Movimento browniano

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Movimento aleatório de partículas suspensas em um fluido

Caminhada aleatória 2-dimensional de um adatom de prata em uma superfície Ag(111)

Simulação do movimento browniano de uma partícula grande, análoga a uma partícula de poeira, que colide com um grande conjunto de partículas menores, análogas a moléculas de um gás, que se movem com velocidades diferentes em direções aleatórias diferentes.

Movimento Browniano, ou pedesis (do grego antigo: πήδησις /pɛ̌ːdɛːsis/ "pular"), é o movimento aleatório de partículas suspensas em um meio (um líquido ou um gás).

Esse padrão de movimento normalmente consiste em flutuações aleatórias na posição de uma partícula dentro de um subdomínio de fluido, seguidas por uma realocação para outro subdomínio. Cada realocação é seguida por mais flutuações dentro do novo volume fechado. Este padrão descreve um fluido em equilíbrio térmico, definido por uma dada temperatura. Dentro de tal fluido, não existe direção preferencial de fluxo (como nos fenômenos de transporte). Mais especificamente, os momentos lineares e angulares globais do fluido permanecem nulos ao longo do tempo. As energias cinéticas dos movimentos brownianos moleculares, juntamente com as das rotações e vibrações moleculares, somam-se ao componente calórico da energia interna de um fluido (o teorema da equipartição).

Este movimento recebeu o nome do botânico Robert Brown, que descreveu o fenômeno pela primeira vez em 1827, enquanto olhava através de um microscópio o pólen da planta Clarkia pulchella imerso em água. Em 1905, quase oitenta anos depois, o físico teórico Albert Einstein publicou um artigo onde modelou o movimento das partículas de pólen como sendo movidas por moléculas de água individuais, fazendo uma de suas primeiras grandes contribuições científicas. A direção da força do bombardeio atômico muda constantemente e, em momentos diferentes, a partícula é atingida mais de um lado do que do outro, levando à natureza aparentemente aleatória do movimento. Esta explicação do movimento browniano serviu como evidência convincente de que átomos e moléculas existem e foi posteriormente verificada experimentalmente por Jean Perrin em 1908. Perrin recebeu o Prêmio Nobel de Física em 1926 "por seu trabalho sobre a estrutura descontínua da matéria&#34.;.

As interações de muitos corpos que produzem o padrão browniano não podem ser resolvidas por um modelo que considere todas as moléculas envolvidas. Em consequência, apenas modelos probabilísticos aplicados a populações moleculares podem ser empregados para descrevê-la. Dois desses modelos da mecânica estatística, devidos a Einstein e Smoluchowski, são apresentados a seguir. Outra classe de modelos probabilísticos puros é a classe dos modelos de processos estocásticos. Existem sequências de processos estocásticos mais simples e mais complicados que convergem (no limite) para o movimento browniano (ver passeio aleatório e teorema de Donsker).

História

Reprodução do livro de Jean Baptiste Perrin, Os átomos, três traços do movimento de partículas coloidal do raio 0.53 μm, como visto sob o microscópio, são exibidos. Posições de sucesso a cada 30 segundos são unidas por segmentos de linha reta (o tamanho da malha é 3.2 μm).

O filósofo-poeta romano Lucrécio' poema científico "Sobre a natureza das coisas" (c. 60 aC) tem uma descrição notável do movimento das partículas de poeira nos versículos 113–140 do Livro II. Ele usa isso como uma prova da existência de átomos:

Observe o que acontece quando os raios solares são admitidos em um edifício e derrame a luz em seus lugares sombrios. Você verá uma infinidade de partículas minúsculas misturando-se de várias maneiras... sua dança é uma indicação real de movimentos subjacentes da matéria que estão escondidos de nossa visão... Ela se origina com os átomos que se movem de si mesmos [isto é, espontaneamente]. Então esses pequenos corpos compostos que são menos removidos do impulso dos átomos são colocados em movimento pelo impacto de seus golpes invisíveis e, por sua vez, canhão contra corpos ligeiramente maiores. Assim, o movimento se eleva dos átomos e gradualmente emerge ao nível dos nossos sentidos para que esses corpos estejam em movimento que vemos nos raios solares, movidos por golpes que permanecem invisíveis.

