Poliedro Kepler-Poinsot
Em geometria, um poliedro Kepler–Poinsot é qualquer um dos quatro poliedros regulares em estrela.
Eles podem ser obtidos estrelando o dodecaedro convexo regular e o icosaedro, e diferem destes por terem faces pentagrammicas regulares ou figuras de vértices. Todos eles podem ser vistos como análogos tridimensionais do pentagrama de uma forma ou de outra.
Características
Não convexidade
Estas figuras têm pentagramas (pentágonos de estrelas) como faces ou figuras de vértices. O pequeno e o grande dodecaedro estrelado têm faces de pentagrama regulares não convexas. O grande dodecaedro e o grande icosaedro têm faces poligonais convexas, mas figuras de vértices pentagrâmicos.
Em todos os casos, duas faces podem se cruzar ao longo de uma linha que não seja uma aresta de nenhuma das faces, de modo que parte de cada face passe pelo interior da figura. Essas linhas de interseção não fazem parte da estrutura poliédrica e às vezes são chamadas de arestas falsas. Da mesma forma, onde três dessas linhas se cruzam em um ponto que não é um canto de nenhuma face, esses pontos são falsos vértices. As imagens abaixo mostram esferas nos vértices verdadeiros e bastões azuis ao longo das bordas verdadeiras.
Por exemplo, o pequeno dodecaedro estrelado tem 12 faces de pentagrama com a parte pentagonal central escondida dentro do sólido. As partes visíveis de cada face compreendem cinco triângulos isósceles que se tocam em cinco pontos ao redor do pentágono. Poderíamos tratar esses triângulos como 60 faces separadas para obter um novo poliedro irregular que parece idêntico externamente. Cada aresta seria agora dividida em três arestas mais curtas (de dois tipos diferentes), e os 20 vértices falsos se tornariam verdadeiros, de modo que temos um total de 32 vértices (novamente de dois tipos). Os pentágonos internos ocultos não fazem mais parte da superfície poliédrica e podem desaparecer. Agora a fórmula de Euler vale: 60 − 90 + 32 = 2. No entanto, esse poliedro não é mais aquele descrito pelo símbolo de Schläfli {5/2, 5} e, portanto, não pode ser um sólido de Kepler-Poinsot mesmo embora ainda pareça um do lado de fora.
Característica de Euler χ
Um poliedro Kepler-Poinsot cobre sua esfera circunscrita mais de uma vez, com os centros das faces atuando como pontos sinuosos nas figuras que possuem faces pentagrammicas, e os vértices nas outras. Por causa disso, eles não são necessariamente topologicamente equivalentes à esfera como os sólidos platônicos são, e em particular a relação de Euler
- χ χ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =V- Sim. - Sim. E+F= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2Não. chi =V-E+F=2 }
nem sempre se sustenta. Schläfli sustentou que todos os poliedros devem ter χ = 2 e rejeitou o pequeno dodecaedro estrelado e o grande dodecaedro como poliedros adequados. Essa visão nunca foi amplamente aceita.
Uma forma modificada da fórmula de Euler, usando densidade (D) das figuras dos vértices (Dv{displaystyle d_{v}}) e rostos (DfNão. D_{f}}) foi dado por Arthur Cayley, e detém ambos para convexo polihedra (onde os fatores de correção são todos 1), e o Kepler-Poinsot polihedra:
- DvV- Sim. - Sim. E+DfF= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2D.Não. d_{v}V-E+d_{f}F=2D.}
Dualidade e polígonos de Petrie
Os poliedros Kepler-Poinsot existem em pares duplos. Duals têm o mesmo polígono de Petrie, ou mais precisamente, polígonos de Petrie com a mesma projeção bidimensional.
