Média generalizada

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N-a raiz da média aritmética dos números dados levantados ao poder n

Lote de vários meios generalizados

{displaystyle M_{p}(1,x)}

Em matemática, médias generalizadas (ou média de potência ou média de Hölder de Otto Hölder) são uma família de funções para agregar conjuntos de números. Estes incluem como casos especiais as médias pitagóricas (médias aritméticas, geométricas e harmônicas).

Definição

Se $p$ é um número real não zero, e $x_{1},dotsx_{n}$ são números reais positivos, então o média geral ou significar com exponente $p$ destes números reais positivos é:

{displaystyle M_{p}(x_{1},dotsx_{n})=left({frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}right)^{{1}/{p}}.}

(Consulte a norma p). Para $p = 0$ , definimos igual à média geométrica (que é o limite das médias com expoentes próximos de zero, conforme comprovado abaixo):

{displaystyle M_{0}(x_{1},dotsx_{n})=left(prod _{i=1}^{n}x_{i}right)^{1/n}.}

Além disso, para uma sequência de pesos positivos $w i$ definimos o ponderado poder significa como:

{displaystyle M_{p}(x_{1},dotsx_{n})=left({frac {sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{sum _{i=1}^{n}w_{i}}}right)^{{1}/{p}}}

p = 0

{displaystyle M_{0}(x_{1},dotsx_{n})=left(prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}right)^{1/sum _{i=1}^{n}w_{i}}.}

As médias não ponderadas correspondem à configuração de todos os $w i = 1/n$ .

Casos especiais

Uma representação visual de alguns dos casos especificados para

n = 2

com

um = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = x 1 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = M \infty

b) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = x 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = M - Não.

harmônica média,

H. H. H. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = M - Sim. (um, b))

média geométrica,

G = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = M 0 (um, b))

média aritmética,

A = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = M 1 (um, b))

médio quadrático,

Q = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = M 2 (um, b))

Alguns valores particulares de $p$ produzem casos especiais com seus próprios nomes:

minimum: $M_{-infty}(x_1,dots,x_n) = lim_{pto-infty} M_p(x_1,dots,x_n) = min {x_1,dots,x_n}$
harmonic mean: $M_{-1}(x_1,dots,x_n) = frac{n}{frac{1}{x_1}+dots+frac{1}{x_n}}$
geometric mean: $M_0(x_1,dots,x_n) = lim_{pto0} M_p(x_1,dots,x_n) = sqrt[n]{x_1cdotdotscdot x_n}$
arithmetic mean: $M_1(x_1,dots,x_n) = frac{x_1 + dots + x_n}{n}$
root mean square or quadratic mean: $M_2(x_1,dots,x_n) = sqrt{frac{x_1^2 + dots + x_n^2}{n}}$
cubic mean: $M_{3}(x_{1},dotsx_{n})={sqrt[ {3}]{{frac {x_{1}^{3}+dots +x_{n}^{3}}{n}}}}$
maximum: $M_{+infty}(x_1,dots,x_n) = lim_{ptoinfty} M_p(x_1,dots,x_n) = max {x_1,dots,x_n}$

Prova de lim p → 0 M p = M 0 {textstyle lim _{pto 0}M_{p}=M_{0}} (média geométrica)

Com o propósito da prova, assumiremos sem perda de generalidade que ${textstyle w_{i}in [0,1]}$ e ${textstyle sum _{i=1}^{n}w_{i}=1}$ .

Podemos reescrever a definição de $M p$ usando a função exponencial

{displaystyle M_{p}(x_{1},dotsx_{n})=exp {left(ln {left[left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}right)^{1/p}right]}right)}=exp {left({frac {ln {left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}right)}}{p}}right)}}

No limite $p \to 0$ , podemos aplicar a regra de L'Hôpital'ao argumento da função exponencial. Assumimos que $p$ ∈ R mas $p$ ≠ 0, e que a soma de $w i$ é igual a 1 (sem perda em geral); Diferenciando o numerador e o denominador em relação a $p$ , temos

{displaystyle {begin{aligned}lim _{pto 0}{frac {ln {left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}right)}}{p}}&=lim _{pto 0}{frac {frac {sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}ln {x_{i}}}{sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}{1}}\&=lim _{pto 0}{frac {sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}ln {x_{i}}}{sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}\&={frac {sum _{i=1}^{n}w_{i}ln {x_{i}}}{sum _{j=1}^{n}w_{j}}}\&=sum _{i=1}^{n}w_{i}ln {x_{i}}\&=ln {left(prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}right)}end{aligned}}}