Embora o movimento de mistura e turbulência das partículas de poeira seja causado em grande parte por correntes de ar, o movimento brilhante e oscilante de pequenas partículas de poeira é causado principalmente pela verdadeira dinâmica browniana; Lucrécio "descreve e explica perfeitamente o movimento browniano por um exemplo errado".

Enquanto Jan Ingenhousz descreveu o movimento irregular de partículas de pó de carvão na superfície do álcool em 1785, a descoberta desse fenômeno é frequentemente creditada ao botânico Robert Brown em 1827. Brown estava estudando grãos de pólen da planta Clarkia pulchella suspensa em água sob um microscópio quando observou minúsculas partículas, ejetadas pelos grãos de pólen, executando um movimento agitado. Repetindo o experimento com partículas de matéria inorgânica, ele conseguiu descartar que o movimento fosse relacionado à vida, embora sua origem ainda não tivesse sido explicada.

A primeira pessoa a descrever a matemática por trás do movimento browniano foi Thorvald N. Thiele em um artigo sobre o método dos mínimos quadrados publicado em 1880. Isso foi seguido independentemente por Louis Bachelier em 1900 em sua tese de doutorado "A teoria de especulação", em que apresentou uma análise estocástica dos mercados de ações e opções. O modelo de movimento browniano do mercado de ações é frequentemente citado, mas Benoit Mandelbrot rejeitou sua aplicabilidade aos movimentos de preços de ações em parte porque estes são descontínuos.

Albert Einstein (em um de seus artigos de 1905) e Marian Smoluchowski (1906) chamaram a atenção dos físicos para a solução do problema e a apresentaram como uma forma de confirmar indiretamente a existência de átomos e moléculas. Suas equações que descrevem o movimento browniano foram posteriormente verificadas pelo trabalho experimental de Jean Baptiste Perrin em 1908.

Teorias de mecânica estatística

Teoria de Einstein

Há duas partes na teoria de Einstein: a primeira parte consiste na formulação de uma equação de difusão para partículas brownianas, na qual o coeficiente de difusão está relacionado com o deslocamento médio ao quadrado de uma partícula browniana, enquanto a segunda parte consiste em relacionar o coeficiente de difusão a quantidades físicas mensuráveis. Desta forma, Einstein foi capaz de determinar o tamanho dos átomos e quantos átomos existem em uma toupeira, ou o peso molecular em gramas, de um gás. De acordo com a lei de Avogadro, esse volume é o mesmo para todos os gases ideais, que é de 22,414 litros à temperatura e pressão padrão. O número de átomos contidos nesse volume é denominado número de Avogadro, e a determinação desse número equivale ao conhecimento da massa de um átomo, pois esta é obtida dividindo-se a massa molar do gás pela massa de Avogadro constante.

As curvas características em forma de sino da difusão de partículas brownianas. A distribuição começa como uma função delta Dirac, indicando que todas as partículas estão localizadas na origem no momento ) = 0. ) aumenta, a distribuição flattens (embora permaneça em forma de sino), e finalmente se torna uniforme no limite que o tempo vai para o infinito.

A primeira parte do argumento de Einstein foi determinar a distância percorrida por uma partícula browniana em um determinado intervalo de tempo. A mecânica clássica é incapaz de determinar esta distância devido ao enorme número de bombardeios que uma partícula browniana sofrerá, aproximadamente da ordem de 10¹⁴ colisões por segundo.

Ele considerou o incremento de posições de partículas no tempo $tau$ em uma dimensão unidimensional (x) espaço (com as coordenadas escolhidas para que a origem esteja na posição inicial da partícula) como variável aleatória ( $Delta$ ) com alguma função de densidade de probabilidade ${displaystyle varphi (Delta)}$ (i.e., ${displaystyle varphi (Delta)}$ é a densidade de probabilidade para um salto de magnitude $Delta$ , ou seja, a densidade de probabilidade da partícula incrementando sua posição a partir de $x$ para ${displaystyle x+Delta }$ no intervalo de tempo $tau$ ). Além disso, assumindo a conservação do número de partículas, ele expandiu a densidade do número ${displaystyle rho (x,t+tau)}$ (número de partículas por unidade de volume em torno de $x$ ) a tempo ${displaystyle t+tau }$ em uma série de Taylor,

