Número da condição

Em análise numérica, número de condição de uma função mede quanto o valor de saída da função pode mudar para uma pequena mudança no argumento de entrada. Isso é usado para medir como uma função sensível é para alterações ou erros na entrada, e quanto erro na saída resulta de um erro na entrada. Muito frequentemente, resolve-se o problema inverso: dado f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Sim.,(x)=y,} um está resolvendo para x, e, portanto, o número de condição do inverso (local) deve ser usado. Na regressão linear, o número de condição da matriz de momento pode ser usado como diagnóstico para a multicollinearidade.

O número de condição é uma aplicação da derivada e é formalmente definido como o valor da mudança relativa assintótica do pior caso na saída para uma mudança relativa na entrada. A "função" é a solução de um problema e os "argumentos" são os dados do problema. O número de condição é freqüentemente aplicado a questões de álgebra linear, caso em que a derivada é direta, mas o erro pode estar em muitas direções diferentes e, portanto, é calculado a partir da geometria da matriz. De forma mais geral, os números de condição podem ser definidos para funções não lineares em diversas variáveis.

Um problema com um número de condição baixo é dito ser bem condicionado, enquanto um problema com um número de condição alto é dito ser mal condicionado. Em termos não matemáticos, um problema mal condicionado é aquele em que, para uma pequena mudança nas entradas (as variáveis independentes), há uma grande mudança na resposta ou variável dependente. Isso significa que a solução/resposta correta para a equação se torna difícil de encontrar. O número de condição é uma propriedade do problema. Junto com o problema estão vários algoritmos que podem ser usados para resolvê-lo, ou seja, para calcular a solução. Alguns algoritmos possuem uma propriedade chamada estabilidade retrógrada; em geral, pode-se esperar que um algoritmo estável para trás resolva com precisão problemas bem condicionados. Os livros didáticos de análise numérica fornecem fórmulas para os números de condição dos problemas e identificam algoritmos conhecidos e estáveis.

Como regra do polegar, se o número de condição κ κ (A)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =10.k{displaystyle kappa (A)=10^{k}}, então você pode perder até kNão. dígitos de precisão em cima do que seria perdido para o método numérico devido à perda de precisão de métodos aritméticos. No entanto, o número de condição não dá o valor exato da imprecisão máxima que pode ocorrer no algoritmo. Geralmente limita-o com uma estimativa (cujo valor calculado depende da escolha da norma para medir a imprecisão).

Definição geral no contexto da análise de erros

Dado um problema fNão. e um algoritmo f~ ~ {displaystyle {tilde {f}}} com uma entrada xNão. e saída f~ ~ (x),{displaystyle {tilde {f}}(x),} o erro o δ δ f(x)?f(x)- Sim. - Sim. f~ ~ (x),{displaystyle delta f(x):=f(x)-{tilde {f}}(x),} o erro absoluto é ‖ ‖ δ δ f(x)‖ ‖ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =‖f(x)- Sim. - Sim. f~ ~ (x)‖{displaystyle |delta f(x)|=left|f(x)-{tilde {f}}(x)right|} e o erro relativo é ‖ ‖ δ δ f(x)‖ ‖ /‖ ‖ f(x)‖ ‖ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =‖f(x)- Sim. - Sim. f~ ~ (x)‖/‖ ‖ f(x)‖ ‖ .{displaystyle |delta f(x)|/|f(x)|=left|f(x)-{tilde {f}}(x)right|/|f(x)|.}

Neste contexto, o absoluto número de condição de um problema fNão. o

Limpar.ε ε → → 0+Vamos.‖ ‖ δ δ x‖ ‖ ≤ ≤ ε ε ‖ ‖ δ δ f(x)‖ ‖ ‖ ‖ δ δ x‖ ‖ {displaystyle lim _{varepsilon rightarrow 0^{+}},sup _{|delta x|,leq ,varepsilon }{frac {|delta f(x)|}{|delta x|}}}

e o número da condição relativa é

Limpar.ε ε → → 0+Vamos.‖ ‖ δ δ x‖ ‖ ≤ ≤ ε ε ‖ ‖ δ δ f(x)‖ ‖ /‖ ‖ f(x)‖ ‖ ‖ ‖ δ δ x‖ ‖ /‖ ‖ x‖ ‖ .{displaystyle lim _{varepsilon rightarrow 0^{+}},sup _{|delta x|,leq ,varepsilon }{frac {|delta f(x)|/|f(x)||delta x|x|}}}

Matrizes

Por exemplo, o número de condição associado à equação linear Ax = b dá um limite de quão imprecisa a solução x será após a aproximação. Observe que isso ocorre antes que os efeitos do erro de arredondamento sejam levados em consideração; o condicionamento é uma propriedade da matriz, não do algoritmo ou precisão de ponto flutuante do computador usado para resolver o sistema correspondente. Em particular, deve-se pensar no número de condição como sendo (mais ou menos) a taxa na qual a solução x mudará em relação a uma mudança em b. Assim, se o número da condição for grande, mesmo um pequeno erro em b pode causar um grande erro em x. Por outro lado, se o número da condição for pequeno, então o erro em x não será muito maior que o erro em b.

