Sistema dinâmico

O atrator Lorenz surge no estudo do oscilador Lorenz, um sistema dinâmico.

Na matemática, um sistema dinâmico é um sistema no qual uma função descreve a dependência do tempo de um ponto em um espaço ambiente. Os exemplos incluem os modelos matemáticos que descrevem o balanço de um pêndulo de relógio, o fluxo de água em um cano, o movimento aleatório de partículas no ar e o número de peixes a cada primavera em um lago. A definição mais geral unifica vários conceitos em matemática, como equações diferenciais ordinárias e teoria ergódica, permitindo diferentes escolhas do espaço e como o tempo é medido. O tempo pode ser medido por números inteiros, por números reais ou complexos ou pode ser um objeto algébrico mais geral, perdendo a memória de sua origem física, e o espaço pode ser uma variedade ou simplesmente um conjunto, sem a necessidade de um espaço-tempo suave estrutura definida nele.

A qualquer momento, um sistema dinâmico tem um estado que representa um ponto em um espaço de estado apropriado. Esse estado geralmente é dado por uma tupla de números reais ou por um vetor em uma variedade geométrica. A regra de evolução do sistema dinâmico é uma função que descreve quais estados futuros seguem do estado atual. Freqüentemente, a função é determinística, ou seja, para um determinado intervalo de tempo, apenas um estado futuro decorre do estado atual. No entanto, alguns sistemas são estocásticos, pois eventos aleatórios também afetam a evolução das variáveis de estado.

Na física, um sistema dinâmico é descrito como uma "partícula ou conjunto de partículas cujo estado varia ao longo do tempo e, portanto, obedece a equações diferenciais envolvendo derivadas do tempo". Para fazer uma previsão sobre o comportamento futuro do sistema, é realizada uma solução analítica de tais equações ou sua integração ao longo do tempo através de simulação computacional.

O estudo de sistemas dinâmicos é o foco da teoria de sistemas dinâmicos, que tem aplicações em uma ampla variedade de campos, como matemática, física, biologia, química, engenharia, economia, história e medicina. Os sistemas dinâmicos são uma parte fundamental da teoria do caos, da dinâmica do mapa logístico, da teoria da bifurcação, dos processos de automontagem e auto-organização e do conceito de borda do caos.

Visão geral

O conceito de sistema dinâmico tem sua origem na mecânica newtoniana. Lá, como em outras ciências naturais e disciplinas de engenharia, a regra de evolução dos sistemas dinâmicos é uma relação implícita que fornece o estado do sistema apenas por um curto período de tempo no futuro. (A relação é uma equação diferencial, equação de diferença ou outra escala de tempo.) Para determinar o estado para todos os tempos futuros, é necessário repetir a relação várias vezes — cada avanço de tempo é um pequeno passo. O procedimento de iteração é referido como resolvendo o sistema ou integrando o sistema. Se o sistema puder ser resolvido, dado um ponto inicial é possível determinar todas as suas posições futuras, um conjunto de pontos conhecido como trajetória ou órbita.

Antes do advento dos computadores, encontrar uma órbita exigia técnicas matemáticas sofisticadas e só podia ser realizada por uma pequena classe de sistemas dinâmicos. Métodos numéricos implementados em máquinas de computação eletrônica simplificaram a tarefa de determinar as órbitas de um sistema dinâmico.

Para sistemas dinâmicos simples, conhecer a trajetória geralmente é suficiente, mas a maioria dos sistemas dinâmicos é muito complicada para ser compreendida em termos de trajetórias individuais. As dificuldades surgem porque:

• Os sistemas estudados só podem ser conhecidos aproximadamente - os parâmetros do sistema podem não ser conhecidos precisamente ou os termos podem estar ausentes das equações. As aproximações utilizadas colocam em causa a validade ou relevância de soluções numéricas. Para abordar estas questões foram introduzidas várias noções de estabilidade no estudo de sistemas dinâmicos, como a estabilidade de Lyapunov ou a estabilidade estrutural. A estabilidade do sistema dinâmico implica que há uma classe de modelos ou condições iniciais para as quais as trajetórias seriam equivalentes. A operação para comparar órbitas para estabelecer suas alterações de equivalência com as diferentes noções de estabilidade.
• O tipo de trajetória pode ser mais importante do que uma trajetória particular. Algumas trajetórias podem ser periódicas, enquanto outras podem vaguear por vários estados diferentes do sistema. As aplicações muitas vezes exigem enumerar essas classes ou manter o sistema dentro de uma classe. Classificar todas as trajetórias possíveis levou ao estudo qualitativo de sistemas dinâmicos, isto é, propriedades que não mudam sob mudanças coordenadas. Sistemas e sistemas dinâmicos lineares que têm dois números descrevendo um estado são exemplos de sistemas dinâmicos onde as possíveis classes de órbitas são compreendidas.
• O comportamento de trajetórias como função de um parâmetro pode ser o que é necessário para uma aplicação. Como um parâmetro é variado, os sistemas dinâmicos podem ter pontos de bifurcação onde o comportamento qualitativo do sistema dinâmico muda. Por exemplo, pode ir de ter apenas movimentos periódicos a comportamento aparentemente errático, como na transição para a turbulência de um fluido.
• As trajetórias do sistema podem parecer erráticas, como se aleatórias. Nestes casos pode ser necessário calcular médias usando uma trajetória muito longa ou muitas trajetórias diferentes. As médias são bem definidas para sistemas ergódicos e um entendimento mais detalhado foi elaborado para sistemas hiperbólicos. Compreender os aspectos probabilísticos dos sistemas dinâmicos ajudou a estabelecer as bases da mecânica estatística e do caos.

História

Muitas pessoas consideram o matemático francês Henri Poincaré como o fundador dos sistemas dinâmicos. Poincaré publicou duas monografias agora clássicas, "New Methods of Celestial Mechanics" (1892–1899) e "Palestras sobre Mecânica Celestial" (1905-1910). Neles, ele aplicou com sucesso os resultados de suas pesquisas ao problema do movimento de três corpos e estudou em detalhes o comportamento das soluções (frequência, estabilidade, assimptótica e assim por diante). Esses artigos incluíam o teorema de recorrência de Poincaré, que afirma que certos sistemas, após um tempo suficientemente longo, mas finito, retornarão a um estado muito próximo do estado inicial.

Aleksandr Lyapunov desenvolveu muitos métodos de aproximação importantes. Seus métodos, desenvolvidos por ele em 1899, permitem definir a estabilidade de conjuntos de equações diferenciais ordinárias. Ele criou a teoria moderna da estabilidade de um sistema dinâmico.

Em 1913, George David Birkhoff provou o "Último Teorema Geométrico" de Poincaré, um caso especial do problema dos três corpos, um resultado que o tornou mundialmente famoso. Em 1927, ele publicou seus Sistemas Dinâmicos. O resultado mais duradouro de Birkhoff foi sua descoberta em 1931 do que hoje é chamado de teorema ergódico. Combinando percepções da física sobre a hipótese ergódica com a teoria da medida, esse teorema resolveu, pelo menos em princípio, um problema fundamental da mecânica estatística. O teorema ergódico também teve repercussões na dinâmica.

Stephen Smale também fez avanços significativos. Sua primeira contribuição foi a ferradura de Smale, que impulsionou pesquisas significativas em sistemas dinâmicos. Ele também delineou um programa de pesquisa realizado por muitos outros.

Oleksandr Mykolaiovych Sharkovsky desenvolveu o teorema de Sharkovsky sobre os períodos de sistemas dinâmicos discretos em 1964. Uma das implicações do teorema é que se um sistema dinâmico discreto na linha real tem um ponto periódico de período 3, então deve ter pontos periódicos de todos os outros períodos.

No final do século 20, a perspectiva do sistema dinâmico para equações diferenciais parciais começou a ganhar popularidade. O engenheiro mecânico palestino Ali H. Nayfeh aplicou a dinâmica não linear em sistemas mecânicos e de engenharia. Seu trabalho pioneiro em dinâmica não linear aplicada tem sido influente na construção e manutenção de máquinas e estruturas comuns na vida cotidiana, como navios, guindastes, pontes, edifícios, arranha-céus, motores a jato, motores de foguetes, aeronaves e espaçonaves.

Definição formal

No sentido mais geral, um sistema dinâmico é uma tupla (T, X, Φ) onde T é um monóide, escrito aditivamente, X é um conjunto não vazio e Φ é uma função

${displaystyle Phi:Usubseteq (Ttimes X)to X}$

com

${displaystyle mathrm {proj} _{2}(U)=X}$ (onde) ${displaystyle mathrm {proj} _{2}}$ é o segundo mapa de projeção)

e para qualquer x em X:

${displaystyle Phi (0,x)=x}$

$Não. Phi (t_{2},Phi (t_{1},x)=Phi (t_{2}+t_{1},x),}$

para $Não. ,t_{1},,t_{2}+t_{1}in I(x)}$ e ${displaystyle t_{2}in I(Phi (t_{1},x)})}$, onde temos definido o conjunto ${displaystyle I(x):={tin T:(t,x)in U}}$ para qualquer x em X.

