Massa

Massa é uma propriedade intrínseca de um corpo. Tradicionalmente, acreditava-se que estava relacionado à quantidade de matéria em um corpo físico, até a descoberta do átomo e da física de partículas. Verificou-se que diferentes átomos e diferentes partículas elementares, teoricamente com a mesma quantidade de matéria, têm, no entanto, massas diferentes. A massa na física moderna tem múltiplas definições que são conceitualmente distintas, mas fisicamente equivalentes. A massa pode ser definida experimentalmente como uma medida da inércia do corpo, ou seja, a resistência à aceleração (mudança de velocidade) quando uma força resultante é aplicada. A massa do objeto também determina a força de sua atração gravitacional para outros corpos.

A unidade básica de massa do SI é o quilograma (kg). Na física, a massa não é o mesmo que o peso, embora a massa seja frequentemente determinada pela medição do peso do objeto usando uma balança de mola, em vez de uma balança comparando-a diretamente com massas conhecidas. Um objeto na Lua pesaria menos do que na Terra por causa da gravidade mais baixa, mas ainda teria a mesma massa. Isso ocorre porque o peso é uma força, enquanto a massa é a propriedade que (juntamente com a gravidade) determina a intensidade dessa força.

Fenômenos

Existem vários fenômenos distintos que podem ser usados para medir a massa. Embora alguns teóricos tenham especulado que alguns desses fenômenos poderiam ser independentes uns dos outros, os experimentos atuais não encontraram diferenças nos resultados, independentemente de como são medidos:

• Massa inercial mede a resistência de um objeto a ser acelerado por uma força (representada pela relação F = ma).
• Massa gravitacional ativa determina a força do campo gravitacional gerado por um objeto.
• Massa gravitacional passiva mede a força gravitacional exercida sobre um objeto em um campo gravitacional conhecido.

A massa de um objeto determina sua aceleração na presença de uma força aplicada. A inércia e a massa inercial descrevem esta propriedade dos corpos físicos nos níveis qualitativo e quantitativo, respectivamente. De acordo com a segunda lei do movimento de Newton, se um corpo de massa fixa m é submetido a uma única força F, sua aceleração a é dado por F/m. A massa de um corpo também determina o grau em que ele gera e é afetado por um campo gravitacional. Se um primeiro corpo de massa m_A é colocado a uma distância r (centro de massa a centro de massa) de um segundo corpo de massa m_B, cada corpo está sujeito a uma força atrativa F_g = Gm_Am_B/r², onde G = 6,67×10⁻¹¹ N⋅kg⁻²⋅m² é a "constante gravitacional universal". Isso às vezes é chamado de massa gravitacional. Experimentos repetidos desde o século 17 demonstraram que a massa inercial e gravitacional são idênticas; desde 1915, esta observação foi incorporada a priori no princípio de equivalência da relatividade geral.

Unidades de massa

O quilograma é uma das sete unidades de base do SI.

A unidade de massa do Sistema Internacional de Unidades (SI) é o quilograma (kg). O quilograma tem 1.000 gramas (g) e foi definido pela primeira vez em 1795 como a massa de um decímetro cúbico de água no ponto de fusão do gelo. No entanto, como a medição precisa de um decímetro cúbico de água na temperatura e pressão especificadas era difícil, em 1889 o quilograma foi redefinido como a massa de um objeto de metal e, assim, tornou-se independente do metro e das propriedades da água, sendo esta uma protótipo de cobre da sepultura em 1793, o Kilogram des Archives de platina em 1799 e o protótipo internacional de platina-irídio do quilograma (IPK) em 1889.

No entanto, descobriu-se que a massa do IPK e de suas cópias nacionais varia com o tempo. A redefinição do quilograma e de várias outras unidades entrou em vigor em 20 de maio de 2019, após votação final da CGPM em novembro de 2018. A nova definição usa apenas quantidades invariantes da natureza: a velocidade da luz, a frequência hiperfina do césio, a constante de Planck e a carga elementar.

Unidades não SI aceitas para uso com unidades SI incluem:

• a tonelada (t) (ou "tono métrico"), igual a 1000 kg
• o elétronvolto (eV), uma unidade de energia, usada para expressar massa em unidades de eV/c² através da equivalência de massa-energia
• o dalton (Da), igual a 1/12 da massa de um átomo livre de carbono-12, aproximadamente 1.6×10.^-27kg.

Fora do sistema SI, outras unidades de massa incluem:

• a lesma (sl), uma unidade imperial de massa (cerca de 14,6 kg)
• a libra (lb), uma unidade de massa (cerca de 0,45 kg), que é usada ao lado da libra (força) (cerca de 4,5 N), uma unidade de força
• a massa de Planck (sobre 2.18×10.^-8kg), uma quantidade derivada de constantes fundamentais
• a massa solar (M_?), definido como a massa do Sol, usado principalmente na astronomia para comparar grandes massas como estrelas ou galáxias (≈1.99×10.³⁰kg)
• a massa de uma partícula, como identificado com seu comprimento de onda do Compton inverso (1 cm^{- Sim.} ≘ 3.52×10.^{- Não.}kg)
• a massa de uma estrela ou buraco negro, como identificado com seu raio Schwarzschild (1 cm ≘ 6.73×10.^24.kg).

