Teorema de Bolzano-Weierstrass

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Seqüência combinada no espaço euclidiano finito-dimensional tem uma subsequência convergente

Em matemática, especificamente em análise real, a O teorema de Bolzano–Weierstrass, nomeado após Bernard Bolzano e Karl Weierstrass, é um resultado fundamental sobre a convergência em um espaço Euclidiano finito-dimensional $mathbb {R} ^{n}$ . O teorema afirma que cada sequência limitada infinita em $mathbb {R} ^{n}$ tem uma subsequência convergente. Uma formulação equivalente é que um subconjunto de $mathbb {R} ^{n}$ é sequencialmente compacto se e somente se for fechado e limitado. O teorema é às vezes chamado de teorema de compactação sequencial.

História e significado

O teorema de Bolzano-Weierstrass recebeu o nome dos matemáticos Bernard Bolzano e Karl Weierstrass. Na verdade, foi provado pela primeira vez por Bolzano em 1817 como um lema na prova do teorema do valor intermediário. Cerca de cinquenta anos depois, o resultado foi identificado como significativo por si só e provado novamente por Weierstrass. Desde então, tornou-se um teorema essencial de análise.

Prova

Primeiro provamos o teorema para ${mathbb {R}}^{1}$ (conjunto de todos os números reais), nesse caso o pedido ${mathbb {R}}^{1}$ pode ser usado bem. Na verdade, temos o seguinte resultado:

Lemma: Cada sequência infinita $(x_{n})$ em ${mathbb {R}}^{1}$ tem uma subsequência monotona.

Prova: Vamos chamar um índice positivo de valor inteiro $n$ de uma sequência um "peak" da sequência quando ${displaystyle x_{m}leq x_{n}}$ para todos $n}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">m>n- Sim. n" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637039c4a193f33fee72ebfeb6cb003593696160" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.534ex; height:1.843ex;"/>$ . Suponha primeiro que a sequência tem infinitamente muitos picos, o que significa que há uma subsequência com os seguintes índices $<math alttext="{displaystyle n_{1}<n_{2}<n_{3}<dots <n_{j}n1<n2<n3<⋯ ⋯ <nJJ<...... Não. n_{1}<n_{2}<n_{3}<dots <n_{j}<dots }<img alt="{displaystyle n_{1}<n_{2}<n_{3}<dots <n_{j}$ e os seguintes termos ${displaystyle x_{n_{1}}geq x_{n_{2}}geq x_{n_{3}}geq dots geq x_{n_{j}}geq dots }$ . Então, a sequência infinita $(x_{n})$ em ${mathbb {R}}^{1}$ tem uma subsequência monotone, que é ${displaystyle (x_{n_{j}})}$ . Mas suponha agora que há apenas finitamente muitos picos, deixe $N$ ser o pico final e deixar o primeiro índice de uma nova subsequência ${displaystyle (x_{n_{j}})}$ ser definido para ${displaystyle n_{1}=N+1}$ . Então... $n_{1}$ não é um pico, pois $n_{1}$ vem após o pico final, o que implica a existência de $n_{2}$ com $<math alttext="{displaystyle n_{1}n1<n2Não. n_{1}<n_{2}}<img alt="{displaystyle n_{1}$ e ${displaystyle x_{n_{1}}leq x_{n_{2}}}$ . Outra vez, $n_{2}$ vem após o pico final, daí há um $n_{3}$ Onde? $<math alttext="{displaystyle n_{2}n2<n3Não. n_{2}<n_{3}}<img alt="{displaystyle n_{2}$ com ${displaystyle x_{n_{2}}leq x_{n_{3}}}$ . Repetir este processo leva a uma subsequência infinita não crescente $x_{n_{1}}leq x_{n_{2}}leq x_{n_{3}}leq ldots$ , provando assim que cada sequência infinita $(x_{n})$ em ${mathbb {R}}^{1}$ tem uma subsequência monotona.

Agora suponha que um tenha uma sequência limitada ${mathbb {R}}^{1}$ ; pelo lemma comprovado acima existe uma subsequência monotone, igualmente limitado. Segue-se do teorema de convergência monotone que esta subsequência converge.

Por último, o processo geral ( $mathbb {R} ^{n}$ ), pode ser reduzido ao caso de ${mathbb {R}}^{1}$ da seguinte forma: dada uma sequência limitada $mathbb {R} ^{n}$ , a sequência de primeiras coordenadas é uma sequência real limitada, portanto tem uma subsequência convergente. Pode-se então extrair uma sub-subsequência na qual as segundas coordenadas convergem, e assim por diante, até que no final passamos da sequência original para uma subsequência $n$ tempos - que ainda é uma subsequência da sequência original - em que cada sequência de coordenadas converge, daí a própria subsequência é convergente.

