Teorema de Kolmogorov–Arnold–Moser

O teorema de Kolmogorov–Arnold–Moser (KAM) é um resultado em sistemas dinâmicos sobre a persistência de movimentos quasiperiódicos sob pequenas perturbações. O teorema resolve parcialmente o problema do pequeno divisor que surge na teoria de perturbação da mecânica clássica.

O problema é se uma pequena perturbação de um sistema dinâmico conservativo resulta ou não em uma órbita quasiperiódica duradoura. O avanço original para este problema foi dado por Andrey Kolmogorov em 1954. Isso foi rigorosamente provado e estendido por Jürgen Moser em 1962 (para mapas de torção suave) e Vladimir Arnold em 1963 (para sistemas hamiltonianos analíticos), e o resultado geral é conhecido como o teorema KAM.

Arnold originalmente pensou que este teorema poderia ser aplicado aos movimentos do Sistema Solar ou outras instâncias do problema de n corpos, mas acabou por funcionar apenas para o problema de três corpos por causa de uma degeneração em sua formulação do problema para um número maior de corpos. Mais tarde, Gabriella Pinzari mostrou como eliminar essa degenerescência desenvolvendo uma versão invariante de rotação do teorema.

Declaração

Sistemas hamiltonianos integráveis

O teorema KAM é geralmente expresso em termos de trajetórias no espaço de fase de um sistema hamiltoniano integrável. O movimento de um sistema integrável está confinado a um toro invariante (uma superfície em forma de rosquinha). Diferentes condições iniciais do sistema hamiltoniano integrável traçarão diferentes toros invariantes no espaço de fase. Traçar as coordenadas de um sistema integrável mostraria que elas são quase periódicas.

Perturbações

O teorema KAM afirma que, se o sistema for submetido a uma perturbação não linear fraca, alguns dos toros invariantes são deformados e sobrevivem, ou seja, existe um mapa da variedade original para a deformada que é contínua na perturbação. Por outro lado, outros toros invariantes são destruídos: mesmo perturbações arbitrariamente pequenas fazem com que a variedade não seja mais invariante e não existe tal mapa para variedades próximas. Os tori sobreviventes atendem à condição de não ressonância, ou seja, eles têm frequências “suficientemente irracionais”. Isto implica que o movimento no toro deformado continua a ser quasiperiódico, com os períodos independentes alterados (como consequência da condição de não degenerescência). O teorema KAM quantifica o nível de perturbação que pode ser aplicado para que isso seja verdadeiro.

Aqueles tori KAM que são destruídos por perturbação tornam-se conjuntos de Cantor invariantes, denominados Cantori por Ian C. Percival em 1979.

As condições de não ressonância e não degeneração do teorema KAM tornam-se cada vez mais difíceis de satisfazer para sistemas com mais graus de liberdade. À medida que o número de dimensões do sistema aumenta, o volume ocupado pelos toros diminui.

À medida que a perturbação aumenta e as curvas suaves se desintegram, passamos da teoria KAM para a teoria Aubry-Mather, que requer hipóteses menos rigorosas e funciona com os conjuntos do tipo Cantor.

A existência de um teorema KAM para perturbações de sistemas quânticos integráveis de muitos corpos ainda é uma questão em aberto, embora se acredite que perturbações arbitrariamente pequenas destruirão a integrabilidade no limite de tamanho infinito.

Consequências

Uma consequência importante do teorema KAM é que, para um grande conjunto de condições iniciais, o movimento permanece perpetuamente quase periódico.

Teoria KAM

Os métodos introduzidos por Kolmogorov, Arnold e Moser desenvolveram um grande corpo de resultados relacionados a movimentos quasiperiódicos, agora conhecidos como teoria KAM. Notavelmente, foi estendido a sistemas não hamiltonianos (começando com Moser), a situações não perturbativas (como no trabalho de Michael Herman) e a sistemas com frequências rápidas e lentas (como no trabalho de Mikhail B. Sevryuk)..

Toro KAM

Um coletor TD{displaystyle {mathcal {T}}^{d}}}} invariante sob a ação de um fluxo φ φ ){displaystyle phi ^{t}} é chamado de invariante DNão.-torus, se existe um diffeomorphism φ φ :TD→ → TD- Não. }}:{mathcal {T}}^{d}rightarrow mathbb {T} ^{d}} no padrão DNão.-torus TD?S1× × S1× × ⋯ ⋯ × × S1? ? D{displaystyle mathbb {T} ^{d}:=underbrace {mathbb {S} ^{1}times mathbb {S} ^{1}times cdots times mathbb (S} ^{1}} _{d}} tal que a moção resultante TD{displaystyle mathbb {T} ^{d}} é linear uniforme, mas não estático, Ou seja. Dφ φ /D)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =ω ω {displaystyle mathrm {d} {boldsymbol {varphi }}/mathrm {d}} - Sim. Não.)Onde ω ω ∈ ∈ RD{displaystyle boldsymbol {omega }}in mathbb {R} ^{d}} é um vetor não-zero constante, chamado o vetor de frequência.

Se o vetor de frequência ω ω O que é isso?) é:

• racionalmente independente (A.k.a. incommensurável, isto é k)) ω ω ≠ ≠ 0{displaystyle {boldsymbol {k}}cdot Sim. Não. 0 para todos k∈ ∈ Z.D∖ ∖ (0?{displaystyle {boldsymbol {k}}in mathbb {Z} ^{d}backslash left{{boldsymbol {0}}right}})
• e "mal" aproximado por racionais, tipicamente em um Diofantina sentido: 0{text{ such that }}|{boldsymbol {omega }}cdot {boldsymbol {k}}|geq {frac {gamma }{|{boldsymbol {k}}|^{tau }}},forall ~{boldsymbol {k}}in mathbb {Z} ^{d}backslash left{{boldsymbol {0}}right}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Detalhe Detalhe γ γ ,? ? >0tal que|ω ω )) k|≥ ≥ γ γ ‖ ‖ k‖ ‖ ? ? ,Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas k∈ ∈ Z.D∖ ∖ (0?{displaystyle exists ~gammatau >0{text{ that }}|{boldsymbol {omega }}cdot {boldsymbol {k}}|geq {frac {gamma }{|{boldsymbol {k}}|^{tau }}},forall ~{boldsymbol {k}}in mathbb {Z} ^{d}backslash left{{boldsymbol {0}}right}}0{text{ such that }}|{boldsymbol {omega }}cdot {boldsymbol {k}}|geq {frac {gamma }{|{boldsymbol {k}}|^{tau }}},forall ~{boldsymbol {k}}in mathbb {Z} ^{d}backslash left{{boldsymbol {0}}right}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c14c8a0c8813e63a14ef50a8e974907a94b31d16" style="vertical-align: -2.671ex; width:49.969ex; height:5.676ex;"/>,

então o invariante DNão.-torus TD{displaystyle {mathcal {T}}^{d}}}} (D≥ ≥ 2- Sim.) é chamado de KAM torus. O D= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1Não. caso é normalmente excluído na teoria clássica do KAM porque não envolve pequenos divisores.