Subgrupo do comutador

Em matemática, mais especificamente em álgebra abstrata, o subgrupo comutador ou subgrupo derivado de um grupo é o subgrupo gerado por todos os comutadores do grupo.

O subgrupo comutador é importante porque é o menor subgrupo normal, de tal forma que o grupo quociente do grupo original deste subgrupo é abeliano. Em outras palavras, G/NNão. G/N é abeliano se e somente se NNão. contém o subgrupo comutador de GNão. G.. Então, em algum sentido, fornece uma medida de quão longe o grupo é de ser abeliano; quanto maior o subgrupo comutador é, o "menos abeliano" o grupo é.

Comutadores

Para elementos gNão. e hNão. de um grupo G, o comutador de gNão. e hNão. o Não.g,h]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =g- Sim. - Sim. 1h- Sim. - Sim. 1gh[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh]. O comutador Não.g,h]Não. é igual ao elemento de identidade e se e somente se gh= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =hg- Sim. isso é, se e somente se gNão. e hNão. Comutar. Em geral, gh= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =hgNão.g,h]- Não..

No entanto, a notação é um tanto arbitrária e há uma definição variante não equivalente para o comutador que tem os inversos no lado direito da equação: Não.g,h]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =ghg- Sim. - Sim. 1h- Sim. - Sim. 1[g,h]=ghg^{-1}h^{-1}} em que caso gh≠ ≠ hgNão.g,h]- Sim. mas em vez disso gh= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Não.g,h]hg[g,h]hg].

Um elemento de G da forma Não.g,h]Não. para alguns g e h é chamado de comutador. O elemento de identidade e Não.e,e] é sempre um comutador, e é o único comutador se e somente se G é abeliano.

Aqui estão algumas identidades de comutador simples, mas úteis, verdadeiras para quaisquer elementos s, g, h de um grupo G:

• Não.g,h]- Sim. - Sim. 1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Não.h,g],[g,h]^{-1}=[h,g],}
• Não.g,h]S= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Não.gS,hS],[g,h]^{s}=[g^{s},h^{s}],} Onde? gS= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =S- Sim. - Sim. 1gS- Sim. (ou, respectivamente, gS= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =SgS- Sim. - Sim. 1Não. g^{s}=sgs^{-1}}) é o conjugado de gNão. por S,- Sim.
• para qualquer homomorfismo f:G→ → H. H. H.{displaystyle f:Gto H}, f(Não.g,h])= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Não.f(g),f(h)].{displaystyle f([g,h])=[f(g),f(h)].}

A primeira e segunda identidades implicam que o conjunto de comutadores em G é fechado sob inversão e conjugação. Se na terceira identidade tomarmos H. H. H. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = G, entendemos que o conjunto de comutadores é estável sob qualquer endomorfismo de G. Trata-se de uma generalização da segunda identidade, uma vez que podemos tomar f para ser o automorfismo conjugação em G, x↦ ↦ xS{displaystyle xmapsto x^{s}}Para obter a segunda identidade.

No entanto, o produto de dois ou mais comutadores não precisa ser um comutador. Um exemplo genérico é [a,b][c,d] no grupo gratuito em a,b,c,d. Sabe-se que a menor ordem de um grupo finito para o qual existem dois comutadores cujo produto não é um comutador é 96; de fato existem dois grupos não isomórficos de ordem 96 com esta propriedade.

Definição

Isso motiva a definição do subgrupo comutador Não.G,G][G,G]} (também chamado de subgrupo derivado, e denotado G?Não. G. ou G(1){displaystyle G^{(1)}}) de G: é o subgrupo gerado por todos os comutadores.

Resulta desta definição que qualquer elemento Não.G,G][G,G]} é da forma

Não.g1,h1]⋯ ⋯ Não.gn,hn]Não. [g_{1},h_{1}]cdots [g_{n},h_{n}]}

para algum número natural nNão., onde o g_Eu... e h_Eu... são elementos de G. Além disso, desde (Não.g1,h1]⋯ ⋯ Não.gn,hn])S= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Não.g1S,h1S]⋯ ⋯ Não.gnS,hnS]([g_{1},h_{1}]cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]}, o subgrupo comutador é normal em G. Para qualquer homomorfismo f: G → H. H. H.,

f(Não.g1,h1]⋯ ⋯ Não.gn,hn])= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Não.f(g1),f(h1)]⋯ ⋯ Não.f(gn),f(hn)]{displaystyle f([g_{1},h_{1}]cdots [g_{n},h_{n}])=[f(g_{1}),f(h_{1})]cdots [f(g_{n}),f(h_{n})]},

assim f(Não.G,G])⊆ ⊆ Não.H. H. H.,H. H. H.]{displaystyle f([G,G])subseteq [H,H]}.

Isso mostra que o subgrupo do comutador pode ser visto como um functor na categoria de grupos, algumas implicações das quais são exploradas abaixo. Além disso, tomando G = H, mostra que o subgrupo do comutador é estável sob todo endomorfismo de G: isto é, [G,G] é um subgrupo totalmente característico de G, uma propriedade consideravelmente mais forte que a normalidade.

O subgrupo do comutador também pode ser definido como o conjunto de elementos g do grupo que possuem uma expressão como produto g = g ₁ g₂... g_k que podem ser rearranjados para dar a identidade.

Série derivada

Esta construção pode ser iterada:

G(0)?GG^{(0)}:=G}

G(n)?Não.G(n- Sim. - Sim. 1),G(n- Sim. - Sim. 1)]n∈ ∈ N{displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]quad nin mathbf Não.

