Sequência Cauchy

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Sequência de pontos que se aproximam progressivamente um do outro

(a) O enredo de uma sequência Cauchy

(x_{n}),

mostrado em azul, como

x_{n}

versus

n.

Se o espaço que contém a sequência estiver completo, então a sequência tem um limite.

(b) Uma sequência que não é Cauchy. Os elementos da sequência não ficam arbitrariamente próximos uns aos outros à medida que a sequência progride.

Em matemática, uma sequência de Cauchy (pronúncia francesa: [koʃi]; KOH-shee), em homenagem a Augustin-Louis Cauchy, é uma sequência cujos elementos se tornam arbitrariamente próximos uns dos outros à medida que a sequência avança. Mais precisamente, dada qualquer pequena distância positiva, todos, exceto um número finito de elementos da sequência, são menores do que a distância dada um do outro.

Não é suficiente que cada termo se torne arbitrariamente próximo do termo anterior. Por exemplo, na sequência de raízes quadradas de números naturais:

{displaystyle a_{n}={sqrt {n}},}

<math alttext="{displaystyle a_{n+1}-a_{n}={sqrt {n+1}}-{sqrt {n}}={frac {1}{{sqrt {n+1}}+{sqrt {n}}}}umn+1- Sim. - Sim. umn= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =n+1- Sim. - Sim. n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1n+1+n<12n.Não. a_{n+1}-a_{n}={sqrt {n+1}}-{sqrt Não. Não. {n+1}}+{sqrt {n}}}}<{frac {1}{2{sqrt {n}}}}}<img alt="{displaystyle a_{n+1}-a_{n}={sqrt {n+1}}-{sqrt {n}}={frac {1}{{sqrt {n+1}}+{sqrt {n}}}}

n

a_{n}

n

D

m

d.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">umm- Sim. - Sim. umn>D.Não. a_{m}-a_{n}>d.}d.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9edc89942c0659ebeafe9f54b902ed488d905f9" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.155ex; height:2.509ex;"/>

uns aos outros

A utilidade das sequências de Cauchy reside no fato de que em um espaço métrico completo (onde todas essas sequências convergem para um limite), o critério de convergência depende apenas dos termos da própria sequência, em oposição a a definição de convergência, que usa tanto o valor limite quanto os termos. Isso é frequentemente explorado em algoritmos, tanto teóricos quanto aplicados, onde um processo iterativo pode ser mostrado com relativa facilidade para produzir uma sequência de Cauchy, consistindo nos iterados, cumprindo assim uma condição lógica, como a terminação.

Existem generalizações de sequências de Cauchy em espaços uniformes mais abstratos na forma de filtros de Cauchy e redes de Cauchy.

Em números reais

Uma sequência

{displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},ldots }

{displaystyle varepsilon}

N,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">m,n>N,Não. N,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9094a3638fb58cca3528e0ddcc970181f22d6d3e" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.278ex; height:2.509ex;"/>

<math alttext="{displaystyle |x_{m}-x_{n}||xm- Sim. - Sim. xn|<ε ε ,Não. |x_{m}-x_{n}|<varepsilon}<img alt="{displaystyle |x_{m}-x_{n}|

x_m - x_n

Para qualquer número real R, a sequência de expansões decimais truncadas de R forma uma sequência Cauchy. Por exemplo, quando ${displaystyle r=pi}$ esta sequência é (3, 3.1, 3.14, 3.141,...). O me nos termos diferem no máximo ${displaystyle 10^{1-m}}$ quando m < ne como m cresce isso torna-se menor do que qualquer número positivo fixo ${displaystyle varepsilon.}$