O número de condição é definido mais precisamente para ser a razão máxima do erro relativo em x para o erro relativo em b.

Seja e o erro em b. Assumindo que A é uma matriz não singular, o erro na solução A⁻¹b é A ⁻¹e. A razão do erro relativo na solução para o erro relativo em b é

‖A- Sim. - Sim. 1e‖‖A- Sim. - Sim. 1b)‖/‖ ‖ e‖ ‖ ‖ ‖ b)‖ ‖ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =‖A- Sim. - Sim. 1e‖‖ ‖ e‖ ‖ ‖ ‖ b)‖ ‖ ‖A- Sim. - Sim. 1b)‖.{displaystyle {frac {left|A^{-1}eright|}{left|A^{-1}bright|}}/{frac {|e|}{|b|}}={frac {left|A^{-1}eright|}{|e|}}{frac {|b|}{left|A^{-1}bright|}}.}

O valor máximo (para b e e diferentes de zero) é então visto como o produto das duas normas do operador como segue:

máx.e,b)≠ ≠ 0(‖A- Sim. - Sim. 1e‖‖ ‖ e‖ ‖ ‖ ‖ b)‖ ‖ ‖A- Sim. - Sim. 1b)‖?= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =máx.e≠ ≠ 0(‖A- Sim. - Sim. 1e‖‖ ‖ e‖ ‖ ?máx.b)≠ ≠ 0(‖ ‖ b)‖ ‖ ‖A- Sim. - Sim. 1b)‖?= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =máx.e≠ ≠ 0(‖A- Sim. - Sim. 1e‖‖ ‖ e‖ ‖ ?máx.x≠ ≠ 0(‖ ‖ Ax‖ ‖ ‖ ‖ x‖ ‖ ?= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =‖A- Sim. - Sim. 1‖‖ ‖ A‖ ‖ .{displaystyle {begin{aligned}max _{e,bneq 0}left{{frac {left|A^{-1}eright|}{|e|}}{frac {|b|}{left|A^{-1}bright|}}right}&=max _{eneq 0}left{{frac {left|A^{-1}eright|}{|e|}}right},max _{bneq 0}left{{frac {|b|}{left|A^{-1}bright|}}right}\&=max _{eneq 0}left{{frac {left|A^{-1}eright|}{|e|}}right},max _{xneq 0}left{{frac {|Ax|}{|x|}}right}\&=left|A^{-1}right|,|A|end{aligned}.

A mesma definição é usada para qualquer norma consistente, ou seja, aquela que satisfaz

κ κ (A)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =‖A- Sim. - Sim. 1‖‖A‖≥ ≥ ‖A- Sim. - Sim. 1A‖= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1.{displaystyle kappa (A)=left|A^{-1}right|,left|Aright|geq) left|A^{-1}Aright|=1.}

Quando o número de condição é exatamente um (o que só pode acontecer se A for um múltiplo escalar de uma isometria linear), então um algoritmo de solução pode encontrar (em princípio, significando que se o algoritmo não introduzir erros próprios) uma aproximação da solução cuja precisão não é pior do que a dos dados.

No entanto, isso não significa que o algoritmo irá convergir rapidamente para esta solução, apenas que não irá divergir arbitrariamente por causa da imprecisão nos dados de origem (erro de retorno), desde que o erro de avanço introduzido pelo algoritmo não diverja também devido ao acúmulo de erros de arredondamento intermediários.

O número de condição também pode ser infinito, mas isso implica que o problema está mal posto (não possui uma solução única e bem definida para cada escolha de dados; ou seja, a matriz não é invertível) e não pode-se esperar que o algoritmo encontre uma solução de forma confiável.

A definição do número de condição depende da escolha da norma, como pode ser ilustrado por dois exemplos.