Pela continuidade da função exponencial, podemos substituir de volta na relação acima para obter

{displaystyle lim _{pto 0}M_{p}(x_{1},dotsx_{n})=exp {left(ln {left(prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}right)}right)}=prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=M_{0}(x_{1},dotsx_{n})}

Prova de ${textstyle lim _{pto infty }M_{p}=M_{infty }}$ e ${textstyle lim _{pto -infty }M_{p}=M_{-infty }}$

Assumir (possivelmente depois de relabeling e combinar termos juntos) que $x_1 geq dots geq x_n$ . Então...

{displaystyle {begin{aligned}lim _{pto infty }M_{p}(x_{1},dotsx_{n})&=lim _{pto infty }left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}right)^{1/p}\&=x_{1}lim _{pto infty }left(sum _{i=1}^{n}w_{i}left({frac {x_{i}}{x_{1}}}right)^{p}right)^{1/p}\&=x_{1}=M_{infty }(x_{1},dotsx_{n}).end{aligned}}}

A fórmula para $M_{-infty}$ a partir de ${displaystyle M_{-infty }(x_{1},dotsx_{n})={frac {1}{M_{infty }(1/x_{1},dots1/x_{n})}}=x_{n}.}$

Propriedades

Vamos. $x_{1},dotsx_{n}$ ser uma sequência de números reais positivos, então as seguintes propriedades possuem:

${displaystyle min(x_{1},dotsx_{n})leq M_{p}(x_{1},dotsx_{n})leq max(x_{1},dotsx_{n})}$ .
Each generalized mean always lies between the smallest and largest of the $x$ values.
${displaystyle M_{p}(x_{1},dotsx_{n})=M_{p}(P(x_{1},dotsx_{n}))}$ , where $P$ is a permutation operator.
Each generalized mean is a symmetric function of its arguments; permuting the arguments of a generalized mean does not change its value.
${displaystyle M_{p}(bx_{1},dotsbx_{n})=bcdot M_{p}(x_{1},dotsx_{n})}$ .
Like most means, the generalized mean is a homogeneous function of its arguments $x 1,..., x n$ . That is, if $b$ is a positive real number, then the generalized mean with exponent $p$ of the numbers $bcdot x_1,dots, bcdot x_n$ is equal to $b$ times the generalized mean of the numbers $x 1,..., x n$ .
${displaystyle M_{p}(x_{1},dotsx_{ncdot k})=M_{p}left[M_{p}(x_{1},dotsx_{k}),M_{p}(x_{k+1},dotsx_{2cdot k}),dotsM_{p}(x_{(n-1)cdot k+1},dotsx_{ncdot k})right]}$ .
Like the quasi-arithmetic means, the computation of the mean can be split into computations of equal sized sub-blocks. This enables use of a divide and conquer algorithm to calculate the means, when desirable.

Desigualdade média generalizada

Prova geométrica sem palavras que máx.(um,b)) > raiz média quadrado (RMS) ou média quadrática (QM) > média aritmética (AMAM) > média geométrica (GM) > harmônica média (HM) > min(um,b)) de dois números positivos distintos um e b)

Em geral, se $p < q$ , então

{displaystyle M_{p}(x_{1},dotsx_{n})leq M_{q}(x_{1},dotsx_{n})}

x 1 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = x 2 ... x n

A desigualdade é verdadeira para valores reais de $p$ e $q$ , bem como valores infinitos positivos e negativos.

Deduz-se do fato de que, para todo $p$ ,

{displaystyle {frac {partial }{partial p}}M_{p}(x_{1},dotsx_{n})geq 0}

Em particular, para $p$ em ${-1, 0, 1}$ , a desigualdade média generalizada implica a desigualdade pitagórica das médias, bem como a desigualdade das médias aritméticas e geométricas.

Prova da desigualdade ponderada

Vamos provar a desigualdade da média das potências ponderadas. Para efeito de demonstração, assumiremos o seguinte sem perda de generalidade:

{displaystyle {begin{aligned}w_{i}in [0,1]\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1end{aligned}}}

A prova para potências não ponderadas pode ser facilmente obtida substituindo $w i = 1/ n$ .

