Produto direto

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Generalização do produto cartesiano

Em matemática, muitas vezes pode-se definir um produto direto de objetos já conhecidos, dando um novo. Isso generaliza o produto cartesiano dos conjuntos subjacentes, juntamente com uma estrutura adequadamente definida no conjunto de produtos. Mais abstratamente, fala-se do produto na teoria das categorias, que formaliza essas noções.

Os exemplos são o produto de conjuntos, grupos (descritos abaixo), anéis e outras estruturas algébricas. O produto de espaços topológicos é outro exemplo.

Também existe a soma direta – em algumas áreas isso é usado de forma intercambiável, enquanto em outras é um conceito diferente.

Exemplos

Se pensarmos em $mathbb {R}$ como o conjunto de números reais, em seguida, o produto direto ${displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} }$ é apenas o produto cartesiano ${displaystyle {(x,y):x,yin mathbb {R} }.}$
Se pensarmos em $mathbb {R}$ como o grupo de números reais sob adição, então o produto direto ${displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} }$ ainda tem ${displaystyle {(x,y):x,yin mathbb {R} }}$ como seu conjunto subjacente. A diferença entre este e o exemplo anterior é que ${displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} }$ é agora um grupo, e assim temos que dizer também como adicionar seus elementos. Isso é feito pela definição ${displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$
Se pensarmos em $mathbb {R}$ como o anel de números reais, então o produto direto ${displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} }$ novamente tem ${displaystyle {(x,y):x,yin mathbb {R} }}$ como seu conjunto subjacente. A estrutura do anel consiste em adição definida por $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ e multiplicação definida por ${displaystyle (a,b)(c,d)=(ac,bd).}$
Embora o anel $mathbb {R}$ é um campo, ${displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} }$ não é um, porque o elemento $(1,0)$ não tem um inverso multiplicativo.

De uma forma semelhante, podemos falar sobre o produto direto de muitas estruturas algébricas finitas, por exemplo, ${displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} times mathbb {R} times mathbb {R}.}$ Isso depende do fato de que o produto direto é associativo até isomorfismo. Isso é, ${displaystyle (Atimes B)times Ccong Atimes (Btimes C)}$ para quaisquer estruturas algébricas $A,$ $B,$ e $C$ do mesmo tipo. O produto direto também é comutativo até isomorfismo, ou seja, ${displaystyle Atimes Bcong Btimes A}$ para quaisquer estruturas algébricas $A$ e $B$ do mesmo tipo. Podemos até falar sobre o produto direto de infinitamente muitas estruturas algébricas; por exemplo, podemos tomar o produto direto de muitas cópias de ${displaystyle mathbb {R}}$ que escrevemos como ${displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} times mathbb {R} times dotsb.}$

Produto direto do grupo

Na teoria do grupo pode-se definir o produto direto de dois grupos ${displaystyle (G,circ)}$ e ${displaystyle (H,cdot),}$ denotado por ${displaystyle Gtimes H.}$ Para grupos abelianos que são escritos aditivamente, também pode ser chamado de soma direta de dois grupos, denotado por ${displaystyle Goplus H.}$

É definido da seguinte forma:

o conjunto dos elementos do novo grupo é o Produto cartesiano dos conjuntos de elementos de ${displaystyle G{text{ and }}H,}$ é isso. ${displaystyle {(g,h):gin G,hin H};}$
sobre estes elementos colocar uma operação, definido element-wise: ${displaystyle (g,h)times left(g',h'right)=left(gcirc g',hcdot h'right)}$

Note que ${displaystyle (G,circ)}$ pode ser o mesmo que ${displaystyle (H,cdot).}$

Esta construção dá um novo grupo. Tem um subgrupo normal isomorfo para $G$ (dados pelos elementos da forma ${displaystyle (g,1)}$ ), e um isomorfo para $H$ (compreendendo os elementos ${displaystyle (1,h)}$ ).