Definições

Na ciência física, pode-se distinguir conceitualmente entre pelo menos sete diferentes aspectos da massa, ou sete noções físicas que envolvem o conceito de massa. Todos os experimentos até hoje mostraram que esses sete valores são proporcionais e, em alguns casos, iguais, e essa proporcionalidade dá origem ao conceito abstrato de massa. Existem várias maneiras pelas quais a massa pode ser medida ou definida operacionalmente:

• A massa inercial é uma medida da resistência de um objeto à aceleração quando uma força é aplicada. É determinado aplicando uma força a um objeto e medindo a aceleração que resulta dessa força. Um objeto com pequena massa inercial vai acelerar mais do que um objeto com grande massa inercial quando atuado pela mesma força. Diz-se que o corpo de maior massa tem maior inércia.
• A massa gravitacional ativa é uma medida da força do fluxo gravitacional de um objeto (o fluxo gravitacional é igual à integral da superfície do campo gravitacional sobre uma superfície de fechamento). O campo gravitacional pode ser medido, permitindo que um pequeno "objeto de teste" caia livremente e medindo sua aceleração de queda livre. Por exemplo, um objeto em queda livre perto da Lua está sujeito a um campo gravitacional menor, e, portanto, acelera mais lentamente, do que o mesmo objeto se estivesse em queda livre perto da Terra. O campo gravitacional perto da Lua é mais fraco porque a Lua tem massa gravitacional menos ativa.
• Massa gravitacional passiva é uma medida da força da interação de um objeto com um campo gravitacional. Massa gravitacional passiva é determinada dividindo o peso de um objeto por sua aceleração de queda livre. Dois objetos dentro do mesmo campo gravitacional experimentarão a mesma aceleração; no entanto, o objeto com uma massa gravitacional passiva menor experimentará uma força menor (menos peso) do que o objeto com uma massa gravitacional passiva maior.
• De acordo com a relatividade, a massa não é mais do que a energia restante de um sistema de partículas, o que significa a energia desse sistema em um quadro de referência onde tem zero impulso. A massa pode ser convertida em outras formas de energia de acordo com o princípio da equivalência de massa-energia. Esta equivalência é exemplificada em um grande número de processos físicos, incluindo a produção de pares, a decadência beta e a fusão nuclear. Produção de pares e fusão nuclear são processos nos quais quantidades mensuráveis de massa são convertidas em energia cinética ou vice-versa.
• Curvatura do espaço-tempo é uma manifestação relativista da existência da massa. Essa curvatura é extremamente fraca e difícil de medir. Por esta razão, a curvatura não foi descoberta até que foi prevista pela teoria da relatividade geral de Einstein. Relógios atômicos extremamente precisos na superfície da Terra, por exemplo, são encontrados para medir menos tempo (correr mais devagar) quando comparados a relógios semelhantes no espaço. Esta diferença no tempo decorrido é uma forma de curvatura chamada dilatação do tempo gravitacional. Outras formas de curvatura foram medidas usando o satélite Gravity Probe B.
• A massa quântica se manifesta como uma diferença entre a frequência quântica de um objeto e seu número de onda. A massa quântica de uma partícula é proporcional ao comprimento de onda do Compton inverso e pode ser determinada através de várias formas de espectroscopia. Na mecânica quântica relativista, a massa é uma das representações irredutíveis do grupo Poincaré.

Peso x massa

No uso diário, massa e "peso" são freqüentemente usados de forma intercambiável. Por exemplo, o peso de uma pessoa pode ser declarado como 75 kg. Em um campo gravitacional constante, o peso de um objeto é proporcional à sua massa e não é problemático usar a mesma unidade para ambos os conceitos. Mas por causa de pequenas diferenças na força do campo gravitacional da Terra em diferentes lugares, a distinção torna-se importante para medições com uma precisão melhor do que alguns por cento, e para lugares distantes da superfície da Terra, como em espaço ou em outros planetas. Conceitualmente, "massa" (medido em quilogramas) refere-se a uma propriedade intrínseca de um objeto, enquanto "peso" (medido em newtons) mede a resistência de um objeto ao desvio de seu curso atual de queda livre, que pode ser influenciado pelo campo gravitacional próximo. Não importa quão forte seja o campo gravitacional, os objetos em queda livre não têm peso, embora ainda tenham massa.

A força conhecida como "peso" é proporcional à massa e à aceleração em todas as situações em que a massa é acelerada para longe da queda livre. Por exemplo, quando um corpo está em repouso em um campo gravitacional (em vez de em queda livre), ele deve ser acelerado por uma força de uma escala ou da superfície de um corpo planetário como a Terra ou a Lua. Essa força impede que o objeto entre em queda livre. O peso é a força oposta em tais circunstâncias e, portanto, é determinado pela aceleração da queda livre. Na superfície da Terra, por exemplo, um objeto com massa de 50 quilos pesa 491 newtons, o que significa que 491 newtons estão sendo aplicados para evitar que o objeto entre em queda livre. Por outro lado, na superfície da Lua, o mesmo objeto ainda tem uma massa de 50 quilos, mas pesa apenas 81,5 newtons, porque apenas 81,5 newtons são necessários para evitar que esse objeto entre em queda livre na lua. Reformulado em termos matemáticos, na superfície da Terra, o peso W de um objeto está relacionado à sua massa m por W = mg, onde g = 9,80665 m/s² é a aceleração devido ao campo gravitacional da Terra (expressa como a aceleração experimentado por um objeto em queda livre).

