Matriz de covariância

Na teoria e estatística de probabilidade, a matriz de covariância (também conhecida como matriz de auto-covariância , Matriz de dispersão , Matriz de variância , ou A matriz de variância -covariância ) é uma matriz quadrada que fornece a covariância entre cada par de elementos de um determinado vetor aleatório.

Intuitivamente, a matriz de covariância generaliza a noção de variância em múltiplas dimensões. Como exemplo, a variação em uma coleção de pontos aleatórios no espaço bidimensional não pode ser caracterizada totalmente por um único número, nem as variações no $Não.$ e $- Sim.$ direções contêm todas as informações necessárias; uma ${\displaystyle 2\times 2}$ a matriz seria necessária para caracterizar totalmente a variação bidimensional.

Qualquer matriz de covariância é semi-definida simétrica e positiva e sua diagonal principal contém variações (isto é, a covariância de cada elemento consigo mesmo).

A matriz de covariância de um vetor aleatório $(X} }$ é tipicamente denotado por ${\displaystyle \operatorname} Não. {X} \mathbf {X} }}$, $Não. "Sigma"$ ou $Não. S.$.

Ao longo deste artigo, negritos não subscritos $(X} }$ e $- Sim.$ são usados para se referir a vetores aleatórios, e Roman subscripted $Não. X_{i}}$ e $Não. Y_{i}}$ são usados para se referir a variáveis aleatórias escalares.

Se as entradas no vetor da coluna $${\displaystyle \mathbf] {X} =(X_{1},X_{2},\dotsX_{n})^{\mathsf {T}}}$$são variáveis aleatórias, cada uma com variância finita e valor esperado, então a matriz de covariância ${\displaystyle \operatorname} Não. {X} \mathbf {X} }}$ é a matriz cuja $(i,j)}$ entrada é a covariância $${\displaystyle \operatorname} Não. _{X_{i}X_{j}}=\operatorname {cov} [X_{i},X_{j}]=\operatorname {E} [(X_{i}-\operatorname (E} [X_{i}])(X_{j}-\operatorname [E] [X_{j]]}$$onde o operador ${\displaystyle \operatorname} Não.$ denota o valor esperado (mean) de seu argumento.

As nomenclaturas diferem. Alguns estatísticos, seguindo o probabilista William Feller em seu livro de dois volumes Uma introdução à teoria da probabilidade e suas aplicações, chamar a matriz ${\displaystyle \operatorname} Não. {X} \mathbf {X} }}$ o Variação do vetor aleatório $(X} }$, porque é a generalização natural a dimensões mais altas da variância 1-dimensional. Outros chamam-lhe o matriz de covariância, porque é a matriz de covariâncias entre os componentes escalares do vetor $(X} }$. $${\displaystyle \operatorname {var} (\mathbf {X})=\operatorname {cov} (\mathbf {X}\mathbf {X})=\operatorname {E} \left[(\mathbf (X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ] {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{\mathsf {T}}\right].}$$

Ambas as formas são bastante padrão, e não há ambiguidade entre elas. A matriz ${\displaystyle \operatorname} Não. {X} \mathbf {X} }}$ é também muitas vezes chamado de matriz de variância-covariância, uma vez que os termos diagonais são de fato variações.

Em comparação, a notação para a matriz de covariância cruzada entre dois vetores é $${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X}\mathbf {Y})=\operatorname Não. {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} \left[(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\mathsf {T}}\right].}$$

A matriz de auto-covariância ${\displaystyle \operatorname} Não. {X} \mathbf {X} }}$ está relacionado com a matriz de autocorrelação ${\displaystyle \operatorname} Não. {X} \mathbf {X} }}$ por $${\displaystyle \operatorname} Não. (X) O nome do operador [E] (X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ] {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{\mathsf {T}}=\operatorname Não. (X) - Nome do operador [E] [\mathbf {X}]\operatorname {E} [\mathbf] (X})^{\mathsf {T}}}$$onde a matriz de correção automática é definida como ${\displaystyle \operatorname} Não. (X) O nome do operador {E} [\mathbf {X} \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}}]}$.