O reverso também detém. Há o seguinte teorema de reconhecimento: Se um grupo $K$ contém dois subgrupos normais ${displaystyle G{text{ and }}H,}$ tal que ${displaystyle K=GH}$ e a interseção de ${displaystyle G{text{ and }}H}$ contém apenas a identidade, então $K$ isomorfo para ${displaystyle Gtimes H.}$ Um relaxamento dessas condições, exigindo apenas um subgrupo para ser normal, dá o produto semidireto.

Como exemplo, tome como ${displaystyle G{text{ and }}H}$ duas cópias do grupo único (até isomorfismos) da ordem 2, ${displaystyle C^{2}:}$ Diz ${displaystyle {1,a}{text{ and }}{1,b}.}$ Então... ${displaystyle C_{2}times C_{2}={(1,1),(1,b),(a,1),(a,b)},}$ com o elemento de operação por elemento. Por exemplo, ${displaystyle (1,b)^{*}(a,1)=left(1^{*}a,b^{*}1right)=(a,b),}$ e ${displaystyle (1,b)^{*}(1,b)=left(1,b^{2}right)=(1,1).}$

Com um produto direto, obtemos alguns homomorfismos de grupos naturais de graça: os mapas de projeção definidos por

{displaystyle {begin{aligned}pi _{1}:Gtimes Hto G, pi _{1}(g,h)&=g\pi _{2}:Gtimes Hto H, pi _{2}(g,h)&=hend{aligned}}}

funções de coordenadas

Além disso, cada homomorfismo $f$ ao produto direto é totalmente determinado por suas funções componentes ${displaystyle f_{i}=pi _{i}circ f.}$

Para qualquer grupo ${displaystyle (G,circ)}$ e qualquer inteiro ${displaystyle ngeq 0,}$ aplicação repetida do produto direto dá ao grupo de todos $n$ - tuplas $G^{n}$ (para ${displaystyle n=0,}$ este é o grupo trivial), por exemplo $mathbb{Z } ^{n}$ e $mathbb{R} ^{n}.$

Produto direto de módulos

O produto direto para módulos (não confundir com o produto tensor) é muito semelhante ao definido para grupos acima, usando o produto cartesiano com a operação de adição sendo componente, e a multiplicação escalar apenas distribuindo sobre todos os componentes. A partir de $mathbb {R}$ nós temos espaço Euclidiano ${displaystyle mathbb {R} ^{n},}$ o exemplo prototípico de um real $n$ - Espaço vetorial dimensional. O produto direto de $mathbb{R} ^{m}$ e $mathbb {R} ^{n}$ o ${displaystyle mathbb {R} ^{m+n}.}$

Note que um produto direto para um índice finito ${textstyle prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ é canonicamente isomorfo para a soma direta ${textstyle bigoplus _{i=1}^{n}X_{i}.}$ A soma direta e o produto direto não são isomorfos para índices infinitos, onde os elementos de uma soma direta são zero para todos, mas para um número finito de entradas. Eles são duplos no sentido da teoria das categorias: a soma direta é o coproduto, enquanto o produto direto é o produto.

Por exemplo, considere ${textstyle X=prod _{i=1}^{infty }mathbb {R} }$ e ${textstyle Y=bigoplus _{i=1}^{infty }mathbb {R}}$ o produto direto infinito e soma direta dos números reais. Apenas sequências com um número finito de elementos não-zero estão em $Y.$ Por exemplo, ${displaystyle (1,0,0,0,ldots)}$ em $Y$ mas... ${displaystyle (1,1,1,1,ldots)}$ Não é. Ambas as sequências estão no produto direto ${displaystyle X;}$ Na verdade, $Y$ é um subconjunto adequado de $X$ (isto é, ${displaystyle Ysubset X}$ ).

