Teorema da extensão de Tietze

Na topologia, o teorema da extensão de Tietze (também conhecido como teorema da extensão de Tietze–Urysohn–Brouwer ou lema de Urysohn-Brouwer) afirma que funções contínuas em um subconjunto fechado de um espaço topológico normal podem ser estendidas a todo o espaço, preservando a limitação, se necessário.

Declaração formal

Se X- Sim. é um espaço normal e

f:A→ → R{displaystyle f:Ato mathbb Não.

ANão. A.

X- Sim.

R{displaystyle mathbb {R} } }

fNão.

X;Não. X.

F:X→ → R{displaystyle F:Xto mathbb Não.

X- Sim.

F(um)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(um)F(a)=f(a)}

um∈ ∈ A.- Sim.

FNão.

Vamos.(|f(um)|:um∈ ∈ A?= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Vamos.(|F(x)|:x∈ ∈ X?,{displaystyle sup{|f(a)|:ain A}~=~sup{|F(x)|:xin X}

fNão.

FNão.

fNão.

Histórico

L. E. J. Brouwer e Henri Lebesgue provaram um caso especial do teorema, quando X- Sim. é um espaço vetorial real finito-dimensional. Heinrich Tietze estendeu-o a todos os espaços métricos, e Pavel Urysohn provou o teorema como indicado aqui, para espaços topológicos normais.

Declarações equivalentes

Este teorema é equivalente ao lemma de Urysohn (que também é equivalente à normalidade do espaço) e é amplamente aplicável, uma vez que todos os espaços métricos e todos os espaços Hausdorff compactos são normais. Pode ser generalizado substituindo R{displaystyle mathbb {R} } } com RJJ{displaystyle mathbb {R} ^{J}} para algum conjunto de indexação JJ,- Sim. qualquer retrato de RJJ,{displaystyle mathbb {R} ^{J},} ou qualquer retract absoluto normal qualquer.

Variações

Se X- Sim. é um espaço métrico, ANão. A. um subconjunto não vazio de X- Sim. e f:A→ → R{displaystyle f:Ato mathbb Não. é uma função contínua Lipschitz com Lipschitz constante KK,- Sim. então fNão. pode ser estendida a uma função contínua de Lipschitz F:X→ → R{displaystyle F:Xto mathbb Não. com a mesma constante KK.Não. K.Este teorema também é válido para funções contínuas de Hölder, ou seja, se f:A→ → R{displaystyle f:Ato mathbb Não. é Hölder função contínua com constante menos ou igual a 1,- Sim. então fNão. pode ser estendida a uma função contínua de Hölder F:X→ → R{displaystyle F:Xto mathbb Não. com a mesma constante.

Outra variante (na verdade, generalização) do teorema de Tietze é devido a H.Tong e Z. Ercan: Vamos. ANão. A. ser um subconjunto fechado de um espaço topológico normal X.Sim. Se f:X→ → R{displaystyle f:Xto mathbb Não. é uma função semicontínua superior, g:X→ → RNão. Xto mathbb Não. uma função semicontínua inferior, e h:A→ → R{displaystyle h:Ato mathbb Não. uma função contínua tal que f(x)≤ ≤ g(x){displaystyle f(x)leq g(x)} para cada x∈ ∈ X{displaystyle xin X} e f(um)≤ ≤ h(um)≤ ≤ g(um){displaystyle f(a)leq h(a)leq g(a)} para cada um∈ ∈ A{displaystyle ain A}, então há um contínuo extensão H. H. H.:X→ → RNão. H:Xto mathbb Não. de hNão. tal que f(x)≤ ≤ H. H. H.(x)≤ ≤ g(x){displaystyle f(x)leq H(x)leq g(x)} para cada x∈ ∈ X.{displaystyle xin X.} Este teorema também é válido com alguma hipótese adicional se R{displaystyle mathbb {R} } } é substituído por um espaço geral localmente sólido Riesz.