Para outras situações, como quando objetos são submetidos a acelerações mecânicas de forças diferentes da resistência de uma superfície planetária, a força do peso é proporcional à massa de um objeto multiplicada pela aceleração total da queda livre, que é chamada de aceleração adequada. Através de tais mecanismos, objetos em elevadores, veículos, centrífugas e similares, podem sofrer forças de peso muitas vezes maiores do que aquelas causadas pela resistência aos efeitos da gravidade sobre os objetos, resultantes de superfícies planetárias. Nesses casos, a equação generalizada para o peso W de um objeto está relacionada à sua massa m pela equação W = –ma, onde a é a aceleração adequada do objeto causada por todas as influências além da gravidade. (Novamente, se a gravidade for a única influência, como ocorre quando um objeto cai livremente, seu peso será zero).

Massa inercial x massa gravitacional

Embora massa inercial, massa gravitacional passiva e massa gravitacional ativa sejam conceitualmente distintas, nenhum experimento demonstrou inequivocamente qualquer diferença entre elas. Na mecânica clássica, a terceira lei de Newton implica que a massa gravitacional ativa e passiva deve sempre ser idêntica (ou pelo menos proporcional), mas a teoria clássica não oferece nenhuma razão convincente para que a massa gravitacional tenha que ser igual à massa inercial. Isso é apenas um fato empírico.

Albert Einstein desenvolveu sua teoria geral da relatividade começando com a suposição de que as massas gravitacionais inerciais e passivas são as mesmas. Isso é conhecido como o princípio da equivalência.

A equivalência particular frequentemente referida como o "princípio da equivalência de Galileu" ou o "princípio da equivalência fraca" tem a consequência mais importante para objetos em queda livre. Suponha que um objeto tenha massas inerciais e gravitacionais m e M, respectivamente. Se a única força que age sobre o objeto vem de um campo gravitacional g, a força sobre o objeto é:

F= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Mg.Não.

Dada esta força, a aceleração do objeto pode ser determinada pela segunda lei de Newton:

F= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =mum.Não. F=ma.

Juntos, a aceleração gravitacional é dada por:

um= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Mmg.- Sim. {M}{m}}g.}

Isso diz que a razão entre a massa gravitacional e inercial de qualquer objeto é igual a alguma constante K se e somente se todos os objetos caem na mesma taxa em um determinado campo gravitacional. Este fenômeno é referido como a "universalidade da queda livre". Além disso, a constante K pode ser tomada como 1 definindo nossas unidades apropriadamente.

Os primeiros experimentos demonstrando a universalidade da queda livre foram - de acordo com o "folclore" científico - conduzidos por Galileu obtidos pela queda de objetos da Torre Inclinada de Pisa. Isso é provavelmente apócrifo: é mais provável que ele tenha realizado seus experimentos com bolas rolando planos inclinados quase sem atrito para diminuir o movimento e aumentar a precisão do tempo. Experimentos cada vez mais precisos foram realizados, como os realizados por Loránd Eötvös, usando o pêndulo de equilíbrio de torção, em 1889. A partir de 2008, nenhum desvio da universalidade e, portanto, da equivalência de Galileu, jamais foi encontrado, pelo menos com a precisão 10 ^-6. Esforços experimentais mais precisos ainda estão sendo realizados.

A universalidade da queda livre só se aplica a sistemas nos quais a gravidade é a única força atuante. Todas as outras forças, especialmente fricção e resistência do ar, devem estar ausentes ou pelo menos desprezíveis. Por exemplo, se um martelo e uma pena forem lançados da mesma altura através do ar na Terra, a pena levará muito mais tempo para atingir o solo; a pena não está realmente em queda livre porque a força de resistência do ar para cima contra a pena é comparável à força da gravidade para baixo. Por outro lado, se o experimento for realizado no vácuo, no qual não há resistência do ar, o martelo e a pena devem atingir o solo exatamente ao mesmo tempo (assumindo a aceleração de ambos os objetos um em relação ao outro, e do chão para ambos os objetos, por sua vez, é insignificante). Isso pode ser feito facilmente em um laboratório de ensino médio, colocando os objetos em tubos transparentes que têm o ar removido com uma bomba de vácuo. É ainda mais dramático quando feito em um ambiente que naturalmente possui vácuo, como David Scott fez na superfície da Lua durante a Apollo 15.

Uma versão mais forte do princípio da equivalência, conhecida como princípio da equivalência de Einstein ou princípio da equivalência forte, está no cerne da teoria geral da relatividade. O princípio da equivalência de Einstein afirma que dentro de regiões suficientemente pequenas do espaço-tempo, é impossível distinguir entre uma aceleração uniforme e um campo gravitacional uniforme. Assim, a teoria postula que a força que atua sobre um objeto massivo causada por um campo gravitacional é resultado da tendência do objeto de se mover em linha reta (ou seja, sua inércia) e deve, portanto, ser uma função de sua massa inercial e a força do campo gravitacional.

Origem

Na física teórica, um mecanismo de geração de massa é uma teoria que tenta explicar a origem da massa a partir das leis mais fundamentais da física. Até o momento, vários modelos diferentes foram propostos, defendendo diferentes pontos de vista sobre a origem da massa. O problema é complicado pelo fato de que a noção de massa está fortemente relacionada à interação gravitacional, mas uma teoria desta última ainda não foi conciliada com o modelo atualmente popular da física de partículas, conhecido como Modelo Padrão.

Conceitos pré-newtonianos

Peso como uma quantidade

Depício de balanças de equilíbrio precoces no Papiro de Hunefer (datado à 19a dinastia, C.1285 a.C.). A cena mostra Anubis pesando o coração de Hunefer.

