Paradoxo do mentiroso

Em filosofia e lógica, o clássico paradoxo do mentiroso ou paradoxo do mentiroso ou antinomia do mentiroso é a declaração de um mentiroso que eles estão mentindo: por exemplo, declarando que "estou mentindo". Se o mentiroso realmente está mentindo, então o mentiroso está dizendo a verdade, o que significa que o mentiroso acabou de mentir. Em "esta frase é uma mentira" o paradoxo é reforçado para torná-lo passível de uma análise lógica mais rigorosa. Ainda é geralmente chamado de "paradoxo mentiroso" embora a abstração seja feita justamente do mentiroso que faz a afirmação. Tentar atribuir a esta afirmação, o mentiroso fortalecido, um valor de verdade binário clássico leva a uma contradição.

Se "esta sentença é falsa" é verdadeiro, então é falso, mas a sentença afirma que é falso, e se for falso, então deve ser verdadeiro, e assim por diante.

História

O paradoxo de Epimênides (cerca de 600 aC) foi sugerido como um exemplo do paradoxo do mentiroso, mas eles não são logicamente equivalentes. O vidente semi-mítico Epimênides, um cretense, afirmou que "todos os cretenses são mentirosos". No entanto, Epimênides' A afirmação de que todos os cretenses são mentirosos pode ser resolvida como falsa, dado que ele conhece pelo menos um outro cretense que não mente (alternativamente, pode ser considerado apenas como uma afirmação de que todos os cretenses mentem, não que eles contam apenas mentiras).

O nome do paradoxo é traduzido como pseudómenos logos (ψευδόμενος λόγος) em grego antigo. Uma versão do paradoxo do mentiroso é atribuída ao filósofo grego Eubulides de Mileto, que viveu no século IV aC. Eubulides teria perguntado: “Um homem diz que está mentindo. O que ele diz é verdadeiro ou falso?"

O paradoxo já foi discutido por São Jerônimo em um sermão:

"Eu disse no meu alarme: Todo homem é mentiroso!" O David está a dizer a verdade ou está a mentir? Se é verdade que todo homem é mentiroso, e a afirmação de Davi, "Todo homem é mentiroso" é verdadeira, então Davi também está mentindo; ele, também, é um homem. Mas se ele, também, está mentindo, sua afirmação de que "Todo homem é mentiroso", consequentemente, não é verdade. Seja qual for a maneira como você gira a proposição, a conclusão é uma contradição. Como o próprio Davi é um homem, segue-se que ele também está mentindo; mas se ele está mentindo porque cada homem é um mentiroso, sua mentira é de outra forma.

O gramático-filósofo indiano Bhartrhari (final do século V dC) estava bem ciente de um paradoxo mentiroso que ele formulou como "tudo o que estou dizendo é falso" (sarvam mithyā bravīmi). Ele analisa essa afirmação juntamente com o paradoxo da "insignificabilidade" e explora a fronteira entre declarações que não são problemáticas na vida cotidiana e paradoxos.

Houve uma discussão sobre o paradoxo do mentiroso na tradição islâmica primitiva por pelo menos cinco séculos, começando no final do século IX, e aparentemente sem ser influenciado por nenhuma outra tradição. Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī poderia ter sido o primeiro lógico a identificar o paradoxo do mentiroso como auto-referencial.

Explicação e variantes

O problema do paradoxo do mentiroso é que ele parece mostrar que crenças comuns sobre verdade e falsidade realmente levam a uma contradição. Podem ser construídas sentenças que não podem ser consistentemente atribuídas a um valor de verdade, mesmo que estejam completamente de acordo com as regras gramaticais e semânticas.

A versão mais simples do paradoxo é a frase:

Se (A) for verdadeiro, então "Esta afirmação é falsa" é verdade. Portanto, (A) deve ser falso. A hipótese de que (A) é verdadeira leva à conclusão de que (A) é falsa, uma contradição.

Se (A) for falso, então "Esta afirmação é falsa" é falso. Portanto, (A) deve ser verdadeira. A hipótese de que (A) é falsa leva à conclusão de que (A) é verdadeira, outra contradição. De qualquer maneira, (A) é verdadeiro e falso, o que é um paradoxo.

No entanto, que a sentença mentirosa pode ser mostrada como verdadeira se for falsa e falsa se for verdadeira, levou alguns a concluir que ela é "nem verdadeira nem falsa". Essa resposta ao paradoxo é, com efeito, a rejeição da afirmação de que toda afirmação deve ser verdadeira ou falsa, também conhecida como princípio da bivalência, conceito relacionado à lei do terceiro excluído.