Módulo de convergência de Cauchy

Se $(x_1, x_2, x_3,...)$ é uma sequência no conjunto $X,$ então um modulus da convergência de Cauchy para a sequência é uma função $alpha$ do conjunto de números naturais para si mesmo, tal que para todos os números naturais $k$ e números naturais $alpha (k),}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">m,n>α α (k),(k),} alpha (k),}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/514d6ac0500ab1af68cb7e54909c5c6c6f8b244b" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.722ex; height:2.843ex;"/>$ $<math alttext="{displaystyle |x_{m}-x_{n}||xm- Sim. - Sim. xn|<1/k.Não. |x_{m}-x_{n}|<1/k.}<img alt="{displaystyle |x_{m}-x_{n}|$

Qualquer sequência com um módulo de convergência Cauchy é uma sequência Cauchy. A existência de um módulo para uma sequência Cauchy segue da propriedade bem ordenada dos números naturais (let $alpha(k)$ ser o menor possível $N$ na definição de seqüência de Cauchy, tomando $r$ para ser $1/k$ ). A existência de um módulo também segue do princípio da escolha dependente, que é uma forma fraca do axioma da escolha, e também segue de uma condição ainda mais fraca chamada AC_00:00. Sequências regulares de Cauchy são sequências com um dado módulo de convergência Cauchy (geralmente) $alpha(k) = k$ ou $alpha(k) = 2^k$ ). Qualquer sequência Cauchy com um módulo de convergência Cauchy é equivalente a uma sequência Cauchy regular; isso pode ser provado sem usar qualquer forma do axioma da escolha.

Módulos de convergência de Cauchy são usados por matemáticos construtivos que não desejam usar nenhuma forma de escolha. O uso de um módulo de convergência de Cauchy pode simplificar tanto as definições quanto os teoremas na análise construtiva. As sequências regulares de Cauchy foram usadas por Bishop (2012) e por Bridges (1997) em livros didáticos de matemática construtiva.

Em um espaço métrico

Uma vez que a definição de uma sequência Cauchy envolve apenas conceitos métricos, é simples generalizá-la para qualquer espaço métrico X. Para fazer isso, o valor absoluto ${displaystyle left|x_{m}-x_{n}right|}$ é substituído pela distância ${displaystyle dleft(x_{m},x_{n}right)}$ (onde) D denota uma métrica) entre $x_{m}$ e ${displaystyle x_{n}.}$

Formalmente, dado um espaço métrico ${displaystyle (X,d),}$ uma sequência

{displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},ldots }

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε >0- Sim. 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>

N

N,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">m,n>N,Não. N,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9094a3638fb58cca3528e0ddcc970181f22d6d3e" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.278ex; height:2.509ex;"/>

<math alttext="{displaystyle dleft(x_{m},x_{n}right)D(xm,xn)<ε ε .{displaystyle dleft(x_{m},x_{n}right)<varepsilon.}<img alt="{displaystyle dleft(x_{m},x_{n}right)

Grosso modo, os termos da sequência estão ficando cada vez mais próximos de uma forma que sugere que a sequência deveria ter um limite em X. No entanto, tal limite nem sempre existe dentro de X: a propriedade de um espaço que toda sequência de Cauchy converge no espaço é chamada de completude, e é detalhada abaixo.

Integridade

Um espaço métrico (X, d) no qual toda sequência de Cauchy converge para um elemento de X é chamado de completo.

Exemplos

Os números reais são completos sob a métrica induzida pelo valor absoluto usual, e uma das construções padrão dos números reais envolve sequências de Cauchy de números racionais. Nessa construção, cada classe de equivalência de sequências de Cauchy de números racionais com um certo comportamento de cauda – isto é, cada classe de sequências que ficam arbitrariamente próximas umas das outras – é um número real.

Um tipo bastante diferente de exemplo é fornecido por um espaço métrico X que tem a métrica discreta (onde quaisquer dois pontos distintos estão à distância 1 um do outro). Qualquer sequência de elementos de Cauchy de X deve ser constante além de algum ponto fixo e converge para o termo eventualmente repetido.