Uma entidade estreitamente relacionada à matriz de covariância é a matriz dos coeficientes de correlação de produto-momento de Pearson entre cada uma das variáveis aleatórias no vetor aleatório $(X} }$, que pode ser escrito como $${\displaystyle \operatorname {corr} (\mathbf {X})={\big (}\operatorname {diag} (\operatorname {K}) _{\mathbf {X} \mathbf {X} }){\big}^{-{\frac {1}{2}}}\,\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\,{\big (}\operatorname {diag} (\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }){\big}^{-{\frac {1}{2}}},}$$Onde? ${\displaystyle \operatorname {diag} (\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} })}$ é a matriz dos elementos diagonais de ${\displaystyle \operatorname} Não. {X} \mathbf {X} }}$ (i.e., uma matriz diagonal das variâncias de $Não. X_{i}}$ para $- Sim.$).

Equivalentemente, a matriz de correlação pode ser vista como a matriz de covariância das variáveis aleatórias padronizadas $Não. X_{i}/\sigma (X_{i})}$ para $- Sim.$. $${\displaystyle \operatorname {corr} (\mathbf {X})={\begin{bmatrix}1&{\frac {\operatorname {E} [(X_{1}-\mu _{1})(X_{2}-\mu _{2})]}{\sigma (X_{1})\sigma (X_{2})}}&\cdots &{\frac Nome do operador {E} [(X_{1}-\mu _{1})(X_{n}-\mu _{n})]}{\sigma (X_{1})\sigma (X_{n})}}\\\\\{\frac {\operatorname {E} [(X_{2}-\mu _{2})(X_{1}-\mu _{1})} {E} [(X_{2}-\mu _{2})(X_{n}-\mu _{n})]}{\sigma (X_{2})\sigma (X_{n})}}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\{\frac {\operatorname {E} [(X_{n}-\mu _{n})(X_{1}-\mu _{1})]}{\sigma (X_{n})\sigma (X_{1})}}&{\frac {\operatorname {E} [(X_{n}-\mu _{n})(X_{2})-\mu _{2}]}$$

Cada elemento na diagonal principal de uma matriz de correlação é a correlação de uma variável aleatória consigo mesma, que sempre é igual a 1. Cada elemento fora da diagonal está entre -1 e +1 inclusive.

O inverso desta matriz, ${\displaystyle \operatorname} Não. (X) (X) }^{-1}}$, se existir, é a matriz de covariância inversa (ou matriz de concentração inversa), também conhecida como a matriz de precisão (ou matriz de concentração).

Assim como a matriz de covariância pode ser escrita como o dimensionamento de uma matriz de correlação pelas variações marginais: $${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X})={\begin{bmatrix}\sigma _{x_{1}}&&&&0\&\sigma _{x_{2}}\&&\ddots \\0&&&\sigma _{x_{n}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\rho _{x_{1},x_{2}}&\cdots &\rho _{x_{1},x_{n}}\\rho _{x_{2},x_{1}}&1&\cdots &\rho _{x_{2},x_{n}}\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\rhots _{x_{n},x_{1}}&\rho _{x_{n},x_{2}}&\cdots &1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{x_{1}}&&&&0\&\sigma _{x_{2}}\&&\ddots \\0&&&\sigma _{x_{n}}\end{bmatrix}}}$$

