Poliedro duplo

O duplo de um cubo é um octahedron. Os vértices de um correspondem a faces do outro, e as bordas correspondem uns aos outros.

Em geometria, todo poliedro está associado a uma segunda estrutura dual, onde os vértices de um correspondem às faces do outro, e as arestas entre pares de vértices de um correspondem às arestas entre pares de rostos do outro. Essas figuras duais permanecem poliedros combinatórios ou abstratos, mas nem todas podem ser construídas como poliedros geométricos. Começando com qualquer poliedro dado, o dual de seu dual é o poliedro original.

A dualidade preserva as simetrias de um poliedro. Portanto, para muitas classes de poliedros definidos por suas simetrias, os duais pertencem a uma classe de simetria correspondente. Por exemplo, os poliedros regulares – os sólidos platônicos (convexos) e os poliedros Kepler–Poinsot (estrela) – formam pares duais, onde o tetraedro regular é autodual. O dual de um poliedro isogonal (aquele em que quaisquer dois vértices são equivalentes sob as simetrias do poliedro) é um poliedro isoédrico (aquele em que quaisquer duas faces são equivalentes [...]), e vice-versa. O dual de um poliedro isotoxal (aquele em que quaisquer duas arestas são equivalentes [...]) também é isotoxal.

A dualidade está intimamente relacionada à reciprocidade polar, uma transformação geométrica que, quando aplicada a um poliedro convexo, realiza o poliedro dual como outro poliedro convexo.

Tipos de dualidade

O dual de um sólido platônico pode ser construído conectando os centros de rosto. Em geral isso cria apenas uma dupla topológica.
Imagens de Kepler's Harmonices Mundi (1619)

Existem muitos tipos de dualidade. Os tipos mais relevantes para os poliedros elementares são a reciprocidade polar e a dualidade topológica ou abstrata.

Reciprocidade polar

No espaço euclidiano, o dual de um poliedro PNão. P. é muitas vezes definido em termos de reciprocação polar sobre uma esfera. Aqui, cada vértice (pólo) está associado a um plano de face (plano polar ou apenas polar) de modo que o raio do centro para o vértice é perpendicular ao plano, e o produto das distâncias do centro para cada é igual ao quadrado do raio.

Quando a esfera tem raio RNão. e é centrado na origem (para que seja definido pela equação x2+Sim.2+zangão.2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =R2Não. x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}), então a dupla polar de um poliedro convexo PNão. P. é definido como

P∘ ∘ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(q|q)) p≤ ≤ R2Não. P^{circ }={q~{big |}~qcdot pleq r^{2}} para todos pNão. em P?,- Sim. ?

Onde? q)) p{displaystyle qcdot p} denota o produto padrão do ponto de qNão. e pNão..

Tipicamente, quando nenhuma esfera é especificada na construção da dupla, então a esfera da unidade é usada, significando R= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1Não. nas definições acima.

Para cada plano de cara de PNão. P. descrito pela equação linear

x0x+Sim.0Sim.+zangão.0zangão.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =R2,Não. x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=r^{2},}

P∘ ∘ Não. P^{circ }}

(x0,Sim.0,zangão.0)(x_{0},y_{0},z_{0})}

PNão. P.

P∘ ∘ Não. P^{circ }}

PNão. P.

P∘ ∘ Não. P^{circ }}

PNão. P.

P∘ ∘ Não. P^{circ }}

PNão. P.

P∘ ∘ Não. P^{circ }}

Para um poliedro com centro de simetria, é comum usar uma esfera centrada neste ponto, como na construção de Dorman Luke (mencionada abaixo). Caso contrário, para um poliedro com uma esfera circunscrita, esfera inscrita ou esfera intermediária (uma com todas as arestas como tangentes), isso pode ser usado. No entanto, é possível alternar um poliedro sobre qualquer esfera, e a forma resultante do dual dependerá do tamanho e da posição da esfera; como a esfera é variada, também é a forma dual. A escolha do centro da esfera é suficiente para definir o dual até a semelhança.

