Notação de colchete

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Notação para estados quânticos

No contexto moderno, a notação Bra e Ket pode ser comparada a vetores modernos de linha e coluna com componentes complexos. As regras de multiplicação de matrizes se aplicam com um resultado geralmente de mais de uma linha e coluna. Os produtos internos e externos da Vector também seguem regras modernas. Paul Dirac inventou a notação Bra e Ket antes que a atual notação de vetores linha e coluna fosse desenvolvida. Os componentes complexos são úteis na derivação de funções de onda, como soluções para a equação de Schrödinger e na realização de cálculos de probabilidade para localização de partículas ou momento na mecânica quântica. A notação Bra e Ket ainda é usada na descrição da mecânica quântica.

Criado por Paul Dirac

Na mecânica quântica, notação de sutiãou Notação de Dirac, é usado ubiquitously para denotar estados quânticos. A notação usa suportes de ângulo, $langle$ e $rangle$ , e uma barra vertical $|$ , para construir "bras" e "kets".

A Ket. é da forma ${displaystyle |vrangle }$ . Matematicamente denota um vetor, ${displaystyle {boldsymbol {v}}}$ , em um espaço vetor abstrato (complexo) $V$ , e fisicamente representa um estado de algum sistema quântico.

A sutiã é da forma $langle f|$ . Matematicamente denota uma forma linear ${displaystyle f:Vto mathbb {C} }$ , ou seja, um mapa linear que mapeia cada vetor em $V$ para um número no plano complexo $mathbb{C}$ . Deixando o funcional linear ${displaystyle langle f|}$ atuar em um vetor $|vrangle$ é escrito como ${displaystyle langle f|vrangle in mathbb {C} }$ .

Assuma que $V$ existe um produto interno $(cdotcdot)$ com o primeiro argumento antilinear, que faz $V$ um espaço interno do produto. Então com este produto interno cada vetor ${displaystyle {boldsymbol {phi }}equiv |phi rangle }$ pode ser identificado com uma forma linear correspondente, colocando o vetor no primeiro slot anti-linear do produto interno: ${displaystyle ({boldsymbol {phi }},cdot)equiv langle phi |}$ . A correspondência entre estas notações é então ${displaystyle ({boldsymbol {phi }},{boldsymbol {psi }})equiv langle phi |psi rangle }$ . A forma linear $langle phi |$ é um covector para $|phirangle$ , e o conjunto de todos os covetores formam um subespaço do espaço vetorial duplo ${displaystyle V^{vee }}$ , para o espaço vetorial inicial $V$ . O propósito desta forma linear $langle phi |$ agora pode ser entendido em termos de fazer projeções no estado ${displaystyle {boldsymbol {phi }}}$ , para encontrar o quão linearmente dependente dois estados são, etc.

Para o espaço vetorial ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$ , kets podem ser identificados com vetores de coluna e sutiãs com vetores de linha. Combinações de sutiãs, kets e operadores lineares são interpretados usando multiplicação de matriz. Se ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$ tem o produto interno hermitiano padrão ${displaystyle ({boldsymbol {v}},{boldsymbol {w}})=v^{dagger }w}$ , sob esta identificação, a identificação de kets e sutiãs e vice-versa fornecido pelo produto interno está tomando o conjugado hermitiano (denominado ${displaystyle dagger }$ ).

É comum suprimir a forma vetorial ou linear da notação do sutiã e usar apenas uma etiqueta dentro da tipografia para o sutiã ou ket. Por exemplo, o operador de rotação ${displaystyle {hat {sigma }}_{z}}$ em um espaço bidimensional $Delta$ de spinors, tem eigenvalues ${textstyle pm {frac {1}{2}}}$ com eigenspinors ${displaystyle {boldsymbol {psi }}_{+},{boldsymbol {psi }}_{-}in Delta }$ . Na notação de sutiã, isso é tipicamente denotado como ${displaystyle {boldsymbol {psi }}_{+}=|+rangle }$ e ${displaystyle {boldsymbol {psi }}_{-}=|-rangle }$ . Como acima, kets e sutiãs com o mesmo rótulo são interpretados como kets e sutiãs correspondentes uns aos outros usando o produto interno. Em particular, quando também identificado com vetores de linha e coluna, kets e sutiãs com o mesmo rótulo são identificados com vetores de coluna e linha conjugados hermitianos.

A notação de Bra-ket foi efetivamente estabelecida em 1939 por Paul Dirac; é assim também conhecida como notação de Dirac, apesar da notação ter um precursor no uso de Hermann Grassmann de ${displaystyle [phi {mid }psi ]}$ para produtos internos quase 100 anos antes.

Introdução

A notação Bra–ket é uma notação para álgebra linear e operadores lineares em espaços vetoriais complexos junto com seu espaço dual tanto no caso de dimensão finita quanto no caso de dimensão infinita. Ele é projetado especificamente para facilitar os tipos de cálculos que freqüentemente surgem na mecânica quântica. Seu uso na mecânica quântica é bastante difundido. Muitos fenômenos que são explicados usando a mecânica quântica são explicados usando a notação bra-ket.