Em particular, no caso de ${displaystyle U=Ttimes X}$ nós temos para cada x em X que $(x)=T}$ e assim que Φ define uma ação monoide de T sobre X.

A função Φ(t,x) é chamada de função de evolução do sistema dinâmico: ela se associa a cada ponto x no conjunto X uma única imagem, dependendo da variável t, chamada de parâmetro de evolução. X é chamado de espaço de fase ou espaço de estado, enquanto a variável x representa um estado inicial do sistema.

Muitas vezes escrevemos

$Não. Phi _{x}(t)equiv Phi (t,x)}$

$Não. Phi ^{t}(x)equiv Phi (t,x)}$

se tomarmos uma das variáveis como constante.

$Não. Phi _{x}:I(x)to X}$

é chamado de fluxo até x e seu gráfico trajetória até x. O conjunto

${displaystyle gamma _{x}equiv {Phi (t,x):tin I(x)}}$

é chamado de órbita até x. Note que a órbita através de x é a imagem do fluxo através de x. Um subconjunto S do espaço de estado X é chamado Φ-invariante se para todo x em S e todos os t em T

${displaystyle Phi (t,x)in S.}$

Assim, em particular, se S é Φ-invariante, $(x)=T}$ para todos x em S. Isto é, o fluxo através x deve ser definido para todo o tempo para cada elemento de S.

Mais comumente, existem duas classes de definições para um sistema dinâmico: uma é motivada por equações diferenciais ordinárias e tem um sabor geométrico; e o outro é motivado pela teoria ergódica e tem sabor teórico.

Definição geométrica

Na definição geométrica, um sistema dinâmico é o tupla ${displaystyle langle {mathcal} {T}},{mathcal {M}},frangle }$. ${displaystyle {mathcal {T}}}$ é o domínio por tempo – há muitas escolhas, geralmente os reais ou os inteiros, possivelmente restritos a ser não negativo. ${displaystyle {mathcal {M}}}$ é um coletor, ou seja, localmente um espaço Banach ou espaço Euclidiano, ou no caso discreto um gráfico. f é uma regra de evolução )→f⁾ (com ${displaystyle tin {mathcal {T}}}$) tal que f⁾ é um diffeomorphism do coletor para si mesmo. Então, f é um mapeamento "suave" do domínio do tempo ${displaystyle {mathcal {T}}}$ no espaço de diffeomorphisms do coletor para si mesmo. Em outros termos, f()) é um diffeomorphism, por cada vez ) no domínio ${displaystyle {mathcal {T}}}$.

Sistema dinâmico real

Um sistema dinâmico real, sistema dinâmico em tempo real, sistema dinâmico em tempo contínuo ou fluxo é uma tupla (T, M, Φ) com T um intervalo aberto nos números reais R, M uma variedade localmente difeomorfa a um espaço de Banach, e Φ uma função contínua. Se Φ é continuamente diferenciável dizemos que o sistema é um sistema dinâmico diferenciável. Se a variedade M é localmente difeomorfa para Rⁿ, o sistema dinâmico é dimensional finito; caso contrário, o sistema dinâmico é infinito-dimensional. Observe que isso não assume uma estrutura simplética. Quando T é considerado os reais, o sistema dinâmico é chamado de global ou fluxo; e se T está restrito aos reais não negativos, então o sistema dinâmico é um semi-fluxo.

Sistema dinâmico discreto

Um sistema dinâmico discreto, sistema dinâmico de tempo discreto é uma tupla (T, M, Φ), onde M é uma variedade localmente difeomorfa a um espaço de Banach, e Φ é uma função. Quando T é considerado os números inteiros, é uma cascata ou um mapa. Se T for restrito aos inteiros não negativos, chamamos o sistema de semi-cascata.

Autômato celular

Um autômato celular é uma tupla (T, M, Φ), com T uma rede tal como os inteiros ou uma grade inteira de dimensão superior, M é um conjunto de funções de uma rede inteira (novamente, com uma ou mais dimensões) para um conjunto finito, e Φ uma evolução (definida localmente) função. Como tais autômatos celulares são sistemas dinâmicos. A rede em M representa o "espaço" treliça, enquanto aquele em T representa o "tempo" treliça.

