Número algébrico

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Número complexo que é uma raiz de um polinômio não-zero em uma variável com coeficientes racionais

A raiz quadrada de 2 é um número algébrico igual ao comprimento da hipotenusa de um triângulo direito com pernas de comprimento 1.

Um número álgebra é um número que é uma raiz de um polinômio não-zero em uma variável com coeficientes inteiros (ou equivalentes, racionais). Por exemplo, a relação de ouro, $(1+{sqrt {5}})/2$ , é um número algébrico, porque é uma raiz do polinomial $x 2 - Sim. x - 1$ . Ou seja, é um valor para x para o qual o polinomial avalia para zero. Como outro exemplo, o número complexo ${displaystyle 1+i}$ é algébrica porque é uma raiz de $x 4 + 4$ .

Todos os números inteiros e racionais são algébricos, assim como todas as raízes de números inteiros. Números reais e complexos que não são algébricos, como π e $e$ , são chamados de números transcendentes.

O conjunto dos números algébricos é infinito contável e tem medida zero na medida de Lebesgue como um subconjunto dos números complexos incontáveis. Nesse sentido, quase todos os números complexos são transcendentes.

Exemplos

Todos os números racionais são algébricas. Qualquer número racional, expresso como quociente de um inteiro $um$ e um (não zero) número natural $b)$ , satisfaz a definição acima, porque $x = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = um / b)$ é a raiz de um polinômio não-zero, a saber $Bx - Sim. um$ .
Números irracionais quadráticos, soluções irracionais de um polinômio quadrático Ax² + Bx + c com coeficientes inteiros um, b)e c, são números algébricas. Se o polinomial quadrático é monic (um = 1), as raízes são ainda mais qualificadas como inteiros quadráticos.
- inteiros gaussianos, números complexos $um + b)$ para o qual ambos $um$ e $b)$ são inteiros, também são inteiros quadráticos. Isso é porque $um + b)$ e $um - Não. b)$ são as duas raízes do quadrático $x 2 - 2 Ax + um 2 + b) 2$ .
Um número construível pode ser construído a partir de um determinado comprimento da unidade usando uma borda reta e bússola. Ele inclui todas as raízes irracionais quadráticas, todos os números racionais, e todos os números que podem ser formados a partir destes usando as operações aritméticas básicas e a extração de raízes quadradas. (Ao designar direções cardinais para 1, −1, $Eu...$ , e − $Eu...$ , números complexos como ${displaystyle 3+i{sqrt {2}}}$ são considerados construíveis.)
Qualquer expressão formada a partir de números algébricos usando qualquer combinação das operações aritméticas básicas e extração de nésimas raízes dá outro número algébrico.
Raízes polinomiais que não podem ser expressas em termos de operações aritméticas básicas e extração de $n$ as raízes (como as raízes de $x 5 - Sim. x + 1$ ). Isso acontece com muitos, mas não todos os polinômios do grau 5 ou superior.
Valores de funções trigonométricas de múltiplos racionais de $D$ (exceto quando indefinido): por exemplo, $e D / 7$ , $e 3 D / 7$ e $e 5 D / 7$ satisfação $8 x 3 - 4 x 2 - 4 x + 1 = 0$ . Este polinomial é irredutível sobre os racionais e assim os três cosines são conjugar o números algébricas. Igualmente. $bronzeado 3 D / 16.$ , $bronzeado 7 D / 16.$ , $bronzeado 11 D / 16.$ e $bronzeado 15 D / 16.$ satisfazer o polinomial irredutível $x 4 - 4 x 3 - 6 x 2 + 4 x + 1 = 0$ , e assim são inteiros algébricas conjugados.
Alguns, mas nem todos os números irracionais são algébricas:
- Os números ${sqrt {2}}$ e ${displaystyle {frac {sqrt[{3}]{3}}{2}}}$ são algébricas uma vez que são raízes de polinômios $x 2 - 2$ e $8 x 3 - 3$ , respectivamente.
- A relação de ouro $φ$ é algébrica uma vez que é uma raiz do polinomial $x 2 - Sim. x - 1$ .
- Os números π e e não são números algébricas (veja o teorema de Lindemann-Weierstrass).