Espaços vetoriais

Vetores vs kets

Em matemática, o termo "vetor" é usado para um elemento de qualquer espaço vetorial. Na física, no entanto, o termo "vetor" é muito mais específico: "vetor" refere-se quase exclusivamente a quantidades como deslocamento ou velocidade, que têm componentes que se relacionam diretamente com as três dimensões do espaço, ou relativicamente, às quatro do espaço-tempo. Tais vetores são tipicamente denotados com flechas ( ${vec {r}}$ ), negrito ( $mathbf {p}$ ) ou índices ( ${displaystyle v^{mu }}$ ).

Na mecânica quântica, um estado quântico é tipicamente representado como um elemento de um espaço complexo de Hilbert, por exemplo, o espaço vetorial infinita-dimensional de todas as funções de onda possíveis (funções integrais quadradas mapeando cada ponto do espaço 3D para um número complexo) ou algum espaço Hilbert mais abstrato construído algébricamente. Uma vez que o termo "vetor" já é usado para outra coisa (ver parágrafo anterior), e os físicos tendem a preferir notação convencional para afirmar que espaço algo é um elemento, é comum e útil denotar um elemento $phi$ de um espaço vetor complexo abstrato como um ket $|phirangle$ usando barras verticais e suportes angulares e se referir a eles como "kets" em vez de como vetores e pronunciado "ket- $phi$ "ou "ket-A" para $| A)$ .

Símbolos, letras, números ou até mesmo palavras - o que servir como um rótulo conveniente - pode ser usado como o rótulo dentro de um ket, com o ${displaystyle | rangle }$ deixando claro que o rótulo indica um vetor no espaço vetorial. Em outras palavras, o símbolo " $| A)$ " tem um significado matemático específico e universal, enquanto apenas o " $A$ " por si só não. Por exemplo, $|1> + |2>$ não é necessariamente igual a $|3>$ . No entanto, para conveniência, geralmente há algum esquema lógico por trás das etiquetas dentro de kets, como a prática comum de rotular eigenkets de energia na mecânica quântica através de uma lista de seus números quânticos. Na sua mais simples, a etiqueta dentro do ket é o valor eigen de um operador físico, como ${hat {x}}$ , ${hat {p}}$ , ${displaystyle {hat {L}}_{z}}$ , etc.

Notação

Como os kets são apenas vetores em um espaço vetorial hermitiano, eles podem ser manipulados usando as regras usuais da álgebra linear. Por exemplo:

{displaystyle {begin{aligned}|Arangle &=|Brangle +|Crangle \|Crangle &=(-1+2i)|Drangle \|Drangle &=int _{-infty }^{infty }e^{-x^{2}}|xrangle ,mathrm {d} x,.end{aligned}}}

Observe como a última linha acima envolve infinitos kets diferentes, um para cada número real $x$ .

Uma vez que o ket é um elemento de um espaço vetorial, um sutiã $langle A|$ é um elemento de seu espaço duplo, ou seja, um sutiã é um funcional linear que é um mapa linear do espaço vetorial para os números complexos. Assim, é útil pensar em kets e sutiãs como sendo elementos de diferentes espaços vetoriais (ver abaixo no entanto) com ambos sendo diferentes conceitos úteis.

Um sutiã $langle phi |$ e um ket $|psirangle$ (ou seja, um funcional e um vetor), pode ser combinado com um operador ${displaystyle |psi rangle langle phi |}$ de classificação um com produto externo

{displaystyle |psi rangle langle phi |colon |xi rangle mapsto |psi rangle langle phi |xi rangle ~.}

Produto interno e identificação do bra–ket no espaço de Hilbert

A notação do bra-ket é particularmente útil nos espaços de Hilbert que possuem um produto interno que permite conjugação hermitiana e identificação de um vetor com um funcional linear contínuo, ou seja, um ket com um sutiã, e vice-versa (veja teorema da representação de Riesz). O produto interno no espaço Hilbert ${displaystyle (\)}$ (com o primeiro argumento anti linear como preferido pelos físicos) é totalmente equivalente a uma identificação (anti-linear) entre o espaço de kets e o de sutiãs na notação bra ket: para um ket vetorial ${displaystyle phi =|phi rangle }$ definir um funcional (ou seja, sutiã) ${displaystyle f_{phi }=langle phi |}$ por

{displaystyle (phipsi)=(|phi rangle|psi rangle)=:f_{phi }(psi)=langle phi |,{bigl (}|psi rangle {bigr)}=:langle phi {mid }psi rangle }

Sutiãs e kets como vetores linha e coluna

No caso simples onde consideramos o espaço vetorial ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$ , um ket pode ser identificado com um vetor de coluna, e um sutiã como um vetor de linha. Além disso, usamos o produto interno hermitiano padrão em ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$ , o sutiã correspondente a um ket, em particular um sutiã $⟨ m |$ e um ket $| m)$ com o mesmo rótulo são conjugar transpose. Além disso, as convenções são criadas de tal forma que a escrita de sutiãs, kets e operadores lineares ao lado uns dos outros simplesmente implicam a multiplicação da matriz. Em particular, o produto externo ${displaystyle |psi rangle langle phi |}$ de uma coluna e um ket vetor de linha e sutiã podem ser identificados com multiplicação de matriz (ventor de linha de tempos de coluna é igual à matriz).

