Número construtível

A raiz quadrada de 2 é igual ao comprimento da hipotenusa de um triângulo direito com pernas de comprimento 1 e, portanto, é número de construção

Em geometria e álgebra, um número real RNão. o construtivo se e somente se, dada uma linha de comprimento da unidade, um segmento de linha de comprimento |R|- Sim. pode ser construído com bússola e borda reta em um número finito de passos. Equivalentemente, RNão. é construível se e somente se houver uma expressão de forma fechada para RNão. usando apenas inteiros e as operações para adição, subtração, multiplicação, divisão e raízes quadradas.

A definição geométrica de números construtíveis motiva uma definição correspondente de pontos construtíveis, que podem novamente ser descritos geométrica ou algebricamente. Um ponto é construtível se puder ser produzido como um dos pontos de um compasso e construção de borda reta (um ponto final de um segmento de linha ou ponto de cruzamento de duas linhas ou círculos), a partir de um determinado segmento de comprimento unitário. Alternativa e equivalentemente, tomando as duas extremidades do segmento dado como sendo os pontos (0, 0) e (1, 0) de um sistema de coordenadas cartesianas, um ponto é construível se e somente se suas coordenadas cartesianas são ambos números construtíveis. Números e pontos construtíveis também foram chamados de números de régua e compasso e pontos de régua e compasso, para distingui-los de números e pontos que podem ser construídos usando outros processos.

O conjunto de números construtíveis forma um corpo: aplicar qualquer uma das quatro operações aritméticas básicas aos membros desse conjunto produz outro número construtível. Este corpo é uma extensão de campo dos números racionais e por sua vez está contido no corpo dos números algébricos. É o fechamento euclidiano dos números racionais, a menor extensão de campo dos racionais que inclui as raízes quadradas de todos os seus números positivos.

A prova da equivalência entre as definições algébricas e geométricas de números construtíveis tem o efeito de transformar questões geométricas sobre construções com régua e compasso em álgebra, incluindo vários problemas famosos da matemática grega antiga. A formulação algébrica dessas questões levou a provas de que suas soluções não são construtíveis, depois que a formulação geométrica dos mesmos problemas desafiou séculos de ataque.

Definições geométricas

Pontos construíveis geometricamente

Vamos. ONão. O. e ANão. A. ser dois pontos distintos no plano euclidiano, e definir SNão. S. para ser o conjunto de pontos que podem ser construídos com bússola e straightedge começando com ONão. O. e ANão. A.. Então os pontos de SNão. S. são chamados pontos de construção. ONão. O. e ANão. A. são, por definição, elementos de SNão. S.. Descrever com mais precisão os elementos restantes SNão. S., fazer as seguintes duas definições:

• um segmento de linha cujos pontos finais estão em SNão. S. é chamado de segmento construídoe
• um círculo cujo centro está em SNão. S. e que passa por um ponto de SNão. S. (alternativamente, cujo raio é a distância entre alguns pontos distintos de SNão. S.) é chamado de círculo construído.

Então, os pontos de SNão. S., além ONão. O. e ANão. A. são:

• a interseção de dois segmentos não paralelos construídos, ou linhas através de segmentos construídos,
• os pontos de interseção de um círculo construído e um segmento construído, ou linha através de um segmento construído, ou
• os pontos de interseção de dois círculos construídos distintos.

Como exemplo, o ponto médio do segmento construído OANão. OA é um ponto construível. Uma construção para ele é construir dois círculos com OANão. OA como raio, e a linha através dos dois pontos de cruzamento destes dois círculos. Então o ponto médio do segmento OANão. OA é o ponto onde este segmento é cruzado pela linha construída.

Números construíveis geometricamente

A informação inicial para a formulação geométrica pode ser usada para definir um sistema de coordenadas cartesianas em que o ponto ONão. O. está associado à origem com coordenadas (0,0)(0) e em que ponto ANão. A. está associado com as coordenadas (1,0)(0). Os pontos SNão. S. pode agora ser usado para ligar a geometria e a álgebra, definindo uma número de construção ser uma coordenada de um ponto construível.