Não-exemplo: números racionais

Os números racionais $mathbb {Q}$ não estão completos (para a distância habitual):
Há sequências de racionais que convergem (em $mathbb {R}$ ) para números irracionais; estas são sequências Cauchy sem limite em ${displaystyle mathbb {Q}.}$ Na verdade, se um número real x é irracional, então a sequência (x_n), cuja n-o termo é a trégua para n lugares decimais da expansão decimal de x, dá uma sequência Cauchy de números racionais com limite irracional x. Números irracionais certamente existem em ${displaystyle mathbb {R}}$ por exemplo:

A sequência definida por ${displaystyle x_{0}=1,x_{n+1}={frac {x_{n}+{frac {2}{x_{n}}}}{2}}}$ consiste em números racionais (1, 3/2, 17/12,...), que é claro a partir da definição; no entanto, converge para a raiz quadrada irracional de dois, ver método babilônico de computação raiz quadrada.
A sequência ${displaystyle x_{n}=F_{n}/F_{n-1}}$ de rácios de números Fibonacci consecutivos que, se converge em tudo, converge para um limite $phi$ satisfazendo ${displaystyle phi ^{2}=phi +1,}$ e nenhum número racional tem esta propriedade. Se alguém considerar isso como uma sequência de números reais, no entanto, converge para o número real ${displaystyle varphi =(1+{sqrt {5}})/2,}$ a proporção de Ouro, que é irracional.
Os valores das funções exponencial, sine e cossena, exp(x), pecado(x),x), são conhecidos como irracionais para qualquer valor racional de ${displaystyle xneq 0,}$ mas cada um pode ser definido como o limite de uma sequência de Cauchy racional, usando, por exemplo, a série Maclaurin.

Não exemplo: intervalo aberto

O intervalo aberto ${displaystyle X=(0,2)}$ no conjunto de números reais com uma distância comum em $mathbb {R}$ não é um espaço completo: há uma sequência $x_{n}=1/n$ nele, que é Cauchy (para arbitrariamente pequena distância limitada $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">D>0- Sim. 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cddf6cd1242e088b641c76c3ee375466354f8d5a" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.477ex; height:2.176ex;"/>$ todos os termos $x_{n}$ de $1/d}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n>1/DNão. Não. 1/d" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2acc8ff9ffe5a9d676e7bfbf736800867377a3e0" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.034ex; height:2.843ex;"/>$ em forma de $(0, d)$ intervalo), no entanto não converge em $X$ — o seu «limite», número 0, não pertence ao espaço ${displaystyle X.}$

Outras propriedades

Cada sequência convergente (com limite) S, digamos) é uma sequência Cauchy, uma vez que, dada qualquer número real $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε >0,{displaystyle varepsilon >0,} 0," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d780d8dff4b26013c7d5d0efbc1acb92b60645b" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.991ex; height:2.509ex;"/>$ além de algum ponto fixo, cada termo da sequência está a uma distância ${displaystyle varepsilon /2}$ de S, então quaisquer dois termos da sequência estão à distância $varepsilon$ um do outro.
Em qualquer espaço métrico, uma sequência Cauchy $x_{n}$ é limitado (desde que alguns N, todos os termos da sequência da N-th onwards estão dentro da distância 1 um do outro, e se M é a maior distância entre $x_N$ e quaisquer termos até o N-th, então nenhum termo da sequência tem distância maior do que $M+1$ a partir de $x_N$ ).
Em qualquer espaço métrico, uma sequência Cauchy que tem uma subsequência convergente com limite S é em si convergente (com o mesmo limite), uma vez que, dada qualquer número real R > 0, além de algum ponto fixo na sequência original, cada termo da subsequência está a uma distância R/2 de S, e quaisquer dois termos da sequência original estão à distância R/2 um do outro, então cada termo da sequência original está à distância R de S.