Assim, usando a ideia de correlação parcial e variância parcial, a matriz de covariância inversa pode ser expressa analógicamente: $${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X})^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sigma _{x_{1}|x_{2}...}}}&&&0\&{\frac Não. _{x_{2}|x_{1},x_{3}...}}}\\&\ddots \\0&&&&{\frac {1}{\sigma _{x_{n}|x_{1}...x_{n-1}}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-\rho _{x_{1},x_{2}\mid x_{3}...}&\cdots &-\rho _{x_{1},x_{n}\mid x_{2}...x_{n-1}}\-\rho _{x_{2},x_{1}\mid x_{3}...}&1&\cdots &-\rho _{x_{2},x_{n}\mid x_{1},x_{3}...x_{n-1}}\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-\rhots _{x_{n},x_{1}\mid x_{2}...x_{n-1}}&-\rho _{x_{n},x_{2}\mid x_{1},x_{3}...x_{n-1}}&\cdots &1\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sigma _{x_{1}|x_{2}...}}}&&&0\&{\frac Não. _{x_{2}|x_{1},x_{3}...}}}\\&\ddots \\0&&&&{\frac {1}{\sigma _{x_{n}|x_{1}...x_{n-1}}}}\end{bmatrix}}}$$Esta dualidade motiva uma série de outras dualidades entre marginalização e condicionamento para variáveis aleatórias gaussianas.

Para ${\displaystyle \operatorname} Não. (X) {X} }=\operatorname {var} (\mathbf {X})=\operatorname {E} \left[\left(\mathbf) {X} -\nome do operador (E} [\mathbf {X} ]\right)\left(\mathbf {X} -\operatorname) (E} [\mathbf {X} ]\right)^{\mathsf {T}}\right]}$ e $O que é isso? O nome do operador [E] [{\textbf {X}}]}$, onde ${\displaystyle \mathbf] {X} =(X_{1},\ldotsX_{n})^{\mathsf {T}}}$ é um $Não.$- variável aleatória dimensional, as seguintes propriedades básicas aplicam-se:

1. ${\displaystyle \operatorname} Não. (X) O nome do operador {E} (\mathbf {XX^{\mathsf {T}}})-{\boldsymbol - Sim. {X} }^{\mathsf {T}}}$
2. ${\displaystyle \operatorname} {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\,}$ é positiva, isto é. $(a) ^{T}\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{para todos }}\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}$
3. ${\displaystyle \operatorname} {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\,}$ é simétrico, ou seja. ${\displaystyle \operatorname} Não. (X) {X} }^{\mathsf {T}}=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$
4. Para qualquer constante (ou seja, não aleatória) ${\displaystyle m\times n}$ matriz de matriz $(A} }$ e constante ${\displaystyle m\times 1}$ vetor $- Sim.$, um tem ${\displaystyle \operatorname {var} (\mathbf {AX} +\mathbf {a})=\mathbf {A} \,\operatorname {var} (\mathbf {X})\,\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}}}$
5. Se $- Sim.$ é outro vetor aleatório com a mesma dimensão que $(X} }$, então ${\displaystyle \operatorname {var} (\mathbf) {X} +\mathbf {Y})=\operatorname {var} (\mathbf {X})+\operatorname {cov} (\mathbf {X}\mathbf {Y})+\operatorname {cov} (\mathbf {Y}\mathbf {X})+\operatorname {var} (\mathbf {Y})})}$ Onde? ${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X}\mathbf {Y})}$ é a matriz de covariância cruzada $(X} }$ e $- Sim.$.

A média conjunta $- Sim.$ e matriz de covariância conjunta $- Não. Sim. )$ de $(X} }$ e $- Sim.$ pode ser escrito em forma de bloco $$O que é isso? * * * *introduzido*** Sim. }}_{X}\\{\boldsymbol Sim. }}_{Y}\end{bmatrix}},\qquad {\boldsymbol Sim. }}= Nome do operador {K} _{\mathbf {XX} &\operatorname {K} _{\mathbf {XY} }\\\operatorname {K} _{\mathbf {YX} &\operatorname {K} _{\mathbf {YY} }\end{bmatrix}}}$$Onde? ${\displaystyle \operatorname} {K} _{\mathbf {XX} }=\operatorname {var} (\mathbf {X})}$, ${\displaystyle \operatorname} {K} _{\mathbf {YYY} }=\operatorname {var} (\mathbf {Y})}$ e ${\displaystyle \operatorname} Tradução e Legendagem: Não. {YX} }^{\mathsf {T}}=\operatorname {cov} (\mathbf {X}\mathbf {Y})}$.