As imagens a seguir mostram os dois compostos duais com o mesmo raio de borda. Eles também mostram que os polígonos de Petrie são assimétricos. Duas relações descritas no artigo abaixo também são facilmente percebidas nas imagens: que as bordas violetas são as mesmas e que as faces verdes estão nos mesmos planos.
| borda horizontal na frente | borda vertical na frente | Polígono de Petrie |
|---|---|---|
| pequeno dodecaedro estelated {5/2, 5} | grande dodecaedro {5, 5/2} | Hexagonal (6) |
| grande icosahedron {3, 5/2} | grande dodecaedro estelated {5/2, 3} | descagrama {10/3} |
   Composto de sD e gD com hexágonos Petrie |    Composto de gI e gsD com decagramas Petrie |
Resumo
| Nome (Abbreviation de Conway) | Imagem | Esférica de ti | Stella diagrama | Schläfli (p, q) e Coxeador-Dynkin | Caras Não. | Bordas | Versículos Não. | Figura de vértice (config.) | Polígono de Petrie | χ | Densidade | Simetria | Dual |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| grande dodecaedron (gD) | .svg) |  |  | (5, 5/2)     | 12 (5) | 30 | 12 (5/2) |  (55)/2 |  (6) | -6 | 3 | Eu...h | pequeno dodecaedro estelarizado |
| pequeno dodecaedro estelarizado (SD) | .svg) |  |  | {5/2, 5} | 12 (5/2) | 30 | 12 (5) |  (5/5)5 |  (6) | -6 | 3 | Eu...h | grande dodecaedron |
| grande icosahedron (gI) | .svg) |  |  | {3, 5/2} | 20. Não. | 30 | 12 (5/2) |  (35)/2 |  (10/3) | 2 | 7 | Eu...h | grande dodecaedro estelar |
| grande dodecaedro estelar (sgD = gsD) | .svg) |  |  | {5/2, 3} | 12 (5/2) | 30 | 20. Não. |  (5/5)3 |  (10/3) | 2 | 7 | Eu...h | grande icosahedron |
Relações entre os poliedros regulares
.png)
Terminologia operacional de Conway
John Conway define os poliedros Kepler-Poinsot como aumentações e estrelações dos sólidos convexos.
Em sua convenção de nomenclatura, o pequeno dodecaedro estrelado é apenas o dodecaedro estrelado.
| icosahedron (I) | dodecaedron (D) |
| grande dodecaedro (gD) | dodecaedro estelar (sD) |
| grande icosahedron (gI) | grande dodecaedro estelated (sgD = gsD) |
Stellation transforma faces pentagonais em pentagramas. (Nesse sentido, a estrelação é uma operação única e não deve ser confundida com a estrelação mais geral descrita abaixo.)
Aumento mantém o tipo de faces, deslocando-as e redimensionando-as em planos paralelos.
| Relações de viação ilustradas | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| diagrama |
| |||||
| estelação |
| |||||
| grandeening |
| |||||
| dualidade |
| |||||
.png)
Estrelas e facetas
O grande icosaedro é uma das estrelas do icosaedro. (Veja Os Cinqüenta e Nove Icosaedros)
As outras três são todas as estrelas do dodecaedro.
O grande dodecaedro estrelado é uma faceta do dodecaedro.
As outras três são facetas do icosaedro.
| Estelações e facetas | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Convexo |  - Não. |  O quê? | ||||
| Stellas |  GI (o que tem caras amarelas) |  GD |  SD |  GsD | ||
| Faces | GI | GD | SD | GsD (o que tem vértices amarelos) | ||
Se as interseções forem tratadas como novas arestas e vértices, as figuras obtidas não serão regulares, mas ainda podem ser consideradas estrelas.
(Veja também Lista de modelos de poliedros de Wenninger)
Vértices e arestas compartilhadas
O grande dodecaedro estrelado compartilha seus vértices com o dodecaedro. Os outros três poliedros de Kepler-Poinsot compartilham os deles com o icosaedro. Os esqueletos dos sólidos que compartilham vértices são topologicamente equivalentes.
- Não. | grande dodecaedron | grande icosahedron | pequeno dodecaedro estelarizado | O quê? | grande dodecaedro estelar |
| compartilhar vértices e bordas | compartilhar vértices e bordas | compartilhar vértices, esqueletos forma gráfico dodecaedral | |||
| compartilhar vértices, esqueletos forma icosahedral grafo | |||||
O dodecaedro estrelado
Casco e núcleo
O pequeno e grande dodecaedro estelated
pode ser visto como um dodecaedro regular e um grande dodecaedro com suas bordas e rostos estendidos até que eles se cruzam.