Definições equivalentes são que um número construível é o xNão.-coordenação de um ponto construível (x,0)(x,0)} ou o comprimento de um segmento de linha construível. Em uma direção desta equivalência, se um ponto construível tem coordenadas (x,Sim.)(x,y)}, então o ponto (x,0)(x,0)} pode ser construído como sua projeção perpendicular sobre o xNão.-axis, e o segmento da origem a este ponto tem comprimento xNão.. Na direção reversa, se xNão. é o comprimento de um segmento de linha construível, então intersectando o xNão.-axis com um círculo centrado em ONão. O. com raio xNão. dá o ponto (x,0)(x,0)}. Segue-se desta equivalência que cada ponto cujas coordenadas cartesianas são números geometricamente construíveis é em si um ponto geometricamente construível. Para, quando xNão. e Sim.- Sim. são números geometricamente construíveis, ponto (x,Sim.)(x,y)} pode ser construído como a interseção de linhas através (x,0)(x,0)} e (0,Sim.)- Sim., perpendicular aos eixos de coordenadas.

Definições algébricas

Números construíveis algebricamente

Os números reais algébricamente construíveis são o subconjunto dos números reais que podem ser descritos por fórmulas que combinam inteiros usando as operações de adição, subtração, multiplicação, inverso multiplicativo e raízes quadradas de números positivos. Ainda mais simplesmente, à custa de fazer essas fórmulas mais longas, os inteiros nestas fórmulas podem ser restritos a ser apenas 0 e 1. Por exemplo, a raiz quadrada de 2 é construível, porque pode ser descrita pelas fórmulas 2(2}}} ou 1+1(1+1}}}.

Analogamente, os números complexos algébricamente construíveis são o subconjunto de números complexos que têm fórmulas do mesmo tipo, usando uma versão mais geral da raiz quadrada que não é restrita a números positivos, mas pode, em vez disso, tomar números complexos arbitrários como seu argumento, e produz a raiz quadrada principal de seu argumento. Alternativamente, o mesmo sistema de números complexos pode ser definido como os números complexos cujas partes reais e imaginárias são ambos números reais construíveis. Por exemplo, o número complexo Eu...Não. tem as fórmulas - Sim. - Sim. 1(-1}}} ou 0- Sim. - Sim. 1(0-1}}}, e suas partes reais e imaginárias são os números construíveis 0 e 1 respectivamente.

Estas duas definições dos números complexos construíveis são equivalentes. Em uma direção, se q= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x+Eu...Sim.- Sim. é um número complexo cuja parte real xNão. e parte imaginária Sim.- Sim. são ambos números reais construíveis, em seguida, substituindo xNão. e Sim.- Sim. por suas fórmulas dentro da fórmula maior x+Sim.- Sim. - Sim. 1{displaystyle x+y{sqrt {-1}}} produz uma fórmula para qNão. como um número complexo. Em outra direção, qualquer fórmula para um número complexo algébricamente construível pode ser transformada em fórmulas para suas partes reais e imaginárias, expandindo recursivamente cada operação na fórmula em operações nas partes reais e imaginárias de seus argumentos, usando as expansões

• (um+Eu...b))± ± (c+Eu...D)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(um± ± c)+Eu...(b)± ± D)(a+ib)pm (c+id)=(apm c)+i(bpm d)}
• (um+Eu...b))(c+Eu...D)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(umc- Sim. - Sim. b)D)+Eu...(umD+b)c)(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)}
• 1um+Eu...b)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =umum2+b)2+Eu...- Sim. - Sim. b)um2+b)2{displaystyle {frac {1}{a+ib}}={frac (a}{a^{2}+b^{2}}}+i{frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}}
• um+Eu...b)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(um+R)RS+Eu...b)RS{displaystyle {sqrt {a+ib}}={frac {(a+r){sqrt - Sim. (b) - Sim., onde R= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =um2+b)2- Sim. (a^{2}+b^{2}{}_{!}}}} e S= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(um+R)2+b)2(a+r)^{2}+b^{2}}.