${\displaystyle \operatorname} (K)$ e ${\displaystyle \operatorname} (K)$ pode ser identificado como as matrizes de variância das distribuições marginais para $(X} }$ e $- Sim.$ respectivamente.

Se $(X} }$ e $- Sim.$ são normalmente distribuídos em conjunto, $${\displaystyle \mathbf {X}\mathbf {Y} \sim \ {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\operatorname {\boldsymbol {\Sigma }}),}$$então a distribuição condicional para $- Sim.$ dados $(X} }$ é dado por $${\displaystyle \mathbf {Y} \mid \mathbf {X} \sim \ {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }}_{\mathbf {Y|X} },\operatorname {K} _{\mathbf {Y|X} }),}$$definido por meio condicional $$O que é isso? }}_{\mathbf {Y} |\mathbf {X} }={\boldsymbol Não é verdade. }\operatorname {K} _{\mathbf {XX} }^{-1}\left(\mathbf) - Sim. Sim. }}_{\mathbf {X} }\right)}$$e variância condicional $${\displaystyle \operatorname} Não. (Y|X} }=\operatorname Não. Nome do operador }\operatorname {K} _{\mathbf {XX} }^{-1}\operatorname Não.$$

A matriz ${\displaystyle \operatorname} }\operatorname {K} _{\mathbf {XX} }^{-1}}$ é conhecida como matriz de coeficientes de regressão, enquanto em álgebra linear ${\displaystyle \operatorname} {K} _{\mathbf {Y|X} }}$ é o complemento Schur de ${\displaystyle \operatorname} (K)$ em $- Não. Sim. )$.

A matriz de coeficientes de regressão pode muitas vezes ser dada na forma transpose, ${\displaystyle \operatorname} {K} _{\mathbf {XX} }^{-1}\operatorname (K)$, adequado para pós-multiplicando um vetor de linha de variáveis explicativas ${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}}$ em vez de pré-multiplicar um vetor de coluna $(X} }$. Nesta forma correspondem aos coeficientes obtidos invertendo a matriz das equações normais dos mínimos quadrados ordinários (OLS).

Uma matriz de covariância com todos os elementos diferentes de zero nos diz que todas as variáveis aleatórias individuais estão inter-relacionadas. Isso significa que as variáveis não estão diretamente correlacionadas, mas também correlacionadas por outras variáveis indiretamente. Freqüentemente, essas correlações indiretas e comuns são triviais e desinteressantes. Eles podem ser suprimidos calculando a matriz de covariância parcial, que é a parte da matriz de covariância que mostra apenas a parte interessante das correlações.

Se dois vetores de variáveis aleatórias $(X} }$ e $- Sim.$ estão correlacionados via outro vetor $- Sim.$, as últimas correlações são suprimidas em uma matriz $${\displaystyle \operatorname} {K} _{\mathbf {XY\mid I} }=\operatorname {pcov} (\mathbf {X}\mathbf {Y} \mid \mathbf {I})=\operatorname {cov} (\mathbf {X})-\operatorname {cov} (\mathbf {X}\mathbf}) {X}\mathbfname {I} ?$$A matriz de covariância parcial ${\displaystyle \operatorname} (K)$ é efetivamente a matriz de covariância simples ${\displaystyle \operatorname} (K)$ como se as variáveis aleatórias desinteressantes $- Sim.$ foram mantidos constantes.

