Relação finita

Em matemática, uma relação finitária sobre conjuntos X₁,..., X_n é um subconjunto do produto cartesiano X ₁ × ⋯ × X_n; ou seja, é um conjunto de n-tuplas (x₁,..., x_n) consistindo de elementos x_i em X_i. Normalmente, a relação descreve uma possível conexão entre os elementos de uma n-tupla. Por exemplo, a relação "x é divisível por y e z" consiste no conjunto de 3-tuplas tais que, quando substituídas em x, y e z, respectivamente, tornam a sentença verdadeira.

O inteiro não negativo n que fornece o número de "casas" na relação é chamada de aridade, adicidade ou grau da relação. Uma relação com n "lugares" é chamada de uma relação n-ária, uma relação n-ádica ou uma relação de grau n. Relações com um número finito de lugares são chamadas de relações finitárias (ou simplesmente relações se o contexto for claro). Também é possível generalizar o conceito para relações infinitas com sequências infinitas.

Uma relação n-ária sobre conjuntos X₁,..., X _n é um elemento do conjunto de poder de X ₁ × ⋯ × X_n.

Relações 0-árias contam apenas dois membros: aquele que sempre é válido e o que nunca é válido. Isso ocorre porque existe apenas uma tupla 0, a tupla vazia (). Às vezes, eles são úteis para construir o caso base de um argumento de indução.

Relações unárias podem ser vistas como uma coleção de membros (como a coleção de laureados com o Nobel) tendo alguma propriedade (como a de ter recebido o prêmio Nobel).

Relações binárias são a forma mais comumente estudada de relações finitárias. Quando X₁ = X₂ é chamada de relação homogênea, por exemplo:

• Igualdade e desigualdade, denotado por sinais como = e < em declarações como "5 < 12", ou
• Divisibilidade, denotada pelo signo | em declarações como "13|143".

Caso contrário é uma relação heterogênea, por exemplo:

• Definir associação, denotado pelo signo ∈ em declarações como "1 ∈ N".

Exemplo

Considere a relação ternária R "x pensa que y gosta de z" sobre o conjunto de pessoas P = {Alice, Bob, Charles, Denise}, definido por:

R = {(Alice, Bob, Denise), (Charles, Alice, Bob), (Charles, Charles, Alice), (Denise, Denise, Denise)}

R pode ser representado de forma equivalente pela seguinte tabela:

Aqui, cada linha representa um triplo de R, ou seja, faz uma declaração da forma "x pensa que y gosta de z". Por exemplo, a primeira linha afirma que "Alice acha que Bob gosta de Denise". Todas as linhas são distintas. A ordem das linhas é insignificante, mas a ordem das colunas é significativa.

A tabela acima também é um exemplo simples de um banco de dados relacional, um campo com teoria enraizada na álgebra relacional e aplicações em gerenciamento de dados. Cientistas da computação, lógicos e matemáticos, no entanto, tendem a ter concepções diferentes do que é uma relação geral e do que ela consiste. Por exemplo, os bancos de dados são projetados para lidar com dados empíricos, que são por definição finitos, enquanto na matemática também são consideradas relações com aridade infinita (ou seja, relação infinita).

Definições

Quando dois objetos, qualidades, classes ou atributos, vistos juntos pela mente, são vistos sob alguma conexão, essa conexão é chamada de relação.

—Augusto De Morgan

A primeira definição de relações encontradas na matemática é:

Definição 1

Um n- Sim. relação R sobre conjuntos X₁, X_n é um subconjunto do produto cartesiano X₁ × X_n.

A segunda definição de relações faz uso de uma expressão comum em matemática, estipulando que "tal e tal é uma n-tupla" para garantir que tal e tal objeto matemático seja determinado pela especificação de objetos matemáticos com n elementos. No caso de uma relação R sobre n conjuntos, existem n + 1 coisas para especificar, ou seja, os conjuntos n mais um subconjunto de seu produto cartesiano. No idioma, isso é expresso dizendo que R é uma (n + 1)-tupla.

Definição 2

Um n- Sim. relação R sobre conjuntos X₁, X_n é um (n + 1) (X₁, X_n, G) Onde? G é um subconjunto do produto cartesiano X₁ × X_n chamado de gráfico de R.

Como regra, qualquer definição que melhor se ajuste à aplicação em questão será escolhida para esse propósito, e se for necessário distinguir entre as duas definições, então uma entidade que satisfaça a segunda definição pode ser chamada de incorporada ou relação incluída.

Ambas as declarações (x₁, ⋯, x_n) ∈ R (sob a primeira definição) e (x₁, ⋯, x_n) ∈ G (sob a segunda definição) leia & #34;x₁, ⋯, x_n são R -relacionado" e são indicados usando a notação de prefixo por Rx₁⋯x_n e usando a notação pós-fixada por x₁⋯x _nR. No caso em que R é uma relação binária, essas instruções também são indicadas usando a notação infixa por x₁ Rx₂.