Essas duas últimas propriedades, juntamente com o teorema de Bolzano-Weierstrass, fornecem uma prova padrão da completude dos números reais, intimamente relacionada ao teorema de Bolzano-Weierstrass e ao teorema de Heine-Borel. Toda sequência de Cauchy de números reais é limitada, portanto por Bolzano–Weierstrass tem uma subsequência convergente, portanto ela mesma é convergente. Esta prova da completude dos números reais faz uso implícito do axioma do menor limite superior. A abordagem alternativa, mencionada acima, de construir os números reais como a conclusão dos números racionais, torna a completude dos números reais tautológica.

Uma das ilustrações padrão da vantagem de ser capaz de trabalhar com seqüências Cauchy e fazer uso da plenitude é fornecida pela consideração da soma de uma série infinita de números reais (ou, mais geralmente, de elementos de qualquer espaço linear completo, ou espaço Banach). Tal série ${textstyle sum _{n=1}^{infty }x_{n}}$ é considerado convergente se e somente se a sequência de somas parciais $(s_{m})$ é convergente, onde ${textstyle s_{m}=sum _{n=1}^{m}x_{n}.}$ É um assunto de rotina para determinar se a sequência de somas parciais é Cauchy ou não, uma vez que para inteiros positivos $q,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">p>q,- Sim. q,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/644233cdc785d88038efd9d94b789e4693cb8cc3" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.074ex; height:2.176ex;"/>$

{displaystyle s_{p}-s_{q}=sum _{n=q+1}^{p}x_{n}.}

Se ${displaystyle f:Mto N}$ é um mapa uniformemente contínuo entre os espaços métricos M e N ex_n) é uma sequência Cauchy em M, então $(f(x_n))$ é uma sequência Cauchy em N. Se $(x_{n})$ e $(y_n)$ são duas sequências Cauchy nos números racionais, reais ou complexos, então a soma $(x_n + y_n)$ e o produto $(x_n y_n)$ são também sequências Cauchy.

Generalizações

Em espaços vetoriais topológicos

Há também um conceito de seqüência de Cauchy para um espaço vetorial topológico $X$ : Escolha uma base local $B$ para $X$ sobre 0; então ( $x_{k}$ ) é uma sequência Cauchy se for para cada membro ${displaystyle Vin B,}$ há algum número $N$ tal que sempre $N,x_{n}-x_{m}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n,m>N,xn- Sim. - Sim. xmNão. n,m>N,x_{n}-x_{m}}N,x_{n}-x_{m}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51b3fb3309a47103a69085173282c2fe70608571" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.058ex; height:2.509ex;"/>$ é um elemento de $V.$ Se a topologia de $X$ é compatível com uma métrica invariante de tradução $d,$ as duas definições concordam.

Em grupos topológicos

Uma vez que a definição de espaço vetorial topológico da seqüência de Cauchy requer apenas que haja uma operação contínua de "subtração", ela também pode ser declarada no contexto de um grupo topológico: Uma sequência $(x_k)$ em um grupo topológico $G$ é uma sequência Cauchy se para cada bairro aberto $U$ da identidade na $G$ existe algum número $N$ tal que sempre $N}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">m,n>NNão. N}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfa46859a96c4fc2561c5a9488980723c4673282" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.631ex; height:2.509ex;"/>$ segue: ${displaystyle x_{n}x_{m}^{-1}in U.}$ Como acima, é suficiente verificar isso para os bairros em qualquer base local da identidade em $G.$

Como na construção da conclusão de um espaço métrico, pode-se ainda definir a relação binária nas sequências de Cauchy $G$ que $(x_k)$ e $(y_k)$ são equivalentes se para cada bairro aberto $U$ da identidade na $G$ existe algum número $N$ tal que sempre $N}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">m,n>NNão. N}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfa46859a96c4fc2561c5a9488980723c4673282" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.631ex; height:2.509ex;"/>$ segue: ${displaystyle x_{n}y_{m}^{-1}in U.}$ Esta relação é uma relação de equivalência: É reflexivo desde que as sequências são seqüências Cauchy. É simétrico desde $y_n x_m^{-1} = (x_m y_n^{-1})^{-1} in U^{-1}$ que pela continuidade do inverso é outro bairro aberto da identidade. É transitivo desde $x_n z_l^{-1} = x_n y_m^{-1} y_m z_l^{-1} in U' U''$ Onde? $U'$ e $U''$ são bairros abertos da identidade de tal forma que $U'U'' subseteq U$ ; tais pares existem pela continuidade da operação do grupo.

