Números amigáveis

Demonstração, com hastes, da amicabilidade do par de números (220,284)

Números amigáveis são dois números naturais diferentes relacionados de tal forma que a soma dos divisores próprios de cada um é igual ao outro número. Ou seja, s(a)=b e s(b)= a, onde s(n)=σ(n)-n é igual à soma dos divisores positivos de n exceto o próprio n (veja também a função divisor).

O menor par de números amigáveis é (220, 284). Eles são amigáveis porque os divisores próprios de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110, dos quais a soma é 284; e os divisores próprios de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142, dos quais a soma é 220. (Um divisor próprio de um número é um fator positivo desse número diferente do próprio número. Por exemplo, os divisores próprios de 6 são 1, 2 e 3.)

Os primeiros dez pares amigáveis são: (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084) e (66928, 66992). (sequência A259180 no OEIS). (Veja também OEIS: A002025 e OEIS: A002046) Não se sabe se existem infinitos pares de números amigáveis.

Um par de números amigáveis constitui uma sequência alíquota de período 2. Um conceito relacionado é o de número perfeito, que é um número que é igual à soma dos seus próprios divisores próprios, ou seja um número que forma uma sequência alíquota de período 1. Os números que são membros de uma sequência alíquota com período maior que 2 são conhecidos como números sociáveis.

História

Os números amigáveis eram conhecidos pelos pitagóricos, que atribuíam a eles muitas propriedades místicas. Uma fórmula geral pela qual alguns desses números poderiam ser derivados foi inventada por volta de 850 pelo matemático iraquiano Thābit ibn Qurra (826–901). Outros matemáticos árabes que estudaram números amigáveis são al-Majriti (falecido em 1007), al-Baghdadi (980–1037) e al-Fārisī (1260–1320). O matemático iraniano Muhammad Baqir Yazdi (século XVI) descobriu o par (9363584, 9437056), embora isso tenha sido frequentemente atribuído a Descartes. Muito do trabalho dos matemáticos orientais nessa área foi esquecido.

A fórmula de Thābit ibn Qurra foi redescoberta por Fermat (1601–1665) e Descartes (1596–1650), a quem às vezes é atribuída, e estendida por Euler (1707–1783). Foi ampliado ainda mais por Borho em 1972. Fermat e Descartes também redescobriram pares de números amigáveis conhecidos pelos matemáticos árabes. Euler também descobriu dezenas de novos pares. O segundo menor par, (1184, 1210), foi descoberto em 1867 por B. Nicolò I. Paganini, de 16 anos (não confundir com o compositor e violinista), tendo sido negligenciado por matemáticos anteriores.

Em 1946 havia 390 pares conhecidos, mas o advento dos computadores permitiu a descoberta de muitos milhares desde então. Pesquisas exaustivas foram realizadas para encontrar todos os pares menores que um determinado limite, este limite sendo estendido de 10⁸ em 1970, para 10¹⁰ em 1986, 10 ¹¹ em 1993, 10¹⁷ em 2015 e 10¹⁸ em 2016.

A partir de 1º de fevereiro de 2023, havia mais de 11.227.816.808 pares amigáveis conhecidos.

Regras para geração

Embora essas regras gerem alguns pares de números amigáveis, muitos outros pares são conhecidos, portanto, essas regras não são abrangentes.

Em particular, as duas regras abaixo produzem apenas pares pares amigáveis, então elas não são de interesse para o problema aberto de encontrar pares amigáveis coprimos a 210 = 2·3·5·7, enquanto mais de 1000 pares coprimos a 30 = 2·3·5 são conhecidos [García, Pedersen & te Riele (2003), Sándor & Cristici (2004)].

Teorema de Thābit ibn Qurra

O teorema de Thābit ibn Qurra é um método para descobrir números amigáveis inventado no século IX pelo matemático árabe Thābit ibn Qurra.

Afirma que se

p = 3 × 2^{n - 1} - 1,

q = 3 × 2ⁿ - 1,

R = 9×2^{2n - 1} - 1,

onde n > 1 é um número inteiro e p, q e r são números primos, então 2ⁿ×p×q e 2ⁿ×r são um par de números amigáveis. Esta fórmula fornece os pares (220, 284) para n = 2, (17296, 18416) para n = 4 e (9363584, 9437056) para n = 7, mas nenhum outro desses pares é conhecido. Números na forma 3×2ⁿ − 1 são conhecidos como números Thabit. Para que a fórmula de Ibn Qurra produza um par amigável, dois números Thabit consecutivos devem ser primos; isso restringe severamente os valores possíveis de n.

Para estabelecer o teorema, Thâbit ibn Qurra provou nove lemas divididos em dois grupos. Os três primeiros lemas tratam da determinação das partes alíquotas de um inteiro natural. O segundo grupo de lemas trata mais especificamente da formação dos números perfeitos, abundantes e deficientes.

Regra de Euler

A regra de Euler é uma generalização do teorema de Thâbit ibn Qurra. Afirma que se

p (2^{n - Sim. m} + 1) × 2^m - 1,

q (2^{n - Sim. m} + 1) × 2ⁿ - 1,

R (2^{n - Sim. m} + 1)²×^{m + n} - 1,

onde n > m > 0 são inteiros e p, q e r são números primos, então 2 ⁿ×p×q e 2 ⁿ×r são um par de números amigáveis. O teorema de Thābit ibn Qurra corresponde ao caso m = n − 1. A regra de Euler cria pares amigáveis adicionais para (m,n) = (1,8), (29,40) sem que outros sejam conhecidos. Euler (1747 e 1750) no geral encontrou 58 novos pares, aumentando o número de pares conhecidos para 61.