As seguintes considerações se aplicam a qualquer definição:

• O conjunto X_Eu... é chamado de Eu...O quê? domínio de R. Sob a primeira definição, a relação não determina unicamente uma dada sequência de domínios. No caso em que R é uma relação binária, X₁ também é chamado simplesmente o domínio ou conjunto de partida de Re X₂ é também chamado de codomínio ou conjunto de destino de R.
• Quando os elementos de X_Eu... são relações, X_Eu... é chamado de domínio nonsimplente de R.
• O conjunto de Gerenciamento de contasx_Eu... ∈ X_Eu... para o qual existe (x₁, x_{Eu... - 1}, x_{Eu... + 1}, x_n) ∈ X₁ × X_{Eu... - 1} × X_{Eu... + 1} × X_n tal que Rx₁⋯x_{Eu... - 1}x_Eu...x_{Eu... + 1}⋯x_n é chamado de Eu...O quê? domínio da definição ou domínio ativo de R. No caso em que R é uma relação binária, seu primeiro domínio de definição também é chamado simplesmente de domínio de definição ou domínio ativo de R, e seu segundo domínio de definição também é chamado de codomínio de definição ou codomínio ativo de R.
• Quando o Eu...domínio da definição de R é igual a X_Eu..., R é dito para ser total sobre X_Eu.... No caso em que R é uma relação binária, quando R é total em X₁, também é dito ser de esquerda-total ou seriale quando R é total em X₂, também é dito que é direito ou total sobrejectivo.
• Quando Gerenciamento de contasx Gerenciamento de contasSim. ∈ X_Eu.... Gerenciamento de contaszangão. ∈ X_JJ. xR_ijzangão. ∧ Sim. R_ijzangão. ⇒ x = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Sim., onde Eu... ∈ Eu..., JJ ∈ JJ, R_ij = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = D_ij Re (Eu..., JJ? é uma partição de (1,... n?, R é dito para ser único sobre (X_Eu...?_{Eu... ∈ Eu...}e (X_Eu...?_{Eu... ∈ JJ} é chamado uma chave primária de R. No caso em que R é uma relação binária, quando R é único em {X₁}, também é dito ser esquerda-unique ou injecçãoe quando R é único em {X₂}, também é dito ser direito-unique ou funcional.
• Quando tudo X_Eu... são o mesmo conjunto X, é mais simples referir-se a R como um n- relação de trabalho X, chamado de relação homogênea. Caso contrário, R é chamado de relação heterogênea.
• Quando algum de X_Eu... é vazio, o produto cartesiano definidor está vazio, e a única relação sobre tal sequência de domínios é a relação vazia R - Sim.. Por isso, é comumente estipulado que todos os domínios são inúteis.

Seja um domínio booleano B um conjunto de dois elementos, digamos, B = {0, 1}, cujos elementos podem ser interpretados como valores lógicos, normalmente 0 = false e 1 = true. A função característica de R, denotada por χ_R, é a função de valor booleano χ _R: X₁ × ⋯ × X_n → B, definido por χ_R((x₁, ⋯, x_n)) = 1 se Rx₁⋯x_n e χ_R(( x₁, ⋯, x_n)) = 0 caso contrário.

Em matemática aplicada, ciência da computação e estatística, é comum referir-se a uma função de valor booleano como um predicado n-ário. Do ponto de vista mais abstrato da lógica formal e da teoria dos modelos, a relação R constitui um modelo lógico ou uma estrutura relacional, que serve como uma das muitas interpretações possíveis de algum símbolo de predicado n-ário.

Como as relações surgem em muitas disciplinas científicas, bem como em muitos ramos da matemática e da lógica, há uma variação considerável na terminologia. Além da extensão da teoria dos conjuntos de um conceito ou termo relacional, o termo "relação" também pode ser usado para se referir à entidade lógica correspondente, seja a compreensão lógica, que é a totalidade das intenções ou propriedades abstratas compartilhadas por todos os elementos na relação, ou então os símbolos que denotam esses elementos e intenções. Além disso, alguns escritores da última persuasão introduzem termos com conotações mais concretas (como "estrutura relacional" para a extensão da teoria de conjuntos de um determinado conceito relacional).

História

O lógico Augustus De Morgan, em obra publicada por volta de 1860, foi o primeiro a articular a noção de relação em algo próximo ao seu sentido atual. Ele também declarou os primeiros resultados formais na teoria das relações (sobre De Morgan e as relações, ver Merrill 1990).

Charles Peirce, Gottlob Frege, Georg Cantor, Richard Dedekind e outros avançaram a teoria das relações. Muitas de suas ideias, especialmente sobre relações chamadas ordens, foram resumidas em Os Princípios da Matemática (1903), onde Bertrand Russell fez uso livre desses resultados.

Em 1970, Edgar Codd propôs um modelo relacional para bancos de dados, antecipando assim o desenvolvimento de sistemas de gerenciamento de banco de dados.