{displaystyle {begin{aligned}rho (x,t)+tau {frac {partial rho (x,t)}{partial t}}+cdots ={}&rho (x,t+tau)\={}&int _{-infty }^{infty }rho (x+Deltat)cdot varphi (Delta),mathrm {d} Delta =mathbb {E} _{Delta }[rho (x+Deltat)]\={}&rho (x,t)cdot int _{-infty }^{infty }varphi (Delta),mathrm {d} Delta +{frac {partial rho }{partial x}}cdot int _{-infty }^{infty }Delta cdot varphi (Delta),mathrm {d} Delta \&{}+{frac {partial ^{2}rho }{partial x^{2}}}cdot int _{-infty }^{infty }{frac {Delta ^{2}}{2}}cdot varphi (Delta),mathrm {d} Delta +cdots \={}&rho (x,t)cdot 1+0+{frac {partial ^{2}rho }{partial x^{2}}}cdot int _{-infty }^{infty }{frac {Delta ^{2}}{2}}cdot varphi (Delta),mathrm {d} Delta +cdots end{aligned}}}

onde a segunda igualdade é por definição $varphi$ . A integral no primeiro termo é igual a uma pela definição de probabilidade, e o segundo e outros termos pares (ou seja, primeiro e outros momentos estranhos) desaparecem por causa da simetria espacial. O que resta dá origem à seguinte relação:

{displaystyle {frac {partial rho }{partial t}}={frac {partial ^{2}rho }{partial x^{2}}}cdot int _{-infty }^{infty }{frac {Delta ^{2}}{2,tau }}cdot varphi (Delta),mathrm {d} Delta +{text{higher-order even moments.}}}

Onde o coeficiente após o Laplacian, o segundo momento de probabilidade de deslocamento $Delta$ , é interpretado como difusividade em massa D:

{displaystyle D=int _{-infty }^{infty }{frac {Delta ^{2}}{2,tau }}cdot varphi (Delta),mathrm {d} Delta.}

Então a densidade das partículas brownianas ρ no ponto x no tempo t satisfaz a equação de difusão:

{displaystyle {frac {partial rho }{partial t}}=Dcdot {frac {partial ^{2}rho }{partial x^{2}}},}

Assumindo que N partículas partem da origem no tempo inicial t = 0, a equação de difusão tem a solução

{displaystyle rho (x,t)={frac {N}{sqrt {4pi Dt}}}e^{-{frac {x^{2}}{4Dt}}}.}

Esta expressão (que é uma distribuição normal com a média) ${displaystyle mu =0}$ e variância ${displaystyle sigma ^{2}=2Dt}$ geralmente chamado de movimento browniano ${displaystyle B_{t}}$ ) permitiu que Einstein calculasse os momentos diretamente. O primeiro momento é visto a desaparecer, o que significa que a partícula de Brownian é igualmente susceptível de se mover para a esquerda como é para se mover para a direita. O segundo momento é, no entanto, não-vanishing, sendo dado por

{displaystyle {overline {x^{2}}}=2,D,t.}

Esta equação expressa o deslocamento médio quadrado em termos do tempo decorrido e da difusividade. A partir dessa expressão, Einstein argumentou que o deslocamento de uma partícula browniana não é proporcional ao tempo decorrido, mas sim à sua raiz quadrada. Seu argumento é baseado em uma mudança conceitual do "ensemble" de partículas brownianas para o "single" Partícula browniana: podemos falar do número relativo de partículas em um único instante, bem como do tempo que uma partícula browniana leva para atingir um determinado ponto.

A segunda parte da teoria de Einstein relaciona a constante de difusão a quantidades fisicamente mensuráveis, como o deslocamento médio quadrado de uma partícula em um determinado intervalo de tempo. Este resultado permite a determinação experimental do número de Avogadro e, portanto, o tamanho das moléculas. Einstein analisou um equilíbrio dinâmico sendo estabelecido entre forças opostas. A beleza de seu argumento é que o resultado final não depende de quais forças estão envolvidas no estabelecimento do equilíbrio dinâmico.

Em seu tratamento original, Einstein considerou um experimento de pressão osmótica, mas a mesma conclusão pode ser alcançada de outras maneiras.