Se um vetor de coluna $(X} }$ de $Não.$ variáveis aleatórias possivelmente correlacionadas são distribuídas em conjunto normalmente, ou mais geralmente distribuídas ellipticamente, então sua função de densidade de probabilidade ${\displaystyle \operatorname {f} (\mathbf {X})}$ pode ser expressa em termos da matriz de covariância $- Não. Sim. )$ como segue $${\displaystyle \operatorname {f} (\mathbf {X})=(2\pi)^{-n/2}|{\boldsymbol Sim. }}|^{-1/2}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {(X-\mu)^{\mathsf {T}}\Sigma ^{-1}(X-\mu)} \right),}$$Onde? $O que é isso? }}=\nome do operador Não.$ e $[displaystyle |{\boldsymbol] - Sim.$ é o determinante de $- Não. Sim. )$.

Aplicado a um vetor, a matriz de covariância mapeia uma combinação linear c das variáveis aleatórias X em um vetor de covariâncias com essas variáveis: ${\displaystyle \mathbf {c} ^{\mathsf {T}}\Sigma =\operatorname {cov} (\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X}\mathbf {X})}$. Tratada como forma bilinear, produz a covariância entre as duas combinações lineares: ${\displaystyle \mathbf {d} ^{\mathsf (T) [Sigma }}\mathbf {c} =\operatorname {cov} (\mathbf {d} ^{\mathbf {T}}\mathbf {X}\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X})}$. A variação de uma combinação linear é então ${\displaystyle \mathbf {c} ^{\mathsf (T) Sim.$, sua covariância com si mesmo.

Da mesma forma, a matriz de covariância inversa (pseudo) fornece um produto interno ${\displaystyle \langle c-\mu |\Sigma ^{+}|c-\mu \rangle }$, que induz a distância de Mahalanobis, uma medida da "inigualdade" de c.

Da identidade logo acima, deixe $(b)$ ser um $(p\times 1)}$ vetor real, então $${\displaystyle \operatorname {var} (\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X})=\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}\operatorname {var} (\mathbf {X})\mathbf {b}\,}$$que deve ser sempre nonnegative, uma vez que é a variância de uma variável aleatória real, então uma matriz de covariância é sempre uma matriz positiva-semidefinita.

O argumento acima pode ser expandido da seguinte forma:$${\displaystyle {\begin{aligned}&w^{\mathsf {T}}\operatorname {E} \left[(\mathbf) (X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ] {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{\mathsf {T}}\right]w=\operatorname {E} \left[w^{\mathsf {T}}(\mathbf) {X} -\nome do operador (E) [\mathbf {X} ] {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{\mathsf {T}}w\right]\&=\operatorname {E} {\big [}{\big (}w^{\mathsf {T}}(\mathbf) {X} -\nome do operador {E} [\mathbf {X} ]){\big}^{2}{\big ]}\geq 0,\end{aligned}}}$$onde a última desigualdade segue da observação de que ${\displaystyle w^{\mathsf {T}}(\mathbf) {X} -\nome do operador Não.$ é um escalão.

Por outro lado, cada matriz semi-definita positiva simétrica é uma matriz de covariância. Para ver isto, suponha $- Sim.$ é um ${\displaystyle p\times p}$ matriz simétrica positiva-semidefinita. Do caso finito-dimensional do teorema espectral, segue-se que $- Sim.$ tem uma raiz quadrada simétrica nonnegativa, que pode ser denotada por M^1/2-2001. Vamos. $(X} }$ ser qualquer ${\displaystyle p\times 1}$ coluna vetor-valorizada variável aleatória cuja matriz de covariância é ${\displaystyle p\times p}$ matriz de identidade. Então... $${\displaystyle \operatorname {var} (\mathbf) {M} ^{1/2}\mathbf {X})=\mathbf {M} ^{1/2}\,\operatorname {var} (\mathbf {X})\,\mathbf {M} ^{1/2}=\mathbf {M}}$$

A variação de um complexo escalar-valorizado variável aleatória com valor esperado $- Sim.$ é convencionalmente definido usando conjugação complexa: $${\displaystyle \operatorname {var} (Z)=\operatorname {E} \left[(Z-\mu _{Z}){\overline {(Z-\mu _{Z})}}\right],}$$onde o complexo conjugar um número complexo $Não.$ é denotado ${\displaystyle {\overline {z}}}$; assim, a variância de uma variável aleatória complexa é um número real.

