipo Schroedinger usando uma expansão em termos de ondas de quinta dimensão ressoando na quinta dimensão compacta e fechada.

Interpretação da teoria quântica de campos

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Interpretação da teoria de grupo

O espaço M × C é compactado sobre o conjunto compacto C, e depois de Kaluza-Klein decomposição um tem uma teoria de campo eficaz sobre M.

Em 1926, Oskar Klein propôs que a quarta dimensão espacial é enrolada em um círculo de raio muito pequeno, de modo que uma partícula movendo-se a uma curta distância ao longo desse eixo retornaria para onde começou. A distância que uma partícula pode percorrer antes de atingir sua posição inicial é chamada de tamanho da dimensão. Essa dimensão extra é um conjunto compacto, e a construção dessa dimensão compacta é chamada de compactação.

Na geometria moderna, a quinta dimensão extra pode ser entendida como o grupo circular U(1), pois o eletromagnetismo pode ser essencialmente formulado como uma teoria de calibre em um feixe de fibras, o feixe circular, com grupo de calibre U(1). Na teoria de Kaluza-Klein este grupo sugere que a simetria de calibre é a simetria de dimensões circulares compactas. Uma vez que esta interpretação geométrica é compreendida, é relativamente simples substituir U(1) por um grupo de Lie geral. Tais generalizações são freqüentemente chamadas de teorias de Yang-Mills. Se uma distinção é feita, então é que as teorias de Yang-Mills ocorrem em um espaço-tempo plano, enquanto Kaluza-Klein trata do caso mais geral de espaço-tempo curvo. O espaço base da teoria de Kaluza-Klein não precisa ser um espaço-tempo quadridimensional; pode ser qualquer variedade (pseudo-) Riemanniana, ou mesmo uma variedade supersimétrica ou orbifold ou mesmo um espaço não comutativo.

A construção pode ser delineada, grosso modo, como segue. Começa-se considerando um fibrado principal P com grupo de gauge G sobre uma variedade M. Dada uma conexão no bundle, uma métrica na variedade base e uma gauge métrica invariante na tangente de cada fibra, pode-se construir uma métrica de feixe definida em todo o feixe. Calculando a curvatura escalar dessa métrica de feixe, descobre-se que ela é constante em cada fibra: esse é o "milagre de Kaluza". Não foi necessário impor explicitamente uma condição cilíndrica ou compactar: por suposição, o grupo de calibre já é compacto. Em seguida, toma-se essa curvatura escalar como a densidade lagrangiana e, a partir disso, constrói-se a ação de Einstein-Hilbert para o fibrado, como um todo. As equações de movimento, as equações de Euler-Lagrange, podem ser obtidas considerando onde a ação é estacionária em relação às variações da métrica na variedade de base ou da conexão do medidor. As variações em relação à métrica de base fornecem as equações de campo de Einstein na variedade de base, com o tensor de energia-momento dado pela curvatura (intensidade do campo) da conexão do medidor. Por outro lado, a ação é estacionária contra as variações da conexão do medidor precisamente quando a conexão do medidor resolve as equações de Yang-Mills. Assim, aplicando uma única ideia: o princípio da menor ação, a uma única quantidade: a curvatura escalar no feixe (como um todo), obtém-se simultaneamente todas as equações de campo necessárias, tanto para o espaço-tempo quanto para o campo de gauge.

Como abordagem para a unificação das forças, é simples aplicar a teoria de Kaluza-Klein na tentativa de unificar a gravidade com as forças forte e eletrofraca usando o grupo de simetria do Modelo Padrão, SU(3) × SU(2) × U(1). No entanto, uma tentativa de converter essa interessante construção geométrica em um modelo genuíno da realidade esbarra em uma série de questões, incluindo o fato de que os férmions devem ser introduzidos de forma artificial (em modelos não supersimétricos). No entanto, KK continua sendo uma pedra de toque importante na física teórica e muitas vezes é incorporada em teorias mais sofisticadas. É estudado por direito próprio como um objeto de interesse geométrico na teoria K.

Mesmo na ausência de uma estrutura física teórica completamente satisfatória, a ideia de explorar dimensões extras compactadas é de considerável interesse nas comunidades de física experimental e astrofísica. Uma variedade de previsões, com consequências experimentais reais, pode ser feita (no caso de grandes dimensões extras e modelos distorcidos). Por exemplo, no mais simples dos princípios, pode-se esperar ter ondas estacionárias na(s) dimensão(ões) compacta(s) extra(s). Se uma dimensão extra espacial for de raio R, a massa invariante de tais ondas estacionárias seria M_n = nh/Rc com n um inteiro, h sendo a constante de Planck e c a velocidade da luz. Este conjunto de possíveis valores de massa é freqüentemente chamado de torre Kaluza–Klein. Da mesma forma, na teoria do campo quântico térmico, uma compactação da dimensão de tempo euclidiana leva às frequências de Matsubara e, portanto, a um espectro de energia térmica discretizado.