Generalização multidimensional

Sistemas dinâmicos são geralmente definidos sobre uma única variável independente, pensada como tempo. Uma classe mais geral de sistemas é definida sobre múltiplas variáveis independentes e, portanto, são chamados de sistemas multidimensionais. Tais sistemas são úteis para modelagem, por exemplo, processamento de imagem.

Compactificação de um sistema dinâmico

Dado um sistema dinâmico global (R, X, Φ) em um espaço topológico localmente compacto e Hausdorff X, geralmente é útil estudar a extensão contínua Φ* de Φ à compactação de um ponto X* de X. Embora tenhamos perdido a estrutura diferencial do sistema original, agora podemos usar argumentos de compacidade para analisar o novo sistema (R, X*, Φ*).

Em sistemas dinâmicos compactos, o conjunto limite de qualquer órbita é não vazio, compacto e simplesmente conexo.

Medir a definição teórica

Um sistema dinâmico pode ser definido formalmente como uma transformação de preservação de medida de um espaço de medida, o triplo (T,X, Σ, μ), Φ). Toma. T é um monoide (geralmente os inteiros não negativos), X é um conjunto, e (X, Σ, μ) é um espaço de probabilidade, o que significa que Σ é uma sigma-algebra em X e μ é uma medida finita em (X, Σ). Um mapa Φ: X → X é dito ser Σ-measurable se e somente se, para cada σ em Σ, um tem $Não. Phi ^{-1}sigma in Sigma }$. Um mapa Φ é dito preservar a medida se e somente se, para cada σ em Σ, um tem ${displaystyle mu (Phi ^{-1}sigma)=mu (sigma)}$. Combinando o acima, um mapa Φ é dito ser um transformação de preservação da medida X , se for um mapa de X para si mesmo, é Σ-measurable, e é-preserving medida. O triplo (T,X, Σ, μ), δ), para tal Φ, é então definido como um sistema dinâmico.

O mapa Φ incorpora a evolução do tempo do sistema dinâmico. Assim, para sistemas dinâmicos discretos os iterados $Não. Phi ^{n}=Phi circ Phi circ dots circ Phi }$ para cada inteiro n são estudados. Para sistemas dinâmicos contínuos, o mapa Φ é entendido como um mapa de evolução de tempo finito e a construção é mais complicada.

Relação com a definição geométrica

A definição teórica da medida assume a existência de uma transformação que preserva a medida. Muitas medidas invariantes diferentes podem ser associadas a qualquer regra de evolução. Se o sistema dinâmico for dado por um sistema de equações diferenciais, a medida apropriada deve ser determinada. Isso torna difícil desenvolver a teoria ergódica a partir de equações diferenciais, de modo que se torna conveniente ter uma definição motivada por sistemas dinâmicos dentro da teoria ergódica que evita a escolha da medida e assume que a escolha foi feita. Uma construção simples (às vezes chamada de teorema de Krylov-Bogolyubov) mostra que, para uma grande classe de sistemas, é sempre possível construir uma medida de modo a tornar a regra de evolução do sistema dinâmico uma transformação que preserva a medida. Na construção uma dada medida do espaço de estados é somada para todos os pontos futuros de uma trajetória, garantindo a invariância.

Alguns sistemas possuem uma medida natural, como a medida de Liouville em sistemas hamiltonianos, escolhida em detrimento de outras medidas invariantes, como as medidas suportadas em órbitas periódicas do sistema hamiltoniano. Para sistemas dissipativos caóticos, a escolha da medida invariante é tecnicamente mais desafiadora. A medida precisa ser apoiada no atrator, mas os atratores têm medida de Lebesgue zero e as medidas invariantes devem ser singulares em relação à medida de Lebesgue. Uma pequena região do espaço de fase encolhe sob a evolução do tempo.

Para sistemas dinâmicos hiperbólicos, as medidas Sinai–Ruelle–Bowen parecem ser a escolha natural. Eles são construídos sobre a estrutura geométrica de variedades estáveis e instáveis do sistema dinâmico; eles se comportam fisicamente sob pequenas perturbações; e explicam muitas das estatísticas observadas de sistemas hiperbólicos.