Pontos construíveis algebricamente

Os pontos construíveis algebricamente podem ser definidos como os pontos cujas duas coordenadas cartesianas reais são números reais construíveis algebricamente. Alternativamente, eles podem ser definidos como os pontos no plano complexo dados por números complexos construtíveis algebricamente. Pela equivalência entre as duas definições de números complexos construíveis algebricamente, essas duas definições de pontos construíveis algebricamente também são equivalentes.

Equivalência de definições algébricas e geométricas

Se umNão. e b)Não. são os comprimentos não-zero de segmentos geometricamente construídos, em seguida, bússola elementar e construções de ponta podem ser usados para obter segmentos construídos de comprimentos um+b)Não. a+b., |um- Sim. - Sim. b)||a-b|}, umb)Não.e um/b)- Sim.. Os dois últimos podem ser feitos com uma construção baseada no teorema de interceptação. Uma construção levemente menos elementar usando essas ferramentas é baseada no teorema geométrico médio e construirá um segmento de comprimento um- Sim. de um segmento construído de comprimento umNão.. Segue-se que cada número algébrica é geometricamente construível, usando estas técnicas para traduzir uma fórmula para o número em uma construção para o número.

Construções de bússola e de ponta para números construíveis

umb)Não. baseado no teorema de interceptação

umb)Não. baseado no teorema de interceptação

p- Não. baseado no teorema geométrico médio

Na outra direção, um conjunto de objetos geométricos pode ser especificado por números reais algébricamente construíveis: coordenadas para pontos, inclinação e Sim.- Sim.-intercepto para linhas, centro e raio para círculos. É possível (mas tedioso) desenvolver fórmulas em termos desses valores, usando apenas raízes aritméticas e quadradas, para cada objeto adicional que pode ser adicionado em um único passo de uma construção de bússola e borda. Segue-se a partir dessas fórmulas que cada número geometricamente construível é algébricamente construível.

Propriedades algébricas

A definição de números construíveis algebricamente inclui a soma, a diferença, o produto e o inverso multiplicativo de qualquer um desses números, as mesmas operações que definem um corpo na álgebra abstrata. Assim, os números construtíveis (definidos de qualquer uma das formas acima) formam um corpo. Mais especificamente, os números reais construtíveis formam um campo euclidiano, um corpo ordenado contendo uma raiz quadrada de cada um de seus elementos positivos. Examinar as propriedades desse corpo e seus subcampos leva a condições necessárias para um número ser construtível, que pode ser usado para mostrar que números específicos que surgem em problemas clássicos de construção geométrica não são construtíveis.

É conveniente considerar, no lugar de todo o campo de números construíveis, o subcampo Q(γ γ ){displaystyle mathbb {Q} (gamma)} gerado por qualquer dado número construível γ γ - Sim., e usar a construção algébrica de γ γ - Sim. para decompor este campo. Se γ γ - Sim. é um número real construível, então os valores que ocorrem dentro de uma fórmula que a constrói podem ser usados para produzir uma sequência finita de números reais α α 1,...... ,umn= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =γ γ {displaystyle alpha _{1},dotsa_{n}=gamma } tal que, para cada Eu...Não., Q(α α 1,...... ,umEu...){displaystyle mathbb {Q} (alpha _{1},dotsa_{i})} é uma extensão de Q(α α 1,...... ,umEu...- Sim. - Sim. 1){displaystyle mathbb {Q} (alpha _{1},dotsa_{i-1})} de grau 2. Usando terminologia ligeiramente diferente, um número real é construível se e somente se estiver em um campo no topo de uma torre finita de extensões quadradas reais,

Q= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =KK0⊆ ⊆ KK1⊆ ⊆ ⋯ ⋯ ⊆ ⊆ KKn,{displaystyle mathbb {Q} =K_{0}subseteq K_{1}subseteq dots subseteq K_{n},

Q{displaystyle mathbb {Q} } }

γ γ - Sim.

