Representação do grupo

Uma representação de um grupo "aja" em um objeto. Um exemplo simples é como as simetrias de um polígono regular, consistindo de reflexões e rotações, transformam o polígono.

No campo matemático da teoria da representação, representações de grupo descrevem grupos abstratos em termos de transformações lineares bijetivas de um espaço vetorial para si mesmo (ou seja, automorfismos do espaço vetorial); em particular, eles podem ser usados para representar elementos de grupo como matrizes invertíveis, de modo que a operação de grupo possa ser representada pela multiplicação de matrizes.

Em química, uma representação de grupo pode relacionar elementos de grupos matemáticos a rotações simétricas e reflexões de moléculas.

As representações de grupos são importantes porque permitem que muitos problemas de teoria de grupos sejam reduzidos a problemas de álgebra linear, que é bem compreendido. Eles também são importantes na física porque, por exemplo, descrevem como o grupo de simetria de um sistema físico afeta as soluções de equações que descrevem esse sistema.

O termo representação de um grupo também é usado em um sentido mais geral para significar qualquer "descrição" de um grupo como um grupo de transformações de algum objeto matemático. Mais formalmente, uma "representação" significa um homomorfismo do grupo para o grupo de automorfismo de um objeto. Se o objeto for um espaço vetorial temos uma representação linear. Algumas pessoas usam realização para a noção geral e reservam o termo representação para o caso especial de representações lineares. A maior parte deste artigo descreve a teoria da representação linear; veja a última seção para generalizações.

Ramos da teoria da representação de grupo

A teoria da representação de grupos se divide em subteorias dependendo do tipo de grupo que está sendo representado. As várias teorias são bastante diferentes em detalhes, embora algumas definições e conceitos básicos sejam semelhantes. As divisões mais importantes são:

• Grupos de financiamento — As representações do grupo são uma ferramenta muito importante no estudo de grupos finitos. Eles também surgem nas aplicações da teoria do grupo finito à cristalografia e à geometria. Se o campo de escalares do espaço vetorial tem característica pe se p divide a ordem do grupo, então isso é chamado teoria de representação modular; este caso especial tem propriedades muito diferentes. Veja a teoria da representação de grupos finitos.
• Grupos compactos ou grupos localmente compactos — Muitos dos resultados da teoria da representação do grupo finito são provados pela média sobre o grupo. Essas provas podem ser transportadas para grupos infinitos por substituição da média com uma integral, desde que uma noção aceitável de integral possa ser definida. Isso pode ser feito para grupos localmente compactos, usando medida Haar. A teoria resultante é uma parte central da análise harmônica. A dualidade Pontryagin descreve a teoria dos grupos comutativos, como uma transformada de Fourier generalizada. Veja também: teorema de Peter–Weyl.
• Grupos de lei — Muito importante Grupos de mentira são compactos, então os resultados da teoria de representação compacta se aplicam a eles. Outras técnicas específicas para grupos de Lie também são usadas. A maioria dos grupos importantes na física e química são grupos de Lie, e sua teoria de representação é crucial para a aplicação da teoria do grupo nesses campos. Veja Representações de grupos de Lie e Representações de álgebras de Lie.
• Grupos algébricas lineares (ou mais geralmente esquemas de grupo afino) Estes são os análogos de grupos de Lie, mas sobre campos mais gerais do que apenas R ou C. Embora os grupos algébricas lineares tenham uma classificação muito semelhante à dos grupos de Lie, e dêem origem às mesmas famílias de álgebras de Lie, suas representações são bastante diferentes (e muito menos bem compreendidas). As técnicas analíticas usadas para estudar grupos de Lie devem ser substituídas por técnicas da geometria algébrica, onde a topologia Zariski relativamente fraca causa muitas complicações técnicas.
• Grupos topológicos não compactos — A classe de grupos não-compactos é muito ampla para construir qualquer teoria de representação geral, mas casos especiais específicos foram estudados, às vezes usando técnicas ad hoc. O sem ser humano Grupos de lei tem uma teoria profunda, construindo no caso compacto. O complementar solvável Os grupos de mentiras não podem ser classificados da mesma forma. A teoria geral dos grupos Lie lida com produtos semidiretos dos dois tipos, por meio de resultados gerais chamados Teoria de Mackey, que é uma generalização dos métodos de classificação de Wigner.