Em grupos

Há também um conceito de seqüência de Cauchy em um grupo $G$ : Vamos. $H=(H_r)$ ser uma sequência decrescente de subgrupos normais de $G$ de índice finito. Então uma sequência $(x_{n})$ em $G$ é dito ser Cauchy (com respeito a $H$ ) se e somente se for $r$ há $N$ tal que para todos $N,x_{n}x_{m}^{-1}in H_{r}.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">m,n>N,xnxm- Sim. - Sim. 1∈ ∈ H. H. H.R.{displaystyle m,n>N,x_{n}x_{m}^{-1}in H_{r}.N,x_{n}x_{m}^{-1}in H_{r}.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bce3597f624538797f2ad3fdcabc8b63ec6dc54" style="vertical-align: -0.671ex; width:23.268ex; height:3.009ex;"/>$

Tecnicamente, esta é a mesma coisa que um grupo topológico Cauchy sequência para uma escolha particular de topologia em $G,$ — para os quais $H$ é uma base local.

O conjunto $C$ de tais sequências Cauchy forma um grupo (para o produto componente), e o conjunto $C_{0}$ de sequências nulas (sequências tais que $N,x_{n}in H_{r}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas R,Detalhe Detalhe N,Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas n>N,xn∈ ∈ H. H. H.R{displaystyle forall r,exists N, para todos n>N,x_{n}in H_{r}} N, x_n in H_r" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d20329b653981590395be4549a7d8de3d0bc562" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.942ex; height:2.509ex;"/>$ ) é um subgrupo normal de ${displaystyle C.}$ O grupo factor $C/C_0$ é chamado a conclusão de $G$ com respeito a $H.$

Pode-se então mostrar que esta conclusão é isomórfica ao limite inverso da sequência ${displaystyle (G/H_{r}).}$

Um exemplo desta construção familiar em teoria dos números e geometria algébrica é a construção da $p$ - conclusão adic dos inteiros em relação a um prime $p.$ Neste caso, $G$ é os inteiros sob adição, e $H_{r}$ é o subgrupo aditivo composto por múltiplos inteiros de ${displaystyle p_{r}.}$

Se $H$ é uma sequência de cofinal (ou seja, qualquer subgrupo normal de índice finito contém alguns $H_{r}$ ), então esta conclusão é canônica no sentido de que é isomorfo ao limite inverso de ${displaystyle (G/H)_{H},}$ Onde? $H$ varia muito Todos subgrupos normais de índice finito. Para mais detalhes, consulte Ch. I.10 na "Algebra" de Lang.

Em um continuum hiper-real

Uma sequência real ${displaystyle langle u_{n}:nin mathbb {N} rangle }$ tem uma extensão hiperreal natural, definida para valores hipernaturais H. H. H. do índice n além do habitual natural n. A sequência é Cauchy se e somente se para cada infinito H. H. H. e KK, os valores $u_H$ e $u_K$ são infinitamente próximos ou adequados, isto é,

{displaystyle mathrm {st} (u_{H}-u_{K})=0}

onde "st" é a função padrão da peça.

Cauchy conclusão de categorias

Krause (2020) introduziu uma noção de Cauchy conclusão de uma categoria. Aplicado a $mathbb {Q}$ (a categoria cujos objetos são números racionais, e há um morfismo de x para Sim. se e somente se $xleq y$ ), esta conclusão Cauchy produz ${displaystyle mathbb {R} cup left{infty right}}$ (novamente interpretado como uma categoria usando sua ordenação natural).

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