Considere, por exemplo, partículas suspensas em um fluido viscoso em um campo gravitacional. A gravidade tende a estabelecer as partículas, enquanto a difusão age para homogeneizá-las, conduzindo-as para regiões de menor concentração. Sob a ação da gravidade, uma partícula adquire uma velocidade descendente de v = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = μmg, onde m é a massa da partícula, g é a aceleração devido à gravidade, e μ é a mobilidade da partícula no fluido. George Stokes mostrou que a mobilidade de uma partícula esférica com raio R o $mu ={tfrac {1}{6pi eta r}}$ , onde ? é a viscosidade dinâmica do fluido. Em um estado de equilíbrio dinâmico, e sob a hipótese de fluido isotérmico, as partículas são distribuídas de acordo com a distribuição barométrica

{displaystyle rho =rho _{o},e^{-{frac {m,g,h}{k_{rm {B}},T}}},}

Onde? ? - Sim. ?_o é a diferença na densidade de partículas separadas por uma diferença de altura, de ${displaystyle h=z-z_{o}}$ , k_B é a constante de Boltzmann (a relação do gás universal constante, R, para a constante de Avogadro, N_A), e T é a temperatura absoluta.

A distribuição de equilíbrio para partículas de gamboge mostra a tendência para que os grânulos se movam para regiões de menor concentração quando afetados pela gravidade.

O equilíbrio dinâmico é estabelecido porque quanto mais as partículas são puxadas para baixo pela gravidade, maior a tendência das partículas migrarem para regiões de menor concentração. O fluxo é dado pela lei de Fick,

{displaystyle J=-D{frac {drho }{dh}},}

onde J = ρv. Apresentando a fórmula para ρ, descobrimos que

{displaystyle v={frac {Dmg}{k_{rm {B}}T}}.}

Em estado de equilíbrio dinâmico, esta velocidade também deve ser igual a v = μmg. Ambas as expressões para v são proporcionais a mg, refletindo que a derivação é independente do tipo de forças consideradas. Da mesma forma, pode-se derivar uma fórmula equivalente para partículas carregadas idênticas de carga q em um campo elétrico uniforme de magnitude E, onde mg é substituído por a força eletrostática qE. Equacionar essas duas expressões produz a relação de Einstein para a difusividade, independente de mg ou qE ou outras forças semelhantes:

{displaystyle {frac {overline {x^{2}}}{2t}}=D=mu k_{rm {B}}T={frac {mu RT}{N_{text{A}}}}={frac {RT}{6pi eta rN_{text{A}}}}.}

Aqui a primeira igualdade decorre da primeira parte da teoria de Einstein, a terceira igualdade decorre da definição da constante de Boltzmann como k_B = R / N_A, e a quarta igualdade decorre da fórmula de Stokes para a mobilidade. Medindo o deslocamento médio quadrado em um intervalo de tempo junto com a constante universal dos gases R, a temperatura T, a viscosidade η e a partícula raio r, a constante de Avogadro N_A pode ser determinada.

O tipo de equilíbrio dinâmico proposto por Einstein não era novo. Já havia sido apontado anteriormente por J. J. Thomson em sua série de palestras na Universidade de Yale em maio de 1903 que o equilíbrio dinâmico entre a velocidade gerada por um gradiente de concentração dado pela lei de Fick e a velocidade devido à variação do gradiente parcial A pressão causada quando os íons são colocados em movimento "nos dá um método para determinar a Constante de Avogadro que é independente de qualquer hipótese quanto à forma ou tamanho das moléculas, ou da maneira como elas agem umas sobre as outras". #34;.

Uma expressão idêntica à fórmula de Einstein para o coeficiente de difusão também foi encontrada por Walther Nernst em 1888, na qual ele expressou o coeficiente de difusão como a razão da pressão osmótica para a proporção da força atrito e a velocidade a que dá origem. O primeiro foi igualado à lei de van 't Hoff enquanto o último foi dado pela lei de Stokes. Ele escreve ${displaystyle k'=p_{o}/k}$ para o coeficiente de difusão k ', onde $p_{o}$ é a pressão osmótica e k é a razão da força atrito para a viscosidade molecular que ele assume é dada pela fórmula de Stokes para a viscosidade. Apresentando a lei de gás ideal por volume unitário para a pressão osmótica, a fórmula torna-se idêntica à de Einstein. O uso da lei de Stokes no caso de Nernst, bem como em Einstein e Smoluchowski, não é estritamente aplicável, pois não se aplica ao caso em que o raio da esfera é pequeno em comparação com o caminho livre médio.