A proposta de que a afirmação não é nem verdadeira nem falsa deu origem à seguinte versão reforçada do paradoxo:

Se (B) não for verdadeiro nem falso, então não deve ser verdadeiro. Uma vez que é isso que (B) afirma, isso significa que (B) deve ser verdadeiro. Como inicialmente (B) não era verdadeiro e agora é verdadeiro, surge outro paradoxo.

Outra reação ao paradoxo de (A) é postular, como Graham Priest fez, que a afirmação é verdadeira e falsa. No entanto, mesmo a análise de Priest é suscetível à seguinte versão do mentiroso:

Se (C) for verdadeiro e falso, então (C) será apenas falso. Mas então, não é verdade. Como inicialmente (C) era verdadeiro e agora não é verdadeiro, é um paradoxo. No entanto, argumenta-se que, ao adotar uma semântica relacional de dois valores (em oposição à semântica funcional), a abordagem dialetética pode superar essa versão do Mentiroso.

Também existem versões com várias frases do paradoxo do mentiroso. O seguinte é a versão de duas frases:

Assuma que (D1) é verdadeiro. Então (D2) é verdadeiro. Isso significaria que (D1) é falso. Portanto, (D1) é verdadeiro e falso.

Assuma que (D1) é falso. Então (D2) é falso. Isso significaria que (D1) é verdadeiro. Assim (D1) é verdadeiro e falso. De qualquer maneira, (D1) é verdadeiro e falso – o mesmo paradoxo de (A) acima.

A versão de múltiplas sentenças do paradoxo do mentiroso generaliza para qualquer sequência circular de tais declarações (em que a última declaração afirma a verdade/falsidade da primeira declaração), desde que haja um número ímpar de declarações afirmando a falsidade de seu sucessor; o seguinte é uma versão de três frases, com cada declaração afirmando a falsidade de seu sucessor:

Assuma que (E1) é verdadeiro. Então (E2) é falso, o que significa que (E3) é verdadeiro e, portanto, (E1) é falso, levando a uma contradição.

Assuma que (E1) é falso. Então (E2) é verdadeiro, o que significa que (E3) é falso e, portanto, (E1) é verdadeiro. De qualquer forma, (E1) é verdadeiro e falso – o mesmo paradoxo de (A) e (D1).

Existem muitas outras variantes e muitos complementos possíveis. Na construção de frases normais, a versão mais simples do complemento é a frase:

Se for assumido que F carrega um valor de verdade, então ele apresenta o problema de determinar o objeto desse valor. Mas, uma versão mais simples é possível, assumindo que a única palavra 'verdadeiro' carrega um valor de verdade. O análogo ao paradoxo é assumir que a única palavra 'falso' da mesma forma carrega um valor de verdade, ou seja, que é falso. Isso revela que o paradoxo pode ser reduzido ao ato mental de assumir que a própria ideia de falácia carrega um valor de verdade, ou seja, que a própria ideia de falácia é falsa: um ato de deturpação. Assim, a versão simétrica do paradoxo seria:

Possíveis resoluções

Lógica difusa

Na lógica difusa, o valor verdadeiro de uma declaração pode ser qualquer número real entre 0 e 1, inclusive, ao contrário da lógica booleana, onde os valores verdadeiros podem ser apenas os valores inteiros 0 ou 1. Nesse sistema, o declaração "Esta afirmação é falsa" não é mais paradoxal, pois pode receber um valor de verdade de 0,5, tornando-o precisamente meio verdadeiro e meio falso. Uma explicação simplificada é mostrada abaixo.

Vamos denotar o valor de verdade da afirmação "Esta afirmação é falsa" por x. A declaração torna-se

x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =NOT(x)(x)}

ao generalizar o operador NOT para o operador Zadeh equivalente da lógica fuzzy, a declaração se torna

x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1- Sim. - Sim. x- Sim.

daqui resulta que

x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0,5- Sim.

Alfredo Tarski

Alfred Tarski diagnosticou o paradoxo como surgindo apenas em línguas que são "semanticamente fechadas", com o que ele quis dizer uma linguagem na qual é possível para uma sentença predicar a verdade (ou falsidade) de outra sentença em a mesma língua (ou mesmo de si mesma). Para evitar a autocontradição, é necessário, ao discutir valores de verdade, prever níveis de linguagens, cada um dos quais pode predicar a verdade (ou falsidade) apenas de linguagens em um nível inferior. Assim, quando uma sentença se refere ao valor de verdade de outra, ela é semanticamente superior. A frase referida faz parte da "linguagem objeto", enquanto a frase referente é considerada parte de uma "meta-linguagem" em relação à linguagem objeto. É legítimo para sentenças em "idiomas" superior na hierarquia semântica para se referir a frases inferiores na "linguagem" hierarquia, mas não o contrário. Isso evita que um sistema se torne autorreferencial.