Prova alternativa

Há também uma prova alternativa do teorema de Bolzano-Weierstrass usando intervalos aninhados. Começamos com uma sequência limitada $(x_{n})$ :

Porque... ${displaystyle (x_{n})_{nin mathbb {N} }}$ é limitado, esta sequência tem um limite inferior $s$ e um limite superior $S$ .
Nós tomamos ${displaystyle I_{1}=[s,S]}$ como o primeiro intervalo para a sequência de intervalos aninhados.
Depois dividimo-nos. $I_{1}$ em meados em dois subintervalos de tamanho igual.
Porque cada sequência tem infinitamente muitos membros, deve haver (pelo menos) uma dessas subintervais que contém infinitamente muitos membros de ${displaystyle (x_{n})_{nin mathbb {N} }}$ . Tomamos esta subinterval como segundo intervalo $I_{2}$ da sequência de intervalos aninhados.
Depois dividimo-nos. $I_{2}$ novamente em meados em dois subintervalos igualmente tamanho.
Mais uma vez, uma dessas subintervalos contém infinitamente muitos membros de ${displaystyle (x_{n})_{nin mathbb {N} }}$ . Tomamos esta subinterval como a terceira subinterval $I_{3}$ da sequência de intervalos aninhados.
Continuamos este processo infinitamente muitas vezes. Assim, temos uma sequência de intervalos aninhados.

Porque nós metade do comprimento de um intervalo em cada etapa, o limite do comprimento do intervalo é zero. Também, pelo intervalos aninhados teorema, que afirma que se cada um $I_{n}$ é um intervalo fechado e limitado, digamos

{displaystyle I_{n}=[a_{n},,b_{n}]}

com

a_{n}leq b_{n}

então sob a suposição de aninhamento, a interseção do $I_{n}$ não está vazio. Assim, há um número $x$ que está em cada intervalo $I_{n}$ . Agora mostramos, isso $x$ é um ponto de acumulação $(x_{n})$ .

Pegue um bairro $U$ de $x$ . Como o comprimento dos intervalos converge para zero, há um intervalo $I_{N}$ que é um subconjunto de $U$ . Porque... $I_{N}$ contém por construção infinitamente muitos membros de $(x_{n})$ e ${displaystyle I_{N}subseteq U}$ , também $U$ contém infinitamente muitos membros de $(x_{n})$ . Isso prova que $x$ é um ponto de acumulação $(x_{n})$ . Assim, há uma subsequência de $(x_{n})$ que converge para $x$ .

Compatidão sequencial em espaços euclidianos

Definição: Um conjunto ${displaystyle Asubseteq mathbb {R} ^{n}}$ é sequencialmente compacto se cada sequência ${x_{n}}$ em $A$ tem uma subsequência convergente convergindo para um elemento de $A$ .

Teorema: ${displaystyle Asubseteq mathbb {R} ^{n}}$ é sequencialmente compacto se e somente se $A$ é fechado e limitado.

Prova: (compacidade sequencial implica fechado e limitado)

Suponha $A$ é um subconjunto de $mathbb {R} ^{n}$ com a propriedade que cada sequência em $A$ tem uma subsequência convergindo para um elemento de $A$ . Então... $A$ deve ser limitado, uma vez que de outra forma a seguinte sequência não abundante ${displaystyle {x_{n}}in A}$ pode ser construído. Para cada $nin mathbb {N}$ , definir $x_{n}$ para ser qualquer ponto arbitrário tal que ${displaystyle ||x_{n}||geq n}$ . Então, cada subsequência de ${x_{n}}$ é unbounded e, portanto, não convergente. Além disso, $A$ deve ser fechado, uma vez que qualquer ponto limite de $A$ , que tem uma sequência de pontos em $A$ convergir para si mesmo, também deve estar em $A$ .

Prova: (fechado e limitado implica compacidade sequencial)

Desde então $A$ é limitado, qualquer sequência ${displaystyle {x_{n}}in A}$ também está limitado. Do teorema de Bolzano-Weierstrass, ${x_{n}}$ contém uma subsequência convergindo para algum ponto ${displaystyle xin mathbb {R} ^{n}}$ . Desde então $x$ é um ponto limite de $A$ e $A$ é um conjunto fechado, $x$ deve ser um elemento de $A$ .

Assim, os subconjuntos $A$ de $mathbb {R} ^{n}$ para o qual cada sequência em A tem uma subsequência convergindo para um elemento de $A$ – ou seja, os subconjuntos que são sequencialmente compactos na topologia subespacial – são precisamente os subconjuntos fechados e limitados.

Esta forma do teorema torna especialmente clara a analogia ao teorema Heine-Borel, que afirma que um subconjunto de $mathbb {R} ^{n}$ é compacto se e somente se for fechado e limitado. Na verdade, topologia geral nos diz que um espaço metrizável é compacto se e somente se for sequencialmente compacto, de modo que os teoremas de Bolzano-Weierstrass e Heine-Borel são essencialmente os mesmos.

Aplicação à economia

Existem diferentes conceitos importantes de equilíbrio em economia, cujas provas de existência frequentemente requerem variações do teorema de Bolzano-Weierstrass. Um exemplo é a existência de uma alocação eficiente de Pareto. Uma alocação é uma matriz de cestas de consumo para os agentes em uma economia, e uma alocação é Pareto eficiente se nenhuma mudança pode ser feita nela que não torne nenhum agente pior e pelo menos um agente melhor (aqui as linhas da matriz de alocação devem ser classificáveis por uma relação de preferência). O teorema de Bolzano-Weierstrass permite provar que se o conjunto de alocações é compacto e não vazio, então o sistema possui uma alocação eficiente de Pareto.

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