O conceito de quantidade é muito antigo e antecede a história registrada. Os humanos, em algum momento inicial, perceberam que o peso de uma coleção de objetos semelhantes era diretamente proporcional ao número de objetos na coleção:

Wn∝ ∝ n,Não. W_{n}propto n,}

onde W é o peso da coleção de objetos semelhantes e n é o número de objetos na coleção. A proporcionalidade, por definição, implica que dois valores têm uma razão constante:

Wnn= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Wmm{displaystyle {frac {W_{n}}{n}}={frac {W_{m}}{m}}}, ou equivalente WnWm= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =nm.{displaystyle {frac {W_{n}}{W_{m}}}={frac Não.

Um dos primeiros usos dessa relação é uma balança, que equilibra a força do peso de um objeto contra a força do peso de outro objeto. Os dois lados de uma balança estão próximos o suficiente para que os objetos experimentem campos gravitacionais semelhantes. Portanto, se eles tiverem massas semelhantes, seus pesos também serão semelhantes. Isso permite que a balança, comparando pesos, também compare massas.

Consequentemente, os padrões históricos de peso eram frequentemente definidos em termos de quantidades. Os romanos, por exemplo, usavam a semente de alfarroba (quilate ou siliqua) como padrão de medida. Se o peso de um objeto fosse equivalente a 1728 sementes de alfarroba, dizia-se que o objeto pesava uma libra romana. Se, por outro lado, o peso do objeto fosse equivalente a 144 sementes de alfarroba, dizia-se que o objeto pesava uma onça romana (uncia). A libra e a onça romanas foram ambas definidas em termos de coleções de tamanhos diferentes do mesmo padrão de massa comum, a semente de alfarroba. A proporção de uma onça romana (144 sementes de alfarroba) para uma libra romana (1728 sementes de alfarroba) era:

ouncepounD= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =W144W1728= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1441728= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =112.- Sim. - Sim. - Sim. {W_{144}}{W_{1728}}}={frac {144}{1728}} {1}{12}}.}

Movimento planetário

Em 1600 DC, Johannes Kepler procurou emprego com Tycho Brahe, que tinha alguns dos dados astronômicos mais precisos disponíveis. Usando as observações precisas de Brahe do planeta Marte, Kepler passou os cinco anos seguintes desenvolvendo seu próprio método para caracterizar o movimento planetário. Em 1609, Johannes Kepler publicou suas três leis do movimento planetário, explicando como os planetas orbitam o Sol. No modelo planetário final de Kepler, ele descreveu as órbitas planetárias seguindo caminhos elípticos com o Sol em um ponto focal da elipse. Kepler descobriu que o quadrado do período orbital de cada planeta é diretamente proporcional ao cubo do semi-eixo maior de sua órbita, ou equivalentemente, que a razão desses dois valores é constante para todos os planetas do Sistema Solar.

Em 25 de agosto de 1609, Galileo Galilei demonstrou seu primeiro telescópio a um grupo de comerciantes venezianos e, no início de janeiro de 1610, Galileu observou quatro objetos escuros perto de Júpiter, que ele confundiu com estrelas. No entanto, após alguns dias de observação, Galileu percebeu que essas "estrelas" estavam de fato orbitando Júpiter. Esses quatro objetos (mais tarde chamados de luas galileanas em homenagem a seu descobridor) foram os primeiros corpos celestes observados orbitando algo diferente da Terra ou do Sol. Galileu continuou a observar essas luas nos dezoito meses seguintes e, em meados de 1611, obteve estimativas notavelmente precisas de seus períodos.

Queda livre na Galiléia

Galileu Galilei (1636)

Distância percorrida por uma bola caindo livremente é proporcional ao quadrado do tempo decorrido.

Algum tempo antes de 1638, Galileu voltou sua atenção para o fenômeno de objetos em queda livre, tentando caracterizar esses movimentos. Galileu não foi o primeiro a investigar o campo gravitacional da Terra, nem foi o primeiro a descrever com precisão suas características fundamentais. No entanto, a confiança de Galileu na experimentação científica para estabelecer princípios físicos teria um efeito profundo nas futuras gerações de cientistas. Não está claro se esses eram apenas experimentos hipotéticos usados para ilustrar um conceito, ou se eram experimentos reais realizados por Galileu, mas os resultados obtidos desses experimentos eram realistas e convincentes. Uma biografia do pupilo de Galileu, Vincenzo Viviani, afirmou que Galileu havia jogado bolas do mesmo material, mas de massas diferentes, da Torre Inclinada de Pisa para demonstrar que o tempo de descida era independente de sua massa. Em apoio a essa conclusão, Galileu apresentou o seguinte argumento teórico: ele perguntou se dois corpos de diferentes massas e diferentes taxas de queda estão amarrados por uma corda, o sistema combinado cai mais rápido porque agora é mais massivo ou o mais leve corpo em sua queda mais lenta segura o corpo mais pesado? A única solução convincente para esta questão é que todos os corpos devem cair na mesma velocidade.