Para um espaço vetorial de dimensão finita, usando uma base ortonormal fixa, o produto interno pode ser escrito como uma multiplicação de matrizes de um vetor linha por um vetor coluna:

{displaystyle langle A|Brangle doteq A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+cdots +A_{N}^{*}B_{N}={begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&cdots &A_{N}^{*}end{pmatrix}}{begin{pmatrix}B_{1}\B_{2}\vdots \B_{N}end{pmatrix}}}

{displaystyle {begin{aligned}langle A|&doteq {begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&cdots &A_{N}^{*}end{pmatrix}}\|Brangle &doteq {begin{pmatrix}B_{1}\B_{2}\vdots \B_{N}end{pmatrix}}end{aligned}}}

A transposição conjugada (também chamada de conjugada hermitiana) de um sutiã é o ket correspondente e vice-versa:

{displaystyle langle A|^{dagger }=|Aranglequad |Arangle ^{dagger }=langle A|}

{displaystyle {begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&cdots &A_{N}^{*}end{pmatrix}},,}

{displaystyle {begin{pmatrix}A_{1}\A_{2}\vdots \A_{N}end{pmatrix}}}

Escrever elementos de um espaço vetorial de dimensão finita (ou mutatis mutandis, infinitamente contável) como um vetor coluna de números requer a escolha de uma base. Escolher uma base nem sempre é útil porque os cálculos da mecânica quântica envolvem alternar frequentemente entre diferentes bases (por exemplo, base de posição, base de momento, autobase de energia), e pode-se escrever algo como " $| m ⟩$ " sem se comprometer com nenhuma base em particular. Em situações envolvendo dois vetores de base importantes diferentes, os vetores de base podem ser considerados na notação explicitamente e aqui serão referidos simplesmente como " $| - ⟩$ " e " $| + ⟩$ ".

Estados não normalizáveis e espaços não Hilbert

A notação Bra–ket pode ser usada mesmo se o espaço vetorial não for um espaço de Hilbert.

Na mecânica quântica, é prática comum escrever kets que têm norma infinita, ou seja, funções de onda não normalizáveis. Exemplos incluem estados cujas funções de onda são funções delta de Dirac ou ondas planas infinitas. Estes não pertencem, tecnicamente, ao próprio espaço de Hilbert. No entanto, a definição de "espaço de Hilbert" pode ser ampliado para acomodar esses estados (ver a construção Gelfand-Naimark-Segal ou espaços de Hilbert manipulados). A notação bra–ket continua a funcionar de forma análoga neste contexto mais amplo.

Os espaços de Banach são uma generalização diferente dos espaços de Hilbert. Em um espaço Banach $B$ , os vetores podem ser notados por kets e os funcionais lineares contínuos por bras. Sobre qualquer espaço vetorial sem topologia, também podemos notar os vetores por kets e os funcionais lineares por bras. Nesses contextos mais gerais, o colchete não tem o significado de produto interno, pois o teorema da representação de Riesz não se aplica.

Uso na mecânica quântica

A estrutura matemática da mecânica quântica é baseada em grande parte na álgebra linear:

Funções de onda e outros estados quânticos podem ser representados como vetores em um espaço complexo de Hilbert. (A estrutura exata deste espaço de Hilbert depende da situação.) Na notação do bra-ket, por exemplo, um elétron pode estar no "estado" $| ?)$ . (Tecnicamente, os estados quânticos são raios de vetores no espaço de Hilbert, como $c | ?)$ corresponde ao mesmo estado para qualquer número complexo nonzero $c$ .)
As superposições quânticas podem ser descritas como somas vetoriais dos estados constituintes. Por exemplo, um elétron no estado $1 / \sqrt2 |1> + Eu... / \sqrt2 |2>$ está em uma superposição quântica dos estados $|1>$ e $|2>$ .
As medidas estão associadas a operadores lineares (chamados observáveis) no espaço de Hilbert dos estados quânticos.
A dinâmica também é descrita por operadores lineares no espaço Hilbert. Por exemplo, na imagem de Schrödinger, há um operador de evolução de tempo linear $U$ com a propriedade que se um elétron estiver em estado $| ?)$ agora, em um momento posterior será no estado $U | ?)$ , o mesmo $U$ para cada possível $| ?)$ .
A normalização da função de onda é escalar uma função de onda para que sua norma seja 1.