Equivalência de desigualdades entre médias de sinais opostos

Suponha uma média entre potências com expoentes $p$ e $q$ contém:

{displaystyle left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}right)^{1/p}geq left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}right)^{1/q}}

{displaystyle left(sum _{i=1}^{n}{frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}right)^{1/p}geq left(sum _{i=1}^{n}{frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}right)^{1/q}}

Elevamos ambos os lados à potência de -1 (função estritamente decrescente em reais positivos):

{displaystyle left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}right)^{-1/p}=left({frac {1}{sum _{i=1}^{n}w_{i}{frac {1}{x_{i}^{p}}}}}right)^{1/p}leq left({frac {1}{sum _{i=1}^{n}w_{i}{frac {1}{x_{i}^{q}}}}}right)^{1/q}=left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}right)^{-1/q}}

Obtemos a desigualdade para médias com expoentes $- p$ e $- q$ , e podemos usar o mesmo raciocínio de trás para frente, provando assim que as desigualdades são equivalentes, o que será usado em algumas das provas posteriores.

Média geométrica

Para qualquer $q > 0$ e pesos não negativos somando 1, vale a seguinte desigualdade:

{displaystyle left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}right)^{-1/q}leq prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}leq left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}right)^{1/q}.}

A prova segue da desigualdade de Jensen, fazendo uso do fato de que o logaritmo é côncavo:

{displaystyle log prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=sum _{i=1}^{n}w_{i}log x_{i}leq log sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}

Aplicando a função exponencial a ambos os lados e observando que como função estritamente crescente preserva o sinal da desigualdade, obtemos

{displaystyle prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}leq sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}

Tomando $q$ -ésimas potências do $x i$ , terminamos a desigualdade com $q$ positivo; o caso para negativos é idêntico.

Desigualdade entre quaisquer dois meios de potência

Devemos provar que para qualquer $p < q$ vale a seguinte desigualdade:

{displaystyle left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}right)^{1/p}leq left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}right)^{1/q}}

p

q

{displaystyle left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}right)^{1/p}leq prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}leq left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}right)^{1/q}}

A prova de positivo $p$ e $q$ é o seguinte: Defina a seguinte função: $f : R + \to R +$ $f(x)=x^{frac{q}{p}}$ . $f$ é uma função de poder, por isso tem um segundo derivado:

{displaystyle f''(x)=left({frac {q}{p}}right)left({frac {q}{p}}-1right)x^{{frac {q}{p}}-2}}

f

q > p

f

Usando isso e a desigualdade de Jensen, obtemos:

{displaystyle {begin{aligned}fleft(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}right)&leq sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})\[3pt]left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}right)^{q/p}&leq sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}end{aligned}}}

1 q

1 q

{displaystyle left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}right)^{1/p}leq left(sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}right)^{1/q}}

Usando a equivalência mostrada anteriormente, podemos provar a desigualdade para $p$ e $q$ substituindo-os por $-q$ e $-p$ , respectivamente.

F-média generalizada

A média de poder pode ser generalizada ainda para a média f generalizada:

{displaystyle M_{f}(x_{1},dotsx_{n})=f^{-1}left({{frac {1}{n}}cdot sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}right)}

Isso cobre a média geométrica sem usar um limite com $f (x) = log(x)$ . A potência média é obtida para $f (x) = x p$ . As propriedades desses meios são estudadas em de Carvalho (2016).

Aplicativos

Processamento de sinal

Uma média de potência serve uma média móvel não linear que é deslocada para pequenos valores de sinal para pequenos $p$ e enfatiza grandes sinais valores para grandes $p$ . Dada uma implementação eficiente de uma média aritmética móvel chamada smooth, pode-se implementar uma média de potência móvel de acordo com o seguinte código Haskell.

Energia : Flutuante um - Sim. (um] - Sim. Não.um] - Sim. um - Sim. Não.um] - Sim. Não.um]Energia suave p = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = mapa (Não. recibo p) . suave . mapa (Não.p)

Para grande $p$ pode servir como um detector de envelope em um sinal rectificado.
Para pequeno $p$ ele pode servir como um detector de linha de base em um espectro de massa.

Referências e leitura adicional

P. S. Bullen: Manual de Meios e Suas Desigualdades. Dordrecht, Países Baixos: Kluwer, 2003, capítulo III (The Power Means), pp. 175–265

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