Produto direto do espaço topológico

O produto direto para uma coleção de espaços topológicos $X_{i}$ para $i$ em $I,$ algum conjunto de índice, mais uma vez faz uso do produto cartesiano

{displaystyle prod _{iin I}X_{i}.}

Definir a topologia é um pouco complicado. Para um número finito de fatores, esta é a coisa óbvia e natural a se fazer: simplesmente tomar como base de conjuntos abertos a coleção de todos os produtos cartesianos de subconjuntos abertos de cada fator:

{displaystyle {mathcal {B}}=left{U_{1}times cdots times U_{n}: U_{i} mathrm {open in} X_{i}right}.}

Esta topologia é chamada topologia do produto. Por exemplo, definindo diretamente a topologia do produto em $R^2$ pelos conjuntos abertos de $mathbb {R}$ (uniões disjuntos de intervalos abertos), a base para esta topologia consistiria de todos os sindicatos disjuntos de retângulos abertos no plano (como acontece, coincide com a topologia métrica habitual).

A topologia do produto para produtos infinitos tem uma reviravolta, e isso tem a ver com a capacidade de tornar todos os mapas de projeção contínuos e tornar todas as funções no produto contínuas se e somente se todas as suas funções componentes forem contínuas (isto é, para satisfazer a definição categórica de produto: os morfismos aqui são funções contínuas): tomamos como base de conjuntos abertos a coleção de todos os produtos cartesianos de subconjuntos abertos de cada fator, como antes, com a condição de que todos, exceto finitamente muitos dos subconjuntos abertos são o fator inteiro:

{displaystyle {mathcal {B}}=left{prod _{iin I}U_{i}: (exists j_{1},ldotsj_{n})(U_{j_{i}} mathrm {open in} X_{j_{i}}) mathrm {and} (forall ineq j_{1},ldotsj_{n})(U_{i}=X_{i})right}.}

A topologia mais natural seria, neste caso, obter produtos de infinitos subconjuntos abertos como antes, e isso produz uma topologia um tanto interessante, a topologia de caixa. No entanto, não é muito difícil encontrar um exemplo de grupo de funções de componentes contínuas cuja função de produto não é contínua (consulte a topologia da caixa de entrada separada para obter um exemplo e mais). O problema que torna a torção necessária está, em última análise, enraizado no fato de que a interseção de conjuntos abertos só é garantida para um número finito de conjuntos na definição de topologia.

Produtos (com a topologia de produto) são bons em relação à preservação das propriedades de seus fatores; por exemplo, o produto dos espaços de Hausdorff é Hausdorff; o produto de espaços conectados é conexo, e o produto de espaços compactos é compacto. Esse último, chamado teorema de Tychonoff, é outra equivalência ao axioma da escolha.

Para obter mais propriedades e formulações equivalentes, consulte a topologia do produto de entrada separada.

Produto direto de relações binárias

No produto cartesiano de dois conjuntos com relações binárias ${displaystyle R{text{ and }}S,}$ definição ${displaystyle (a,b)T(c,d)}$ como ${displaystyle aRc{text{ and }}bSd.}$ Se ${displaystyle R{text{ and }}S}$ são ambos reflexivos, irreflexivos, transitivos, simétricos ou antisimétricos, então $T$ será também. Da mesma forma, totalidade de $T$ é herdado de ${displaystyle R{text{ and }}S.}$ Combinando propriedades segue que isso também se aplica por ser uma pré-ordem e ser uma relação de equivalência. Contudo, se ${displaystyle R{text{ and }}S}$ são relações conectadas, $T$ não deve ser conectado; por exemplo, o produto direto de ${displaystyle ,leq ,}$ sobre $mathbb {N}$ com si mesmo não se relaciona ${displaystyle (1,2){text{ and }}(2,1).}$