Propriedades

Números algébricas no plano complexo colorido por grau (vermelho laranja/vermelho = 1, verde = 2, azul = 3, amarelo = 4)

Se um polinomial com coeficientes racionais é multiplicado através do denominador menos comum, o polinomial resultante com coeficientes inteiros tem as mesmas raízes. Isso mostra que um número algébrico pode ser equivalentemente definido como uma raiz de um polinômio com coeficientes inteiros ou racionais.
Dado um número algébrico, há um polinômio monico único com coeficientes racionais de menor grau que tem o número como uma raiz. Este polinomial é chamado de seu polinomial mínimo. Se seu polinomial mínimo tem grau $n$ , então o número algébrica é dito ser de grau $n$ . Por exemplo, todos os números racionais têm grau 1, e um número algébrico de grau 2 é um irracional quadrático.
Os números algébricas são densos nos reais. Isto segue do fato de que eles contêm os números racionais, que são densos nos próprios reais.
O conjunto de números algébricas é contável (inumerável), e, portanto, sua medida de Lebesgue como subconjunto dos números complexos é 0 (essencialmente, os números algébricas não ocupam espaço nos números complexos). Ou seja, "quase todos" números reais e complexos são transcendentais.
Todos os números algébricas são computáveis e, portanto, definidos e aritméticos.
Para números reais $um$ e $b)$ , o número complexo $um + b)$ é algébrica se e somente se ambos $um$ e $b)$ são algébricas.

Campo

Números algébricas coloridos por grau (azul = 4, ciano = 3, vermelho = 2, verde = 1). O círculo da unidade é preto.

A soma, a diferença, o produto e o quociente (se o denominador é nonzero) de dois números algébricas é novamente algébrica, como pode ser demonstrado usando os números resultantes e algébricas assim formam um campo ${overline {mathbb {Q} }}$ (às vezes denotado por $mathbb {A}$ , mas isso geralmente denota o anel de adele). Cada raiz de uma equação polinomial cujos coeficientes são números algébricas é novamente algébrica. Isso pode ser reformulado dizendo que o campo dos números algébricas está algébricamente fechado. Na verdade, é o menor campo fechado algébrica contendo os racionais e por isso é chamado de fechamento algébrica dos racionais.

O próprio conjunto de números algébricos reais forma um corpo.

Campos relacionados

Números definidos por radicais

Qualquer número que pode ser obtido dos inteiros usando um número finito de adições, subtrações, multiplicações, divisões e tomadas (possivelmente complexas) $n$ ésimas raízes onde $n$ é um número inteiro positivo são algébricas. A recíproca, porém, não é verdadeira: existem números algébricos que não podem ser obtidos dessa maneira. Esses números são raízes de polinômios de grau 5 ou superior, um resultado da teoria de Galois (consulte Equações quínticas e o teorema de Abel-Ruffini). Por exemplo, a equação:

{displaystyle x^{5}-x-1=0}

tem uma única raiz real que não pode ser expressa apenas em termos de radicais e operações aritméticas.

Número de forma fechada

Números algébricos são todos os números que podem ser definidos explicitamente ou implicitamente em termos de polinômios, a partir dos números racionais. Pode-se generalizar isso para "números de forma fechada", que podem ser definidos de várias maneiras. De forma mais ampla, todos os números que podem ser definidos explicitamente ou implicitamente em termos de polinômios, exponenciais e logaritmos são chamados de "números elementares", e incluem os números algébricos, mais alguns números transcendentais. Mais estritamente, pode-se considerar números explicitamente definidos em termos de polinômios, exponenciais e logaritmos – isso não inclui todos os números algébricos, mas inclui alguns números transcendentais simples, como $e$ ou ln 2.

Inteiros algébricos

Números algébricas coloridos pelo coeficiente principal (vermelho significa 1 para um inteiro algébrica)

Um inteiro algébrica é um número algébrico que é uma raiz de um polinomial com coeficientes inteiros com coeficiente de liderança 1 (um polinomial monico). Exemplos de inteiros algébricas são ${displaystyle 5+13{sqrt {2}},}$ ${displaystyle 2-6i,}$ e ${textstyle {frac {1}{2}}(1+i{sqrt {3}}).}$ Portanto, os inteiros algébricas constituem um superconjunto adequado dos inteiros, pois estes são as raízes dos polinômios monicos. $x - Sim. k$ para todos $k in mathbb{Z}$ . Nesse sentido, os inteiros algébricas são para números algébricas o que os inteiros são para números racionais.

A soma, a diferença e o produto de inteiros algébricos são novamente inteiros algébricos, o que significa que os inteiros algébricos formam um anel. O nome inteiro algébrico vem do fato de que os únicos números racionais que são inteiros algébricos são os inteiros, e porque os inteiros algébricos em qualquer campo numérico são, de muitas maneiras, análogos aos inteiros. Se $K$ for um campo numérico, seu anel de inteiros é o subanel de inteiros algébricos em $K$ , e é freqüentemente indicado como $O K$ . Estes são os exemplos prototípicos de domínios Dedekind.

Aulas especiais

Solução algébrica
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