Medida do borel

Na matemática, especificamente na teoria da medida, uma medida de Borel em um espaço topológico é uma medida que é definida em todos os conjuntos abertos (e, portanto, em todos os conjuntos de Borel). Alguns autores exigem restrições adicionais à medida, conforme descrito a seguir.

Definição formal

Vamos. $- Sim.$ ser um espaço Hausdorff localmente compacto, e deixe ${displaystyle {mathfrak {B}}(X)}$ ser o menor σ-algebra que contém os conjuntos abertos de $- Sim.$; isto é conhecido como a σ-algebra de conjuntos Borel. A Medição de Borel é qualquer medida $- Sim.$ definido na σ-algebra de conjuntos Borel. Alguns autores exigem, além disso, que $- Sim.$ é localmente finito, significando que ${displaystyle mu (C)$ para cada conjunto compacto $Não. C.$. Se uma medida de Borel $- Sim.$ é tanto interno regular e externo regular, é chamado de uma medida Borel regular. Se $- Sim.$ é tanto interno regular, externo regular e localmente finito, é chamado de medida Radon.

Na linha real

A verdadeira linha ${displaystyle mathbb {R} } }$ com sua topologia habitual é um espaço Hausdorff localmente compacto; portanto, podemos definir uma medida Borel sobre ele. Neste caso, ${displaystyle {mathfrak {B}}(mathbb {R})}$ é a menor σ-algebra que contém os intervalos abertos de ${displaystyle mathbb {R} } }$. Enquanto há muitas medidas Borel μ, a escolha da medida Borel que atribui $(a,b)=b-a}$ para cada intervalo meio aberto $(a,b)}$ é às vezes chamado de "a" Borel medida em ${displaystyle mathbb {R} } }$. Esta medida resulta ser a restrição à Borel σ-algebra da medida Lebesgue $- Sim.$, que é uma medida completa e é definida na Lebesgue σ-algebra. A Lebesgue σ-algebra é na verdade conclusão da Borel σ-algebra, o que significa que é a menor σ-algebra que contém todos os conjuntos Borel e pode ser equipado com uma medida completa. Além disso, a medida Borel e a medida Lebesgue coincidem nos conjuntos Borel (i.e., ${displaystyle lambda (E)=mu (E)}$ para todos Conjunto mensurável Borel, onde $- Sim.$ é a medida Borel descrita acima).

Espaços de produto

Se X e Y são os espaços topológicos de Hausdorff, então o conjunto de subconjuntos de Borel $(Xtimes Y)}$ de seu produto coincide com o produto dos conjuntos ${displaystyle B(X)times B(Y)}$ de subconjuntos de Borel X e Y. Isso é, o funtor Borel

${displaystyle mathbf {Bor} colon mathbf {Top} _{mathrm {2CHaus} }to mathbf {Meas} }$

da categoria de espaços Hausdorff contáveis segundo à categoria de espaços mensuráveis preserva produtos finitos.

Aplicativos

Integral de Lebesgue–Stieltjes

A integral de Lebesgue–Stieltjes é a integral ordinária de Lebesgue em relação a uma medida conhecida como medida de Lebesgue–Stieltjes, que pode ser associada a qualquer função de variação limitada na reta real. A medida de Lebesgue-Stieltjes é uma medida de Borel regular e, inversamente, toda medida de Borel regular na linha real é desse tipo.

Transformada de Laplace

Pode-se definir a transformada de Laplace de uma medida finita de Borel μ na linha real pela integral de Lebesgue

$({mathcal {L}}mu)=int _{[0,infty)}e^{-st},dmu (t).}$

Um caso especial importante é onde μ é uma medida de probabilidade ou, ainda mais especificamente, a função delta de Dirac. No cálculo operacional, a transformada de Laplace de uma medida é geralmente tratada como se a medida viesse de uma função de distribuição f. Nesse caso, para evitar possíveis confusões, costuma-se escrever

${displaystyle ({mathcal {L}}f)=int _{0^{-}}^{infty }e^{-st}f(t),dt}$

onde o limite inferior de 0⁻ é uma notação abreviada para

${displaystyle lim _{varepsilon downarrow 0}int _{-varepsilon }$

Este limite enfatiza que qualquer ponto de massa localizado em 0 é totalmente capturado pela transformada de Laplace. Embora com a integral de Lebesgue não seja necessário tomar tal limite, ela aparece mais naturalmente em conexão com a transformada de Laplace-Stieltjes.

Dimensão de Hausdorff e lema de Frostman

Dada uma medida de Borel μ em um espaço métrico X tal que μ(X) > 0 e μ(B(x, r)) ≤ r^s vale para algumas constantes s > 0 e para cada bola B(x, r) em X, então a dimensão Hausdorff dim _Casa(X) ≥ s. Um inverso parcial é fornecido pelo lema de Frostman:

Lema: Seja A um subconjunto Borel de Rⁿ, e deixe s > 0. Então os seguintes são equivalentes:

• H. H. H.^S(A) > 0, onde H. H. H.^S denota o S-dimensional Medida de Hausdorff.
• Há um (não assinado) Medição de Borel μ satisfazendo μ(A) > 0, e tal

${displaystyle mu (B(x,r))leq r^{s}}$

para todos x∈Rⁿ e R> 0.

Teorema de Cramér–Wold

O teorema de Cramér-Wold na teoria da medida afirma que uma medida de probabilidade Borel ${displaystyle mathbb {R} ^{k}}$ é exclusivamente determinado pela totalidade de suas projeções unidimensionais. É usado como um método para provar resultados de convergência conjunta. O teorema é nomeado após Harald Cramér e Herman Ole Andreas Wold.