Construção de sistemas dinâmicos

O conceito de evolução no tempo é central para a teoria de sistemas dinâmicos como visto nas seções anteriores: a razão básica para este fato é que a motivação inicial da teoria foi o estudo do tempo comportamento de sistemas mecânicos clássicos. Mas um sistema de equações diferenciais ordinárias deve ser resolvido antes de se tornar um sistema dinâmico. Por exemplo, considere um problema de valor inicial como o seguinte:

${displaystyle {dot {boldsymbol {x}}}={boldsymbol {v}}(t,{boldsymbol {x}}}$

$- Não. {x}}|_{t=0}={boldsymbol {x}}_{0}}$

onde

• $(x}}$ representa a velocidade do ponto material x
• M é um manifold dimensional finito
• v: T × M → TM is a vector field in Rⁿ ou Cⁿ e representa a mudança de velocidade induzida pelas forças conhecidas atuando no ponto material dado no espaço de fase M. A mudança não é um vetor no espaço de faseM, mas em vez disso está no espaço tangente TM.

Não há necessidade de derivadas de ordem superior na equação, nem para o parâmetro t em v(t,x ), porque estes podem ser eliminados considerando sistemas de dimensões superiores.

Dependendo das propriedades deste campo vetorial, o sistema mecânico é chamado

• autónomo, quando v(), x) = v(x)
• homogêneo quando v(), 0) = 0 para todos )

A solução pode ser encontrada usando técnicas ODE padrão e é denotada como a função de evolução já apresentada acima

${displaystyle {boldsymbol {x}}(t)=Phi (t,{boldsymbol {x}}_{0})}$

O sistema dinâmico é então (T, M, Φ).

Algumas manipulações formais do sistema de equações diferenciais mostradas acima fornecem uma forma mais geral de equações que um sistema dinâmico deve satisfazer

$- Não. {x}}}-{boldsymbol {v}}(t,{boldsymbol {x}}=0qquad Leftrightarrow qquad {mathfrak {G}}left(t,Phi (t,{boldsymbol {x}}_{0})rightarrow=0}$

Onde? ${displaystyle {mathfrak {G}}:{(Ttimes M)}^{M}}to mathbf Não.$ é um funcional do conjunto de funções de evolução para o campo dos números complexos.

Esta equação é útil ao modelar sistemas mecânicos com restrições complicadas.

Muitos dos conceitos em sistemas dinâmicos podem ser estendidos para variedades de dimensão infinita - aquelas que são localmente espaços de Banach - caso em que as equações diferenciais são equações diferenciais parciais.

Exemplos

Sistemas dinâmicos lineares

Os sistemas dinâmicos lineares podem ser resolvidos em termos de funções simples e do comportamento de todas as órbitas classificadas. Em um sistema linear, o espaço de fase é o espaço euclidiano de dimensão N, portanto, qualquer ponto no espaço de fase pode ser representado por um vetor com números N. A análise de sistemas lineares é possível porque eles satisfazem um princípio de superposição: se u(t) e w(t) satisfaça a equação diferencial para o campo vetorial (mas não necessariamente a condição inicial), então u(t) + w(t).

Fluxos

Para um fluxo, o campo vetorial v(x) é uma função afim da posição no espaço de fase, ou seja,

${displaystyle {dot {x}}=v(x)=Ax+b,}$

com A uma matriz, b um vetor de números e x o vetor posição. A solução para este sistema pode ser encontrada usando o princípio da superposição (linearidade). O caso b ≠ 0 com A = 0 é apenas uma linha reta na direção de b:

$Não. Phi ^{t}(x_{1})=x_{1}+bt.}$

Quando b é zero e A ≠ 0 a origem é um ponto de equilíbrio (ou singular) do escoamento, ou seja, se x₀ = 0, então a órbita permanece lá. Para outras condições iniciais, a equação de movimento é dada pela exponencial de uma matriz: para um ponto inicial x₀,

$Não. Phi ^{t}(x_{0})=e^{tA}x_{0}.}$

Quando b = 0, os autovalores de A determinam a estrutura do espaço de fase. A partir dos autovalores e dos autovetores de A é possível determinar se um ponto inicial irá convergir ou divergir para o ponto de equilíbrio na origem.

A distância entre duas condições iniciais diferentes no caso A ≠ 0 mudará exponencialmente na maioria dos casos, convergindo exponencialmente rápido em direção a um ponto ou divergindo exponencialmente rápido. Os sistemas lineares exibem uma dependência sensível das condições iniciais no caso de divergência. Para sistemas não lineares, esta é uma das condições (necessárias, mas não suficientes) para o comportamento caótico.

Campos vetoriais lineares e algumas trajetórias.