Se ${\displaystyle \mathbf] {Z} =(Z_{1},\ldotsZ_{n})^{\mathsf {T}}}$ é um vetor coluna de variáveis aleatórias de valor complexo, então o transpose conjugado ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathsf {H}}}$ é formado por ambos transpondo e conjugando. Na expressão seguinte, o produto de um vetor com sua transposição conjugada resulta em uma matriz quadrada chamada a matriz de covariância, como sua expectativa: $${\displaystyle \operatorname} (K) O nome do operador {cov} [\mathbf {Z}\mathbf] {Z} ]=\operatorname {E} \left[(\mathbf - Sim. }}_{\mathbf {Z} } (\mathbf) Não. Sim. }}_{\mathbf {Z} })^{\mathsf {H}}\right],}$$A matriz assim obtida será hermitiana positiva-semidefinita, com números reais na diagonal principal e números complexos off-diagonal.

Propriedades

• A matriz de covariância é uma matriz hermitiana, ou seja. ${\displaystyle \operatorname} (K) {Z} }^{\mathsf {H}}=\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }}$.
• Os elementos diagonais da matriz de covariância são reais.

Para vetores aleatórios complexos, outro tipo de segundo momento central, o matriz pseudo-covariância (também chamado) matriz de relação) é definido como segue: $${\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }=\operatorname {cov} [\mathbf {Z}] {Z} }}=\operatorname {E} \left[(\mathbf - Sim. }}_{\mathbf {Z} } (\mathbf) Não. Sim. }}_{\mathbf {Z} })^{\mathsf {T}}\right}$$

Ao contrário da matriz de covariância definida acima, a transposição hermitiana é substituída por transposição na definição. Seus elementos diagonais podem ser valorizados complexos; É uma matriz simétrica complexa.

Se ${\displaystyle \mathbf {M} _{\mathbf (X)$ e ${\displaystyle \mathbf {M} _{\mathbf {Y} }}$ são matrizes de dados centralizados de dimensão ${\displaystyle p\times n}$ e ${\displaystyle q\times n}$ respectivamente, ou seja, com n colunas de observações de p e q linhas de variáveis, das quais os meios de linha foram subtraídos, então, se os meios de linha foram estimados a partir dos dados, matrizes de covariância de amostra ${\displaystyle \mathbf {Q} _{\mathbf {X} }}$ e ${\displaystyle \mathbf {Q} _{\mathbf {XY} }}$ pode ser definido como $${\displaystyle \mathbf {Q} _{\mathbf {XX} }={\frac {1}{n-1}\mathbf Não. {X} }\mathbf {M} {X} }^{\mathsf {T}},\qquad \mathbf - Não. {1}{n-1}\mathbf Não. {X} }\mathbf {M} {Y} }^{\mathsf {T}}}$$ou, se a linha significa fosse conhecida a priori, $${\displaystyle \mathbf {Q} _{\mathbf {XX} }={\frac {1}{n}\mathbf Não. {X} }\mathbf {M} {X} }^{\mathsf {T}},\qquad \mathbf - Não. {1}{n}\mathbf Não. {X} }\mathbf {M} {Y} }^{\mathsf {T}}}$$

Essas matrizes de covariância da amostra empírica são os estimadores mais diretos e usados com mais frequência para as matrizes de covariância, mas também existem outros estimadores, incluindo estimadores regularizados ou de encolhimento, que podem ter melhores propriedades.