Se um poliedro no espaço euclidiano tiver um plano de face, linha de borda ou vértice no centro da esfera, o elemento correspondente de seu dual irá para o infinito. Como o espaço euclidiano nunca atinge o infinito, o equivalente projetivo, chamado espaço euclidiano estendido, pode ser formado pela adição do 'plano no infinito' necessário. Alguns teóricos preferem se ater ao espaço euclidiano e dizer que não há dual. Enquanto isso, Wenninger (1983) encontrou uma maneira de representar esses duais infinitos, de maneira adequada para fazer modelos (de alguma porção finita).

O conceito de dualidade aqui está intimamente relacionado à dualidade na geometria projetiva, onde linhas e arestas são trocadas. A polaridade projetiva funciona bem o suficiente para poliedros convexos. Mas para figuras não convexas como poliedros estelares, quando procuramos definir rigorosamente essa forma de dualidade poliédrica em termos de polaridade projetiva, vários problemas aparecem. Por causa das questões de definição de dualidade geométrica de poliedros não convexos, Grünbaum (2007) argumenta que qualquer definição adequada de um poliedro não convexo deve incluir a noção de um poliedro dual.

Duais canônicos

Composto duplo canônico de cuboctahedron (luz) e dodecaedro rhombic (escuro). Os pares de bordas encontram-se na sua esfera comum.

Qualquer poliedro convexo pode ser distorcido em uma forma canônica, na qual existe uma unidade intermediária (ou interesfera) tangente a todas as arestas, e tal que a posição média dos pontos de tangência é o centro da esfera. Esta forma é única até congruências.

Se retribuirmos tal poliedro canônico em torno de sua esfera média, o poliedro dual compartilhará os mesmos pontos de tangência de borda e, portanto, também será canônico. É o dual canônico, e os dois juntos formam um composto dual canônico.

Construção de Dorman Luke

Para um poliedro uniforme, cada face do poliedro dual pode ser derivada da figura do vértice correspondente do poliedro original usando a construção de Dorman Luke.

Dualidade topológica

Mesmo quando um par de poliedros não pode ser obtido por reciprocidade um do outro, eles podem ser chamados duais um do outro, desde que os vértices de um correspondam às faces do outro e as arestas de um correspondam às arestas do outro, de forma a preservar a incidência. Esses pares de poliedros ainda são topologicamente ou abstratamente duais.

Os vértices e arestas de um poliedro convexo formam um grafo (o 1-esqueleto do poliedro), embutido na superfície do poliedro (uma esfera topológica). Este gráfico pode ser projetado para formar um diagrama de Schlegel em um plano plano. O grafo formado pelos vértices e arestas do poliedro dual é o grafo dual do grafo original.

De forma mais geral, para qualquer poliedro cujas faces formam uma superfície fechada, os vértices e arestas do poliedro formam um grafo embutido nesta superfície, e os vértices e arestas do (abstrato) poliedro dual formam o grafo dual do original gráfico.

Um poliedro abstrato é um certo tipo de conjunto parcialmente ordenado (poset) de elementos, de modo que as incidências, ou conexões, entre os elementos do conjunto correspondem às incidências entre os elementos (faces, arestas, vértices) de um poliedro. Cada um desses poset tem um poset dual, formado pela reversão de todas as relações de ordem. Se o poset for visualizado como um diagrama de Hasse, o poset dual pode ser visualizado simplesmente virando o diagrama de Hasse de cabeça para baixo.

Todo poliedro geométrico corresponde a um poliedro abstrato desta forma, e tem um poliedro dual abstrato. No entanto, para alguns tipos de poliedros geométricos não convexos, os poliedros duais podem não ser realizáveis geometricamente.

Poliedros autoduais

Topologicamente, um poliedro autodual é aquele cujo dual tem exatamente a mesma conectividade entre vértices, arestas e faces. Abstratamente, eles têm o mesmo diagrama de Hasse.

Um poliedro geometricamente autodual não é apenas topologicamente autodual, mas seu recíproco polar em torno de um certo ponto, normalmente seu centróide, é uma figura semelhante. Por exemplo, o dual de um tetraedro regular é outro tetraedro regular, refletido pela origem.