Um experimento posterior foi descrito em Two New Sciences de Galileu, publicado em 1638. Um dos personagens fictícios de Galileu, Salviati, descreve um experimento usando uma bola de bronze e uma madeira rampa. A rampa de madeira tinha "12 côvados de comprimento, meio côvado de largura e três dedos de espessura" com uma ranhura reta, lisa e polida. A ranhura foi forrada com "pergaminho, também liso e o mais polido possível". E nessa ranhura foi colocada "uma bola de bronze dura, lisa e muito redonda". A rampa foi inclinada em vários ângulos para diminuir a aceleração o suficiente para que o tempo decorrido pudesse ser medido. A bola foi deixada rolar uma distância conhecida pela rampa, e o tempo gasto pela bola para percorrer a distância conhecida foi medido. O tempo foi medido usando um relógio de água descrito a seguir:

uma grande embarcação de água colocada em uma posição elevada; para o fundo desta embarcação foi soldada um tubo de pequeno diâmetro dando um jato fino de água, que coletamos em um pequeno vidro durante o tempo de cada descida, se para todo o comprimento do canal ou para uma parte de seu comprimento; a água assim coletada foi pesada, após cada descida, em um equilíbrio muito preciso; as diferenças e as razões desses pesos não nos deram a precisão de tempos

Galileu descobriu que, para um objeto em queda livre, a distância percorrida pelo objeto é sempre proporcional ao quadrado do tempo decorrido:

Distância∝ ∝ Tempo2{displaystyle {text{Distance}}propto {{text{Time}}^{2}}}}}}

Galileu mostrou que objetos em queda livre sob a influência do campo gravitacional da Terra têm uma aceleração constante, e o contemporâneo de Galileu, Johannes Kepler, mostrou que os planetas seguem trajetórias elípticas sob a influência da massa gravitacional do Sol. No entanto, os movimentos de queda livre de Galileu e os movimentos planetários de Kepler permaneceram distintos durante a vida de Galileu.

Massa distinta do peso

K. M. Browne explica muito claramente o duplo significado de "peso" no passado.

O que agora sabemos como massa foi até o tempo de Newton chamado “peso”.... Um ourives acreditava que uma onça de ouro era uma quantidade de ouro.... Mas os antigos acreditavam que um equilíbrio de feixe também mediu “peso” que eles reconheceram através de seus sentidos musculares.... Acredita-se que a missa e sua força descendente associada fossem a mesma coisa. Kepler formou um conceito [distinto] de massa (“montante da matéria” (cópia materiae)), mas o chamou de “peso” como todos naquela época.

—K. M. Browne, O significado pré-Newtoniano da palavra “peso”

No primeiro parágrafo de Principia, Newton definiu quantidade de matéria como “densidade e massa conjuntamente”, e massa como quantidade de matéria.

A quantidade de matéria é a medida do mesmo, decorrente de sua densidade e volume em conjunto.... É esta quantidade que eu quero dizer em toda parte sob o nome do corpo ou massa. E o mesmo é conhecido pelo peso de cada corpo; porque é proporcional ao peso.

—Isaac Newton, Princípios matemáticos da filosofia natural, Definição I.

Massa newtoniana

Lua da Terra		Missa da Terra
Eixo semi-maio	Período orbital lateral
0,002 569 UA	0,074 802 ano sideral	1.2.D D 2)) 10.- Sim. - Sim. 5AU3Sim.2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =3.986)) 10.14m3S2{displaystyle 1.2pi ^{2}cdot 10^{-5}{frac {{text{AU}}^{3}}{{text{y}}^{2}}}=3.986cdot 10^{14}{frac {{text{m}}^{3}}{{text{s}}^{2}}}}}}
A gravidade da Terra	Raio da Terra
9.806 65 m/s2	6 375 km

Isaac Newton, 1689

Robert Hooke havia publicado seu conceito de forças gravitacionais em 1674, afirmando que todos os corpos celestes têm uma atração ou poder gravitacional em direção aos seus próprios centros, e também atraem todos os outros corpos celestes que estão dentro da esfera de sua atividade. Ele afirmou ainda que a atração gravitacional aumenta quanto mais próximo o corpo forjado estiver de seu próprio centro. Em correspondência com Isaac Newton de 1679 e 1680, Hooke conjecturou que as forças gravitacionais poderiam diminuir de acordo com o dobro da distância entre os dois corpos. Hooke pediu a Newton, que foi um pioneiro no desenvolvimento do cálculo, que trabalhasse com os detalhes matemáticos das órbitas Keplerianas para determinar se a hipótese de Hooke estava correta. As próprias investigações de Newton verificaram que Hooke estava correto, mas devido a diferenças pessoais entre os dois homens, Newton optou por não revelar isso a Hooke. Isaac Newton manteve silêncio sobre suas descobertas até 1684, quando disse a um amigo, Edmond Halley, que havia resolvido o problema das órbitas gravitacionais, mas havia perdido a solução em seu escritório. Depois de ser encorajado por Halley, Newton decidiu desenvolver suas ideias sobre a gravidade e publicar todas as suas descobertas. Em novembro de 1684, Isaac Newton enviou um documento a Edmund Halley, agora perdido, mas presumivelmente intitulado De motu corporum in gyrum (latim para "Sobre o movimento dos corpos em uma órbita"). Halley apresentou as descobertas de Newton à Royal Society de Londres, com a promessa de que uma apresentação mais completa se seguiria. Mais tarde, Newton registrou suas ideias em um conjunto de três livros, intitulado Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (em latim: Princípios matemáticos da filosofia natural). O primeiro foi recebido pela Royal Society em 28 de abril de 1685-1686; o segundo em 2 de março de 1686-1687; e a terceira em 6 de abril de 1686-1687. A Royal Society publicou toda a coleção de Newton às suas próprias custas em maio de 1686-1687.