A princípio, as previsões da fórmula de Einstein foram aparentemente refutadas por uma série de experimentos de Svedberg em 1906 e 1907, que deram deslocamentos das partículas de 4 a 6 vezes o valor previsto, e de Henri em 1908 que encontrou deslocamentos 3 vezes maiores do que a fórmula de Einstein previu. Mas as previsões de Einstein foram finalmente confirmadas em uma série de experimentos realizados por Chaudesaigues em 1908 e Perrin em 1909. A confirmação da teoria de Einstein constituiu um progresso empírico para a teoria cinética do calor. Em essência, Einstein mostrou que o movimento pode ser previsto diretamente do modelo cinético de equilíbrio térmico. A importância da teoria reside no fato de que ela confirmou o relato da teoria cinética da segunda lei da termodinâmica como sendo uma lei essencialmente estatística.

Modelo de movimento browniano da trajetória de uma partícula de corante na água.

Modelo de Smoluchowski

A teoria de Smoluchowski do movimento browniano começa da mesma premissa que a de Einstein e deriva a mesma distribuição de probabilidade ?(x, )) para o deslocamento de uma partícula marrom ao longo da x em tempo ). Ele, portanto, recebe a mesma expressão para o deslocamento quadrado médio: ${overline {(Delta x)^{2}}}$ . No entanto, quando ele a relaciona com uma partícula de massa m movendo-se em uma velocidade $u$ que é o resultado de uma força de atrito governada pela lei de Stokes, ele encontra

overline{(Delta x)^2}=2Dt=tfrac{32}{81}frac{mu^2}{pimu a}=tfrac{64}{27}frac{frac{1}{2}mu^2}{3pimu a},

Onde? μ é o coeficiente de viscosidade, e $a$ é o raio da partícula. Associando a energia cinética $mu^{2}/2$ com a energia térmica RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT RT/N, a expressão para o deslocamento quadrado médio é 64/27 vezes encontrada por Einstein. A fração 27/64 foi comentada por Arnold Sommerfeld em sua necrologia em Smoluchowski: "O coeficiente numérico de Einstein, que difere de Smoluchowski por 27/64, só pode ser colocado em dúvida."

Smoluchowski tenta responder à questão de por que uma partícula browniana deve ser deslocada por bombardeios de partículas menores quando as probabilidades de atingi-la nas direções dianteira e traseira são iguais. Se a probabilidade de m ganhos e n − m perdas seguir uma distribuição binomial,

{displaystyle P_{m,n}={binom {n}{m}}2^{-n},}

com probabilidades a priori iguais de 1/2, o ganho total médio é

{overline {2m-n}}=sum _{m={frac {n}{2}}}^{n}(2m-n)P_{m,n}={frac {nn!}{2^{n}left[left({frac {n}{2}}right)!right]^{2}}}.

Se n for grande o suficiente para que a aproximação de Stirling possa ser usada na forma

n!approx left({frac {n}{e}}right)^{n}{sqrt {2pi n}},

então o ganho total esperado será

{overline {2m-n}}approx {sqrt {frac {2n}{pi }}},

mostrando que aumenta como a raiz quadrada da população total.

Suponha que uma partícula browniana de massa M é cercada por partículas mais leves de massa m que viajam a uma velocidade u. Então, raciocina Smoluchowski, em qualquer colisão entre uma partícula circundante e uma partícula browniana, a velocidade transmitida a esta última será mu/M. Essa proporção é da ordem de 10⁻⁷ cm/s. Mas também temos que levar em consideração que em um gás haverá mais de 10¹⁶ colisões em um segundo, e ainda mais em um líquido onde esperamos que haja 10²⁰ colisão em um segundo. Algumas dessas colisões tenderão a acelerar a partícula browniana; outros tenderão a desacelerá-lo. Se houver um excesso médio de um tipo de colisão ou outro da ordem de 10⁸ a 10¹⁰ colisões em um segundo, então a velocidade da partícula browniana pode estar em qualquer lugar entre 10 e 1000 cm/s. Assim, embora haja probabilidades iguais de colisões para frente e para trás, haverá uma tendência líquida para manter a partícula browniana em movimento, exatamente como prevê o teorema do voto.