Todo polígono (ou seja, um poliedro bidimensional) é topologicamente autodual, pois tem o mesmo número de vértices e arestas, e estes são trocados pela dualidade. Mas não é necessariamente autodual (até movimento rígido, por exemplo). Todo polígono tem uma forma regular que é geometricamente autodual em relação à sua interesfera: todos os ângulos são congruentes, assim como todas as arestas, portanto, sob a dualidade, essas congruências se trocam.

Da mesma forma, todo poliedro convexo autodual topologicamente pode ser realizado por um poliedro autodual geometricamente equivalente, seu poliedro canônico, recíproco em relação ao centro da esfera média.

Existem infinitos poliedros geometricamente autoduais. A família infinita mais simples são as pirâmides canônicas de n lados. Outra família infinita, pirâmides alongadas, consiste em poliedros que podem ser descritos grosseiramente como uma pirâmide assentada no topo de um prisma (com o mesmo número de lados). Acrescentar um frustum (pirâmide com o topo cortado) abaixo do prisma gera outra família infinita, e assim por diante.

Existem muitos outros poliedros convexos autoduais. Por exemplo, existem 6 diferentes com 7 vértices e 16 com 8 vértices.

Um icosaedro não convexo autodual com faces hexagonais foi identificado por Brückner em 1900. Outros poliedros autoduais não convexos foram encontrados, sob certas definições de poliedros não convexos e seus duais.

Família de pirâmides

3

4

5

6

Família de pirâmides alongadas

3

4

5

Família de trapezohedra diminuído

3

4

5

6

7

Politopos duplos e mosaicos

A dualidade pode ser generalizada para espaços ndimensionais e politopos duais; em duas dimensões, eles são chamados de polígonos duais.

Os vértices de um politopo correspondem aos elementos (n − 1)-dimensionais, ou facetas, do outro, e os pontos j que definem um (j − 1) elemento dimensional corresponderá a hiperplanos j que se cruzam para dar um (n − j)- elemento dimensional. O dual de um mosaico ndimensional ou favo de mel pode ser definido de forma semelhante.

Em geral, as facetas do dual de um politopo serão os duais topológicos das figuras de vértice do politopo. Para os recíprocos polares dos politopos regulares e uniformes, as facetas duais serão recíprocos polares da figura do vértice original. Por exemplo, em quatro dimensões, a figura do vértice da célula 600 é o icosaedro; o dual da célula 600 é a célula 120, cujas facetas são dodecaedros, que são o dual do icosaedro.

Politopos e mosaicos autoduplos

O tiling quadrado, {4}, é auto-dual, como mostrado por estes tilings vermelhos e azuis

O tiling apeirogonal de ordem infinita, {∞,∞} em vermelho, e sua posição dupla em azul

A classe primária de politopos autoduais são politopos regulares com símbolos Schläfli palindrômicos. Todos os polígonos regulares, {a} são auto-dual, poliedros da forma {a,a}, 4-politopos da forma {a,b,a}, 5-politopos da forma {a,b,b,a }, etc

Os politopos regulares autoduais são:

• Todos os polígonos regulares.
• Tetraedro regular: {3,3}
• Em geral, todos regulares n- Simplexos, {3,3,...,3}
• A célula 24 em 4 dimensões, {3,4,3}.
• O grande 120-célula (5,5/2,5} e o grande estelarizado 120-célula {5/2,5,5/2}

Os favos de mel euclidianos regulares autoduais (infinitos) são:

• Abertura:
• Nível quadrado: {4}
• Bebê de mel cúbico: {4,3,4}
• Em geral, todos regulares n-dimensional Peitos de mel hipercúbicos euclidianos: {4,3,...,3,4}.

Os favos de mel hiperbólicos regulares autoduais (infinitos) são:

• Tilos hiperbólicos compactos: {5,5}, {6,6},... {p,p}.
• Nível hiperbólico paracompacto: {∞,∞}
• Comprimidos hiperbólicos compactos: {3,5,3}, {5,3,5} e {5,3,3,5}
• Comprimidos hiperbólicos paracompactos: {3,6,3}, {6,3,6}, {4,4} e {3,3,4,3}