Isaac Newton preencheu a lacuna entre a massa gravitacional de Kepler e a aceleração gravitacional de Galileu, resultando na descoberta da seguinte relação que governava ambas:

g= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. μ μ R^ ^ |R|2{displaystyle mathbf {g} =-mu {frac} Não. {R} }}{|mathbf {R} |^{2}}}}

onde g é a aceleração aparente de um corpo ao passar por uma região do espaço onde existem campos gravitacionais, μ é a massa gravitacional (parâmetro gravitacional padrão) de o corpo causando campos gravitacionais, e R é a coordenada radial (a distância entre os centros dos dois corpos).

Ao encontrar a relação exata entre a massa gravitacional de um corpo e seu campo gravitacional, Newton forneceu um segundo método para medir a massa gravitacional. A massa da Terra pode ser determinada usando o método de Kepler (a partir da órbita da Lua da Terra), ou pode ser determinada medindo a aceleração gravitacional na superfície da Terra e multiplicando isso pelo quadrado do raio da Terra. A massa da Terra é aproximadamente três milionésimos da massa do Sol. Até o momento, nenhum outro método preciso para medir a massa gravitacional foi descoberto.

A bala de canhão de Newton

Um canhão em cima de uma montanha muito alta dispara uma bala de canhão horizontalmente. Se a velocidade for baixa, a bala de canhão cai rapidamente para a Terra (A, B). Em velocidades intermediárias, girará em torno da Terra ao longo de uma órbita elíptica (C, D). Além da velocidade de fuga, deixará a Terra sem retornar (E).

A bala de canhão de Newton foi um experimento mental usado para preencher a lacuna entre a aceleração gravitacional de Galileu e as órbitas elípticas de Kepler. Ele apareceu no livro de Newton de 1728 Um Tratado do Sistema do Mundo. De acordo com o conceito de gravitação de Galileu, uma pedra cai com aceleração constante em direção à Terra. No entanto, Newton explica que quando uma pedra é lançada horizontalmente (ou seja, de lado ou perpendicularmente à gravidade da Terra), ela segue um caminho curvo. "Pois uma pedra projetada é forçada pela pressão de seu próprio peso para fora do caminho retilíneo, que só pela projeção ela deveria ter perseguido e feito para descrever uma linha curva no ar; e por esse caminho tortuoso é finalmente derrubado no chão. E quanto maior a velocidade com que é projetada, mais longe ela vai antes de cair na Terra." Newton argumenta ainda que se um objeto fosse "projetado na direção horizontal do topo de uma montanha alta" com velocidade suficiente, "alcançaria finalmente bem além da circunferência da Terra e retornaria à montanha de onde foi projetada."

Massa gravitacional universal

Uma maçã experimenta campos gravitacionais direcionados para cada parte da Terra; no entanto, a soma total desses muitos campos produz um único campo gravitacional direcionado para o centro da Terra.

Em contraste com as teorias anteriores (por exemplo, esferas celestes) que afirmavam que os céus eram feitos de material totalmente diferente, a teoria da massa de Newton foi inovadora em parte porque introduziu a massa gravitacional universal: todo objeto tem massa gravitacional e portanto, todo objeto gera um campo gravitacional. Newton assumiu ainda que a força do campo gravitacional de cada objeto diminuiria de acordo com o quadrado da distância a esse objeto. Se uma grande coleção de pequenos objetos fosse transformada em um corpo esférico gigante como a Terra ou o Sol, Newton calculou que a coleção criaria um campo gravitacional proporcional à massa total do corpo e inversamente proporcional ao quadrado da distância ao centro do corpo.

Por exemplo, de acordo com a teoria da gravitação universal de Newton, cada semente de alfarroba produz um campo gravitacional. Portanto, se alguém reunisse um imenso número de sementes de alfarroba e as transformasse em uma enorme esfera, o campo gravitacional da esfera seria proporcional ao número de sementes de alfarroba na esfera. Assim, deveria ser teoricamente possível determinar o número exato de sementes de alfarroba que seriam necessárias para produzir um campo gravitacional semelhante ao da Terra ou do Sol. De fato, por conversão de unidades, é uma simples questão de abstração perceber que qualquer unidade de massa tradicional pode teoricamente ser usada para medir a massa gravitacional.

Desenho de seção vertical do instrumento de equilíbrio de torção de Cavendish, incluindo o edifício em que foi alojado. As grandes bolas foram penduradas de um quadro para que pudessem ser giradas em posição ao lado das pequenas bolas por uma polia de fora. Figura 1 do artigo de Cavendish.

Medir a massa gravitacional em termos de unidades de massa tradicionais é simples em princípio, mas extremamente difícil na prática. De acordo com a teoria de Newton, todos os objetos produzem campos gravitacionais e é teoricamente possível coletar um número imenso de pequenos objetos e transformá-los em uma enorme esfera gravitacional. No entanto, do ponto de vista prático, os campos gravitacionais de pequenos objetos são extremamente fracos e difíceis de medir. Os livros de Newton sobre gravitação universal foram publicados na década de 1680, mas a primeira medição bem-sucedida da massa da Terra em termos de unidades de massa tradicionais, o experimento de Cavendish, não ocorreu até 1797, mais de cem anos depois.. Henry Cavendish descobriu que a densidade da Terra era 5,448 ± 0,033 vezes a da água. A partir de 2009, a massa da Terra em quilogramas é conhecida apenas com cerca de cinco dígitos de precisão, enquanto sua massa gravitacional é conhecida com mais de nove algarismos significativos.