Se ‖ ‖ )) ‖ ‖ {displaystyle |cdot |} é a norma matriz induzida pelo (vetor) Norma euclidiana (às vezes conhecida como a L² norma e tipicamente denotado como ‖ ‖ )) ‖ ‖ 2{displaystyle |cdot |_{2}}), então

κ κ (A)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =σ σ máx.(A)σ σ min(A),(A)={frac {sigma _{text{max}}(A)}{sigma _{text{min}}(A)}},}

Onde? σ σ máx.(A){displaystyle sigma _{text{max}}(A)} e σ σ min(A){displaystyle sigma _{text{min}}(A)} são valores máximos e mínimos singulares ANão. A. respectivamente. Assim:

• Se ANão. A. é normal, então
  κ κ (A)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =|λ λ máx.(A)||λ λ min(A)|,{displaystyle kappa (A)={frac {left|lambda _{text{max}}(A)right|}{left|lambda _{text{min}}(A)right|}},}

  
  Onde? λ λ máx.(A){displaystyle lambda _{text{max}}(A)} e λ λ min(A){displaystyle lambda _{text{min}}(A)} são valores máximos e mínimos (por moduli) de ANão. A. respectivamente.
• Se ANão. A. é unitário, então κ κ (A)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1.(A)=1.}

O número de condição em relação a L² surge com tanta frequência na álgebra linear numérica que recebe um nome, o número de condição de uma matriz.

Se ‖ ‖ )) ‖ ‖ {displaystyle |cdot |} é o norma de matriz induzida por L∞ ∞ {displaystyle L^{infty }} (vector) norma e ANão. A. é inferior triangular não-singular (i.e. umEu...Eu...≠ ≠ 0{displaystyle a_{ii}neq] 0 para todos Eu...Não.), então

κ κ (A)≥ ≥ máx.Eu...(|umEu...Eu...|)minEu...(|umEu...Eu...|){displaystyle kappa (A)geq {frac {max _{i}{big (}|a_{ii}|{big)}}{min _{i}{big (}|a_{ii}|{big)}}}}

lembrando que os autovalores de qualquer matriz triangular são simplesmente as entradas diagonais.

O número de condição calculado com esta norma é geralmente maior do que o número de condição calculado em relação à norma euclidiana, mas pode ser avaliado mais facilmente (e este é muitas vezes o único número de condição computável na prática, quando o problema a resolver envolve um álgebra não linear, por exemplo, ao aproximar funções ou números irracionais e transcendentes com métodos numéricos).

Se o número de condição não é significativamente maior do que um, a matriz é bem-condicionado, o que significa que seu inverso pode ser computado com boa precisão. Se o número de condição é muito grande, então a matriz é dito ser mal-condicionado. Praticamente, tal matriz é quase singular, e a computação de seu inverso, ou solução de um sistema linear de equações é propensa a grandes erros numéricos. Uma matriz que não é invertível é frequentemente dita ter um número de condição igual ao infinito. Alternativamente, pode ser definido como κ κ (A)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =‖ ‖ A‖ ‖ ‖ ‖ A† † ‖ ‖ {displaystyle kappa (A)=|A||A^{dagger }|}, onde A† † Não. A^{dagger }} é o pseudoinverso Moore-Penrose. Para matrizes quadradas, isso infelizmente torna o número de condição descontínuo, mas é uma definição útil para matrizes retangulares, que nunca são invertíveis, mas ainda são usados para definir sistemas de equações.

Não linear

Os números de condição também podem ser definidos para funções não lineares e podem ser calculados usando cálculo. O número de condição varia com o ponto; em alguns casos, pode-se usar o número de condição máximo (ou supremo) sobre o domínio da função ou domínio da questão como um número de condição geral, enquanto em outros casos o número de condição em um ponto específico é mais interessante.

Uma variável

O número de condição de uma função diferencial fNão. em uma variável como uma função é |xf?/f|{displaystyle left|xf'/fright|}. Avaliado em um ponto xNão.Isto é...

|xf?(x)f(x)|.{displaystyle left|{frac {xf'(x)}{f(x)}}right|.}

Mais elegantemente, isso pode ser entendido como (o valor absoluto de) a relação do derivado logarítmico de fNão., que é (log⁡ ⁡ f)?= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f?/f(log f)'=f'/f}, e o derivado logarítmico de xNão., que é (log⁡ ⁡ x)?= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x?/x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1/x(log x)'=x'/x=1/x}, produzindo uma proporção de xf?/fNão.. Isto porque o derivado logarítmico é a taxa infinitesimal de mudança relativa em uma função: é o derivado f?Não. dimensionado pelo valor de fNão.. Note que se uma função tem um zero em um ponto, seu número de condição no ponto é infinito, pois as mudanças infinitesimais na entrada podem mudar a saída de zero para positivo ou negativo, produzindo uma relação com zero no denominador, daí a mudança relativa infinita.

Mais diretamente, dada uma pequena mudança ? ? x{displaystyle Delta x} em xNão., a mudança relativa em xNão. o Não.(x+? ? x)- Sim. - Sim. x]/x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(? ? x)/x(x+Delta x)-x]/x=(Delta x)/x}, enquanto a mudança relativa em f(x)(x)} o Não.f(x+? ? x)- Sim. - Sim. f(x)]/f(x)(x+Delta x)-f(x)]/f(x)}. Tomando os rendimentos da razão

Não.f(x+? ? x)- Sim. - Sim. f(x)]/f(x)(? ? x)/x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =xf(x)f(x+? ? x)- Sim. - Sim. f(x)(x+? ? x)- Sim. - Sim. x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =xf(x)f(x+? ? x)- Sim. - Sim. f(x)? ? x.{displaystyle {frac {[f(x+Delta x)-f(x)]/f(x)}{(Delta x)/x}}={frac {x}{f(x)}}{frac {f(x+Delta x)-f(x)}{(x+Delta x)-x}}={frac {x}{f(x)}} Delta x}}.