Como praticamente todos os cálculos na mecânica quântica envolvem vetores e operadores lineares, eles podem envolver, e geralmente envolvem, a notação de bra–ket. Seguem alguns exemplos:

Função de onda espacial de posição sem spin

Componentes discretos

A k

de um vetor complexo

| A) = Σ k A k | e k)

, que pertence a um contável infinito-dimensional Espaço de Hilbert; há infinitamente muitos

k

valores e vetores base

| e k)

Componentes contínuos

? (x)

de um vetor complexo

| ?) = \int d x ? (x) | x)

, que pertence a um incontavelmente infinito-dimensional Espaço de Hilbert; há infinitamente muitos

x

valores e vetores base

| x)

Componentes de vetores complexos traçados contra o número de índice; discreto

k

e contínuo

x

. Dois componentes específicos de infinitamente muitos são destacados.

O espaço de Hilbert de uma partícula de ponto spin-0 é abrangedo por uma "base de posição" $(| R) ?$ , onde o rótulo $R$ estende-se sobre o conjunto de todos os pontos no espaço de posição. Este rótulo é o valor eígeno do operador de posição agindo em tal estado de base, ${displaystyle {hat {mathbf {r} }}|mathbf {r} rangle =mathbf {r} |mathbf {r} rangle }$ . Uma vez que há um número incontavelmente infinito de componentes vetoriais na base, este é um espaço Hilbert incontavelmente infinita-dimensional. As dimensões do espaço de Hilbert (geralmente infinito) e do espaço de posição (geralmente 1, 2 ou 3) não devem ser confundidas.

Partindo de qualquer ket $|Ψ⟩$ neste espaço de Hilbert, pode-se definir um função escalar complexa de $r$ , conhecida como função de onda,

{displaystyle Psi (mathbf {r}) {stackrel {text{def}}{=}} langle mathbf {r} |Psi rangle ,.}

No lado esquerdo, $Ψ(r)$ é uma função que mapeia qualquer ponto no espaço para um número complexo; no lado direito,

|> = \int d 3 R LUXEMBRO R) | R)

é um ket que consiste em uma superposição de kets com coeficientes relativos especificados por essa função.

É comum então definir operadores lineares atuando em funções de onda em termos de operadores lineares atuando em kets, por

{displaystyle {hat {A}}(mathbf {r})~Psi (mathbf {r}) {stackrel {text{def}}{=}} langle mathbf {r} |{hat {A}}|Psi rangle ,.}

Por exemplo, o operador momentum ${displaystyle {hat {mathbf {p} }}}$ tem a seguinte representação coordenada,

{displaystyle {hat {mathbf {p} }}(mathbf {r})~Psi (mathbf {r}) {stackrel {text{def}}{=}} langle mathbf {r} |{hat {mathbf {p} }}|Psi rangle =-ihbar nabla Psi (mathbf {r}),.}

Um ocasionalmente até encontra expressões como ${displaystyle nabla |Psi rangle }$ , embora isto seja um abuso de notação. O operador diferencial deve ser entendido como um operador abstrato, atuando em kets, que tem o efeito de diferenciar as funções de onda uma vez que a expressão é projetada na base de posição, ${displaystyle nabla langle mathbf {r} |Psi rangle ,,}$ embora, na base momentânea, este operador seja um mero operador de multiplicação (por $Eu... p$ ). Isto é, para dizer,

{displaystyle langle mathbf {r} |{hat {mathbf {p} }}=-ihbar nabla langle mathbf {r} |~,}

{displaystyle {hat {mathbf {p} }}=int d^{3}mathbf {r} ~|mathbf {r} rangle (-ihbar nabla)langle mathbf {r} |~.}

Sobreposição de estados

Na mecânica quântica, a expressão $⟨ φ | ψ ⟩$ é normalmente interpretado como a amplitude de probabilidade para o estado $ψ$ entrar em colapso no estado $φ$ . Matematicamente, isso significa o coeficiente para a projeção de $ψ$ em $φ$ . Também é descrito como a projeção do estado $ψ$ no estado $φ$ .

Mudança de base para uma partícula de spin 1/2

Uma partícula estacionária de spin 1⁄2 tem um espaço de Hilbert bidimensional. Uma base ortonormal é:

{displaystyle |{uparrow }_{z}rangle ,,;|{downarrow }_{z}rangle }

|↑ zangão.)

1?2

| ↓ zangão.)

1?2

Uma vez que estes são uma base, qualquer estado quântico da partícula pode ser expresso como uma combinação linear (isto é, superposição quântica) destes dois estados:

{displaystyle |psi rangle =a_{psi }|{uparrow }_{z}rangle +b_{psi }|{downarrow }_{z}rangle }

um ?

b) ?

Uma base diferente para o mesmo espaço de Hilbert é:

{displaystyle |{uparrow }_{x}rangle ,,;|{downarrow }_{x}rangle }

S x

S zangão.