Essas ordens de magnitude não são exatas porque não levam em consideração a velocidade da partícula Browniana, U, que depende das colisões que tendem a acelerar e desacelerá-lo. Quanto maior U é, o maior será as colisões que o retardarão para que a velocidade de uma partícula Brownian nunca possa aumentar sem limite. Pode ocorrer tal processo, equivaleria a um movimento perpétuo do segundo tipo. E como se aplica a equipartição da energia, a energia cinética da partícula Browniana, $MU^{2}/2$ , será igual, em média, à energia cinética da partícula de fluido circundante, $mu^{2}/2$ .

Em 1906 Smoluchowski publicou um modelo unidimensional para descrever uma partícula em movimento browniano. O modelo assume colisões com M*m Onde? M é a massa da partícula de teste e m a massa de uma das partículas individuais que compõe o fluido. Assume-se que as colisões de partículas estão confinadas a uma dimensão e que é igualmente provável que a partícula de teste seja atingida da esquerda como da direita. Também é assumido que cada colisão sempre transmite a mesma magnitude de ΔV. Se N_R é o número de colisões da direita e N_L o número de colisões da esquerda depois N colisões a velocidade da partícula terá mudado por ΔV(2N_R- Sim.N). A multiplicidade é então simplesmente dada por:

{displaystyle {binom {N}{N_{rm {R}}}}={frac {N!}{N_{rm {R}}!(N-N_{rm {R}})!}}}

e o número total de estados possíveis é dado por 2^N. Portanto, a probabilidade de a partícula ser atingida da direita N_R vezes é:

{displaystyle P_{N}(N_{rm {R}})={frac {N!}{2^{N}N_{rm {R}}!(N-N_{rm {R}})!}}}

Como resultado de sua simplicidade, o modelo 1D de Smoluchowski só pode descrever qualitativamente o movimento browniano. Para uma partícula realista em movimento browniano em um fluido, muitas das suposições não se aplicam. Por exemplo, a suposição de que em média ocorre um número igual de colisões da direita e da esquerda se desfaz quando a partícula está em movimento. Além disso, haveria uma distribuição de diferentes ΔVs possíveis ao invés de sempre apenas um em uma situação realista.

Outros modelos físicos usando equações diferenciais parciais

A equação de difusão fornece uma aproximação da evolução temporal da função de densidade de probabilidade associada à posição da partícula passando por um movimento Browniano sob a definição física. A aproximação é válida em escalas de tempo curtas.

A evolução temporal da posição da própria partícula browniana é melhor descrita usando a equação de Langevin, uma equação que envolve um campo de força aleatório que representa o efeito das flutuações térmicas do solvente na partícula.

O deslocamento de uma partícula em movimento browniano é obtido resolvendo a equação de difusão sob condições de contorno apropriadas e encontrando os rms da solução. Isso mostra que o deslocamento varia com a raiz quadrada do tempo (não linearmente), o que explica por que os resultados experimentais anteriores relativos à velocidade das partículas brownianas deram resultados sem sentido. Uma dependência de tempo linear foi assumida incorretamente.

Em escalas de tempo muito curtas, no entanto, o movimento de uma partícula é dominado por sua inércia e seu deslocamento será linearmente dependente do tempo: Δx = vΔ t. Portanto, a velocidade instantânea do movimento browniano pode ser medida como v = Δx/Δt, quando Δt << τ, onde τ é o tempo de relaxamento do momento. Em 2010, a velocidade instantânea de uma partícula browniana (uma microesfera de vidro presa no ar com uma pinça óptica) foi medida com sucesso. Os dados de velocidade verificaram a distribuição de velocidade de Maxwell-Boltzmann e o teorema da equipartição para uma partícula browniana.

Astrofísica: movimento das estrelas dentro das galáxias

Em dinâmica estelar, um corpo maciço (estrela, buraco negro, etc.) pode experimentar movimento browniano como ele responde a forças gravitacionais de estrelas circundantes. A velocidade de rms V do objeto maciço, da massa M, está relacionado com a velocidade rms $v_{star }$ das estrelas de fundo por

MV^{2}approx mv_{star }^{2}

Onde? $mll M$ é a massa das estrelas de fundo. A força gravitacional do objeto maciço faz com que as estrelas próximas se movam mais rápido do que o contrário, aumentando ambos $v_{star }$ e V. A velocidade browniana de Sgr A*, o buraco negro supermassivo no centro da galáxia Via Láctea, é previsto a partir desta fórmula para ser menos de 1 km s^{- Sim.}.