KKnNão. K_{n}}

Não.KKJJ:KKJJ- Sim. - Sim. 1]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2Não. [K_{j}:K_{j-1}=2}

Não.Q(γ γ ):Q][mathbb {Q} (gamma):mathbb {Q} ]}

2R{displaystyle 2^{r}}

RNão.

Analogamente para o caso real, um número complexo é construível se e somente se estiver em um campo no topo de uma torre finita de extensões quadráticas complexas. Mais precisamente, γ γ - Sim. é construível se e somente se houver uma torre de campos

Q= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =F0⊆ ⊆ F1⊆ ⊆ ⋯ ⋯ ⊆ ⊆ Fn,{displaystyle mathbb {Q} =F_{0}subseteq F_{1}subseteq dots subseteq F_{n},

γ γ - Sim.

FnNão. F_{n}}

Não.FJJ:FJJ- Sim. - Sim. 1]= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2Não. [F_{j}:F_{j-1}=2}

γ γ - Sim.

Não.Q(γ γ ):Q][mathbb {Q} (gamma):mathbb {Q} ]}

Os campos que podem ser gerados desta forma a partir de torres de extensões quadráticas de Q{displaystyle mathbb {Q} } } são chamados extensões quadráticas iteradas de Q{displaystyle mathbb {Q} } }. Os campos de números construíveis reais e complexos são os sindicatos de todas as extensões quadráticas iteradas reais ou complexas de Q{displaystyle mathbb {Q} } }.

Números trigonométricos

Os números trigonométricos são os cossenos ou pecados de ângulos que são múltiplos racionais de D D - Sim.. Estes números são sempre algébricas, mas podem não ser construíveis. A cossena ou o seio do ângulo 2D D /n{displaystyle 2pi /n} é construível apenas para certos números especiais nNão.:

• Os poderes de dois
• Os primos Fermat, números primos que são um mais um poder de dois
• Os produtos de poderes de dois e distintos Fermat primos.

Assim, por exemplo, e⁡ ⁡ (D D /15){displaystyle cos(pi /15)} é construível porque 15 é o produto de dois primos Fermat, 3 e 5.

Construções impossíveis

Um cubo e seu duplo

Um ângulo e sua trissecção

Círculo e quadrado com áreas iguais

Os antigos gregos pensavam que certos problemas de construção com régua e compasso que eles não podiam resolver eram simplesmente obstinados, não insolúveis. No entanto, a não construtibilidade de certos números prova que essas construções são logicamente impossíveis de realizar. (Os próprios problemas, no entanto, podem ser resolvidos usando métodos que vão além da restrição de trabalhar apenas com régua e compasso, e os gregos sabiam como resolvê-los dessa maneira. Um exemplo é a solução de construção de Arquimedes Neusis para o problema da trissecção do ângulo.)

Em particular, a formulação algébrica de números construtíveis leva a uma prova da impossibilidade dos seguintes problemas de construção:

Dobrando o cubo

O problema de duplicar o quadrado da unidade é resolvido pela construção de outro quadrado na diagonal do primeiro, com comprimento lateral 2(2}}} e área 2Não. 2. Analogamente, o problema de duplicar o cubo pede a construção do comprimento 23[{3}]{2}}} do lado de um cubo com volume 2Não. 2. Não é construível, porque o polinômio mínimo deste comprimento, x3- Sim. - Sim. 2- Sim., tem grau 3 sobre Q{displaystyle mathbb {Q} } }. Como um polinômio cúbico cuja única raiz real é irracional, este polinômio deve ser irredutível, porque se tivesse uma raiz real quadrática, então o conjugado quadrático forneceria uma segunda raiz real.

