A relação binária tal que se A está relacionada com B e é diferente dele, então B não está relacionado com A
Relações binárias transitivas |
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| Symmetric | Antisymmetric | Conectado | Bem fundada | Tem uniões | Tem encontros | Reflexão | Irreflexível | Assimétrico | | | | Total, Semiconnex | | | | | Anti- reflexivo | | Relação de equivalência | Y | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | Y | ✗ | ✗ | Pré-ordem (Quasiorder) | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | Y | ✗ | ✗ | Ordem parcial | ✗ | Y | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | Y | ✗ | ✗ | Entidade total | ✗ | ✗ | Y | ✗ | ✗ | ✗ | Y | ✗ | ✗ | Ordem total | ✗ | Y | Y | ✗ | ✗ | ✗ | Y | ✗ | ✗ | Pré-encomendamento | ✗ | ✗ | Y | Y | ✗ | ✗ | Y | ✗ | ✗ | Ordenamento bem-quasi | ✗ | ✗ | ✗ | Y | ✗ | ✗ | Y | ✗ | ✗ | Bem-ordenado | ✗ | Y | Y | Y | ✗ | ✗ | Y | ✗ | ✗ | Lattice | ✗ | Y | ✗ | ✗ | Y | Y | Y | ✗ | ✗ | Selecção | ✗ | Y | ✗ | ✗ | Y | ✗ | Y | ✗ | ✗ | Meet-semilattice | ✗ | Y | ✗ | ✗ | ✗ | Y | Y | ✗ | ✗ | Ordem parcial rigorosa | ✗ | Y | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | Y | Y | Ordem fraca rigorosa | ✗ | Y | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | Y | Y | Ordem total rigorosa | ✗ | Y | Y | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | Y | Y | | Symmetric | Antisymmetric | Conectado | Bem fundada | Tem uniões | Tem encontros | Reflexão | Irreflexível | Assimétrico | Definições, para todos um,b)Não. e S≠ ≠ ∅ ∅ :Não. Sneq varnothing:}![{displaystyle Sneq varnothing:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a538fab804c9428c4f7d4ca3ed214a97483c4260) | umRb)⇒ ⇒ b)Rum{displaystyle {begin{aligned}&aRb\\Rightarrow {}&bRaend{aligned}}}![{displaystyle {begin{aligned}&aRb\Rightarrow {}&bRaend{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a18cac1ed3115c87d45b4d751de57124233a6e00) | umRb)eb)Rum⇒ ⇒ um= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =b){displaystyle {begin{aligned}aRb{text{ and }}&bRa\Rightarrow a={}&bend{aligned}}}![{displaystyle {begin{aligned}aRb{text{ and }}&bRa\Rightarrow a={}&bend{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9cc3f46e9f0b647ce6771396a975ef8d364674d) | um≠ ≠ b)⇒ ⇒ umRb)oub)Rum{displaystyle {begin{aligned}aneq {}&bRightarrow \aRb{text{ or }}&bRaend{aligned}}}}}![{displaystyle {begin{aligned}aneq {}&bRightarrow \aRb{text{ or }}&bRaend{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c73cadd7ab7bf3b5257f5c505c756ec098902f3) | minSexiste{displaystyle {begin{aligned}min} S\{text{exists}}end{aligned}}}![{displaystyle {begin{aligned}min S\{text{exists}}end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ec5a418cceeb68b9945ca75d31604719db4660) | um∨ ∨ b)existe{displaystyle {begin{aligned}avee b\{text{exists}}end{aligned}}}![{displaystyle {begin{aligned}avee b\{text{exists}}end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3386379a9406067b50b99e12241e9d7fab3369b) | um∧ ∧ b)existe{displaystyle {begin{aligned}awedge b\{text{exists}}end{aligned}}}![{displaystyle {begin{aligned}awedge b\{text{exists}}end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abff244e064dd72fd16781277ad3440b35bd767d) | umRum- Sim.![{displaystyle aRa}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba7fc1d9d50c65105d5edcb3478b5ca4172c54d6) | nãoumRum{displaystyle {text{not }}a Ra.![{displaystyle {text{not }}aRa}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8263f0c706367e5306eae1b9353034024639da23) | umRb)⇒ ⇒ nãob)Rum- Sim. Direita \{text{not }}b Raend{aligned}}}![{displaystyle {begin{aligned}aRbRightarrow \{text{not }}bRaend{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1aec245f8776556d3ad3fcdc18d4ba61929eccb) |
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Y indica que a propriedade da coluna é sempre verdadeira o termo da linha (à esquerda), enquanto ✗ indica que a propriedade não é garantida em geral (pode, ou não, segure). Por exemplo, que cada relação de equivalência é simétrica, mas não necessariamente antissimétrica, é indicada por Y na coluna "Simétrica" e ✗ na coluna "Antisymmetric", respectivamente.