No entanto, este sistema está incompleto. Alguém gostaria de ser capaz de fazer declarações como "Para cada declaração no nível α da hierarquia, há uma declaração no nível α+1 que afirma que a primeira afirmação é falsa." Esta é uma declaração verdadeira e significativa sobre a hierarquia que Tarski define, mas refere-se a declarações em todos os níveis da hierarquia, portanto, deve estar acima de todos os níveis da hierarquia e, portanto, não é possível dentro da hierarquia (embora versões limitadas de a sentença é possível). Saul Kripke é creditado por identificar essa incompletude na hierarquia de Tarski em seu artigo altamente citado "Esboço de uma teoria da verdade". e é reconhecido como um problema geral em linguagens hierárquicas.

Arthur Prior

Arthur Prior afirma que não há nada de paradoxal no paradoxo do mentiroso. Sua afirmação (que ele atribui a Charles Sanders Peirce e John Buridan) é que toda declaração inclui uma afirmação implícita de sua própria verdade. Assim, por exemplo, a afirmação "É verdade que dois mais dois são quatro" não contém mais informações do que a afirmação "dois mais dois é igual a quatro", porque a frase "é verdade que..." está sempre implicitamente presente. E no espírito autorreferencial do Paradoxo do Mentiroso, a frase "é verdade que..." é equivalente a "toda essa afirmação é verdadeira e...".

Assim, as duas declarações a seguir são equivalentes:

O último é uma simples contradição da forma "A e não A" e, portanto, é falso. Portanto, não há paradoxo porque a afirmação de que esse mentiroso de duas orações é falso não leva a uma contradição. Eugene Mills apresenta uma resposta semelhante.

Saul Kripke

Saul Kripke argumentou que se uma sentença é paradoxal ou não pode depender de fatos contingentes. Se a única coisa que Smith diz sobre Jones é

e Jones diz apenas estas três coisas sobre Smith:

Se Smith realmente gasta muito, mas não é brando com o crime, então tanto a observação de Smith sobre Jones quanto a última observação de Jones sobre Smith são paradoxais.

Kripke propõe uma solução da seguinte maneira. Se o valor de verdade de uma afirmação está, em última análise, vinculado a algum fato avaliável sobre o mundo, essa afirmação é "fundamentada". Caso contrário, essa declaração é "sem fundamento". Declarações não fundamentadas não têm valor de verdade. Declarações mentirosas e declarações semelhantes a mentirosas são infundadas e, portanto, não têm valor de verdade.

Jon Barwise e John Etchemendy

Jon Barwise e John Etchemendy propõem que a sentença do mentiroso (que eles interpretam como sinônimo do Mentiroso Fortalecido) é ambígua. Eles baseiam essa conclusão em uma distinção que fazem entre uma "negação" e uma "negação". Se o mentiroso quiser dizer: "Não é verdade que esta afirmação é verdadeira", então ele está negando a si mesmo. Se significa, "Esta afirmação não é verdadeira", então está negando a si mesmo. Eles argumentam, com base na semântica da situação, que o "mentiroso da negação" pode ser verdadeiro sem contradição, enquanto a "negação mentirosa" pode ser falsa sem contradição. Seu livro de 1987 faz uso intenso da teoria dos conjuntos não bem fundamentada.

Dialeteísmo

Graham Priest e outros lógicos, incluindo J. C. Beall e Bradley Armour-Garb, propuseram que a sentença do mentiroso deveria ser considerada verdadeira e falsa, um ponto de vista conhecido como dialeteísmo. Dialeteísmo é a visão de que existem verdadeiras contradições. O dialeteísmo levanta seus próprios problemas. O principal deles é que, uma vez que o dialeteísmo reconhece o paradoxo do mentiroso, uma contradição intrínseca, como sendo verdadeiro, ele deve descartar o há muito reconhecido princípio da explosão, que afirma que qualquer proposição pode ser deduzida de uma contradição, a menos que o dialeteísta esteja disposto a aceitar trivialismo – a visão de que todas as proposições são verdadeiras. Visto que o trivialismo é uma visão intuitivamente falsa, os dialeteístas quase sempre rejeitam o princípio da explosão. Lógicas que o rejeitam são chamadas de paraconsistentes.