Novamente, qualquer estado da partícula pode ser expresso como uma combinação linear destes dois:

{displaystyle |psi rangle =c_{psi }|{uparrow }_{x}rangle +d_{psi }|{downarrow }_{x}rangle }

Na forma vetorial, você pode escrever

{displaystyle |psi rangle doteq {begin{pmatrix}a_{psi }\b_{psi }end{pmatrix}}quad {text{or}}quad |psi rangle doteq {begin{pmatrix}c_{psi }\d_{psi }end{pmatrix}}}

Há uma relação matemática entre ${displaystyle a_{psi }}$ , ${displaystyle b_{psi }}$ , ${displaystyle c_{psi }}$ e ${displaystyle d_{psi }}$ ; ver mudança de base.

Armadilhas e usos ambíguos

Existem algumas convenções e usos de notação que podem ser confusos ou ambíguos para o aluno iniciante ou não iniciado.

Separação de produto interno e vetores

Uma causa de confusão é que a notação não separa a operação do produto interno da notação para um vetor (bra). Se um (espaço dual) bra-vetor é construído como uma combinação linear de outros bra-vetores (por exemplo, ao expressá-lo em alguma base) a notação cria alguma ambiguidade e esconde detalhes matemáticos. Podemos comparar notação de sutiã para usar negrito para vetores, como ${displaystyle {boldsymbol {psi }}}$ e $(cdotcdot)$ para o produto interno. Considere o seguinte bra-vetor de espaço duplo na base ${displaystyle {|e_{n}rangle }}$ :

{displaystyle langle psi |=sum _{n}langle e_{n}|psi _{n}}

Tem de ser determinado por convenção se os números complexos ${psi _{n}}$ estão dentro ou fora do produto interno, e cada convenção dá resultados diferentes.

{displaystyle langle psi |equiv ({boldsymbol {psi }},cdot)=sum _{n}({boldsymbol {e}}_{n},cdot),psi _{n}}

{displaystyle langle psi |equiv ({boldsymbol {psi }},cdot)=sum _{n}({boldsymbol {e}}_{n}psi _{n},cdot)=sum _{n}({boldsymbol {e}}_{n},cdot),psi _{n}^{*}}

Reutilização de símbolos

É comum usar o mesmo símbolo para etiquetas e constantes. Por exemplo, ${displaystyle {hat {alpha }}|alpha rangle =alpha |alpha rangle }$ , onde o símbolo $alpha$ é usado simultaneamente como o nome do operador $hat alpha$ , eigenvector $|alpha rangle$ e o associado Valor do produto $alpha$ . Às vezes, chapéu também é descartado para operadores, e pode-se ver notação como ${displaystyle A|arangle =a|arangle }$ .

Conjugado hermitiano de kets

É comum ver o uso ${displaystyle |psi rangle ^{dagger }=langle psi |}$ , onde o punhal ( $dagger$ ) corresponde ao conjugado hermitiano. Isto, no entanto, não é correto em um sentido técnico, desde o ket, $|psi rangle$ , representa um vetor em um complexo Hilbert-espaço ${mathcal {H}}$ e o sutiã, $langle psi |$ , é um funcional linear em vetores em ${mathcal {H}}$ . Em outras palavras, $|psi rangle$ é apenas um vetor, enquanto $langle psi |$ é a combinação de um vetor e um produto interno.

Operações dentro de sutiãs e bolsas

Isso é feito para uma notação rápida de vetores de escala. Por exemplo, se o vetor $|alpha rangle$ é dimensionado por $1/{sqrt {2}}$ , pode ser denotado ${displaystyle |alpha /{sqrt {2}}rangle }$ . Isso pode ser ambíguo desde $alpha$ é simplesmente um rótulo para um estado, e não um objeto matemático em que as operações podem ser realizadas. Este uso é mais comum ao denotar vetores como produtos tensores, onde parte dos rótulos são movidos fora o slot projetado, por exemplo. ${displaystyle |alpha rangle =|alpha /{sqrt {2}}_{1}rangle otimes |alpha /{sqrt {2}}_{2}rangle }$ .

Operadores lineares

Operadores lineares atuando em kets

Um operador linear é um mapa que introduz um ket e produz um ket. (Para ser chamado de "linear", é necessário ter certas propriedades.) Em outras palavras, se $hat A$ é um operador linear e $|psi rangle$ é um ket-vector, então ${displaystyle {hat {A}}|psi rangle }$ é outro ket-vector.

Em um $N$ -dimensional Espaço Hilbert, podemos impor uma base no espaço e representar $|psi rangle$ em termos de suas coordenadas como um $N times 1$ vector coluna. Usando a mesma base para $hat A$ , é representado por um $Ntimes N$ matriz complexa. O ket-vector ${displaystyle {hat {A}}|psi rangle }$ agora pode ser computado pela multiplicação da matriz.

Os operadores lineares são onipresentes na teoria da mecânica quântica. Por exemplo, quantidades físicas observáveis são representadas por operadores auto-adjuntos, como energia ou momento, enquanto processos transformativos são representados por operadores lineares unitários, como rotação ou progressão do tempo.