Trissecção do ângulo

Neste problema, de um determinado ângulo θ θ - Sim., deve-se construir um ângulo θ θ /3{displaystyle theta /3}. Algebraicamente, ângulos podem ser representados por suas funções trigonométricas, como seus seios ou cossenos, que dão as coordenadas cartesianas do ponto final de um segmento de linha formando o ângulo dado com o segmento inicial. Assim, um ângulo θ θ - Sim. é construível quando x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =e⁡ ⁡ θ θ {displaystyle x=cos theta ? é um número construtível, e o problema de trisectar o ângulo pode ser formulado como um de construção e⁡ ⁡ (13Arcos⁡ ⁡ x){displaystyle cos({tfrac {1}{3}}arccos x)}. Por exemplo, o ângulo θ θ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =D D /3= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =60∘ ∘ {displaystyle theta =pi /3=60^{circ }} de um triângulo equilátero pode ser construído por bússola e borda reta, com x= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =e⁡ ⁡ θ θ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =12{displaystyle x=cos theta - Sim. Não.. No entanto, sua trissecção θ θ /3= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =D D /9= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =20.∘ ∘ {displaystyle theta /3=pi /9=20^{circ }} não pode ser construído, porque e⁡ ⁡ D D /9{displaystyle cos pi /9} tem polinomial mínimo 8x3- Sim. - Sim. 6x- Sim. - Sim. 1- Sim. de grau 3 sobre Q{displaystyle mathbb {Q} } }. Como esta instância específica do problema da trissecção não pode ser resolvida por bússola e borda reta, o problema geral também não pode ser resolvido.

Separar o círculo

Um quadrado com área D D - Sim., a mesma área que um círculo de unidade, teria comprimento lateral D D - Sim.), um número transcendental. Portanto, este quadrado e seu comprimento lateral não são construíveis, porque não é algébrica sobre Q{displaystyle mathbb {Q} } }.

Poligões regulares

Se um regular nNão.-gon é construído com seu centro na origem, os ângulos entre os segmentos do centro para vértices consecutivos são 2D D /n{displaystyle 2pi /n}. O polígono só pode ser construído quando a cosseina deste ângulo é um número trigonométrico. Assim, por exemplo, um 15-gon é construível, mas o heptagon regular não é construível, porque 7 é primo, mas não um primo Fermat. Para uma prova mais direta de sua não-construção, representam os vértices de um heptágono regular como as raízes complexas do polinomial x7- Sim. - Sim. 1Não. x^{7}-1. Removendo o fator x- Sim. - Sim. 1Não., dividindo por x3{displaystyle x^{3}}, e substituindo Sim.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x+1/x- Sim. dá o polinomial mais simples Sim.3+Sim.2- Sim. - Sim. 2Sim.- Sim. - Sim. 1Não. y^{3}+y^{2}-2y-1}, um cúbico irredutível com três raízes reais, cada duas vezes a parte real de um vértice complexo-número. Suas raízes não são construíveis, então o heptágono também não é construível.

O problema de Alhazen

Se dois pontos e um espelho circular são dados, onde no círculo faz um dos pontos dados ver a imagem refletida do outro? Geometricamente, as linhas de cada ponto dado ao ponto de reflexão encontram o círculo em ângulos iguais e em acordes de igual comprimento. No entanto, é impossível construir um ponto de reflexão usando uma bússola e straightedge. Em particular, para um círculo de unidade com os dois pontos (16,16)({tfrac {1}{6}},{tfrac {1}{6}}} e (- Sim. - Sim. 12,12)(-{tfrac {1}{2}},{tfrac {1}{2}}} dentro dele, a solução tem coordenadas formando raízes de um grau irredutível-quatro polinomial x4- Sim. - Sim. 2x3+4x2+2x- Sim. - Sim. 1Não. x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+2x-1}. Embora o seu grau seja um poder de dois, o campo de divisão deste polinomial tem grau divisível por três, por isso não vem de uma extensão quadrática iterada e o problema de Alhazen não tem nenhuma solução de compasso e straightedge.

