Operação binária

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Uma operação binária é uma regra para combinar os argumentos e para produzir

Em matemática, uma operação binária ou operação diádica é uma regra para combinar dois elementos (chamados operandos) para produzir outro elemento. Mais formalmente, uma operação binária é uma operação de aridade dois.

Mais especificamente, uma operação binária interna em um conjunto é uma operação binária cujos dois domínios e o contradomínio são o mesmo conjunto. Os exemplos incluem as operações aritméticas familiares de adição, subtração e multiplicação. Outros exemplos são facilmente encontrados em diferentes áreas da matemática, como adição de vetores, multiplicação de matrizes e conjugação em grupos.

Uma operação de aridade dois que envolve vários conjuntos às vezes também é chamada de operação binária. Por exemplo, a multiplicação escalar de espaços vetoriais leva um escalar e um vetor para produzir um vetor, e o produto escalar leva dois vetores para produzir um escalar. Tais operações binárias podem ser chamadas simplesmente de funções binárias.

As operações binárias são a pedra angular da maioria das estruturas algébricas estudadas em álgebra, em particular em semigrupos, monóides, grupos, anéis, corpos e espaços vetoriais.

Terminologia

Mais precisamente, uma operação binária em um conjunto é um mapeamento dos elementos do produto cartesiano para :

Porque o resultado da realização da operação em um par de elementos de é novamente um elemento de , a operação chama-se um fechado (ou interno) operação binária em (ou às vezes expressa como tendo a propriedade do fechamento).

Se não é uma função, mas uma função parcial, então é chamado de operação binária parcial. Por exemplo, a divisão de números reais é uma operação binária parcial, porque não se pode dividir por zero: é indefinido para cada número real . Tanto na álgebra universal como na teoria dos modelos, as operações binárias devem ser definidas em todos os elementos .

Às vezes, especialmente na ciência da computação, o termo operação binária é usado para qualquer função binária.

Propriedades e exemplos

Exemplos típicos de operações binárias são a adição () e multiplicação () de números e matrizes, bem como composição de funções em um único conjunto. Por exemplo,

  • No conjunto de números reais , é uma operação binária, uma vez que a soma de dois números reais é um número real.
  • No conjunto de números naturais , é uma operação binária, uma vez que a soma de dois números naturais é um número natural. Esta é uma operação binária diferente da anterior desde que os conjuntos são diferentes.
  • No conjunto de matrizes com entradas reais, é uma operação binária, uma vez que a soma de duas matrizes é uma matriz.
  • No conjunto de matrizes com entradas reais, é uma operação binária, uma vez que o produto de duas matrizes é um matriz.
  • Para um determinado conjunto , let ser o conjunto de todas as funções . Definir por para todos , a composição das duas funções e em . Então... é uma operação binária, uma vez que a composição das duas funções é novamente uma função no conjunto (isto é, um membro de ).

Muitas operações binárias de interesse em álgebra e lógica formal são comutativas, satisfazendo para todos os elementos e em , ou associativo, satisfazendo para todos , e em . Muitos também têm elementos de identidade e elementos inversos.

Os três primeiros exemplos acima são comutativos e todos os exemplos acima são associativos.

No conjunto de números reais , subtração, isto é, , é uma operação binária que não é comutativa desde, em geral, . Também não é associativo, uma vez que, em geral, ; por exemplo, mas... .

No conjunto de números naturais , a exponencialização da operação binária, , não é comutativo desde, (cf. Equação xy = yx), e também não é associativo desde . Por exemplo, com , e , , mas . Alterando o conjunto para o conjunto de inteiros , esta operação binária torna-se uma operação binária parcial, uma vez que agora é indefinida quando e é qualquer inteiro negativo. Para qualquer conjunto, esta operação tem uma identidade correta (que é ) desde para todos no conjunto, que não é um identidade (duas identidades laterais) desde em geral.

Divisão (), uma operação binária parcial no conjunto de números reais ou racionais, não é comutativa ou associativa. Tetração (), como uma operação binária nos números naturais, não é comutativa ou associativa e não tem elemento de identidade.

Notação

Operações binárias são frequentemente escritas usando notação infixo, como , , ou (por justaposição sem símbolo) em vez de por notação funcional da forma . Os poderes são geralmente escritos sem operador, mas com o segundo argumento como superscript.

As operações binárias às vezes são escritas usando notação de prefixo ou (mais frequentemente) pós-fixada, ambas as quais dispensam parênteses. Eles também são chamados, respectivamente, de notação polonesa e notação polonesa reversa.

Operações binárias como relações ternárias

Uma operação binária em um conjunto pode ser visto como uma relação ternary em , isto é, o conjunto de triplos em para todos e em .

Operações binárias externas

Um operação binária externa é uma função binária de para . Isto difere de um operação binária em um conjunto no sentido em que não precisa ser ; seus elementos vêm de fora.

Um exemplo de uma operação binária externa é a multiplicação escalar em álgebra linear. Aqui. é um campo e é um espaço vetorial sobre esse campo.

Algumas operações binárias externas podem, alternativamente, ser vistas como uma ação sobre . Isso requer a existência de uma multiplicação associativa em , e uma regra de compatibilidade do formulário , onde e (aqui, tanto a operação externa quanto a multiplicação em são denotados por justaposição).

O produto do ponto de dois mapas de vetores para , onde é um campo e é um espaço vetorial sobre . Depende dos autores se é considerado como uma operação binária.

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