Operadores lineares atuando em sutiãs

Os operadores também podem ser vistos como atuando em sutiãs do lado direito. Especificamente, se $A$ for um operador linear e $⟨ φ |$ é um sutiã, então $⟨ φ | A$ é outro sutiã definido pela regra

{displaystyle {bigl (}langle phi |{boldsymbol {A}}{bigr)}|psi rangle =langle phi |{bigl (}{boldsymbol {A}}|psi rangle {bigr)},,}

(em outras palavras, uma composição de funções). Esta expressão é comumente escrita como (cf. produto interno de energia)

{displaystyle langle phi |{boldsymbol {A}}|psi rangle ,.}

Em um espaço de Hilbert $N$ dimensional, $⟨ φ |$ pode ser escrito como um vetor de linha $1 \times N$ e $A$ (como na seção anterior) é um $N \times N$ . Em seguida, o sutiã $⟨ φ | A$ pode ser calculado pela multiplicação normal da matriz.

Se o mesmo vetor de estado aparecer no sutiã e no lado do ket,

{displaystyle langle psi |{boldsymbol {A}}|psi rangle ,,}

A

| ?)

Produtos externos

Uma maneira conveniente de definir operadores lineares em um espaço de Hilbert $H$ é dado pelo produto externo: se $⟨ ϕ |$ for um sutiã e $| ψ ⟩$ é um ket, o produto externo

{displaystyle |phi rangle ,langle psi |}

{displaystyle {bigl (}|phi rangle langle psi |{bigr)}(x)=langle psi |xrangle |phi rangle.}

Para um espaço vetorial de dimensão finita, o produto externo pode ser entendido como uma simples multiplicação de matrizes:

{displaystyle |phi rangle ,langle psi |doteq {begin{pmatrix}phi _{1}\phi _{2}\vdots \phi _{N}end{pmatrix}}{begin{pmatrix}psi _{1}^{*}&psi _{2}^{*}&cdots &psi _{N}^{*}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}phi _{1}psi _{1}^{*}&phi _{1}psi _{2}^{*}&cdots &phi _{1}psi _{N}^{*}\phi _{2}psi _{1}^{*}&phi _{2}psi _{2}^{*}&cdots &phi _{2}psi _{N}^{*}\vdots &vdots &ddots &vdots \phi _{N}psi _{1}^{*}&phi _{N}psi _{2}^{*}&cdots &phi _{N}psi _{N}^{*}end{pmatrix}}}

O produto externo é uma matriz $N \times N$ , conforme esperado para um operador linear.

Um dos usos do produto externo é construir operadores de projeção. Dado um ket $| ψ ⟩$ de norma 1, a projeção ortogonal no subespaço gerado por $| ψ ⟩$ é

{displaystyle |psi rangle ,langle psi |,.}

Operador conjugado hermitiano

Assim como cestinhas e sutiãs podem ser transformados um no outro (fazendo $| ψ ⟩$ em $⟨ ψ |$ ), o elemento do espaço dual correspondente a $A | ψ ⟩$ é $⟨ ψ | A †$ , onde $A †$ denota o conjugado hermitiano (ou adjunto) do operador $A$ . Em outras palavras,

{displaystyle |phi rangle =A|psi rangle quad {text{if and only if}}quad langle phi |=langle psi |A^{dagger },.}

Se $A$ for expresso como um $N \times N$ , então $A †$ é sua transposição conjugada.

Os operadores auto-adjuntos, onde $A = A †$ , desempenham um papel importante papel na mecânica quântica; por exemplo, um observável é sempre descrito por um operador auto-adjunto. Se $A$ for um operador autoadjunto, então $⟨ ψ | A | ψ ⟩$ é sempre um número real (não complexo). Isso implica que os valores esperados dos observáveis são reais.

Propriedades

A notação Bra–ket foi projetada para facilitar a manipulação formal de expressões algébricas lineares. Algumas das propriedades que permitem essa manipulação estão listadas aqui. A seguir, $c 1$ e $c 2$ denota números complexos arbitrários, $c *$ denota o complexo conjugado de $c$ , $A$ e $B$ denotam operadores lineares arbitrários, e essas propriedades são válidas para qualquer escolha de sutiãs e kets.

Linearidade

Uma vez que os sutiãs são funcionais lineares, ${displaystyle langle phi |{bigl (}c_{1}|psi _{1}rangle +c_{2}|psi _{2}rangle {bigr)}=c_{1}langle phi |psi _{1}rangle +c_{2}langle phi |psi _{2}rangle ,.}$
Pela definição de adição e multiplicação escalar de funcionais lineares no espaço dual, ${displaystyle {bigl (}c_{1}langle phi _{1}|+c_{2}langle phi _{2}|{bigr)}|psi rangle =c_{1}langle phi _{1}|psi rangle +c_{2}langle phi _{2}|psi rangle ,.}$