História

O nascimento do conceito de números construtíveis está inextricavelmente ligado à história das três construções impossíveis com compasso e régua: dobrar o cubo, trisseccionar um ângulo e quadrar o círculo. A restrição de usar apenas régua e compasso em construções geométricas é muitas vezes creditada a Platão devido a uma passagem em Plutarco. De acordo com Plutarco, Platão deu a duplicação do problema do cubo (Delian) para Eudoxus e Archytas e Menaechmus, que resolveram o problema usando meios mecânicos, ganhando uma repreensão de Platão por não resolver o problema usando geometria pura. No entanto, essa atribuição é contestada, em parte, devido à existência de outra versão da história (atribuída a Eratóstenes por Eutócio de Ascalon) que diz que todos os três encontraram soluções, mas eram abstratas demais para ter valor prático. Proclus, citando Eudemus de Rhodes, creditou a Oenopides (cerca de 450 aC) duas construções de régua e compasso, levando alguns autores a levantar a hipótese de que Oenopides originou a restrição. A restrição ao compasso e régua é essencial para a impossibilidade dos clássicos problemas construtivos. A trissecção de ângulos, por exemplo, pode ser feita de várias maneiras, várias delas conhecidas dos antigos gregos. A Quadratrix de Hípias de Elis, as cônicas de Menaechmus ou a construção de régua marcada (neusis) de Arquimedes foram todas usadas, assim como uma abordagem mais moderna através da dobragem de papel.

Embora não seja um dos três problemas clássicos de construção, o problema de construir polígonos regulares com straightedge e bússola é frequentemente tratado ao lado deles. Os gregos sabiam como construir regular nNão.-gons com n= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2h{displaystyle n=2^{h}} (para qualquer inteiro) h≥ ≥ 2{displaystyle hgeq 2}), 3, 5, ou o produto de qualquer dois ou três desses números, mas outros regulares nNão.-gons iludi-os. Em 1796, Carl Friedrich Gauss, então um estudante de dezoito anos, anunciou em um jornal que tinha construído um regular de 17 toneladas com straightedge e bússola. O tratamento de Gauss foi algébrico em vez de geométrico; na verdade, ele não construiu o polígono, mas mostrou que a cossena de um ângulo central era um número construtível. O argumento foi generalizado em seu livro de 1801 Disquisições Arithmeticae dando a suficiente condição para a construção de um regular nNão.-gon. Gauss alegou, mas não provou, que a condição também era necessária e vários autores, notavelmente Felix Klein, atribuiu esta parte da prova a ele também. O problema de Alhazen também não é um dos três problemas clássicos, mas apesar de ter sido nomeado após Ibn al-Haytham (Alhazen), um matemático islâmico medieval, já parece estar no trabalho de Ptolomeu sobre óptica do segundo século.

Pierre Wantzel (1837) provou algebricamente que os problemas de dobrar o cubo e trisseccionar o ângulo são impossíveis de resolver se usarmos apenas régua e compasso. No mesmo artigo, ele também resolveu o problema de determinar quais polígonos regulares são construtíveis: um polígono regular é construtível se e somente se o número de seus lados é o produto de uma potência de dois e qualquer número de primos distintos de Fermat (ou seja, as condições suficientes dadas por Gauss também são necessárias). Uma tentativa de provar a impossibilidade da quadratura do círculo foi dada por James Gregory em Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (A verdadeira quadratura do círculo e da hipérbole) em 1667. Embora sua prova fosse falha, ela foi o primeiro artigo a tentar resolver o problema usando propriedades algébricas de π. Não foi até 1882 que Ferdinand von Lindemann provou rigorosamente sua impossibilidade, estendendo o trabalho de Charles Hermite e provando que π é um número transcendente. O problema de Alhazen não se mostrou impossível de resolver com régua e compasso até o trabalho de Elkin (1965).

O estudo dos números construtíveis, per se, foi iniciado por René Descartes em La Géométrie, um apêndice de seu livro Discurso sobre o método publicado em 1637. Descartes associou números a segmentos de linha geométrica para para mostrar o poder de seu método filosófico, resolvendo um antigo problema de construção com régua e compasso apresentado por Pappus.