No entanto, a abordagem de Klein para uma teoria quântica é falha e, por exemplo, leva a uma massa de elétron calculada na ordem de magnitude da massa de Planck.

Exemplos de atividades experimentais incluem o trabalho da colaboração do CDF, que reanalisou os dados do colisor de partículas para a assinatura de efeitos associados a grandes dimensões extras/modelos distorcidos.

Brandenberger e Vafa especularam que no início do universo, a inflação cósmica faz com que três das dimensões do espaço se expandam para o tamanho cosmológico, enquanto as dimensões restantes do espaço permanecem microscópicas.

Teoria espaço-tempo-matéria

Uma variante particular da teoria de Kaluza-Klein é a teoria do espaço-tempo-matéria ou teoria da matéria induzida, promulgada principalmente por Paul Wesson e outros membros do Espaço-Tempo –Consórcio de Matéria. Nesta versão da teoria, nota-se que as soluções para a equação

widetilde {R}_{{ab}}=0

podem ser reexpressas para que em quatro dimensões, essas soluções satisfaçam as equações de Einstein

G_{{mu nu }}=8pi T_{{mu nu }},

com a forma precisa do T_μν seguindo a condição plana de Ricci no espaço de cinco dimensões. Em outras palavras, a condição cilíndrica do desenvolvimento anterior é descartada e a energia-tensão agora vem das derivadas da métrica 5D em relação à quinta coordenada. Como o tensor energia-momento é normalmente entendido como devido a concentrações de matéria no espaço quadridimensional, o resultado acima é interpretado como dizendo que a matéria quadridimensional é induzida a partir da geometria no espaço pentadimensional.

Em particular, as soluções de soliton $widetilde {R}_{{ab}}=0$ pode ser mostrado para conter a métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker em ambas as formas dominadas por radiação (no universo inicial) e dominadas pela matéria (no universo inferior). As equações gerais podem mostrar-se suficientemente consistentes com os testes clássicos da relatividade geral a serem aceitáveis em princípios físicos, deixando ainda uma liberdade considerável para também fornecer modelos cosmológicos interessantes.

Interpretação geométrica

A teoria de Kaluza–Klein tem uma apresentação particularmente elegante em termos de geometria. Em certo sentido, ela se parece com a gravidade comum no espaço livre, exceto pelo fato de ser formulada em cinco dimensões em vez de quatro.

Equações de Einstein

As equações que governam a gravidade ordinária no espaço livre podem ser obtidas a partir de uma ação, aplicando o princípio variacional a uma determinada ação. Seja M uma variedade (pseudo-)Riemanniana, que pode ser tomada como o espaço-tempo da relatividade geral. Se g é a métrica neste coletor, define-se a ação S(g) como

{displaystyle S(g)=int _{M}R(g)operatorname {vol} (g),}

onde R(g) é a curvatura escalar e vol(g) é o elemento de volume. Aplicando o princípio variacional à ação

{displaystyle {frac {delta S(g)}{delta g}}=0,}

obtém-se precisamente as equações de Einstein para o espaço livre:

{displaystyle R_{ij}-{frac {1}{2}}g_{ij}R=0,}

onde R_ij é o tensor de Ricci.

Equações de Maxwell

Em contraste, as equações de Maxwell que descrevem o eletromagnetismo podem ser entendidas como as equações de Hodge de um feixe principal U(1)-bundle ou círculo $pi:Pto M$ com fibra U(1). Ou seja, o campo eletromagnético $F$ é uma forma harmônica de 2 no espaço ${displaystyle Omega ^{2}(M)}$ de 2 formas diferentes no coletor $M$ . Na ausência de cargas e correntes, as equações de Maxwell de campo livre são

{displaystyle mathrm {d} F=0quad {text{and}}quad mathrm {d} {star }F=0.}

Onde? $star$ é o operador estrela Hodge.

Geometria de Kaluza–Klein

Para construir a teoria Kaluza-Klein, escolhe-se uma métrica invariante no círculo $S^{1}$ que é a fibra do U(1)-bundle do eletromagnetismo. Nesta discussão, uma métrica invariável é simplesmente um que é invariante sob rotações do círculo. Suponha que esta métrica dá ao círculo um comprimento total $Lambda$ . Um então considera métricas $widehat {g}$ no pacote $P$ que são consistentes com tanto a métrica de fibra, e a métrica no coletor subjacente $M$ . As condições de consistência são:

A projeção de $widehat {g}$ para o subespaço vertical ${displaystyle operatorname {Vert} _{p}Psubset T_{p}P}$ precisa concordar com a métrica na fibra sobre um ponto no coletor $M$ .
A projeção de $widehat {g}$ para o subespaço horizontal ${displaystyle operatorname {Hor} _{p}Psubset T_{p}P}$ do espaço tangente no ponto $pin P$ deve ser isomorfo para a métrica $g$ sobre $M$ em ${displaystyle pi (P)}$ .