Associatividade

Dada qualquer expressão envolvendo números complexos, bras, kets, produtos internos, produtos externos e/ou operadores lineares (mas não adição), escritos em notação de colchetes, os agrupamentos entre parênteses não importam (ou seja, a propriedade associativa detém). Por exemplo:

${displaystyle {begin{aligned}langle psi |{bigl (}A|phi rangle {bigr)}={bigl (}langle psi |A{bigr)}|phi rangle ,&{stackrel {text{def}}{=}},langle psi |A|phi rangle \{bigl (}A|psi rangle {bigr)}langle phi |=A{bigl (}|psi rangle langle phi |{bigr)},&{stackrel {text{def}}{=}},A|psi rangle langle phi |end{aligned}}}$

e assim por diante. As expressões à direita (sem parênteses) podem ser escritas sem ambiguidade devido às igualdades à esquerda. Observe que a propriedade associativa não é válida para expressões que incluem operadores não lineares, como o operador antilinear de reversão de tempo na física.

Conjugação hermitiana

A notação Bra–ket torna particularmente fácil calcular o conjugado Hermitiano (também chamado de punhal e denotado como $†$ ) de expressões. As regras formais são:

O conjugado hermitiano de um sutiã é o ket correspondente, e vice-versa.
O conjugado hermitiano de um número complexo é o seu conjugado complexo.
O conjugado hermitiano do conjugado hermitiano de qualquer coisa (operários lineares, sutiãs, kets, números) é em si mesmo — isto é, ${displaystyle left(x^{dagger }right)^{dagger }=x,.}$
Devido a qualquer combinação de números complexos, sutiãs, kets, produtos internos, produtos externos e/ou operadores lineares, escritos em notação de sutiã, seu conjugado hermitiano pode ser computado revertendo a ordem dos componentes e tomando o conjugado hermitiano de cada um.

Essas regras são suficientes para escrever formalmente o conjugado hermitiano de qualquer expressão; alguns exemplos são os seguintes:

Kets: ${displaystyle {bigl (}c_{1}|psi _{1}rangle +c_{2}|psi _{2}rangle {bigr)}^{dagger }=c_{1}^{*}langle psi _{1}|+c_{2}^{*}langle psi _{2}|,.}$
Produtos internos: ${displaystyle langle phi |psi rangle ^{*}=langle psi |phi rangle ,.}$ Note que $⟨ φ | ?)$ é um escalar, então o conjugado hermitiano é apenas o complexo conjugado, ou seja, ${displaystyle {bigl (}langle phi |psi rangle {bigr)}^{dagger }=langle phi |psi rangle ^{*}}$
Elementos de matriz: ${displaystyle {begin{aligned}langle phi |A|psi rangle ^{*}&=leftlangle psi left|A^{dagger }right|phi rightrangle \leftlangle phi left|A^{dagger }B^{dagger }right|psi rightrangle ^{*}&=langle psi |BA|phi rangle ,.end{aligned}}}$
Produtos externos: ${displaystyle {Big (}{bigl (}c_{1}|phi _{1}rangle langle psi _{1}|{bigr)}+{bigl (}c_{2}|phi _{2}rangle langle psi _{2}|{bigr)}{Big)}^{dagger }={bigl (}c_{1}^{*}|psi _{1}rangle langle phi _{1}|{bigr)}+{bigl (}c_{2}^{*}|psi _{2}rangle langle phi _{2}|{bigr)},.}$

Sutiãs e bolsas compostos

Dois espaços de Hilbert $V$ e $W$ podem formar um terceiro espaço $V \otimes W$ por um produto tensorial. Na mecânica quântica, isso é usado para descrever sistemas compostos. Se um sistema for composto por dois subsistemas descritos em $V$ e $W$ respectivamente, então o espaço de Hilbert de todo o sistema é o produto tensorial dos dois espaços. (A exceção a isso é se os subsistemas forem realmente partículas idênticas. Nesse caso, a situação é um pouco mais complicada.)

Se $| ψ ⟩$ for um ket em $V$ e $| φ ⟩$ é um ket em $W$ , o produto tensorial dos dois kets é um ket em $V \otimes W$ . Isto é escrito em várias notações:

Veja emaranhamento quântico e o paradoxo EPR para aplicações deste produto.