Produto direto em álgebra universal

Se $Sigma$ é uma assinatura fixa, $I$ é um conjunto de índice arbitrário (possivelmente infinito) e ${displaystyle left(mathbf {A} _{i}right)_{iin I}}$ é uma família indexada de $Sigma$ álgebras, as produto direto ${textstyle mathbf {A} =prod _{iin I}mathbf {A} _{i}}$ é um $Sigma$ álgebra definida como segue:

O conjunto do universo $A$ de $mathbf {A}$ é o produto cartesiano dos conjuntos do universo $A_{i}$ de ${displaystyle mathbf {A} _{i},}$ formalmente: ${textstyle A=prod _{iin I}A_{i}.}$
Para cada $n$ e cada $n$ - símbolo de operação temporária ${displaystyle fin Sigma}$ sua interpretação ${displaystyle f^{mathbf {A} }}$ em $mathbf {A}$ é definido como componente, formalmente: para todos ${displaystyle a_{1},dotsca_{n}in A}$ e cada ${displaystyle iin I,}$ o $i$ o componente de ${displaystyle f^{mathbf {A} }!left(a_{1},dotsca_{n}right)}$ é definido como ${displaystyle f^{mathbf {A} _{i}}!left(a_{1}(i),dotsca_{n}(i)right).}$

Para cada ${displaystyle iin I,}$ o $i$ projecção ${displaystyle pi _{i}:Ato A_{i}}$ é definido por ${displaystyle pi _{i}(a)=a(i).}$ É um homomorfismo surjetivo entre o $Sigma$ Álgebras ${displaystyle mathbf {A} {text{ and }}mathbf {A} _{i}.}$

Como um caso especial, se o índice definir ${displaystyle I={1,2},}$ o produto direto de dois $Sigma$ Álgebras ${displaystyle mathbf {A} _{1}{text{ and }}mathbf {A} _{2}}$ é obtido, escrito como ${displaystyle mathbf {A} =mathbf {A} _{1}times mathbf {A} _{2}.}$ Se $Sigma$ apenas contém uma operação binária $f,$ a definição acima do produto direto dos grupos é obtida, usando a notação ${displaystyle A_{1}=G,A_{2}=H,}$ ${displaystyle f^{A_{1}}=circ f^{A_{2}}=cdot {text{ and }}f^{A}=times.}$ Da mesma forma, a definição do produto direto dos módulos é subsumida aqui.

Produto categórico

O produto direto pode ser abstraído para uma categoria arbitrária. Em uma categoria, dada uma coleção de objetos $(A_i)_{i in I}$ indexado por um conjunto $I$ , a produto destes objetos é um objeto $A$ junto com morfismos ${displaystyle p_{i}colon Ato A_{i}}$ para todos $iin I$ , tal que se $B$ é qualquer outro objeto com morfismos ${displaystyle f_{i}colon Bto A_{i}}$ para todos $iin I$ , existe um morfismo único $Bto A$ cuja composição com $p_{i}$ iguais $f_{i}$ para todos $i$ . Tal $A$ e ${displaystyle (p_{i})_{iin I}}$ nem sempre existe. Se existirem, então ${displaystyle (A,(p_{i})_{iin I})}$ é único até isomorfismo, e $A$ é denotado $prod_{i in I} A_i$ .

No caso especial da categoria de grupos existe sempre um produto: o conjunto subjacente de $prod_{i in I} A_i$ é o produto cartesiano dos conjuntos subjacentes do $A_{i}$ , a operação do grupo é a multiplicação com componente e o (homo)morfismo ${displaystyle p_{i}colon Ato A_{i}}$ é a projeção enviando cada tupla para o seu $i$ coordenada.

Produto direto interno e externo

Alguns autores fazem uma distinção entre produto direto interno e um produto externo direto. Se $A, B subseteq X$ e ${displaystyle Atimes Bcong X,}$ então dizemos que $X$ é um interno produto direto de ${displaystyle A{text{ and }}B,}$ se ${displaystyle A{text{ and }}B}$ não são subobjetos então dizemos que este é um externo produto direto.

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