Teorema de Borsuk-Ulam

Em matemática, o teorema de Borsuk–Ulam afirma que toda função contínua de uma n-esfera em um espaço n euclidiano mapeia algum par de pontos antipodais para o mesmo ponto. Aqui, dois pontos em uma esfera são chamados de antípodas se estiverem em direções exatamente opostas ao centro da esfera.

Formalmente: se f:Sn→ → Rn{displaystyle f:S^{n}to mathbb {R} ^{n}} é contínuo então existe um x∈ ∈ Sn{displaystyle xin S^{n}} tal que: f(- Sim. - Sim. x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(x){displaystyle f(-x)=f(x)}.

Processo n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1Não. pode ser ilustrado dizendo que sempre existe um par de pontos opostos no equador da Terra com a mesma temperatura. O mesmo é verdadeiro para qualquer círculo. Isso pressupõe que a temperatura varia continuamente no espaço.

Processo n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2Não. é frequentemente ilustrado dizendo que a qualquer momento, há sempre um par de pontos antipodal na superfície da Terra com temperaturas iguais e pressões barométricas iguais, assumindo que ambos os parâmetros variam continuamente no espaço.

O teorema de Borsuk-Ulam tem várias declarações equivalentes em termos de funções ímpares. Lembre-se que SnNão. S^{n}} é a n-esfera e BnNão. B^{n}} é a bola:

• Se g:Sn→ → Rn{displaystyle g:S^{n}to mathbb Não. é uma função ímpar contínua, então existe uma x∈ ∈ Sn{displaystyle xin S^{n}} tal que: g(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0(x)=0}.
• Se g:Bn→ → Rn{displaystyle g:B^{n}to mathbb Não. é uma função contínua que é estranha Sn- Sim. - Sim. 1Não. S^{n-1}} (o limite de BnNão. B^{n}}), então existe uma x∈ ∈ Bn{displaystyle xin B^{n}} tal que: g(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0(x)=0}.

História

Segundo Matoušek (2003, p. 25), a primeira menção histórica da declaração do teorema de Borsuk–Ulam aparece em Lyusternik & Shnirel'man (1930). A primeira prova foi dada por Karol Borsuk (1933), onde a formulação do problema foi atribuída a Stanislaw Ulam. Desde então, muitas provas alternativas foram encontradas por vários autores, conforme coletado por Steinlein (1985).

Declarações equivalentes

As declarações a seguir são equivalentes ao teorema de Borsuk–Ulam.

Com funções ímpares

Uma função gNão. é chamado O quê? (aka) Anúncio ou antipodas-preservação) se para cada xNão.: g(- Sim. - Sim. x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. g(x){displaystyle g(-x)=-g(x)}.

O teorema de Borsuk–Ulam é equivalente à seguinte afirmação: Uma função ímpar contínua de uma esfera n para um espaço n euclidiano tem um zero. PROVA:

• Se o teorema estiver correto, então é especificamente correto para funções ímpares e para uma função estranha, g(- Sim. - Sim. x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =g(x){displaystyle g(-x)=g(x)} se f g(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0(x)=0}. Daí cada função contínua ímpar tem um zero.
• Para cada função contínua fNão., a seguinte função é contínua e estranha: g(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(x)- Sim. - Sim. f(- Sim. - Sim. x)(x)=f(x)-f(-x)}. Se cada função contínua ímpar tiver um zero, então gNão. tem um zero, e, portanto, f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(- Sim. - Sim. x){displaystyle f(x)=f(-x)}. Daí o teorema está correto.

Com retratações

Definir uma retração como uma função h:Sn→ → Sn- Sim. - Sim. 1.{displaystyle h:S^{n}to S^{n-1}. O teorema de Borsuk-Ulam é equivalente à seguinte reivindicação: não há retração ímpar contínua.

Prova: Se o teorema estiver correto, então cada função ímpar contínua de SnNão. S^{n}} deve incluir 0 em sua gama. No entanto, 0∉ ∉ Sn- Sim. - Sim. 1{displaystyle 0notin S^{n-1}} assim não pode haver uma função ímpar contínua cuja gama é Sn- Sim. - Sim. 1Não. S^{n-1}}.