O último termo é o quociente de diferença (a inclinação da linha secante), e tomando o limite produz a derivada.

Os números de condição de funções elementares comuns são particularmente importantes na computação de algarismos significativos e podem ser calculados imediatamente a partir da derivada; veja aritmética de significado de funções transcendentais. Alguns importantes são dados abaixo:

Nome	Símbolo	Número de condições
Adição / subtração	x+um- Sim.	|xx+um|{displaystyle left|{frac {x}{x+a}}right|}
multiplicação de Scalar	umx- Sim.	1Não. 1
Divisão	1/xNão.	1Não. 1
Polinomial	xn{displaystyle x^{n}}	|n||n|}
Função experiencial	ex{displaystyle e^{x}}	|x||x|}
Função de logaritm natural	I⁡ ⁡ (x)(x)}	|1I⁡ ⁡ (x)|{displaystyle left|{frac {1}{ln(x)}}right|}
Função de Sine	pecado⁡ ⁡ (x)(x)}	|xCot⁡ ⁡ (x)||xcot(x)|}
Função de cossena	e⁡ ⁡ (x)(x)}	|xbronzeado⁡ ⁡ (x)||xtan(x)|}
Função tangente	bronzeado⁡ ⁡ (x){displaystyle tan(x)}	|x(bronzeado⁡ ⁡ (x)+Cot⁡ ⁡ (x))||x(tan(x)+cot(x))|}
Função de seio inverso	Produtos de plástico⁡ ⁡ (x)(x)}	x1- Sim. - Sim. x2Produtos de plástico⁡ ⁡ (x){displaystyle {frac {x}{{sqrt {1-x^{2}}}arcsin(x)}}}
Função cosina inversa	Arcos⁡ ⁡ (x)(x)}	|x|1- Sim. - Sim. x2Arcos⁡ ⁡ (x){displaystyle {frac {|x|}{{sqrt {1-x^{2}}}arccos(x)}}}
Função tangente inversa	arctan⁡ ⁡ (x)(x)}	x(1+x2)arctan⁡ ⁡ (x){displaystyle {frac {x}{(1+x^{2})arctan(x)}}}

Várias variáveis

Os números de condição podem ser definidos para qualquer função fNão. mapear seus dados de algum domínio (por exemplo, um mNão.-tuple de números reais xNão.) em algum codomínio (por exemplo, nNão.-tuple de números reais f(x)(x)}), onde tanto o domínio como o codomínio são espaços de Banach. Eles expressam o quão sensível essa função é para pequenas mudanças (ou pequenos erros) em seus argumentos. Isso é crucial para avaliar a sensibilidade e as possíveis dificuldades de precisão de inúmeros problemas computacionais, por exemplo, achado de raiz polinomial ou cálculo de eigenvalues.

O número de condição de fNão. em um ponto xNão. (especificamente, sua número de condição relativa) é então definido como a proporção máxima da mudança fracionária em f(x)(x)} a qualquer alteração fracionada xNão., no limite em que a mudança δ δ x- Sim. em xNão. torna-se infinitamente pequeno:

Limpar.ε ε → → 0+Vamos.‖ ‖ δ δ x‖ ‖ ≤ ≤ ε ε Não.‖f(x+δ δ x)- Sim. - Sim. f(x)‖‖ ‖ f(x)‖ ‖ /‖ ‖ δ δ x‖ ‖ ‖ ‖ x‖ ‖ ],{displaystyle lim _{varepsilon to 0^{+}}sup _{|delta x|leq varepsilon }left[left.{frac {left|f(x+delta x)-f(x)right|}{|f(x)right/{frac

Onde? ‖ ‖ )) ‖ ‖ {displaystyle |cdot |} é uma norma sobre o domínio/codomínio de fNão..

Se fNão. é diferente, isto é equivalente a:

‖ ‖ JJ(x)‖ ‖ ‖ ‖ f(x)‖ ‖ /‖ ‖ x‖ ‖ ,{displaystyle {frac {|J(x)|}{|f(x)|/|x|}},}

Onde? JJ(x)(x)} denota a matriz jacobina de derivados parciais de fNão. em xNão.e ‖ ‖ JJ(x)‖ ‖ {displaystyle |J(x)|} é a norma induzida na matriz.