Mapas

Um sistema dinâmico afim de tempo discreto tem a forma de uma equação de diferença matricial:

$Não. x_{n+1}=Ax_{n}+b,}$

com A uma matriz e b um vetor. Como no caso contínuo, a mudança de coordenadas x → x + (1 − A) ^–1< i>b remove o termo b da equação. No novo sistema de coordenadas, a origem é um ponto fixo do mapa e as soluções são do sistema linear A ⁿx ₀. As soluções para o mapa não são mais curvas, mas pontos que saltam no espaço de fase. As órbitas são organizadas em curvas, ou fibras, que são coleções de pontos que se mapeiam sobre si mesmos sob a ação do mapa.

Como no caso contínuo, os autovalores e autovetores de A determinam a estrutura do espaço de fase. Por exemplo, se u₁ é um autovetor de A, com um autovalor real menor que um, então as retas dadas pelos pontos ao longo α u₁, com α ∈ R, é uma curva invariante do mapa. Os pontos nesta linha reta correm para o ponto fixo.

Existem também muitos outros sistemas dinâmicos discretos.

Dinâmica local

As propriedades qualitativas dos sistemas dinâmicos não mudam sob uma mudança suave de coordenadas (isso às vezes é considerado uma definição de qualitativo): um ponto singular do campo vetorial (um ponto onde v(x) = 0) permanecerá um ponto singular sob transformações suaves; uma órbita periódica é um loop no espaço de fase e deformações suaves do espaço de fase não podem alterar o fato de ser um loop. É na vizinhança de pontos singulares e órbitas periódicas que a estrutura de um espaço de fase de um sistema dinâmico pode ser bem compreendida. No estudo qualitativo de sistemas dinâmicos, a abordagem é mostrar que há uma mudança de coordenadas (geralmente não especificada, mas computável) que torna o sistema dinâmico o mais simples possível.

Retificação

Um fluxo na maioria dos pequenos trechos do espaço de fase pode ser muito simples. Se y é um ponto onde o campo vetorial v(y) ≠ 0, então há uma mudança de coordenadas para uma região ao redor de y onde o campo vetorial se torna uma série de vetores paralelos de mesma magnitude. Isso é conhecido como o teorema da retificação.

O teorema da retificação diz que, longe de pontos singulares, a dinâmica de um ponto em um pequeno trecho é uma linha reta. Às vezes, o patch pode ser ampliado juntando vários patches e, quando isso funciona em todo o espaço de fase M, o sistema dinâmico é integrável. Na maioria dos casos, o patch não pode ser estendido para todo o espaço de fase. Pode haver pontos singulares no campo vetorial (onde v(x) = 0); ou os patches podem se tornar cada vez menores à medida que algum ponto é abordado. A razão mais sutil é uma restrição global, onde a trajetória começa em um patch, e depois de visitar uma série de outros patches volta ao original. Se da próxima vez a órbita girar em torno do espaço de fase de uma maneira diferente, será impossível retificar o campo vetorial em toda a série de patches.

Perto de órbitas periódicas

Em geral, na vizinhança de uma órbita periódica, o teorema da retificação não pode ser usado. Poincaré desenvolveu uma abordagem que transforma a análise próxima a uma órbita periódica na análise de um mapa. Escolha um ponto x₀ na órbita γ e considere os pontos no espaço de fase nessa vizinhança que são perpendiculares a v(x ₀). Esses pontos são uma seção de Poincaré S(γ, x₀), da órbita. O fluxo agora define um mapa, o mapa de Poincaré F: S → S, para pontos começando em S e voltando para S. Nem todos esses pontos levarão o mesmo tempo para voltar, mas os tempos serão próximos do tempo que leva x₀.

A interseção da órbita periódica com a seção de Poincaré é um ponto fixo do mapa de Poincaré F. Por uma translação, pode-se supor que o ponto esteja em x = 0. A série de Taylor do mapa é F(x) = < i>J · x + O(x²), então uma mudança de coordenadas h só pode ser esperado para simplificar F para sua parte linear

${displaystyle h^{-1}circ Fcirc h(x)=Jcdot x.}$

Isso é conhecido como equação de conjugação. Encontrar condições para que essa equação seja válida tem sido uma das principais tarefas da pesquisa em sistemas dinâmicos. Poincaré primeiro o abordou assumindo que todas as funções eram analíticas e no processo descobriu a condição não ressonante. Se λ₁,..., λ_ν são os autovalores de < i>J eles serão ressonantes se um autovalor for uma combinação linear inteira de dois ou mais dos outros. Como termos da forma λ_i – Σ (múltiplos de outros autovalores) ocorre no denominador dos termos da função h , a condição não ressonante também é conhecida como problema do pequeno divisor.

