Tanglóides

Tangloids é um jogo matemático para dois jogadores criado por Piet Hein para modelar o cálculo de espinores.

Uma descrição do jogo apareceu no livro "Martin Gardner's New Mathematical Diversions from Scientific American" de Martin Gardner de 1996 em uma seção sobre matemática de trança.

Dois blocos planos de madeira, cada um perfurado com três pequenos furos, são unidos por três fios paralelos. Cada jogador segura um dos blocos de madeira. O primeiro jogador segura um bloco de madeira imóvel, enquanto o outro jogador gira o outro bloco de madeira por duas voltas completas. O plano de rotação é perpendicular às cordas quando não estão emaranhadas. As cordas agora se sobrepõem. Em seguida, o primeiro jogador tenta desembaraçar as cordas sem girar nenhum dos pedaços de madeira. Somente translações (mover as peças sem girar) são permitidas. Depois, os jogadores invertem os papéis; quem conseguir desembaraçar os fios mais rápido é o vencedor. Experimente com apenas uma revolução. É claro que as cordas se sobrepõem novamente, mas não podem ser desembaraçadas sem girar um dos dois blocos de madeira.

O truque da xícara balinesa, que aparece na dança das velas balinesas, é uma ilustração diferente da mesma ideia matemática. O mecanismo anti-torção é um dispositivo destinado a evitar tais emaranhados de orientação. Uma interpretação matemática dessas ideias pode ser encontrada no artigo sobre quatérnios e rotação espacial.

Articulação matemática

Este jogo serve para esclarecer a noção de que as rotações no espaço têm propriedades que não podem ser explicadas intuitivamente considerando apenas a rotação de um único objeto rígido no espaço. A rotação de vetores não abrange todas as propriedades do modelo abstrato de rotações dado pelo grupo de rotação. A propriedade ilustrada neste jogo é formalmente referida em matemática como a "dupla cobertura de SO(3) por SU(2)". Este conceito abstrato pode ser esboçado aproximadamente do seguinte modo.

Rotações em três dimensões podem ser expressas como matrizes 3x3, um bloco de números, um para x, y, z. Se considerarmos rotações arbitrariamente pequenas, somos levados à conclusão de que as rotações formam um espaço, na medida em que se cada rotação for pensada como um ponto, então há sempre outros pontos próximos, outras rotações próximas que diferem apenas por uma pequena quantidade. Em bairros pequenos, este conjunto de pontos próximos assemelha-se ao espaço euclidiano. Na verdade, assemelha-se ao espaço euclidiano tridimensional, pois existem três diferentes direções possíveis para rotações infinitesimais: x, y e z. Isto descreve adequadamente a estrutura do grupo de rotação em bairros pequenos. Para sequências de grandes rotações, entretanto, esse modelo falha; por exemplo, virar à direita e depois deitar-se não é o mesmo que deitar primeiro e depois virar à direita. Embora o grupo de rotação tenha a estrutura do espaço 3D em pequena escala, essa não é a sua estrutura em grande escala. Sistemas que se comportam como o espaço euclidiano em pequena escala, mas possivelmente possuem uma estrutura global mais complicada, são chamados de variedades. Exemplos famosos de variedades incluem as esferas: globalmente, elas são redondas, mas localmente, parecem planas, portanto, “Terra plana”.

O exame cuidadoso do grupo de rotação revela que tem a estrutura de uma 3 esferas $Não. S^{3}}$ com pontos opostos identificados. Isso significa que para cada rotação, há, de fato, dois pontos opostos diferentes, distintos, polares na 3 esferas que descrevem essa rotação. Isto é o que os tanglóides ilustram. A ilustração é realmente bastante inteligente. Imagine executar a rotação de 360 graus um grau de cada vez, como um conjunto de pequenos passos. Estes passos levam você em um caminho, em uma jornada nesta variedade abstrata, este espaço abstrato de rotações. Na conclusão desta jornada de 360 graus, não se voltou para casa, mas sim no ponto oposto polar. E um está preso lá -- um não pode realmente voltar para onde um começou até um fazer outro, uma segunda viagem de 360 graus.

A estrutura deste espaço abstrato, de 3 esferas com opostos polares identificados, é bastante estranha. Tecnicamente, é um espaço projetivo. Pode-se tentar imaginar tomando um balão, deixando todo o ar para fora, depois colando pontos opostos polares. Se tentou na vida real, logo descobre que não pode ser feito globalmente. Localmente, para qualquer pequeno patch, pode-se realizar os passos flip-and-glue; um só não pode fazer isso globalmente. (Tenha em mente que o balão é ${displaystyle S^{2}}$, a 2-esfera; não é a 3-esfera de rotações.) Para simplificar ainda mais, pode-se começar com $Não. S^{1}}$, o círculo, e tentar colar juntos opostos polares; um ainda fica uma bagunça falhada. O melhor pode fazer é desenhar linhas retas através da origem, e depois declarar, por fiat, que os opostos polares são o mesmo ponto. Esta é a construção básica de qualquer espaço projetivo.