Não-cognitivismo

Andrew Irvine argumentou a favor de uma solução não cognitivista para o paradoxo, sugerindo que algumas sentenças aparentemente bem formadas acabarão não sendo nem verdadeiras nem falsas e que "critérios formais por si só se mostrarão inevitavelmente insuficientes' 34; para resolver o paradoxo.

Perspectivismo de Bhartrhari

O gramático-filósofo indiano Bhartrhari (final do século V dC) lidou com paradoxos como o do mentiroso em uma seção de um dos capítulos de sua magnum opus Vākyapadīya. A solução de Bhartrhari se encaixa em sua abordagem geral da linguagem, pensamento e realidade, que foi caracterizada por alguns como "relativista", "descomprometida" ou "perspectivista". Com relação ao paradoxo do mentiroso (sarvam mithyā bravīmi "tudo o que estou dizendo é falso"), Bhartrhari identifica um parâmetro oculto que pode transformar situações não problemáticas na comunicação diária em um paradoxo teimoso. A solução de Bhartrhari pode ser entendida em termos da solução proposta em 1992 por Julian Roberts: “Os paradoxos consomem a si mesmos. Mas podemos separar os lados conflitantes da contradição pelo simples expediente da contextualização temporal: o que é 'verdade' com respeito a um ponto no tempo não precisa ser assim em outro... A força geral do 'austiniano' O argumento não é apenas que "as coisas mudam", mas que a racionalidade é essencialmente temporal no sentido de que precisamos de tempo para reconciliar e administrar o que de outra forma seriam estados mutuamente destrutivos. De acordo com a sugestão de Robert, é o fator "tempo" que nos permite reconciliar as "partes do mundo" que desempenham um papel crucial na solução de Barwise e Etchemendy. A capacidade do tempo de impedir um confronto direto das duas "partes do mundo" está aqui externo ao "mentiroso". À luz da análise de Bhartrhari, no entanto, a extensão no tempo que separa duas perspectivas sobre o mundo ou duas "partes do mundo" – a parte antes e a parte depois que a função cumpre sua tarefa – é inerente a qualquer "função": também a função para significar que está subjacente a cada afirmação, incluindo o "mentiroso". O paradoxo insolúvel – uma situação em que temos contradição (virodha) ou regressão infinita (anavasthā) – surge, no caso do mentiroso e outros paradoxos, como a insignificabilidade paradoxo (paradoxo de Bhartrhari), quando se faz a abstração desta função (vyāpāra) e sua extensão no tempo, aceitando uma função oposta simultânea (apara vyāpāra) desfazendo a anterior.

Estrutura lógica

Para uma melhor compreensão do paradoxo do mentiroso, é útil escrevê-lo de forma mais formal. Se "esta afirmação é falsa" é denotado por A e seu valor de verdade está sendo buscado, é necessário encontrar uma condição que restrinja a escolha dos possíveis valores de verdade de A. Como A é auto-referencial, é possível fornecer a condição por meio de uma equação.

Se alguma declaração, B, é assumida como falsa, escreve-se, "B = false". A afirmação (C) de que a afirmação B é falsa seria escrita como "C = 'B = false' ". Agora, o paradoxo do mentiroso pode ser expresso como a afirmação A, de que A é falso:

Esta é uma equação da qual o valor verdadeiro de A = "esta afirmação é falsa" poderia ser obtido. No domínio booleano "A = false" é equivalente a "não A" e, portanto, a equação não é solúvel. Esta é a motivação para a reinterpretação de A. A abordagem lógica mais simples para tornar a equação solucionável é a abordagem dialeteísta, caso em que a solução é A sendo tanto "verdadeiro" e "falso". Outras resoluções incluem principalmente algumas modificações da equação; Arthur Prior afirma que a equação deve ser "A = 'A = false e A = true'" e, portanto, A é falso. Na lógica verbal computacional, o paradoxo do mentiroso é estendido a declarações como, "Eu ouço o que ele diz; ele diz o que eu não ouço, onde a lógica do verbo deve ser usada para resolver o paradoxo.

Aplicativos

Primeiro teorema da incompletude de Gödel

Os teoremas da incompletude de Gödel são dois teoremas fundamentais da lógica matemática que declaram limitações inerentes de sistemas axiomáticos suficientemente poderosos para a matemática. Os teoremas foram provados por Kurt Gödel em 1931 e são importantes na filosofia da matemática. Grosso modo, ao provar o primeiro teorema da incompletude, Gödel usou uma versão modificada do paradoxo do mentiroso, substituindo "esta sentença é falsa" com "esta sentença não é demonstrável", chamada de "sentença Gödel G". Sua prova mostrou que para qualquer teoria suficientemente poderosa T, G é verdadeiro, mas não demonstrável em T. A análise da verdade e demonstrabilidade de G é uma versão formalizada da análise da verdade da sentença mentirosa.