As caras do pentágono destes núcleos são as partes invisíveis das caras do pentagrama do polihedra estrela.
Para o dodecaedro estelated pequeno o casco é φ φ - Sim. vezes maior do que o núcleo, e para o grande é φ φ +1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =φ φ 2{displaystyle varphi +1=varphi ^{2}} vezes maior.
(Ver taxa de ouro)
(O midradius é uma medida comum para comparar o tamanho de polihedra diferente.)
| Hull e núcleo do estelared dodecahedra | ||||
|---|---|---|---|---|
| Hull! | Poliéster estrela | Núcleo | hull midradiusnúcleo midradius{displaystyle {displaystyle {text{hull midradius}}}}{text{core midradius}}}}}}}}}}} | núcleo midradiushull midradius{displaystyle {text{core midradius}}{text{hull midradius}}}}}}} |
| | .png) | 5+12= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1.61803...Não. {5}}+1}{2}}=1.61803...} | 5- Sim. - Sim. 12= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0.61803...Não. {5}}-1}{2}}=0.61803...} |
| | .png) | 3+52= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2.61803...Não. (3+ {5}}}{2}}=2.61803...} | 3- Sim. - Sim. 52= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0.38196...Não. {5}}}{2}}=0.38196...} |
Os cascos platônicos nestas imagens têm o mesmo midradius. | ||||
Aumentos
Tradicionalmente, os poliedros de duas estrelas são definidos como aumentações (ou acumulações), ou seja, como dodecaedro e icosaedro com pirâmides adicionadas às suas faces.
Kepler chama a pequena estrela de dodecaedro aumentado (depois apelidando-a de ouriço).
Em sua visão, a grande estrela está relacionada ao icosaedro assim como a pequena está relacionada ao dodecaedro.
Essas definições ingênuas ainda são usadas. Por exemplo. MathWorld afirma que os poliedros de duas estrelas podem ser construídos adicionando pirâmides às faces dos sólidos platônicos.
Esta é apenas uma ajuda para visualizar a forma desses sólidos, e não uma afirmação de que as interseções de arestas (falsos vértices) são vértices. Se fossem, os poliedros de duas estrelas seriam topologicamente equivalentes ao dodecaedro pentakis e ao icosaedro triakis.
| Dodecahedra estelar como aumentos | ||||
|---|---|---|---|---|
| Núcleo | Poliéster estrela | sólido catalão | ||
| .png) |  | ||
.png) | .png) |  | ||
Simetria
Todos os poliedros de Kepler-Poinsot têm simetria icosaédrica completa, assim como suas cascas convexas.
O grande icosaedro e seu dual se assemelham ao icosaedro e seu dual, pois têm faces e vértices nos eixos de simetria de 3 (amarelo) e 5 (vermelho).
No grande dodecaedro e seu dual, todas as faces e vértices estão em eixos de simetria quíntupla (portanto, não há elementos amarelos nessas imagens).
A tabela a seguir mostra os sólidos em pares de duais. Na fila superior apresentam-se com simetria piritoédrica, na fila inferior com simetria icosaédrica (a que se referem as cores mencionadas).
A tabela abaixo mostra as projeções ortográficas dos eixos de simetria de 5 dobras (vermelho), 3 dobras (amarelo) e 2 dobras (azul).
| (3, 5} (I) e {5, 3} (D) | (5, 5/2} (gD) e {5/2, 5} (sD) | {3, 5/2} (gI) e {5/2, 3} (gsD) |
|---|---|---|
  (animações) |   (animações) |   (animações) |
(animações) | (animações) | (animações) |
| projeções ortográficos | ||
|---|---|---|
Os cascos platônicos nestas imagens têm o mesmo midradius, então todas as projeções de 5 vezes abaixo estão em um decagon do mesmo tamanho. (Compare a projeção do composto.)Isso implica que sD, gsD e gI têm o mesmo comprimento de borda, ou seja, o comprimento lateral de um pentagrama no decagon circundante. | ||
  |   |   |
  |   |   |
  |   |   |
História
A maioria, se não todos, dos poliedros Kepler-Poinsot eram conhecidos de uma forma ou de outra antes de Kepler. Um pequeno dodecaedro estrelado aparece em uma tarsia de mármore (painel embutido) no chão da Basílica de São Marcos, Veneza, Itália. Data do século XV e às vezes é atribuída a Paolo Uccello.