Por outro lado, se estiver incorreta, então há uma função ímpar contínua g:Sn→ → Rn{displaystyle g:S^{n}to {mathbb {R}}^{n}} sem zeros. Então podemos construir outra função estranha h:Sn→ → Sn- Sim. - Sim. 1{displaystyle h:S^{n}to S^{n-1}} por:

h(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =g(x)|g(x)|{displaystyle h(x)={frac {g(x)}{|g(x)|}}}

desde então gNão. não tem zeros, hNão. é bem definido e contínuo. Assim, temos uma retração ímpar contínua.

Provas

Caso unidimensional

O caso unidimensional pode ser facilmente provado usando o teorema do valor intermediário (IVT).

Vamos. gNão. ser uma função contínua de valor real ímpar em um círculo. Escolha um arbitrário xNão.. Se g(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0(x)=0} então estamos acabados. Caso contrário, sem perda de generalidade, 0.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">g(x)>0.{displaystyle g(x)>0.}0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb7705c4b0f8f2b76490adba538724441ddd8056" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.163ex; height:2.843ex;"/> Mas... <math alttext="{displaystyle g(-x)g(- Sim. - Sim. x)<0.{displaystyle g(-x)<0.}<img alt="{displaystyle g(-x) Assim, pelo IVT, há um ponto Sim.- Sim. entre xNão. e - Sim. - Sim. xNão. - X. em que g(Sim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0(y)=0}.

Caso geral

Prova topológica algébrica

Assuma que h:Sn→ → Sn- Sim. - Sim. 1{displaystyle h:S^{n}to S^{n-1}} é uma função contínua ímpar com 2}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n>2- Sim.2" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e71ac55b9fbf1e9f341b946cda63d61d3ef2cd" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/> (o caso n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1Não. é tratado acima, o caso n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2Não. pode ser tratado usando a teoria básica da cobertura). Ao passar para órbitas sob a ação antipodal, então obtemos uma função contínua induzida h?:RPn→ → RPn- Sim. - Sim. 1{displaystyle h':mathbb {RP} ^{n}to mathbb {RP} ^{n-1}} entre espaços projetivos reais, que induz um isomorfismo em grupos fundamentais. Pelo teorema de Hurewicz, o homomorfismo do anel induzido na cohomologia com F2{displaystyle mathbb {F} _{2}} coeficientes [onde F2{displaystyle mathbb {F} _{2}} denota o campo com dois elementos],

F2Não.um]/umn+1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =H. H. H.∗ ∗ (RPn;F2)← ← H. H. H.∗ ∗ (RPn- Sim. - Sim. 1;F2)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =F2Não.b)]/b)n,{displaystyle mathbb {F} _{2}[a]/a^{n+1}=H^{*}left(mathbb {RP} ^{n};mathbb {F} _{2}right)leftarrow H^{*}left(mathbb {RP} ^{n-1};mathbb {F} _{2}right)=mathbb {F} _{2}[b]/b^{n},}

envios b)Não. para umNão.. Mas depois temos isso. b)n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0- Sim. é enviado para umn≠ ≠ 0{displaystyle a^{n}neq] 0Uma contradição.

Pode-se também mostrar a afirmação mais forte de que qualquer mapa estranho Sn- Sim. - Sim. 1→ → Sn- Sim. - Sim. 1Não. S^{n-1}to S^{n-1}} tem grau estranho e, em seguida, deduzir o teorema deste resultado.

Prova combinatória

O teorema de Borsuk–Ulam pode ser provado a partir do lema de Tucker.

Vamos. g:Sn→ → Rn{displaystyle g:S^{n}to mathbb Não. ser uma função ímpar contínua. Porque... g é contínuo em um domínio compacto, é uniformemente contínuo. Portanto, para cada 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε >0- Sim.0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568095ad3924314374a5ab68fae17343661f2a71" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.205ex; height:2.176ex;"/>, há um 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ >0- Sim.0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/> tal que, para cada dois pontos de SnNão. S_{n}} que estão dentro δ δ - Sim. um do outro, suas imagens sob g dentro de ε ε - Sim. um do outro.