A teoria da representação também depende fortemente do tipo de espaço vetorial no qual o grupo atua. Distingue-se entre representações de dimensão finita e representações de dimensão infinita. No caso de dimensão infinita, estruturas adicionais são importantes (por exemplo, se o espaço é ou não um espaço de Hilbert, espaço de Banach, etc.).

Deve-se considerar também o tipo de corpo sobre o qual o espaço vetorial é definido. O caso mais importante é o corpo dos números complexos. Os outros casos importantes são o corpo de números reais, corpos finitos e corpos de números p-ádicos. Em geral, os campos algebricamente fechados são mais fáceis de manipular do que os não algebricamente fechados. A característica do campo também é significativa; muitos teoremas para grupos finitos dependem da característica do corpo não dividir a ordem do grupo.

Definições

Uma representação de um grupo G em um espaço vetorial V sobre um corpo K é um homomorfismo de grupo de G a GL(V), o grupo linear geral em V. Ou seja, uma representação é um mapa

? ? :: G→ → GL(V){displaystyle rho colon Gto mathrm {GL} left(Vright)}

tal que

? ? (g1g2)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =? ? (g1)? ? (g2),para todosg1,g2∈ ∈ G.{displaystyle rho (g_{1}g_{2})=rho (g_{1})rho (g_{2}),qquad {text{para todos }}g_{1},g_{2}in G.

Aqui V é chamado de espaço de representação e a dimensão de V é chamada de dimensão da representação. É prática comum referir-se ao próprio V como a representação quando o homomorfismo está claro no contexto.

No caso em que V é de dimensão finita n é comum escolher uma base para V e identificar GL( V) com GL(n, K), o grupo de n-por-n matrizes invertíveis no campo K.

• Se G é um grupo topológico e V é um espaço vetorial topológico, um representação contínua de G sobre V é uma representação ? tal que a aplicação Φ: G × V → V definido por Φ(g, v) = ?(g)v) é contínuo.
• O kernel de uma representação ? de um grupo G é definido como o subgrupo normal de G cuja imagem sob ? é a transformação da identidade:

ker⁡ ⁡ ? ? = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(g∈ ∈ G∣ ∣ ? ? (g)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Eu...D?.{displaystyle ker rho =left{gin Gmid rho (g)=mathrm {id} right}.}

Uma representação fiel é uma em que o homomorfismo G → GL(V) é injetivo; em outras palavras, um cujo kernel é o subgrupo trivial {e} consistindo apenas do elemento de identidade do grupo.

• Dois KK espaços vetoriais V e W, duas representações ?: G → GL(V) e D: G → GL(W) são ditos para ser equivalente ou isomorfo se existe um isomorfismo de espaço vetorial α: V → W para todos g em G,

α α ∘ ∘ ? ? (g)∘ ∘ α α - Sim. - Sim. 1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =D D (g).{displaystyle alpha circ rho (g)circ alpha ^{-1}=pi (g).}

Exemplos

Considere o número complexo u =^{2πi / 3} que tem a propriedade u³ = 1. O conjunto C₃, u, u²} forma um grupo cíclico sob multiplicação. Este grupo tem uma representação C2{displaystyle mathbb {C} ^{2}} por:

? ? (1)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Não.1001]? ? (u)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Não.100u]? ? (u2)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Não.100u2].{displaystyle rho left(1right)={begin{bmatrix}1&0&1\end{bmatrix}}qquad rho left(uright)={begin{bmatrix}1&0&u\end{bmatrix}}qtrix rho left(u^{2}right)={begin{matrix

Esta representação é fiel porque ρ é um mapa um-para-um.