Pares regulares

Let (m, n ) seja um par de números amigáveis com m < n e escreva m = gM e n = gN onde g é o máximo divisor comum de m e n . Se M e N são ambos primos de g e quadrados livres então o par (m, n) é considerado regular (sequência A215491 no OEIS); caso contrário, é chamado de irregular ou exótico. Se (m, n) é regular e M e N têm i e j fatores primos respectivamente, então (m, n) é dito ser de tipo (i, j).

Por exemplo, com (m, n) = (220, 284), o máximo divisor comum é 4 e assim M = 55 e N = 71. Portanto, (220, 284) é regular do tipo (2, 1).

Pares gêmeos amigáveis

Um par amigável (m, n) é gêmeo se não houver números inteiros entre m e n pertencentes a qualquer outro par amigável (sequência A273259 no OEIS).

Outros resultados

Em todos os casos conhecidos, os números de um par são ambos pares ou ambos ímpares. Não se sabe se existe um par par-ímpar de números amigáveis, mas se existir, o número par deve ser um número quadrado ou duas vezes um, e o número ímpar deve ser um número quadrado. No entanto, existem números amigáveis em que os dois membros têm menores fatores primos diferentes: existem sete desses pares conhecidos. Além disso, todo par conhecido compartilha pelo menos um fator primo comum. Não se sabe se existe um par de números amigáveis coprimos, embora, se houver, o produto dos dois deve ser maior que 10⁶⁷. Além disso, um par de números amigáveis coprimos não pode ser gerado pela fórmula de Thabit (acima), nem por qualquer fórmula semelhante.

Em 1955, Paul Erdős mostrou que a densidade dos números amigáveis, em relação aos inteiros positivos, era 0.

Em 1968, Martin Gardner observou que a maioria dos pares amigáveis conhecidos em sua época têm somas divisíveis por 9 e uma regra para caracterizar as exceções (sequência A291550 no OEIS) foi obtido.

De acordo com a conjectura da soma de pares amigáveis, à medida que o número de números amigáveis se aproxima do infinito, a porcentagem das somas dos pares amigáveis divisíveis por dez se aproxima de 100% (sequência A291422 no OEIS). Embora todos os pares amigáveis até 10.000 sejam pares, a proporção de pares amigáveis ímpares aumenta constantemente em direção a números mais altos e, presumivelmente, há mais deles do que pares amigáveis (A360054 no OEIS).

Existem pares amigáveis Gaussianos.

Generalizações

Tuplos amigáveis

Números amáveis (m,n)(m,n)} satisfação σ σ (m)- Sim. - Sim. m= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =n{displaystyle sigma (m)-m=n} e σ σ (n)- Sim. - Sim. n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =m{displaystyle sigma (n)-n=m} que pode ser escrito em conjunto como σ σ (m)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =σ σ (n)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =m+n{displaystyle sigma (m)=sigma (n)=m+n}. Isso pode ser generalizado para tuplas maiores, digamos (n1,n2,...... ,nk)(n_{1},n_{2},ldotsn_{k})}, onde exigimos

σ σ (n1)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =σ σ (n2)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =⋯ ⋯ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =σ σ (nk)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =n1+n2+⋯ ⋯ +nk(n_{1})=sigma (n_{2})=dots =sigma (n_{k})=n_{1}+n_{2}+dots +n_{k}}

Por exemplo, (1980, 2016, 2556) é um triplo amigável (sequência A125490 no OEIS) e (3270960, 3361680, 3461040, 3834000) é um quádruplo amigável (sequência A036471 no OEIS).

Os multiconjuntos amigáveis são definidos de forma análoga e generalizam isso um pouco mais (sequência A259307 no OEIS).

Números sociáveis

Os números sociáveis são os números em listas cíclicas de números (com um comprimento maior do que 2) onde cada número é a soma dos divisores adequados do número anterior. Por exemplo, 1264460↦ ↦ 1547860↦ ↦ 1727636↦ ↦ 1305184↦ ↦ 1264460↦ ↦ ...... {displaystyle 1264460mapsto 1547860mapsto 1727636mapsto 1305184mapsto 1264460mapsto dots } são números sociáveis da ordem 4.

Pesquisando por números sociáveis

A sequência aliquot pode ser representada como um gráfico direcionado, Gn,SNão. G_{n,s}}, para um determinado inteiro nNão., onde S(k)(k)} denota o soma dos divisores adequados kNão.. Ciclos em Gn,SNão. G_{n,s}} representar números sociáveis dentro do intervalo Não.1,n]Não. [1,n]. Dois casos especiais são loops que representam números perfeitos e ciclos de comprimento dois que representam pares amicable.

Referências na cultura popular

• Os números amicable são destaque no romance A governanta e o professor por Yōko Ogawa, e no filme japonês baseado nele.
• Coleta de contos de Paul Auster intitulada Verdadeiros Contos da Vida Americana contém uma história ('Mathematical Aphrodisiac' de Alex Galt) em que os números amicable desempenham um papel importante.
• Os números amicable são apresentados brevemente no romance A Casa Estranho por Reginald Hill.
• Os números amicable são mencionados no romance francês O teorema do papagaio por Denis Guedj.
• Os números amicable são mencionados no JRPG Persona 4 Golden.
• Os números amicable são destaque no romance visual Reescrever.
• Números amigável (220, 284) são referenciados no episódio 13 do drama coreano de 2017 Andante.
• Os números amicable são destaque no filme grego O Outro Eu (2016 filme).
• Os números amicable são discutidos no livro Brian Cleggs Os números são reais?
• Os números amicable são mencionados no romance 2020 Apeirogon por Colum McCann.