Matemática

Um exemplo animado de uma caminhada aleatória de movimento browniano em um torus. No limite de escala, o passeio aleatório aproxima-se do processo Wiener de acordo com o teorema de Donsker.

Na matemática, o movimento browniano é descrito pelo processo de Wiener, um processo estocástico de tempo contínuo nomeado em homenagem a Norbert Wiener. É um dos processos de Lévy mais conhecidos (processos estocásticos de càdlàg com incrementos estacionários independentes) e ocorre frequentemente em matemática pura e aplicada, economia e física.

Uma única realização do movimento browniano tridimensional para tempos 0 ≤)≤ 2

O processo Wiener W_t é caracterizado por quatro fatos:

W₀ = 0
W₎ é quase certamente contínuo
W₎ tem incrementos independentes
$W_{t}-W_{s}sim {mathcal {N}}(0,t-s)$ (para $0leq sleq t$ ).

${mathcal {N}}(musigma ^{2})$ denota a distribuição normal com o valor esperado μ e variância σ². A condição que tem incrementos independentes significa que se $<math alttext="{displaystyle 0leq s_{1}<t_{1}leq s_{2}0≤ ≤ S1<)1≤ ≤ S2<)2{displaystyle 0leq s_{1}<t_{1}leq s_{2}<t_{2}}<img alt="{displaystyle 0leq s_{1}<t_{1}leq s_{2}$ então $W_{t_{1}}-W_{s_{1}}$ e $W_{t_{2}}-W_{s_{2}}$ são variáveis aleatórias independentes. Além disso, para alguma filtração ${mathcal {F}}_{t}$ , $W_{t}$ o ${mathcal {F}}_{t}$ mensurável para todos $tgeq 0$ .

Uma caracterização alternativa do processo Wiener é a chamada Caracterização da Lévy que diz que o processo Wiener é uma martingale quase seguramente contínua com W₀ = 0 e variação quadrática $[W_{t},W_{t}]=t$ .

Uma terceira caracterização é que o processo Wiener tem uma representação espectral como uma série sine cujos coeficientes são independentes ${mathcal {N}}(0,1)$ variáveis aleatórias. Esta representação pode ser obtida usando o teorema de Kosambi–Karhunen–Loève.

O processo de Wiener pode ser construído como o limite de escala de um passeio aleatório ou outros processos estocásticos de tempo discreto com incrementos estacionários independentes. Isso é conhecido como teorema de Donsker. Como o passeio aleatório, o processo de Wiener é recorrente em uma ou duas dimensões (o que significa que ele retorna quase certamente a qualquer vizinhança fixa da origem com uma frequência infinita), enquanto não é recorrente em dimensões três e superiores. Ao contrário do passeio aleatório, é invariante em escala.

A evolução temporal da posição da própria partícula browniana pode ser descrita aproximadamente por uma equação de Langevin, uma equação que envolve um campo de força aleatório que representa o efeito das flutuações térmicas do solvente na partícula browniana. Em escalas de tempo longas, o movimento browniano matemático é bem descrito por uma equação de Langevin. Em pequenas escalas de tempo, os efeitos inerciais prevalecem na equação de Langevin. No entanto, o movimento browniano matemático é isento de tais efeitos inerciais. Os efeitos inerciais devem ser considerados na equação de Langevin, caso contrário a equação torna-se singular. de modo que simplesmente remover o termo de inércia desta equação não produziria uma descrição exata, mas sim um comportamento singular no qual a partícula não se move.

Estatísticas

O movimento browniano pode ser modelado por um passeio aleatório.

No caso geral, o movimento browniano é um processo de Markov e descrito por equações integrais estocásticas.

Caracterização de Lévy

O matemático francês Paul Lévy provou o seguinte teorema, que fornece uma condição necessária e suficiente para um processo estocástico contínuo Rⁿ X na verdade é um movimento browniano ndimensional. Portanto, a condição de Lévy pode realmente ser usada como uma definição alternativa de movimento browniano.

Seja X = (X₁,..., X_n) seja um processo estocástico contínuo em um espaço de probabilidade (Ω, Σ, P) assumindo valores em Rⁿ. Então os seguintes são equivalentes:

X é um movimento browniano com respeito a P, i.e., a lei de X com respeito a P é o mesmo que a lei de um n-dimensional Movimento browniano, ou seja, a medida de avanço X_∗(P) é medida clássica de Wiener em C₀([0, +∞);Rⁿ).
ambos
1. X é um martingale com respeito a P (e sua própria filtragem natural); e
2. para todos 1 ≤Eu...,JJ≤n, X_Eu...())X_JJ())δ_ij) é um martingale com respeito a P (e sua própria filtragem natural), onde δ_ij denota o delta de Kronecker.