Resultados da conjugação

Os resultados sobre a existência de uma solução para a equação de conjugação dependem dos autovalores de J e do grau de suavidade exigido de h. Como J não precisa ter nenhuma simetria especial, seus autovalores serão tipicamente números complexos. Quando os autovalores de J não estão no círculo unitário, a dinâmica próxima ao ponto fixo x₀ de F é chamada de hiperbólica e quando os autovalores estão no círculo unitário e complexo, a dinâmica é chamada de elíptica.

No caso hiperbólico, o teorema de Hartman–Grobman fornece as condições para a existência de uma função contínua que mapeia a vizinhança do ponto fixo do mapa para o mapa linear J · x. O caso hiperbólico também é estruturalmente estável. Pequenas mudanças no campo vetorial produzirão apenas pequenas mudanças no mapa de Poincaré e essas pequenas mudanças irão refletir em pequenas mudanças na posição dos autovalores de J no plano complexo, implicando que o mapa ainda é hiperbólico.

O teorema de Kolmogorov–Arnold–Moser (KAM) dá o comportamento perto de um ponto elíptico.

Teoria da bifurcação

Quando o mapa de evolução Φ^t (ou o campo vetorial do qual é derivado) depende de um parâmetro μ, a estrutura do espaço de fase também dependerá disso parâmetro. Pequenas mudanças podem não produzir mudanças qualitativas no espaço de fase até que um valor especial μ₀ seja alcançado. Neste ponto, o espaço de fase muda qualitativamente e diz-se que o sistema dinâmico passou por uma bifurcação.

A teoria da bifurcação considera uma estrutura no espaço de fase (normalmente um ponto fixo, uma órbita periódica ou um toro invariante) e estuda seu comportamento em função do parâmetro μ. No ponto de bifurcação, a estrutura pode mudar sua estabilidade, dividir-se em novas estruturas ou fundir-se com outras estruturas. Usando aproximações de séries de Taylor dos mapas e uma compreensão das diferenças que podem ser eliminadas por uma mudança de coordenadas, é possível catalogar as bifurcações de sistemas dinâmicos.

As bifurcações de um ponto fixo hiperbólico x₀ de uma família de sistemas F_μ podem ser caracterizadas por os autovalores da primeira derivada do sistema DF_μ(x₀) calculado no ponto de bifurcação. Para um mapa, a bifurcação ocorrerá quando houver autovalores de DF_μ no círculo unitário. Para um fluxo, ocorrerá quando houver autovalores no eixo imaginário. Para obter mais informações, consulte o artigo principal sobre a teoria da bifurcação.

Algumas bifurcações podem levar a estruturas muito complicadas no espaço de fase. Por exemplo, o cenário Ruelle-Takens descreve como uma órbita periódica se bifurca em um toro e o toro em um atrator estranho. Em outro exemplo, a duplicação de período de Feigenbaum descreve como uma órbita periódica estável passa por uma série de bifurcações de duplicação de período.

Sistemas ergódicos

Em muitos sistemas dinâmicos, é possível escolher as coordenadas do sistema de forma que o volume (realmente um volume ν-dimensional) no espaço de fase seja invariante. Isso acontece para sistemas mecânicos derivados das leis de Newton, desde que as coordenadas sejam a posição e o momento e o volume seja medido em unidades de (posição) × (momento). O fluxo leva pontos de um subconjunto A para os pontos Φ ^t(A) e invariância do espaço de fase significa que

${displaystyle mathrm {vol} (A)=mathrm {vol} (Phi ^{t}(A)). ?$

No formalismo hamiltoniano, dada uma coordenada é possível derivar o momento apropriado (generalizado) tal que o volume associado seja preservado pelo fluxo. Diz-se que o volume é calculado pela medida de Liouville.

Em um sistema hamiltoniano, nem todas as configurações possíveis de posição e momento podem ser alcançadas a partir de uma condição inicial. Por causa da conservação de energia, apenas os estados com a mesma energia da condição inicial são acessíveis. Os estados com a mesma energia formam uma camada de energia Ω, uma subvariedade do espaço de fase. O volume da camada de energia, calculado usando a medida de Liouville, é preservado na evolução.

