Noção primitiva

Em matemática, lógica, filosofia e sistemas formais, uma noção primitiva é um conceito que não é definido em termos de conceitos previamente definidos. Muitas vezes é motivado informalmente, geralmente por um apelo à intuição e à experiência cotidiana. Em uma teoria axiomática, as relações entre noções primitivas são restritas por axiomas. Alguns autores referem-se a este último como "definindo" noções primitivas por um ou mais axiomas, mas isso pode ser enganoso. As teorias formais não podem prescindir de noções primitivas, sob pena de regressão infinita (de acordo com o problema da regressão).

Por exemplo, na geometria contemporânea, ponto, linha e contém são algumas noções primitivas. Em vez de tentar defini-los, sua interação é regida (no sistema de axiomas de Hilbert) por axiomas como "Para cada dois pontos existe uma linha que contém os dois".

Detalhes

Alfred Tarski explicou o papel das noções primitivas da seguinte forma:

Quando partimos para construir uma determinada disciplina, distinguemos, em primeiro lugar, um certo pequeno grupo de expressões desta disciplina que nos parecem ser imediatamente compreensíveis; as expressões neste grupo chamamos de TERMOS PRIMITIVOS ou TERMOS UNDEFINED, e as empregamos sem explicar seus significados. Ao mesmo tempo adotamos o princípio: não empregar nenhuma das outras expressões da disciplina em consideração, a menos que seu significado tenha sido determinado pela primeira vez com a ajuda de termos primitivos e de tais expressões da disciplina cujos significados foram explicados anteriormente. A sentença que determina o significado de um termo desta forma é chamada de DEFINIÇÃO,...

Uma inevitável regressão a noções primitivas na teoria do conhecimento foi explicada por Gilbert de B. Robinson:

Para um não matemático, muitas vezes vem como uma surpresa que é impossível definir explicitamente todos os termos que são usados. Este não é um problema superficial, mas está na raiz de todo o conhecimento; é necessário começar em algum lugar, e fazer o progresso deve-se indicar claramente os elementos e as relações que são indefinidas e as propriedades que são tomadas para concedido.

Exemplos

A necessidade de noções primitivas é ilustrada em vários fundamentos axiomáticos da matemática:

• Teoria dos conjuntos: O conceito do conjunto é um exemplo de uma noção primitiva. Como escreve Mary Tiles: [A] 'definição' de 'set' é menos uma definição do que uma tentativa de explicação de algo que está sendo dado o status de um primitivo, indefinido, termo. Como evidência, ela cita Felix Hausdorff: "Um conjunto é formado pelo agrupamento de objetos únicos em um todo. Um conjunto é uma pluralidade pensada como uma unidade."
• Teoria dos conjuntos ingênuos: O conjunto vazio é uma noção primitiva. Para afirmar que existe seria um axioma implícito.
• Aritmética de Peano: A função sucessora e o número zero são noções primitivas. Uma vez que a aritmética de Peano é útil em relação às propriedades dos números, os objetos que as noções primitivas representam podem não ser estritamente importantes.
• Sistemas axiomáticos: As noções primitivas dependerão do conjunto de axiomas escolhidos para o sistema. Alessandro Padoa discutiu esta seleção no Congresso Internacional de Filosofia em Paris em 1900. As próprias noções podem não necessariamente precisar ser declaradas; Susan Haack (1978) escreve: "Um conjunto de axiomas é às vezes dito para dar uma definição implícita de seus termos primitivos".
• Geometria euclidiana: Sob o sistema de axioma de Hilbert, as noções primitivas são ponto, linha, avião, congruência,e incidência.
• Geometria euclidiana: Sob o sistema de axioma de Peano, as noções primitivas são ponto, segmentoe Movimento.

Primitivas de Russell

Em seu livro sobre filosofia da matemática, Os Princípios da Matemática, Bertrand Russell usou estas noções: Para o cálculo de classes (teoria dos conjuntos), ele usou relações, considerando a pertinência de conjuntos como uma noção primitiva. Para estabelecer conjuntos, ele também requer funções proposicionais como primitivas, bem como a frase "tal que" como usado na notação do construtor de conjuntos. (pp 18,9) Com relação às relações, Russell toma como noções primitivas a relação inversa e a relação complementar de um dado xRy. Além disso, produtos lógicos de relações e produtos relativos de relações são primitivos. (p 25) Quanto à denotação de objetos por descrição, Russell reconhece que uma noção primitiva está envolvida. (p 27) A tese do livro de Russell é "Matemática pura usa apenas algumas noções, e estas são constantes lógicas." (pxxi)