Dados dois objetos A e B, de massas M_A e M_B, separados por um deslocamento R_AB, a lei da gravitação de Newton afirma que cada objeto exerce uma força gravitacional sobre o outro, de magnitude

FAB= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. GMAMBR^ ^ AB|RAB|2{displaystyle mathbf {F} _{text{AB}}=-GM_{text{A}}M_{text{B}}{frac Não. {R} }}_{text{AB}}}{|mathbf {R} _{text{AB}}|^{2}}} },

onde G é a constante gravitacional universal. A afirmação acima pode ser reformulada da seguinte forma: se g é a magnitude em um determinado local em um campo gravitacional, então a força gravitacional em um objeto com massa gravitacional M é

F= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Mg- Sim..

Esta é a base pela qual as massas são determinadas por pesagem. Em balanças de mola simples, por exemplo, a força F é proporcional ao deslocamento da mola abaixo do prato de pesagem, conforme a lei de Hooke, e as balanças são calibradas para levar g em consideração, permitindo a leitura da massa M. Assumindo que o campo gravitacional é equivalente em ambos os lados da balança, uma balança mede o peso relativo, dando a massa gravitacional relativa de cada objeto.

Massa inercial

A massa era tradicionalmente considerada uma medida da quantidade de matéria em um corpo físico, igual à "quantidade de matéria" em um objeto. Por exemplo, Barre' de Saint-Venant argumentou em 1851 que todo objeto contém um número de "pontos" (basicamente, partículas elementares intercambiáveis), e essa massa é proporcional ao número de pontos que o objeto contém. (Na prática, essa definição de "quantidade de matéria" é adequada para a maior parte da mecânica clássica e, às vezes, permanece em uso na educação básica, se a prioridade for ensinar a diferença entre massa e peso.) #34;quantidade de matéria" Essa crença foi contrariada pelo fato de que átomos diferentes (e, mais tarde, diferentes partículas elementares) podem ter massas diferentes, e foi ainda mais contrariada pela teoria da relatividade de Einstein (1905), que mostrou que a massa mensurável de um objeto aumenta quando a energia é adicionada a ela (por exemplo, aumentando sua temperatura ou forçando-a para perto de um objeto que a repele eletricamente). quantidade de matéria em um objeto".

Massímetro, um dispositivo para medir a massa inercial de um astronauta em peso. A massa é calculada através do período de oscilação para uma primavera com o astronauta anexado (Museu Estadual de Tsiolkovsky da História da Cosmonautics).

Massa inercial é a massa de um objeto medida por sua resistência à aceleração. Essa definição foi defendida por Ernst Mach e desde então foi desenvolvida na noção de operacionalismo por Percy W. Bridgman. A simples definição de massa da mecânica clássica difere ligeiramente da definição da teoria da relatividade especial, mas o significado essencial é o mesmo.

Na mecânica clássica, de acordo com a segunda lei de Newton, dizemos que um corpo tem massa m se, em qualquer instante de tempo, ele obedece à equação do movimento

F= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =mum,{displaystyle mathbf {F} =mmathbf {a}}

onde F é a força resultante que age sobre o corpo e a é a aceleração do centro de massa do corpo. Por enquanto, deixaremos de lado a questão de qual "força atuando sobre o corpo" realmente significa.

Esta equação ilustra como a massa se relaciona com a inércia de um corpo. Considere dois objetos com massas diferentes. Se aplicarmos uma força idêntica a cada um, o objeto com maior massa experimentará uma aceleração menor, e o objeto com menor massa experimentará uma aceleração maior. Podemos dizer que a massa maior exerce uma maior "resistência" para mudar seu estado de movimento em resposta à força.

No entanto, essa noção de aplicar "idêntico" forças a diferentes objetos nos traz de volta ao fato de que não definimos realmente o que é uma força. Podemos contornar essa dificuldade com a ajuda da terceira lei de Newton, que afirma que se um objeto exercer uma força sobre um segundo objeto, ele experimentará uma força igual e oposta. Para ser preciso, suponha que temos dois objetos de massas inerciais constantes m₁ e m₂. Isolamos os dois objetos de todas as outras influências físicas, de modo que as únicas forças presentes sejam a força exercida em m₁ por m ₂, que denotamos F₁₂, e a força exercida sobre m₂ por m₁, que denotamos F₂₁. A segunda lei de Newton afirma que

F12= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =m1um1,F21= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =m2um2,{displaystyle {begin{aligned}mathbf {F_{12}} &=m_{1}mathbf {a} _{1},mathbf {F_{21}} &=m_{2}mathbf {a} _{2},end{aligned}}}

onde a₁ e a₂ são as acelerações de m₁ e m₂, respectivamente. Suponha que essas acelerações sejam diferentes de zero, de modo que as forças entre os dois objetos sejam diferentes de zero. Isso ocorre, por exemplo, se os dois objetos estiverem em processo de colisão um com o outro. A terceira lei de Newton então afirma que

F12= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =- Sim. - Sim. F21;{displaystyle mathbf] {F} _{12}=-mathbf {F} _{21};}

e assim

m1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =m2|um2||um1|.Não. m_{1}=m_{2}{frac {|mathbf {a} _{2}|{|mathbf {a} _{1}|}}!.}

Se |a₁| é diferente de zero, a fração é bem definida, o que nos permite medir a massa inercial de m₁. Neste caso, m₂ é nossa "referência" objeto, e podemos definir sua massa m como (digamos) 1 quilograma. Então podemos medir a massa de qualquer outro objeto no universo colidindo-o com o objeto de referência e medindo as acelerações.

