Quase tudo

Em matemática, o termo "quase tudo" significa "tudo menos uma quantidade insignificante". Mais precisamente, se $- Sim.$ é um conjunto, "quase todos os elementos de $- Sim.$" significa "todos os elementos de $- Sim.$ mas aqueles em um subconjunto negligível de $- Sim.$". O significado de "negível" depende do contexto matemático; por exemplo, pode significar finito, contável ou nulo.

Em contraste, "quase não" significa "uma quantidade insignificante"; isto é, "quase não há elementos de $- Sim.$" significa "uma quantidade insignificante de elementos de $- Sim.$".

Significados em diferentes áreas da matemática

Significado predominante

Ao longo da matemática, "quase todos" às vezes é usado para significar "todos (elementos de um conjunto infinito), mas muitos finitos". Esse uso também ocorre na filosofia. Da mesma forma, "quase todos" pode significar "todos (elementos de um conjunto incontável), mas muitos contáveis".

Exemplos:

• Quase todos os inteiros positivos são maiores que 10¹².
• Quase todos os números primos são odd (2 é a única exceção).
• Quase todos os poliedros são irregulares (como há apenas nove exceções: os cinco sólidos platônicos e os quatro poliedros de Kepler-Poinsot).
• Se P é um polinômio nonzero, então P(x) ≠ 0 para quase todos x (se não tudo) x).

Significado na teoria da medida

A função Cantor como uma função que tem zero derivado quase em todos os lugares

Quando se fala dos reais, às vezes "quase todos" pode significar "todos os reais, exceto um conjunto nulo". Da mesma forma, se S for algum conjunto de reais, "quase todos os números em S" pode significar "todos os números em S, exceto aqueles em um conjunto nulo". A linha real pode ser pensada como um espaço euclidiano unidimensional. No caso mais geral de um espaço n-dimensional (onde n é um número inteiro positivo), essas definições podem ser generalizadas para "todos os pontos, exceto aqueles em um conjunto nulo" ou "todos os pontos em S, exceto aqueles em um conjunto nulo" (desta vez, S é um conjunto de pontos no espaço). Ainda mais geralmente, "quase todos" às vezes é usado no sentido de "quase em todos os lugares" na teoria da medida, ou no sentido intimamente relacionado de "quase certamente" na teoria da probabilidade.

Exemplos:

• Em um espaço de medida, como a linha real, conjuntos contáveis são nulos. O conjunto de números racionais é contável, então quase todos os números reais são irracionais.
• O primeiro artigo da teoria dos conjuntos de Georg Cantor provou que o conjunto de números algébricas também é contável, então quase todos os reais são transcendentais.
• Quase todos os reais são normais.
• O conjunto Cantor também é nulo. Assim, quase todos os reais não estão nele mesmo que seja incontável.
• O derivado da função Cantor é 0 para quase todos os números no intervalo da unidade. Ele segue do exemplo anterior porque a função Cantor é localmente constante, e assim tem derivado 0 fora do conjunto Cantor.

Significado na teoria dos números

Na teoria dos números, "quase todos os inteiros positivos" pode significar "os inteiros positivos em um conjunto cuja densidade natural é 1". Ou seja, se A for um conjunto de inteiros positivos e se a proporção de inteiros positivos em A abaixo de n (de todos os inteiros positivos abaixo de n) tende para 1 enquanto n tende para infinito, então quase todos os inteiros positivos estão em A.

De forma mais geral, seja S um conjunto infinito de inteiros positivos, como o conjunto de números pares positivos ou o conjunto de primos, se A for um subconjunto de S, e se a proporção de elementos de S abaixo de n que estão em A (de todos os elementos de S abaixo de n) tende para 1 enquanto n tende para o infinito, então pode-se dizer que quase todos os elementos de S estão em A.

Exemplos:

• A densidade natural de conjuntos cofinitos de inteiros positivos é 1, portanto cada um deles contém quase todos os inteiros positivos.
• Quase todos os inteiros positivos são compostos.
• Quase todos os números ainda positivos podem ser expressos como a soma de dois primos.
• Quase todos os primos estão isolados. Além disso, para cada inteiro positivo g, quase todos os primos têm lacunas principais de mais do que g tanto para a esquerda como para a direita; isto é, não há outro primo entre p - Sim. g e p + g.

Significado na teoria dos grafos

Na teoria dos grafos, se A é um conjunto de grafos (rotulados finitos), pode-se dizer que contém quase todos os grafos, se a proporção de grafos com n vértices que estão em A tende a 1 enquanto n tende a infinito. No entanto, às vezes é mais fácil trabalhar com probabilidades, então a definição é reformulada da seguinte forma. A proporção de grafos com n vértices que estão em A é igual à probabilidade de que um grafo aleatório com n vértices (escolhido com a distribuição uniforme) seja em A, e escolher um grafo dessa forma tem o mesmo resultado que gerar um grafo lançando uma moeda para cada par de vértices para decidir se eles devem ser conectados. Portanto, de forma equivalente à definição anterior, o conjunto A contém quase todos os grafos se a probabilidade de um grafo gerado por cara ou coroa com n vértices for em A tende a 1 enquanto n tende a infinito. Às vezes, a última definição é modificada para que o grafo seja escolhido aleatoriamente de alguma outra forma, onde nem todos os grafos com n vértices têm a mesma probabilidade, e essas definições modificadas nem sempre são equivalentes à principal.

O uso do termo "quase todos" na teoria dos grafos não é padrão; o termo "assintoticamente quase certamente" é mais comumente usado para este conceito.

Exemplo:

• Quase todos os gráficos são assimétricos.
• Quase todos os gráficos têm diâmetro 2.

Significado na topologia

Na topologia e especialmente na teoria dos sistemas dinâmicos (incluindo aplicações em economia), "quase todos" dos pontos de um espaço topológico pode significar "todos os pontos do espaço, exceto aqueles em um conjunto escasso". Alguns usam uma definição mais limitada, onde um subconjunto só contém quase todos os pontos do espaço se contiver algum conjunto denso aberto.

Exemplo:

• Dada uma variedade algébrica irredutível, as propriedades que mantêm por quase todos os pontos da variedade são exatamente as propriedades genéricas. Isto é devido ao fato de que em uma variedade algébrica irredutível equipada com a topologia de Zariski, todos os conjuntos abertos vazios são densos.

Significado em álgebra

Em álgebra abstrata e lógica matemática, se U é um ultrafiltro em um conjunto X, "quase todos os elementos de X " às vezes significa "os elementos de algum elemento de U". Para qualquer partição de X em dois conjuntos disjuntos, um deles conterá necessariamente quase todos os elementos de X. É possível pensar nos elementos de um filtro em X como contendo quase todos os elementos de X, mesmo que não seja um ultrafiltro.

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