A matriz de covariância é uma ferramenta útil em muitas áreas diferentes. A partir dele, uma matriz de transformação pode ser derivada, chamada de transformação de clareamento, que permite que alguém a correlacione completamente os dados ou, de um ponto de vista diferente, para encontrar uma base ideal para representar os dados de uma maneira compacta (consulte o quociente de Rayleigh para A prova formal e propriedades adicionais de matrizes de covariância). Isso é chamado de análise de componentes principais (PCA) e a transformação Karhunen-Loève (KL-Transform).

A matriz de covariância desempenha um papel fundamental na economia financeira, especialmente na teoria do portfólio e seu teorema de separação de fundos mútuos e no modelo de preços de ativos de capital. A matriz de covariâncias entre vários ativos ' Os retornos são usados para determinar, sob certas suposições, as quantidades relativas de diferentes ativos que os investidores devem (em uma análise normativa) ou prevê -se (em uma análise positiva) optar por manter em um contexto de diversificação.

A estratégia de evolução, uma família específica de heurísticas de busca randomizada, baseia -se fundamentalmente em uma matriz de covariância em seu mecanismo. O operador de mutação característico desenha a etapa de atualização de uma distribuição normal multivariada usando uma matriz de covariância em evolução. Há uma prova formal de que a matriz de covariância da estratégia de evolução se adapta ao inverso da matriz hessiana do cenário de busca, até um fator escalar e pequenas flutuações aleatórias (comprovado para uma estratégia de parente e um modelo estático, À medida que o tamanho da população aumenta, depender da aproximação quadrática). Intuitivamente, esse resultado é suportado pela lógica de que a distribuição ideal de covariância pode oferecer etapas de mutação cujos contornos de probabilidade de equidência correspondem aos conjuntos de nível da paisagem e, portanto, maximizam a taxa de progresso.

Em mapeamento de covariância os valores dos ${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X}\mathbf {Y})}$ ou ${\displaystyle \operatorname {pcov} (\mathbf {X}\mathbf {Y} \mid \mathbf {I})}$ matriz são plotadas como um mapa 2-dimensional. Quando vetores $(X} }$ e $- Sim.$ são funções aleatórias discretas, o mapa mostra relações estatísticas entre diferentes regiões das funções aleatórias. As regiões estatisticamente independentes das funções aparecem no mapa como planalto de nível zero, enquanto as correlações positivas ou negativas aparecem, respectivamente, como colinas ou vales.

Na prática, os vetores de coluna ${\displaystyle \mathbf {X}\mathbf} Não.$e $- Sim.$ são adquiridos experimentalmente como linhas de $Não.$ amostras, por exemplo. $${\displaystyle \left[\mathbf] {X} _{1},\mathbf {X} _{2},\dots\mathbf {X} _{n}\right]={\begin{bmatrix}X_{1}(t_{1})&X_{2}(t_{1})&\cdots &X_{n}(t_{1})\\\\\\X_{1}(t_{2}$$Onde? $(t_{i})}$ é o Eu...-o valor discreto na amostra JJ da função aleatória $(T)}$. Os valores esperados necessários na fórmula de covariância são estimados usando a média da amostra, por exemplo. $${\displaystyle \langle \mathbf] {X} \rangle ={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\mathbf {X} _{j}}$$e a matriz de covariância é estimada pela matriz de covariância da amostra $${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X}\mathbf {Y})\approx \langle \mathbf {XY^{\mathf {T}}} \rangle -\langle \mathbf {X} \rangle \langle \mathbf {Y} ^{\mathsf {T}}\rangle}$$onde os suportes angulares denotam amostra média como antes, exceto que a correção do Bessel deve ser feita para evitar viés. Usando esta estimativa a matriz de covariância parcial pode ser calculada como $${\displaystyle \operatorname {pcov} (\mathbf {X}\mathbf {Y} \mid \mathbf {I})=\operatorname {cov} (\mathbf {X}\mathbf {Y})-\operatorname {cov} (\mathbf {X}\mathbf {I})\left(\operatorname {cov}$$onde o backslash denota o operador de divisão de matriz esquerda, que ignora a exigência de inverter uma matriz e está disponível em alguns pacotes computacionais como Matlab.