Em seu Perspectiva corporum regularium (Perspectivas dos sólidos regulares), um livro de xilogravuras publicado em 1568, Wenzel Jamnitzer descreve o grande dodecaedro estrelado e um grande dodecaedro (ambos mostrados abaixo). Há também uma versão truncada do pequeno dodecaedro estrelado. Fica claro pelo arranjo geral do livro que ele considerava apenas os cinco sólidos platônicos como regulares.
Os pequenos e grandes dodecaedros estrelados, às vezes chamados de poliedros de Kepler, foram reconhecidos pela primeira vez como regulares por Johannes Kepler por volta de 1619. Ele os obteve estrelando o dodecaedro convexo regular, tratando-o pela primeira vez como uma superfície em vez de um sólido. Ele notou que, estendendo as arestas ou faces do dodecaedro convexo até que se encontrassem novamente, ele poderia obter pentágonos estelares. Além disso, ele reconheceu que esses pentágonos estelares também são regulares. Desta forma, ele construiu os dois dodecaedros estrelados. Cada um tem a região convexa central de cada face "oculta" no interior, apenas com os braços triangulares visíveis. O passo final de Kepler foi reconhecer que esses poliedros se encaixavam na definição de regularidade, embora não fossem convexos, como eram os sólidos platônicos tradicionais.
Em 1809, Louis Poinsot redescobriu as figuras de Kepler, montando pentágonos de estrelas em torno de cada vértice. Ele também montou polígonos convexos em torno dos vértices das estrelas para descobrir mais duas estrelas regulares, o grande icosaedro e o grande dodecaedro. Algumas pessoas chamam esses dois de poliedros de Poinsot. Poinsot não sabia se havia descoberto todos os poliedros estelares regulares.
Três anos depois, Augustin Cauchy comprovou a lista completa estrelando os sólidos platônicos, e quase meio século depois disso, em 1858, Bertrand forneceu uma prova mais elegante ao facetá-los.
No ano seguinte, Arthur Cayley deu aos poliedros Kepler-Poinsot os nomes pelos quais eles são geralmente conhecidos hoje.
Cem anos depois, John Conway desenvolveu uma terminologia sistemática para as estrelas em até quatro dimensões. Dentro deste esquema, o pequeno dodecaedro estrelado é apenas o dodecaedro estrelado.
 Piso em mosaico em St Mark's, Veneza (possivelmente por Paolo Uccello) | Grande dodecaedro e grande dodecaedro estelated em Perspectiva Cabo Regular (1568) |  Dodecahedra estelar, Harmonias Mundi por Johannes Kepler (1619) |  Modelo de cartão da Tübingen University (cerca de 1860) |
Poliedros de estrelas regulares na arte e na cultura
Uma dissecação do grande dodecaedro foi usada para o quebra-cabeça da década de 1980 Alexander's Star. Os poliedros de estrelas regulares aparecem pela primeira vez na arte renascentista. Um pequeno dodecaedro estrelado é retratado em uma tarsia de mármore no chão da Basílica de São Marcos, Veneza, Itália, datado de ca. 1430 e por vezes atribuída a Paulo Ucello.
No século 20, o interesse do artista M. C. Escher em formas geométricas muitas vezes levou a obras baseadas ou incluindo sólidos regulares; Gravitação é baseada em um pequeno dodecaedro estrelado.
A escultura do artista norueguês Vebjørn Sand The Kepler Star é exibida perto do Aeroporto de Oslo, Gardermoen. A estrela se estende por 14 metros e consiste em um icosaedro e um dodecaedro dentro de um grande dodecaedro estrelado.