Silogismo disjuntivo

Na lógica clássica, silogismo disjuntivo (historicamente conhecido como modus tollendo ponens (MTP), latim para "modo que afirma negando") é uma forma de argumento válida que é um silogismo tendo uma declaração disjuntiva para uma de suas premissas.

Um exemplo em inglês:

1. A violação é uma violação de segurança, ou não está sujeita a multas.
2. A violação não é uma violação de segurança.
3. Portanto, não está sujeito a multas.

Lógica proposicional

Na lógica proposicional, silogismo disjuntivo (também conhecido como eliminação de disjunção e ou eliminação, ou abreviado ∨E), é uma regra de inferência válida. Se for conhecido que pelo menos uma das duas afirmações é verdadeira, e que não é a primeira que é verdadeira; podemos inferir que tem que ser o último que é verdadeiro. Equivalentemente, se P for verdadeiro ou Q for verdadeiro e P for falso, então Q será verdadeiro. O nome "silogismo disjuntivo" deriva de ser um silogismo, um argumento de três passos e o uso de uma disjunção lógica (qualquer declaração "ou"). Por exemplo, "P ou Q" é uma disjunção, onde P e Q são chamados de disjuntos da instrução. A regra permite eliminar uma disjunção de uma prova lógica. É a regra que

P∨ ∨ Q,? ? P∴ ∴ Q{displaystyle {frac {Plor Q,neg P}{therefore Sim.

onde a regra é que sempre que instâncias de "P∨ ∨ QNão. Plor Q", e "? ? P{displaystyle neg P}" aparecem em linhas de uma prova, "QNão." pode ser colocado em uma linha subsequente.

O silogismo disjuntivo está intimamente relacionado e semelhante ao silogismo hipotético, que é outra regra de inferência envolvendo um silogismo. Também está relacionado com a lei da não contradição, uma das três leis tradicionais do pensamento.

Notação formal

Para um sistema lógico que o valide, o silogismo disjuntivo pode ser escrito em notação sequencial como

P∨ ∨ Q,? ? P? ? QNão. Plor Q,lnot Pvdash Q}

Onde? ? ? - Sim. é um símbolo metalógico que significa que QNão. é uma consequência sintática de P∨ ∨ QNão. Plor Qe ? ? P- Sim..

Pode ser expresso como uma tautologia ou teorema verofuncional na linguagem de objeto da lógica proposicional como

((P∨ ∨ Q)∧ ∧ ? ? P)→ → Q(Plor Q)land neg P)to Q}

Onde? PNão. P.e QNão. são proposições expressas em algum sistema formal.

Exemplos de linguagem natural

Aqui está um exemplo:

1. Eu escolherei a sopa ou escolherei a salada.
2. Não escolherei sopa.
3. Portanto, vou escolher a salada.

Aqui está outro exemplo:

1. É vermelho ou azul.
2. Não é azul.
3. Portanto, é vermelho.

Disjunção inclusiva e exclusiva

Pode-se observar que o silogismo disjuntivo funciona se 'ou' é considerado 'exclusivo' ou 'inclusivo' disjunção. Veja abaixo as definições desses termos.

Existem dois tipos de disjunção lógica:

• inclusivamente significa "e/ou" - pelo menos um deles é verdade, ou talvez ambos.
• exclusivo exclusivo ("xor") significa exatamente um deve ser verdadeiro, mas ambos não podem ser.

O conceito de "ou" como existe na língua inglesa é muitas vezes ambíguo entre esses dois significados, mas a diferença é fundamental na avaliação de argumentos disjuntivos.

O argumento

1. P ou Q.
2. Não P.
3. Portanto, Q.

é válido e indiferente entre ambos os significados. No entanto, apenas no significado exclusivo é válido o seguinte formulário:

1. (somente) P ou (somente) Q.
2. P.
3. Portanto, não Q.

Com o significado inclusivo, não se pode tirar nenhuma conclusão das duas primeiras premissas desse argumento. Veja afirmando um disjunto.

Formas de argumento relacionadas

Ao contrário de modus ponens e modus ponendo tollens, com os quais não deve ser confundido, o silogismo disjuntivo muitas vezes não é uma regra explícita ou axioma de sistemas lógicos, como o Os argumentos acima podem ser comprovados com uma combinação de reductio ad absurdum e eliminação de disjunção.

Outras formas de silogismo incluem:

• silogismo hipotético
• syllogism categórica

O silogismo disjuntivo é válido na lógica proposicional clássica e na lógica intuicionista, mas não em algumas lógicas paraconsistentes.