A chamada "cobertura dupla" refere-se à ideia de que este conjunto de opostos polares pode ser desfeito. Isso pode ser explicado relativamente simplesmente, embora necessite da introdução de alguma notação matemática. O primeiro passo é "Lie algebra". Este é um espaço vetorial dotado da propriedade que dois vetores podem ser multiplicados. Isso surge porque uma pequena rotação sobre o x-axis seguido por uma pequena rotação sobre o Sim.-axis não é o mesmo que reverter a ordem destes dois; eles são diferentes, e a diferença é uma pequena rotação ao longo da zangão.-axis. Formalmente, esta inequivalência pode ser escrita como $- Sim.$, tendo em mente que x, Sim. e zangão. não são números mas rotações infinitesimais. Eles não comem.

Pode-se então perguntar: "o que mais se comporta assim?" Bem, obviamente as matrizes de rotação 3D sim; afinal, a questão toda é que eles descrevem corretamente e matematicamente as rotações no espaço 3D. Acontece, porém, que também existem matrizes 2x2, 4x4, 5x5,... que também possuem esta propriedade. Pode-se razoavelmente perguntar: “OK, então qual é a forma de suas variedades?”. Para o caso 2x2, a álgebra de Lie é chamada su(2) e a variedade é chamada SU(2), e curiosamente, a variedade de SU(2) é a 3-esfera (mas sem a identificação projetiva de opostos polares).

Isso agora permite que um jogue um pouco de um truque. Tomar um vetor ${displaystyle {vec {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})}$ em espaço 3D comum (nosso espaço físico) e aplicar uma matriz de rotação $Não. R.$ Para ele. Um obtém um vetor rotativo $Não. R{vec {v}$. Este é o resultado da aplicação de uma rotação comum "senso comum" para ${displaystyle {vec {v}}}$. Mas um também tem as matrizes Pauli ${displaystyle sigma _{1},sigma _{2},sigma _{3}}$; estas são 2x2 matrizes complexas que têm a propriedade de álgebra de Lie que ${displaystyle sigma _{1}sigma _{2}-sigma _{2}sigma _{1}=sigma _{3}}$ e assim estes modelam o $- Sim.$ comportamento de rotações infinitesimais. Considere então o produto $- Não. cdot {v}}=v_{1}sigma _{1}+v_{2}sigma _{2}+v_{3}sigma _{3}}$. A "cobertura dupla" é a propriedade que não existe uma, mas duas matrizes 2x2 $Não. S.$ tal que

${displaystyle S^{-1}({vec {sigma }}cdot {vec {v}})S=R{vec {v}}}$

Toma. $Não. S^{-1}}$ denota o inverso de $Não. S.$; isto é, $Não. S^{-1}S=SS^{-1}=1.}$ A matriz $Não. S.$ é um elemento do SU(2), e assim para cada matriz $Não. R.$ em SO(3), há dois correspondentes $Não. S.$: ambos $- Sim.$ e $Não. - Sim.$ vai fazer o truque. Estes dois são os polar-oppositos, e a projeção é apenas ferve até a observação trivial que $(-1)times (-1)=+1.}$ O jogo tangeloid é destinado a ilustrar que uma rotação de 360 graus leva um em um caminho de $- Sim.$ para $Não. - Sim.$. Isto é bastante preciso: pode-se considerar uma sequência de pequenas rotações $Não. R.$ e o movimento correspondente de $Não. S.$; o resultado faz sinal de mudança. Em termos de ângulos de rotação $Não.$ o $Não. R.$ matriz terá ${displaystyle cos theta ?$ nele, mas a correspondência $Não. S.$ terá um ${displaystyle cos theta Não.$ nela. Mais elucidação requer realmente escrever essas fórmulas.

O esboço pode ser concluído com algumas observações gerais. Primeiro, Álgebras de mentira são genéricas, e para cada um, há um ou mais grupos de Lie correspondentes. Na física, rotações 3D de objetos 3D normais são obviamente descritas pelo grupo de rotação, que é um grupo de Lie de 3x3 matrizes $Não. R.$. No entanto, os spinors, as partículas spin-1/2, giram de acordo com as matrizes $Não. S.$ em SU(2). As matrizes 4x4 descrevem a rotação de partículas spin-3/2, e as matrizes 5x5 descrevem as rotações de partículas spin-2, e assim por diante. A representação de grupos de Lie e álgebras de Lie são descritas pela teoria da representação. A representação spin-1/2 pertence à representação fundamental, e o spin-1 é a representação adjunta. A noção de cobertura dupla usada aqui é um fenômeno genérico, descrito pela cobertura de mapas. Cobrindo mapas são por sua vez um caso especial de feixes de fibra. A classificação dos mapas de cobertura é feita através da teoria da homotopia; neste caso, a expressão formal da cobertura dupla é dizer que o grupo fundamental é ${displaystyle pi _{1}(SO(3))=mathbb {Z} _{2}}$ onde o grupo cobrindo ${displaystyle mathbb {Z} _{2}={+1,-1}}$ é apenas codificando as duas rotações equivalentes $- Sim.$ e $Não. - Sim.$ acima. Nesse sentido, o grupo de rotação fornece a porta, a chave para o reino de vastas áreas de matemática superior.