Relação antisimétrica

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A relação binária tal que se A está relacionada com B e é diferente dele, então B não está relacionado com A

Em matemática, uma relação binária RNão. R. em um conjunto X- Sim. o anti-simétrico se não houver par de distinta elementos de X- Sim. cada um dos quais está relacionado por RNão. R. para o outro. Mais formalmente, RNão. R. é antissimétrico precisamente se para todos um,b)∈ ∈ X,- Sim.

seumRb)comum≠ ≠ b)entãob)Rumnão deve segurar,{displaystyle {text{if }},aRb,{text{ with }},aneq b,{text{ then }},bRa,{text{ must not hold}},}
seumRb)eb)Rumentãoum= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =b).{displaystyle {text{if }},aRb,{text{ e }},bRa,{text{ então }},a=b.}
umRum- Sim.umNão.RNão. R.X- Sim.umRum- Sim.um∈ ∈ X- Sim.umRum- Sim.um∈ ∈ X- Sim.

Exemplos

A relação de divisibilidade sobre os números naturais é um exemplo importante de uma relação antissimétrica. Neste contexto, a antisimetria significa que a única maneira de cada um de dois números pode ser divisível pelo outro é se os dois são, de fato, o mesmo número; equivalente, se nNão. e mNão. são distintos e nNão. é um fator de m,- Sim. então mNão. não pode ser um fator de n.Não. Por exemplo, 12 é divisível por 4, mas 4 não é divisível por 12.

A relação de ordem habitual ≤ ≤ {displaystyle ,leq ,} nos números reais é antissimétrico: se para dois números reais xNão. e Sim.- Sim. ambas as desigualdades x≤ ≤ Sim.- Sim. e Sim.≤ ≤ x- Sim. Espere, então xNão. e Sim.- Sim. deve ser igual. Da mesma forma, a ordem de subconjunto ⊆ ⊆ {displaystyle ,subseteq ,} nos subconjuntos de qualquer conjunto dado é antissimétrico: dado dois conjuntos ANão. A. e B,Não. B, se cada elemento dentro ANão. A. também está em BNão. e cada elemento em BNão. também A,Não. A, então ANão. A. e BNão. deve conter todos os mesmos elementos e, portanto, ser igual:

A⊆ ⊆ BeB⊆ ⊆ AimplicaA= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =BNão. Asubseteq B{text{ e }}Bsubseteq A{text{ implica }}A=B}

Propriedades

Relações simétricas e antisimétricas

Ordens parciais e totais são antissimétricas por definição. Uma relação pode ser simétrica e antisimétrica (neste caso, deve ser coreflexiva), e existem relações que não são nem simétricas nem antisimétricas (por exemplo, a relação "preda" sobre espécies biológicas).

A antisimetria é diferente da assimetria: uma relação é assimétrica se e somente se for antisimétrica e irreflexiva.

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