Fig. 1 ilustra como um mapa de covariância parcial é construído em um exemplo de uma experiência realizada no laser livre-eletrônico FLASH em Hamburgo. A função aleatória $(T)}$ é o espectro de tempo de voo de íons de uma explosão de Coulomb de moléculas de nitrogênio multiplicado por um pulso laser. Uma vez que apenas algumas centenas de moléculas são ionizadas em cada pulso laser, o espectro de tiro único é altamente flutuante. No entanto, coletando tipicamente ${\displaystyle m=10^{4}}$ tal espectro, ${\displaystyle \mathbf {X} _{j}(t)}$, e avaliá-los $Não.$ produz um espectro suave ${\displaystyle \langle \mathbf] Não.$, que é mostrado em vermelho na parte inferior da Fig. 1. O espectro médio ${\displaystyle \langle \mathbf] - Sim.$ revela vários íons de nitrogênio em uma forma de picos ampliados por sua energia cinética, mas para encontrar as correlações entre as fases de ionização e o momento do íon requer o cálculo de um mapa de covariância.

No exemplo de Fig. 1 espectro ${\displaystyle \mathbf {X} _{j}(t)}$ e ${\displaystyle \mathbf {Y} _{j}(t)}$ são os mesmos, exceto que o intervalo do tempo de voo $Não.$ difere. Painel um mostra ${\displaystyle \langle \mathbf {XY^{\mathsf {T}}} \rangle }$, painel b) mostra ${\displaystyle \langle \mathbf] {X} \rangle \langle \mathbf {Y} ^{\mathsf {T}}\rangle }$ e painel c mostra sua diferença, que é ${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X}\mathbf {Y})}$ (note uma mudança na escala da cor). Infelizmente, este mapa é sobrecarregado por correlaçÃμes desinteressantes e comuns induzidas pela intensidade do laser flutuando de tiro a tiro. Para suprimir tais correlações a intensidade do laser $Não. I_{j}}$ é gravado em cada tiro, colocado em $- Sim.$ e ${\displaystyle \operatorname {pcov} (\mathbf {X}\mathbf {Y} \mid \mathbf {I})}$ é calculado como painéis D e e Mostra. A supressão das correlações desinteressantes é, no entanto, imperfeita porque existem outras fontes de flutuações de modo comum do que a intensidade do laser e, em princípio, todas essas fontes devem ser monitoradas no vetor $- Sim.$. No entanto, na prática, muitas vezes é suficiente para compensar a correção de covariância parcial como painel f mostra, onde correlações interessantes de íon momenta são agora claramente visíveis como linhas retas centradas em fases de ionização de nitrogênio atômico.

A espectroscopia de infravermelho bidimensional emprega análise de correlação para obter espectros 2D da fase condensada. Existem duas versões desta análise: síncrona e assíncrona. Matematicamente, o primeiro é expresso em termos da matriz de covariância da amostra e a técnica é equivalente ao mapeamento de covariância.

• Função de covariância
• Decomposição do valor
• Matriz Gramiana
• Distribuição Lewandowski-Kurowicka-Joe
• Estatísticas multivariadas
• Componentes principais
• Forma quadrática (estatística)

• "Matriz de covariância", Enciclopédia da Matemática, EMS Press, 2001 [1994]
• "Covariance Matrix Explained With Pictures", uma maneira fácil de visualizar matrizes de covariância!
• Weisstein, Eric W. "Covariance Matrix". Matemática.
• van Kampen, N. G. (1981). Processos estocásticos em física e química. Nova Iorque: North-Holland. ISBN 0-444-86200-5.