Definir uma triangulação SnNão. S_{n}} com bordas de comprimento no máximo δ δ - Sim.. Etiqueta cada vértice vNão. da triangulação com um rótulo Eu...(v)∈ ∈ ± ± 1,± ± 2,...... ,± ± n{displaystyle l(v)in {pm 1,pm 2,ldotspm n}} da seguinte forma:

• O valor absoluto da etiqueta é o índice da coordenada com o maior valor absoluto de g: |Eu...(v)|= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Arg⁡ ⁡ máx.k(|g(v)k|){displaystyle |l(v)|=arg max _{k}(|g(v)_{k}|)}.
• O sinal da etiqueta é o sinal de g, assim que: Eu...(v)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Sgn⁡ ⁡ (g(v))|Eu...(v)|(v)=operatorname {sgn}(g(v)|l(v)|}.

Porque... g é estranho, o rótulo também é estranho: Eu...(- Sim. - Sim. v)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. Eu...(v)(v)=-l(v)}. Assim, pelo lema de Tucker, há dois vértices adjacentes. u,v- Não. com etiquetas opostas. Assuma que, por exemplo, as etiquetas são Eu...(u)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1,Eu...(v)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. 1(v)=1}. Por definição Eu..., isto significa que em ambos g(u)(u)} e g(v)(v)}, coord #1 é a maior coordenada: em g(u)(u)} esta coordenada é positiva enquanto em g(v)(v)} é negativo. Pela construção da triangulação, a distância entre g(u)(u)} e g(v)(v)} no máximo ε ε - Sim., assim em particular |g(u)1- Sim. - Sim. g(v)1|= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =|g(u)1|+|g(v)1|≤ ≤ ε ε {displaystyle |g(u)_{1}-g(v)_{1}|=|g(u)_{1}|+|g(v)_{1}|leq epsilon } (desde g(u)1{displaystyle g(u)_{1}} e g(v)1{displaystyle g(v)_{1}} têm sinais opostos) e assim |g(u)1|≤ ≤ ε ε {displaystyle |g(u)_{1}|leq epsilon }. Mas desde a maior coordenada g(u)(u)} é a coordenada #1, isso significa que |g(u)k|≤ ≤ ε ε {displaystyle |g(u)_{k}|leq epsilon } para cada 1≤ ≤ k≤ ≤ n{displaystyle 1leq kleq n}. Então... |g(u)|≤ ≤ cnε ε |g(u)|leq c_{n}epsilon }, onde cn{displaystyle c_{n}} é alguma constante dependendo nNão. e a norma |)) ||cdot |} que você escolheu.

O acima é verdadeiro para cada 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε >0- Sim.0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568095ad3924314374a5ab68fae17343661f2a71" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.205ex; height:2.176ex;"/>; desde SnNão. S_{n}} é compacto, portanto, deve haver um ponto u em que |g(u)|= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0|g(u)|=0}.

Corolários

• Nenhum subconjunto de Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} é homeomorfo para SnNão. S^{n}}
• O teorema de sanduíche de presunto: Para qualquer conjunto compacto A₁, A_n em Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} Podemos sempre encontrar um hiperplano dividindo cada um deles em dois subconjuntos de medida igual.

Resultados equivalentes

Acima mostramos como provar o teorema de Borsuk–Ulam a partir do lema de Tucker. O inverso também é verdadeiro: é possível provar o lema de Tucker a partir do teorema de Borsuk–Ulam. Portanto, esses dois teoremas são equivalentes. Existem vários teoremas de ponto fixo que vêm em três variantes equivalentes: uma variante de topologia algébrica, uma variante combinatória e uma variante de cobertura de conjunto. Cada variante pode ser provada separadamente usando argumentos totalmente diferentes, mas cada variante também pode ser reduzida às outras variantes em sua linha. Além disso, cada resultado em a linha superior pode ser deduzida daquela abaixo dela na mesma coluna.

Generalizações

• No teorema original, o domínio da função f é a unidade n-sfera (o limite da unidade n- Bola! Em geral, também é verdade quando o domínio do f é o limite de qualquer subconjunto simétrico limitado aberto de Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} contendo a origem (Aqui, simétrico significa que se x está no subconjunto então -x também está no subconjunto).

• Considere a função A que mapeia um ponto ao seu ponto antipodal: A(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. x.{displaystyle A(x)=-x.} Note que A(A(x))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x.(A(x))=x.} O teorema original afirma que há um ponto x em que f(A(x))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(x).{displaystyle f(A(x)))=f(x). ? Em geral, isso também é verdade para cada função A para os quais A(A(x))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x.(A(x))=x.} No entanto, em geral isso não é verdade para outras funções A.