Os grupos G(2),G(3),...... {displaystyle G^{(2)},G^{(3)},ldots } são chamados de segundo subgrupo derivado, terceiro subgrupo derivado, e assim por diante, e a série normal descendente

⋯ ⋯ ◃ ◃ G(2)◃ ◃ G(1)◃ ◃ G(0)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =G{displaystyle cdots triangleleft G^{(2)}triangleleft G^{(1)}triangleleft G^{(0)}=G}

é chamado de série derivada. Isto não deve ser confundido com o série central inferior, cujos termos são Gn?Não.Gn- Sim. - Sim. 1,G]Não. G_{n}:=[G_{n-1},G]}.

Para um grupo finito, a série derivada termina em um grupo perfeito, que pode ou não ser trivial. Para um grupo infinito, a série derivada não precisa terminar em um estágio finito, e pode-se continuar com números ordinais infinitos por meio de recursão transfinita, obtendo assim a série derivada transfinita, que eventualmente termina no núcleo perfeito do grupo.

Abelianização

Dado um grupo GNão. G., um grupo quociente G/NNão. G/N é abeliano se e somente se Não.G,G]⊆ ⊆ N(G,G)subseteq N}.

O quociente G/Não.G,G](G,G)} é um grupo abeliano chamado Abelianização de GNão. G. ou GNão. G. feito abeliano. É geralmente denotado por GANão. G^{operatorname {ab} }} ou GANão. G_{operatorname {ab} }}.

Há uma interpretação categórica útil do mapa φ φ :G→ → GANão. varphi: Grightarrow G^{operatorname {ab} }}. Nomeadamente φ φ - Sim. é universal para homomorfismos de GNão. G. para um grupo abeliano H. H. H.Não. H.: para qualquer grupo abeliano H. H. H.Não. H. e homomorfismo de grupos f:G→ → H. H. H.{displaystyle f:Gto H} existe um homomorfismo único F:GA→ → H. H. H.Não. F:G^{operatorname {ab} }to H. tal que f= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =F∘ ∘ φ φ {displaystyle f=Fcirc varphi ?. Como de costume para objetos definidos por propriedades de mapeamento universal, isso mostra a singularidade da abelianização GANão. G^{operatorname {ab} }} até isomorfismo canônico, enquanto a construção explícita G→ → G/Não.G,G]{displaystyle Gto G/[G,G]} mostra a existência.

O functor de abelianização é o adjunto esquerdo do functor de inclusão da categoria de grupos abelianos para a categoria de grupos. A existência do funtor de abelianização Grp → Ab torna a categoria Ab uma subcategoria reflexiva da categoria de grupos, definida como uma subcategoria completa cuja inclusão functor tem um adjunto esquerdo.

Outra interpretação importante de GANão. G^{operatorname {ab} }} como H. H. H.1(G,Z.)(G,mathbb {Z})}, o primeiro grupo de homologia GNão. G. com coeficientes integrais.

Classes de grupos

Um grupo GNão. G. é um grupo abeliano se e somente se o grupo derivado é trivial: [G,GNão.e} Equivalentemente, se e somente se o grupo é igual à sua abelianização. Veja acima para a definição da abelianização de um grupo.

Um grupo GNão. G. é um grupo perfeito se e somente se o grupo derivado for igual ao próprio grupo: [G,GNão. G. Equivalentemente, se e somente se a abelianização do grupo é trivial. Isto é "oposito" ao abeliano.

Um grupo com G(n)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(e?Não. G^{(n)}={e}} para alguns n em N é chamado de grupo solvável; isto é mais fraco do que abeliano, que é o caso n = 1.

Um grupo com G(n)≠ ≠ (e?{displaystyle G^{(n)}neq {e}} para todos n em N é chamado de grupo não-solvável.

Um grupo com G(α α )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(e?{displaystyle G^{(alpha)}={e}} para algum número ordinal, possivelmente infinito, é chamado de grupo hipoabelian; isto é mais fraco do que solvable, que é o caso α é finito (um número natural).

Grupo perfeito

Sempre que um grupo GNão. G. tem subgrupo derivado igual a si mesmo, G(1)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =GG^{(1)}=G}, chama-se um grupo perfeito. Isso inclui grupos simples não-abelian e grupos lineares especiais SLn⁡ ⁡ (k){displaystyle operatorname {SL} _{n}(k)} para um campo fixo kNão..

Exemplos

• O subgrupo comutador de qualquer grupo abeliano é trivial.
• O subgrupo comutador do grupo linear geral GLn⁡ ⁡ (k){displaystyle operatorname {GL} _{n}(k)} sobre um campo ou um anel de divisão k igual ao grupo linear especial SLn⁡ ⁡ (k){displaystyle operatorname {SL} _{n}(k)} desde que n≠ ≠ 2{displaystyle nneq 2 ou k não é o campo com dois elementos.
• O subgrupo comutador do grupo alternado A₄ é o grupo Klein quatro.
• O subgrupo comutador do grupo simétrico S_n é o grupo alternado A_n.
• O subgrupo comutador do grupo quaternion Q = {1, −1, Eu...,Eu..., JJ,JJ, k,kÉ...Q,Q] = {1, −1}.
• O subgrupo comutador do grupo fundamental π₁(X) de um espaço topológico ligado ao caminho X é o núcleo do homomorfismo natural no primeiro grupo de homologia singular H. H. H.₁(X).

Mapa de Fora

Como o subgrupo derivado é característico, qualquer automorfismo de G induz um automorfismo da abelianização. Como a abelianização é abeliana, os automorfismos internos agem trivialmente, portanto, isso produz um mapa

Fora⁡ ⁡ (G)→ → Aut⁡ ⁡ (GA){displaystyle operatorname {Out} (G)to operatorname {Aut} (G^{mbox{ab}})}