Modelo linear

Em estatística, o termo modelo linear é usado de maneiras diferentes de acordo com o contexto. A ocorrência mais comum está relacionada com modelos de regressão e o termo é muitas vezes tomado como sinônimo de modelo de regressão linear. No entanto, o termo também é usado na análise de séries temporais com um significado diferente. Em cada caso, a designação "linear" é usado para identificar uma subclasse de modelos para os quais é possível uma redução substancial na complexidade da teoria estatística relacionada.

Modelos de regressão linear

Para o caso de regressão, o modelo estatístico é o seguinte. Dada uma amostra (random) (YEu...,XEu...1,...... ,XEu...p),Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1,...... ,n(Y_{i},X_{i1},ldotsX_{ip}),,i=1,ldotsn} a relação entre as observações YEu...Não. Y_{i}} e as variáveis independentes XEu...JJ{displaystyle X_{ij}} é formulado como

YEu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =β β 0+β β 1φ φ 1(XEu...1)+⋯ ⋯ +β β pφ φ p(XEu...p)+ε ε Eu...Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1,...... ,nNão. Y_{i}=beta _{0}+beta _{1}phi _{1}(X_{i1})+cdots +beta _{p}phi _{p}(X_{ip})+varepsilon _{i}qquad i=1,ldotsn}

Onde? φ φ 1,...... ,φ φ p{displaystyle phi _{1},ldotsphi _{p}} podem ser funções não lineares. No acima, as quantidades ε ε Eu...{displaystyle varepsilon _{i}} são variáveis aleatórias que representam erros no relacionamento. A parte "linear" da designação diz respeito ao aparecimento dos coeficientes de regressão, β β JJ{displaystyle beta _{j}} de forma linear na relação acima. Alternativamente, pode-se dizer que os valores previstos correspondentes ao modelo acima, nomeadamente

Y^ ^ Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =β β 0+β β 1φ φ 1(XEu...1)+⋯ ⋯ +β β pφ φ p(XEu...p)(Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1,...... ,n),{displaystyle {hat {Y}}_{i}=beta _{0}+beta _{1}phi _{1}(X_{i1})+cdots +beta _{p}phi _{p}(X_{ip})qquad (i=1,ldotsn),}

são funções lineares do β β JJ{displaystyle beta _{j}}.

Dado que a estimativa é realizada com base em uma análise mínima de quadrados, estimativas dos parâmetros desconhecidos β β JJ{displaystyle beta _{j}} são determinados pela minimização de uma soma de função quadrada

S= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1n(YEu...- Sim. - Sim. β β 0- Sim. - Sim. β β 1φ φ 1(XEu...1)- Sim. - Sim. ⋯ ⋯ - Sim. - Sim. β β pφ φ p(XEu...p))2.Não. S. _{i=1}^{n}left(Y_{i}-beta _{0}-beta _{1}phi _{1}(X_{i1})-cdots -beta _{p}phi _{p}(X_{ip})right)^{2}.}

A partir disso, pode-se ver facilmente que a estrutura "linear" aspecto do modelo significa o seguinte:

• a função a ser minimizada é uma função quadrática β β JJ{displaystyle beta _{j}} para o qual a minimização é um problema relativamente simples;
• os derivados da função são funções lineares da β β JJ{displaystyle beta _{j}} tornando mais fácil encontrar os valores de minimização;
• os valores de minimização β β JJ{displaystyle beta _{j}} são funções lineares das observações YEu...Não. Y_{i}};
• os valores de minimização β β JJ{displaystyle beta _{j}} são funções lineares dos erros aleatórios ε ε Eu...{displaystyle varepsilon _{i}} que torna relativamente fácil determinar as propriedades estatísticas dos valores estimados de β β JJ{displaystyle beta _{j}}.

Modelos de série temporal

Um exemplo de um modelo de série de tempo linear é um modelo médio movimento autoregressivo. Aqui o modelo de valores {X)Não. X_{t}}} em uma série de tempo pode ser escrito na forma

X)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =c+ε ε )+Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1pφ φ Eu...X)- Sim. - Sim. Eu...+Gerenciamento Gerenciamento Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1qθ θ Eu...ε ε )- Sim. - Sim. Eu....Não. X_{t}=c+varepsilon _{t}+sum _{i=1}^{p}phi _{i}X_{t-i}+sum _{i=1}^{q}theta _{i}varepsilon _{t-i}.,}

onde novamente as quantidades ε ε Eu...{displaystyle varepsilon _{i}} são variáveis aleatórias que representam inovações que são novos efeitos aleatórios que aparecem em um determinado momento, mas também afetam os valores de X- Sim. mais tarde. Neste caso, o uso do termo "modelo linear" refere-se à estrutura da relação acima em representar X)Não. X_{t}} como uma função linear dos valores passados da mesma série de tempo e dos valores atuais e passados das inovações. Este aspecto particular da estrutura significa que é relativamente simples derivar as relações para as propriedades médias e de covariância da série do tempo. Note que aqui a parte "linear" do termo "modelo linear" não se refere aos coeficientes φ φ Eu...{displaystyle phi _{i}} e θ θ Eu...{displaystyle theta _{i}}, como seria no caso de um modelo de regressão, que parece estruturalmente semelhante.

Outros usos em estatísticas

Existem algumas outras instâncias em que "modelo não linear" é usado para contrastar com um modelo estruturado linearmente, embora o termo "modelo linear" geralmente não é aplicado. Um exemplo disso é a redução de dimensionalidade não linear.