O operador de unidade

Considere um sistema ortonormal completo (base),

{displaystyle {e_{i} | iin mathbb {N} },,}

$H. H. H.$ $< < < < < < < < < < < < < <) < < < < < < <) < < < < <) < < < < < < < < <) < < < < <) < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < <) < < < <)) < < < < <) < <) < < < < < <)))) <)) <))) < < < <)) < < < <)) < < < < <)) < < < < <)) <)$
De análise funcional básica, sabe-se que qualquer ket $|psirangle$ também pode ser escrito como
${displaystyle |psi rangle =sum _{iin mathbb {N} }langle e_{i}|psi rangle |e_{i}rangle}$ $⟨ ⟨ ⟨ ⟨ ⟨ ⟩ ⟩$
Da comutatividade de kets com escalares (complexos), segue que
${displaystyle sum _{iin mathbb {N} }|e_{i}rangle langle e_{i}|=mathbb {I} }$ operador de identidade
Este, então, pode ser inserido em qualquer expressão sem afetar seu valor; por exemplo
${displaystyle {begin{aligned}langle v|wrangle &=langle v|left(sum _{iin mathbb {N} }|e_{i}rangle langle e_{i}|right)|wrangle \&=langle v|left(sum _{iin mathbb {N} }|e_{i}rangle langle e_{i}|right)left(sum _{jin mathbb {N} }|e_{j}rangle langle e_{j}|right)|wrangle \&=langle v|e_{i}rangle langle e_{i}|e_{j}rangle langle e_{j}|wrangle ,,end{aligned}}}$
Na mecânica quântica, muitas vezes ocorre que pouca ou nenhuma informação sobre o produto interno $⟨ ψ | φ ⟩$ de dois kets (estados) arbitrários está presente, enquanto ainda é possível dizer algo sobre os coeficientes de expansão $⟨ ψ | e i ⟩ = ⟨ e i | ψ ⟩ *$ e $⟨ e i | φ ⟩$ desses vetores em relação a uma base específica (ortonormalizada). Nesse caso, é particularmente útil inserir o operador da unidade no colchete uma vez ou mais.
Para mais informações, consulte Resolução da identidade,
${displaystyle {mathbb {I} }=int !dx~|xrangle langle x|=int !dp~|prangle langle p|,}$ ${displaystyle |prangle =int dx{frac {e^{ixp/hbar }|xrangle }{sqrt {2pi hbar }}}.}$
Desde $⟨ x' | x ⟩ = δ (x - x')$ , ondas planas seguem,
${displaystyle langle x|prangle ={frac {e^{ixp/hbar }}{sqrt {2pi hbar }}}.}$
Em seu livro (1958), Ch. III.20, Dirac define o padrão ket que, até uma normalização, é o momentum eigenstate translacionalmente invariante ${textstyle |varpi rangle =lim _{pto 0}|prangle }$ na representação dinâmica, ou seja, ${displaystyle {hat {p}}|varpi rangle =0}$ . Consequentemente, a função de onda correspondente é uma constante, ${displaystyle langle x|varpi rangle {sqrt {2pi hbar }}=1}$ e
${displaystyle |xrangle =delta ({hat {x}}-x)|varpi rangle {sqrt {2pi hbar }},}$ ${displaystyle |prangle =exp(ip{hat {x}}/hbar)|varpi rangle.}$
Normalmente, quando todos os elementos da matriz de um operador como
${displaystyle langle x|A|yrangle }$ ${displaystyle int dx,dy,|xrangle langle x|A|yrangle langle y|=A,.}$
Notação usada por matemáticos
O objeto que os físicos estão considerando ao usar a notação de colchete é um espaço de Hilbert (um espaço de produto interno completo).
Vamos. ${displaystyle ({mathcal {H}},langle cdotcdot rangle)}$ ser um espaço de Hilbert e $h \in H. H. H.$ a vector in $H. H. H.$ . O que os físicos denotariam $| h)$ é o vetor em si. Isso é,
${displaystyle |hrangle in {mathcal {H}}.}$
Vamos. $H. H. H. *$ ser o espaço dual de $H. H. H.$ . Este é o espaço de funcionais lineares em $H. H. H.$ . A incorporação ${displaystyle Phi:{mathcal {H}}hookrightarrow {mathcal {H}}^{*}}$ é definido por ${displaystyle Phi (h)=varphi _{h}}$ , onde para cada $h \in H. H. H.$ o funcional linear ${displaystyle varphi _{h}:{mathcal {H}}to mathbb {C} }$ satisfaz para cada $g \in H. H. H.$ a equação funcional ${displaystyle varphi _{h}(g)=langle h,grangle =langle hmid grangle }$ . A confusão nominal surge quando se identifica $φ h$ e $g$ com $⟨ h |$ e $| g)$ respectivamente. Isto é por causa de substituições simbólicas literais. Vamos. ${displaystyle varphi _{h}=H=langle hmid }$ e deixar $g = | g)$ . Isto dá
${displaystyle varphi _{h}(g)=H(g)=H(G)=langle h|(G)=langle h|{bigl (}|grangle {bigr)},.}$
Um ignora os parênteses e remove as barras duplas.
Além disso, os matemáticos geralmente escrevem a entidade dual não no primeiro lugar, como fazem os físicos, mas no segundo, e geralmente usam não um asterisco, mas uma sobrelinha (que os físicos reservam para médias e o spinor de Dirac adjunto) para denotar números conjugados complexos; ou seja, para produtos escalares, os matemáticos geralmente escrevem
${displaystyle langle phipsi rangle =int phi (x)cdot {overline {psi (x)}},mathrm {d} x,,}$ ${displaystyle langle psi |phi rangle =int dx,psi ^{*}(x)phi (x)~.}$

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