Conteúdo espectral

O conteúdo espectral de um processo estocástico $X_{t}$ pode ser encontrada a partir da densidade espectral de potência, formalmente definida como

{displaystyle S(omega)=lim _{Tto infty }{frac {1}{T}}mathbb {E} left{left|int _{0}^{T}e^{iomega t}X_{t}dtright|^{2}right},}

Onde? $mathbb {E}$ significa o valor esperado. A densidade espectral de poder do movimento browniano é encontrada para ser

{displaystyle S_{BM}(omega)={frac {4D}{omega ^{2}}}.}

Onde? $D$ é o coeficiente de difusão $X_{t}$ . Para sinais de ocorrência natural, o conteúdo espectral pode ser encontrado a partir da densidade espectral de potência de uma única realização, com tempo disponível finito, ou seja,

{displaystyle S^{(1)}(omegaT)={frac {1}{T}}left|int _{0}^{T}e^{iomega t}X_{t}dtright|^{2},}

que para uma realização individual de uma trajetória de movimento browniano, é encontrado ter o valor esperado ${displaystyle mu _{BM}(omegaT)}$

{displaystyle mu _{BM}(omegaT)={frac {4D}{omega ^{2}}}left[1-{frac {sin left(omega Tright)}{omega T}}right]}

e variância ${displaystyle sigma _{BM}^{2}(omegaT)}$

{displaystyle sigma _{S}^{2}(f,T)=mathbb {E} left{left(S_{T}^{(j)}(f)right)^{2}right}-mu _{S}^{2}(f,T)={frac {20D^{2}}{f^{4}}}left[1-{Big (}6-cos left(fTright){Big)}{frac {2sin left(fTright)}{5fT}}+{frac {{Big (}17-cos left(2fTright)-16cos left(fTright){Big)}}{10f^{2}T^{2}}}right].}

Para tempos de realização suficientemente longos, o valor esperado do espectro de potência de uma única trajetória converge para a densidade espectral de potência formalmente definida $S(omega)$ , mas seu coeficiente de variação ${displaystyle gamma ={sqrt {sigma ^{2}}}/mu }$ tende a ${displaystyle {sqrt {5}}/2}$ . Isso implica a distribuição de ${displaystyle S^{(1)}(omegaT)}$ é ampla mesmo no limite de tempo infinito.

Variedade Riemanniana

Movimento browniano em uma esfera

O gerador infinitesimal (e, portanto, operador característico) de um movimento browniano Rⁿ é facilmente calculado para ser 1⁄2Δ, onde Δ denota o operador Laplace. Em processamento de imagem e visão de computador, o operador Laplacian foi usado para várias tarefas, como detecção de blocos e bordas. Esta observação é útil na definição de movimento browniano em um m-dimensional Manifold de Riemann (M,g: um Aprovação pelo Parlamento Europeu M é definido como uma difusão em M cujo operador característico ${mathcal {A}}$ em coordenadas locais x_Eu..., 1 ≤Eu...≤m, é dado por 1⁄2Δ_LB, onde Δ_LB é o operador Laplace–Beltrami dado em coordenadas locais por

Delta _{mathrm {LB} }={frac {1}{sqrt {det(g)}}}sum _{i=1}^{m}{frac {partial }{partial x_{i}}}left({sqrt {det(g)}}sum _{j=1}^{m}g^{ij}{frac {partial }{partial x_{j}}}right),

onde [g^ij] = [g_ij]⁻¹ no sentido do inverso de uma matriz quadrada.

Escape estreito

O problema do escape estreito é um problema onipresente em biologia, biofísica e biologia celular que tem a seguinte formulação: uma partícula browniana (íon, molécula ou proteína) é confinada a um domínio limitado (um compartimento ou uma célula) por um limite refletivo, exceto por uma pequena janela através da qual ele pode escapar. O problema de escape estreito é o de calcular o tempo médio de escape. Este tempo diverge à medida que a janela diminui, tornando o cálculo um problema de perturbação singular.

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