Para sistemas onde o volume é preservado pelo fluxo, Poincaré descobriu o teorema da recorrência: Assuma que o espaço de fase tem um volume de Liouville finito e seja F um mapa de preservação de volume do espaço de fase e A um subconjunto do espaço de fase. Então, quase todos os pontos de A retornam a A infinitamente. O teorema da recorrência de Poincaré foi usado por Zermelo para contestar a derivação de Boltzmann do aumento da entropia em um sistema dinâmico de átomos em colisão.

Uma das questões levantadas pelo trabalho de Boltzmann foi a possível igualdade entre médias temporais e médias espaciais, o que ele chamou de hipótese ergódica. A hipótese afirma que o tempo que uma trajetória típica gasta em uma região A é vol(A)/vol(Ω).

A hipótese ergódica acabou não sendo a propriedade essencial necessária para o desenvolvimento da mecânica estatística e uma série de outras propriedades semelhantes à ergódica foram introduzidas para capturar os aspectos relevantes dos sistemas físicos. Koopman abordou o estudo dos sistemas ergódicos pelo uso da análise funcional. Um a observável é uma função que a cada ponto do espaço de fase associa um número (digamos, pressão instantânea ou altura média). O valor de um observável pode ser calculado em outro momento usando a função de evolução φ ^t. Isso apresenta um operador U ^t, o operador de transferência,

$(U^{t}a)(x)=a(Phi ^{-t}(x)). ?$

Ao estudar as propriedades espectrais do operador linear U, torna-se possível classificar as propriedades ergódicas de Φ ^t. Ao usar a abordagem de Koopman de considerar a ação do fluxo em uma função observável, o problema não linear de dimensão finita envolvendo Φ ^t é mapeado em um problema linear de dimensão infinita envolvendo U.

A medida de Liouville restrita à superfície de energia Ω é a base para as médias calculadas na mecânica estatística de equilíbrio. Uma média no tempo ao longo de uma trajetória é equivalente a uma média no espaço calculada com o fator de Boltzmann exp(−βH). Essa ideia foi generalizada por Sinai, Bowen e Ruelle (SRB) para uma classe maior de sistemas dinâmicos que inclui sistemas dissipativos. As medidas SRB substituem o fator de Boltzmann e são definidas em atratores de sistemas caóticos.

Sistemas dinâmicos não lineares e caos

Sistemas dinâmicos não lineares simples e mesmo sistemas lineares por partes podem exibir um comportamento completamente imprevisível, que pode parecer aleatório, apesar do fato de serem fundamentalmente determinísticos. Esse comportamento aparentemente imprevisível foi chamado de caos. Os sistemas hiperbólicos são sistemas dinâmicos precisamente definidos que exibem as propriedades atribuídas aos sistemas caóticos. Nos sistemas hiperbólicos o espaço tangente perpendicular a uma trajetória pode ser bem separado em duas partes: uma com os pontos que convergem para a órbita (a variedade estável) e outra com os pontos que divergem da órbita (o coletor instável).

Este ramo da matemática lida com o comportamento qualitativo de longo prazo de sistemas dinâmicos. Aqui, o foco não está em encontrar soluções precisas para as equações que definem o sistema dinâmico (o que geralmente é impossível), mas sim em responder a perguntas como "Será que o sistema se estabelecerá em um estado estacionário a longo prazo e se então, quais são os possíveis atratores?" ou "O comportamento de longo prazo do sistema depende de sua condição inicial?"

Observe que o comportamento caótico de sistemas complexos não é o problema. A meteorologia é conhecida há anos por envolver um comportamento complexo – até mesmo caótico. A teoria do caos tem sido tão surpreendente porque o caos pode ser encontrado dentro de sistemas quase triviais. O mapa logístico é apenas um polinômio de segundo grau; o mapa em ferradura é linear por partes.

Soluções de duração finita

Para EDOs autônomas não lineares é possível sob algumas condições desenvolver soluções de duração finita, significando aqui que a partir de sua própria dinâmica, o sistema atingirá o valor zero em um tempo final e permanecerá em zero para sempre depois disso. Essas soluções de duração finita não podem ser funções analíticas em toda a reta real e, como serão funções não-Lipschitz em seu tempo final, elas não suportam a unicidade das soluções das equações diferenciais de Lipschitz.

Como exemplo, a equação:

${displaystyle y'=-{text{sgn}}(y){sqrt (|y|}},,y(0)=1}$

Admite a solução de duração finita:

${displaystyle y(x)={frac {1}{4}}left(1-{frac {x}{2}}+left|1-{frac {x}{2}}right|right)^{2}}$