Todas as definições requerem tacitamente a relação homogênea RNão. R. ser transitivo: para todos um,b),c,- Sim. se umRb)Não. ARB e b)Rc- Sim. então umRc.Não. A definição de um termo pode exigir propriedades adicionais que não estão listadas nesta tabela.
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Em matemática, uma relação binária RNão. R.
em um conjunto X- Sim.
o anti-simétrico se não houver par de distinta elementos de X- Sim.
cada um dos quais está relacionado por RNão. R.
para o outro. Mais formalmente, RNão. R.
é antissimétrico precisamente se para todos um,b)∈ ∈ X,- Sim.![{displaystyle a,bin X,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b511d83a7e02a312e4d88755e8929fca8f8b6f)
seumRb)comum≠ ≠ b)entãob)Rumnão deve segurar,{displaystyle {text{if }},aRb,{text{ with }},aneq b,{text{ then }},bRa,{text{ must not hold}},}
![{displaystyle {text{if }},aRb,{text{ with }},aneq b,{text{ then }},bRa,{text{ must not hold}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd1559e359a02ecc2cb38d68725c3d222ef10a7)
seumRb)eb)Rumentãoum= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =b).{displaystyle {text{if }},aRb,{text{ e }},bRa,{text{ então }},a=b.}
![{displaystyle {text{if }},aRb,{text{ and }},bRa,{text{ then }},a=b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0be31d20db3e211b0528210403e86049a9a30b46)
umRum- Sim.
umNão.
RNão. R.
X- Sim.
umRum- Sim.
um∈ ∈ X- Sim.
umRum- Sim.
um∈ ∈ X- Sim.![ain X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6201478b1190a333ea731849684429a697638dc)
Exemplos
A relação de divisibilidade sobre os números naturais é um exemplo importante de uma relação antissimétrica. Neste contexto, a antisimetria significa que a única maneira de cada um de dois números pode ser divisível pelo outro é se os dois são, de fato, o mesmo número; equivalente, se nNão.
e mNão.
são distintos e nNão.
é um fator de m,- Sim.
então mNão.
não pode ser um fator de n.Não.
Por exemplo, 12 é divisível por 4, mas 4 não é divisível por 12.
A relação de ordem habitual ≤ ≤ {displaystyle ,leq ,}
nos números reais é antissimétrico: se para dois números reais xNão.
e Sim.- Sim.
ambas as desigualdades x≤ ≤ Sim.- Sim.
e Sim.≤ ≤ x- Sim.
Espere, então xNão.
e Sim.- Sim.
deve ser igual. Da mesma forma, a ordem de subconjunto ⊆ ⊆ {displaystyle ,subseteq ,}
nos subconjuntos de qualquer conjunto dado é antissimétrico: dado dois conjuntos ANão. A.
e B,Não. B,
se cada elemento dentro ANão. A.
também está em BNão.
e cada elemento em BNão.
também A,Não. A,
então ANão. A.
e BNão.
deve conter todos os mesmos elementos e, portanto, ser igual:
A⊆ ⊆ BeB⊆ ⊆ AimplicaA= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =BNão. Asubseteq B{text{ e }}Bsubseteq A{text{ implica }}A=B}
![{displaystyle Asubseteq B{text{ and }}Bsubseteq A{text{ implies }}A=B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b828704216dfef2ce3edb425373ba0b7ecd31ae)
Propriedades
Relações simétricas e antisimétricas
Ordens parciais e totais são antissimétricas por definição. Uma relação pode ser simétrica e antisimétrica (neste caso, deve ser coreflexiva), e existem relações que não são nem simétricas nem antisimétricas (por exemplo, a relação "preda" sobre espécies biológicas).
A antisimetria é diferente da assimetria: uma relação é assimétrica se e somente se for antisimétrica e irreflexiva.