Outra representação para C₃ sobre C2{displaystyle mathbb {C} ^{2}}, isomorfo para o anterior, é σ dado por:

σ σ (1)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Não.1001]σ σ (u)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Não.u001]σ σ (u2)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Não.u2001].{displaystyle sigma left(1right)={begin{bmatrix}1&0&1\end{bmatrix}}qquad sigma left(uright)={begin{bmatrix}u&0&1\end{bmatrix}}qtrix sigma left(u^{2}right)={begin{matrix

O grupo C₃ também pode ser fielmente representado R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}} por τ dada por:

? ? (1)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Não.1001]? ? (u)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Não.um- Sim. - Sim. b)b)um]? ? (u2)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Não.umb)- Sim. - Sim. b)um]{displaystyle tau left(1right)={begin{bmatrix}1&0&1\end{bmatrix}}qquad tau left(uright)={begin{bmatrix}a&-bb&a\end{bmatrix}}qquad tau left(u^{2}right)={begin{bmatrix}a&b-b&a\\end{bmatrix}}}

onde

um= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Repito(u)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. 12,b)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Eu...(u)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =32.{displaystyle a={text{Re}}(u)=-{tfrac {1}{2}},qquad b={text{Im}}(u)={tfrac Sim. {3}}{2}}.}

Outro exemplo:

Vamos. VNão. ser o espaço de polinômios grau-3 homogêneo sobre os números complexos em variáveis x1,x2,x3.Não. x_{1},x_{2},x_{3}.}

Então... S3Não. S_{3}} actos VNão. por permutação das três variáveis.

Por exemplo, (12)- Sim. envios x13Não. x_{1}^{3}} para x23Não. x_{2}^{3}}.

Redutibilidade

Um subespaço W de V que é invariante sob a ação do grupo é chamado de sub-representação. Se V tem exatamente duas sub-representações, ou seja, o subespaço de dimensão zero e o próprio V, então a representação é dita ser irredutível; se tiver uma sub-representação própria de dimensão diferente de zero, diz-se que a representação é redutível. A representação da dimensão zero é considerada nem redutível nem irredutível, assim como o número 1 não é considerado nem composto nem primo.

Sob a suposição de que a característica do corpo K não divide o tamanho do grupo, as representações de grupos finitos podem ser decompostas em uma soma direta de sub-representações irredutíveis (ver Maschke's teorema). Isso vale em particular para qualquer representação de um grupo finito sobre os números complexos, pois a característica dos números complexos é zero, que nunca divide o tamanho de um grupo.

No exemplo acima, as duas primeiras representações dadas (ρ e σ) são decomponíveis em duas sub-representações unidimensionais (dadas por span{(1,0)} e span{(0,1)}), enquanto a terceira representação (τ) é irredutível.

Generalizações

Representações teóricas de conjuntos

Uma representação teórica de conjuntos (também conhecida como ação de grupo ou representação de permutação) de um grupo G em um conjunto X é dado por uma função ρ: G → X^X, o conjunto de funções de X a X, de modo que para todo g₁, g ₂ em G e todos os x em X:

? ? (1)Não.x]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x[x]=x}

? ? (g1g2)Não.x]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =? ? (g1)Não.? ? (g2)Não.x]],(g_{1}g_{2})[x]=rho (g_{1})[rho (g_{2})[x],}

Onde? 1Não. 1 é o elemento de identidade G. Esta condição e os axiomas de um grupo implicam que ρ(g) é uma bijeção (ou permutação) para todos g em G. Assim, podemos definir equivalentemente uma representação de permutação para ser um grupo homomorfismo de G para o grupo simétrico S_X de X.

Para mais informações sobre este tópico, consulte o artigo sobre ação em grupo.

Representações em outras categorias

Cada grupo G pode ser visto como uma categoria com um único objeto; morfismos nesta categoria são apenas os elementos de G. Dada uma categoria arbitrária C, uma representação de G em C é um functor de G para C. Tal functor seleciona um objeto X em C e um homomorfismo de grupo de G a Aut(X), o grupo de automorfismo de X.

No caso em que C é Vect_K, a categoria de espaços vetoriais sobre um campo K, esta definição é equivalente a uma representação linear. Da mesma forma, uma representação teórica de conjuntos é apenas uma representação de G na categoria de conjuntos.

Quando C é Ab, a categoria dos grupos abelianos, os objetos obtidos são chamados de G-módulos.

Para outro exemplo, considere a categoria de espaços topológicos, Top. As representações em Top são homomorfismos de G ao grupo de homeomorfismos de um espaço topológico X.

Dois tipos de representações intimamente relacionadas com as representações lineares são:

• representações projetivas: na categoria de espaços projetivos. Estes podem ser descritos como "representações lineares até transformações escalares".
• representações affine: na categoria de espaços affine. Por exemplo, o grupo euclidiano atua afinamente sobre o espaço euclidiano.