Para provar o primeiro teorema da incompletude, Gödel representou declarações por números. Então a teoria em questão, que supostamente prova certos fatos sobre números, também prova fatos sobre suas próprias afirmações. Questões sobre a provabilidade de afirmações são representadas como questões sobre as propriedades dos números, que seriam decidíveis pela teoria se ela fosse completa. Nesses termos, a sentença de Gödel afirma que não existe nenhum número natural com uma propriedade certa e estranha. Um número com essa propriedade codificaria uma prova da inconsistência da teoria. Se houvesse tal número, então a teoria seria inconsistente, ao contrário da hipótese de consistência. Portanto, sob a suposição de que a teoria é consistente, esse número não existe.

Não é possível substituir "não comprovável" com "falso" em uma sentença de Gödel porque o predicado "Q é o número de Gödel de uma fórmula falsa" não pode ser representado como uma fórmula de aritmética. Este resultado, conhecido como teorema da indefinibilidade de Tarski, foi descoberto independentemente por Gödel (quando ele estava trabalhando na prova do teorema da incompletude) e por Alfred Tarski.

George Boolos desde então esboçou uma prova alternativa do primeiro teorema da incompletude que usa o paradoxo de Berry em vez do paradoxo do mentiroso para construir uma fórmula verdadeira, mas improvável.

Na cultura popular

O paradoxo do mentiroso é ocasionalmente usado na ficção para desligar inteligências artificiais, que são apresentadas como incapazes de processar a sentença. No episódio "I, Mudd" de Star Trek: The Original Series, o paradoxo do mentiroso é usado pelo capitão Kirk e Harry Mudd para confundir e, por fim, desativar um andróide que os mantém cativos. Na série Doctor Who de 1973 The Green Death, o Doutor temporariamente confunde o insano BOSS do computador, perguntando-lhe "Se eu te dissesse que a próxima coisa que eu dizer seria verdade, mas que a última coisa que eu disse era mentira, você acreditaria em mim?" BOSS tenta descobrir, mas não consegue e, eventualmente, decide que a questão é irrelevante e chama a segurança.

No videogame Portal 2 de 2011, a inteligência artificial GLaDOS tenta usar a expressão "esta frase é falsa" paradoxo para matar outra inteligência artificial, Wheatley. No entanto, a falta de inteligência para perceber a afirmação é um paradoxo, ele simplesmente responde: 'Hum, é verdade. Eu vou com verdade. Pronto, foi fácil." e não é afetado. Com humor, todos os outros AIs presentes, exceto GLaDOS, todos significativamente menos conscientes e lúcidos do que ela e Wheatley, ainda são mortos por ouvir o paradoxo. No entanto, GLaDOS mais tarde observa que ela quase se matou em sua própria tentativa de matar Wheatley.

A música do Devo, Enough Said, inclui a letra A próxima coisa que eu disser para você será verdadeira / A última coisa que eu disse foi falsa.

No sétimo episódio de Minecraft: Story Mode intitulado "Acesso negado" o personagem principal Jesse e seus amigos são capturados por um supercomputador chamado PAMA. Depois que PAMA controla dois amigos de Jesse, Jesse descobre que PAMA para durante o processamento e usa um paradoxo para confundi-lo e escapar com seu último amigo. Um dos paradoxos que o jogador pode fazê-lo dizer é o paradoxo do mentiroso.

Em Douglas Adams O Guia do Mochileiro das Galáxias, capítulo 21, ele descreve um velho solitário habitando um pequeno asteróide nas coordenadas espaciais onde deveria haver um planeta inteiro dedicado a Formas de vida Biro. Este velho afirmou repetidamente que nada era verdade, embora mais tarde descobrisse que ele estava mentindo.

A música de 1994 da Rollins Band, "Liar" aludiu ao paradoxo quando o narrador termina a música afirmando "Vou mentir de novo e de novo e vou continuar mentindo, prometo".

A música de Robert Earl Keen "The Road Goes On and On" alude ao paradoxo. Acredita-se que a música tenha sido escrita como parte da rivalidade de Keen com Toby Keith, que provavelmente é o "mentiroso". Keen refere-se a.