A ação Kaluza–Klein para tal métrica é dada por

{displaystyle S({widehat {g}})=int _{P}R({widehat {g}})operatorname {vol} ({widehat {g}}).}

A curvatura escalar, escrita em componentes, então se expande para

{displaystyle R({widehat {g}})=pi ^{*}left(R(g)-{frac {Lambda ^{2}}{2}}|F|^{2}right),}

Onde? $pi^*$ é o pullback da projeção do feixe de fibra $pi:Pto M$ . A conexão $A$ no feixe de fibra está relacionado à força de campo eletromagnético como

{displaystyle pi ^{*}F=dA.}

O fato de sempre existir tal conexão, mesmo para feixes de fibras de topologia arbitrariamente complexa, é resultado da homologia e, especificamente, da teoria K. Aplicando o teorema de Fubini e integrando na fibra, obtém-se

{displaystyle S({widehat {g}})=Lambda int _{M}left(R(g)-{frac {1}{Lambda ^{2}}}|F|^{2}right)operatorname {vol} (g).}

Varying a ação em relação ao componente $A$ , um recupera as equações de Maxwell. Aplicando o princípio variacional à métrica base $g$ , um recebe as equações de Einstein

{displaystyle R_{ij}-{frac {1}{2}}g_{ij}R={frac {1}{Lambda ^{2}}}T_{ij}}

com o tensor tensão-energia sendo dado por

{displaystyle T^{ij}=F^{ik}F^{jl}g_{kl}-{frac {1}{4}}g^{ij}|F|^{2},}

às vezes chamado de tensor de tensão de Maxwell.

A teoria original identifica $Lambda$ com a métrica de fibra $g_{55}$ e permite $Lambda$ para variar de fibra para fibra. Neste caso, o acoplamento entre a gravidade e o campo eletromagnético não é constante, mas tem seu próprio campo dinâmico, o rádio.

Generalizações

No acima, o tamanho do laço $Lambda$ atua como um acoplamento constante entre o campo gravitacional e o campo eletromagnético. Se o coletor base é quatrodimensional, o coletor Kaluza-Klein P é bidimensional. A quinta dimensão é um espaço compacto e é chamado de dimensão compacta. A técnica de introdução de dimensões compactas para obter um coletor de maior dimensão é referida como compactação. A compactação não produz ações de grupo em fermions quiral exceto em casos muito específicos: a dimensão do espaço total deve ser 2 mod 8, e o G-index do operador Dirac do espaço compacto deve ser nonzero.

O desenvolvimento acima generaliza de uma forma mais ou menos direta para G-bundles principais gerais para algum grupo de Lie arbitrário G tomando o lugar de U(1). Nesse caso, a teoria é muitas vezes referida como uma teoria de Yang-Mills e às vezes é considerada sinônimo. Se a variedade subjacente for supersimétrica, a teoria resultante é uma teoria supersimétrica de Yang-Mills.

Testes empíricos

Nenhum sinal experimental ou observacional de dimensões extras foi oficialmente relatado. Muitas técnicas de busca teórica para detectar ressonâncias de Kaluza-Klein foram propostas usando os acoplamentos de massa de tais ressonâncias com o quark top. Uma análise dos resultados do LHC em dezembro de 2010 restringe severamente as teorias com grandes dimensões extras.

A observação de um bóson do tipo Higgs no LHC estabelece um novo teste empírico que pode ser aplicado à busca de ressonâncias de Kaluza-Klein e partículas supersimétricas. Os diagramas de loop de Feynman que existem nas interações de Higgs permitem que qualquer partícula com carga elétrica e massa funcione em tal loop. As partículas do Modelo Padrão além do quark top e do bóson W não fazem grandes contribuições para a seção de choque observada no decaimento H → γγ, mas se houver novas partículas além do Modelo Padrão, eles poderiam potencialmente alterar a proporção da seção transversal prevista do Modelo Padrão H → γγ para a seção transversal observada experimentalmente. Portanto, uma medição de qualquer mudança dramática na seção transversal H → γγ prevista pelo Modelo Padrão é crucial para investigar a física além dele.

Um artigo de julho de 2018 dá alguma esperança para essa teoria; no artigo eles contestam que a gravidade está vazando para dimensões superiores como na teoria das branas. No entanto, o artigo demonstra que o eletromagnetismo e a gravidade compartilham o mesmo número de dimensões, e esse fato dá suporte à teoria de Kaluza-Klein; se o número de dimensões é realmente 3 + 1 ou de fato 4 + 1 é o assunto de mais debate.

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