Além disso, a massa relaciona o momento de um corpo p à sua velocidade linear v:

p= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =mv{displaystyle mathbf {p} =mmathbf {v} } },

e a energia cinética do corpo K à sua velocidade:

KK= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =12m|v|2- Sim. {1}{2}}m|mathbf {v} |^{2}}.

A principal dificuldade com a definição de massa de Mach é que ela não leva em conta a energia potencial (ou energia de ligação) necessária para trazer duas massas suficientemente próximas uma da outra para realizar a medição da massa. Isso é demonstrado de forma mais vívida comparando a massa do próton no núcleo do deutério com a massa do próton no espaço livre (que é maior em cerca de 0,239% - isso se deve à energia de ligação do deutério). Assim, por exemplo, se o peso de referência m₂ for considerado a massa do nêutron no espaço livre e as acelerações relativas do próton e do nêutron no deutério forem calculado, então a fórmula acima superestima a massa m₁ (em 0,239%) para o próton no deutério. Na melhor das hipóteses, a fórmula de Mach só pode ser usada para obter proporções de massas, ou seja, como m₁ / m₂ = |a₂ | / |a₁|. Uma dificuldade adicional foi apontada por Henri Poincaré, que é que a medição da aceleração instantânea é impossível: ao contrário da medição do tempo ou da distância, não há como medir a aceleração com uma única medição; deve-se fazer várias medições (de posição, tempo, etc.) e realizar um cálculo para obter a aceleração. Poincaré chamou isso de uma "falha intransponível" na definição Mach de massa.

Massas atômicas

Normalmente, a massa dos objetos é medida em termos de quilograma, que desde 2019 é definido em termos de constantes fundamentais da natureza. A massa de um átomo ou outra partícula pode ser comparada de forma mais precisa e conveniente com a de outro átomo, e assim os cientistas desenvolveram o dalton (também conhecido como unidade unificada de massa atômica). Por definição, 1 Da (um dalton) é exatamente um doze avos da massa de um átomo de carbono-12 e, portanto, um átomo de carbono-12 tem uma massa de exatamente 12 Da.

Na relatividade

Relatividade especial

Em algumas estruturas da relatividade especial, os físicos usaram diferentes definições do termo. Nessas estruturas, dois tipos de massa são definidos: massa de repouso (massa invariante) e massa relativística (que aumenta com a velocidade). A massa de repouso é a massa newtoniana medida por um observador que se move junto com o objeto. Massa relativística é a quantidade total de energia em um corpo ou sistema dividida por c². Os dois estão relacionados pela seguinte equação:

mReEu...um)Eu...ve= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =γ γ (mReS))(m_{mathrm {relative} }=gamma (m_{mathrm {rest} })!}

Onde? γ γ - Sim. é o fator Lorentz:

γ γ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =11- Sim. - Sim. v2/c2{displaystyle gamma ={frac {1}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}

A massa invariante dos sistemas é a mesma para observadores em todos os referenciais inerciais, enquanto a massa relativística depende do referencial do observador. Para formular as equações da física de modo que os valores de massa não mudem entre os observadores, é conveniente usar a massa em repouso. A massa de repouso de um corpo também está relacionada à sua energia E e à magnitude de seu momento p pela equação relativística energia-momento:

(mReS))c2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =E)o)umEu...2- Sim. - Sim. (|p|c)2.(m_{mathrm {rest} })c^{2}={sqrt {E_{mathrm {total} }^{2}-(|mathbf {p} |c)^{2}}}.!}

Desde que o sistema seja fechado em relação à massa e à energia, ambos os tipos de massa são conservados em qualquer referencial. A conservação da massa se mantém mesmo quando alguns tipos de partículas são convertidos em outros. Partículas de matéria (como átomos) podem ser convertidas em partículas não-matérias (como fótons de luz), mas isso não afeta a quantidade total de massa ou energia. Embora coisas como o calor possam não ser matéria, todos os tipos de energia continuam a exibir massa. Assim, massa e energia não se transformam uma na outra na relatividade; ao contrário, ambos são nomes para a mesma coisa, e nem massa nem energia aparecem sem a outra.

Tanto a massa em repouso quanto a massa relativística podem ser expressas como uma energia aplicando a conhecida relação E = mc2, resultando em energia de repouso e "energia relativística" (energia total do sistema), respectivamente:

EReS)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(mReS))c2E_{mathrm {rest} }=(m_{mathrm {rest} })c^{2}!}

E)o)umEu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(mReEu...um)Eu...ve)c2E_{mathrm {total} }=(m_{mathrm {relative} })c^{2}!}

A "relativística" os conceitos de massa e energia estão relacionados ao seu "repouso" contrapartes, mas elas não têm o mesmo valor que suas contrapartes em repouso em sistemas onde há um momento líquido. Como a massa relativística é proporcional à energia, ela caiu gradualmente em desuso entre os físicos. Há desacordo sobre se o conceito permanece útil pedagogicamente.

Em sistemas ligados, a energia de ligação geralmente deve ser subtraída da massa do sistema não ligado, porque a energia de ligação geralmente deixa o sistema no momento em que é ligado. A massa do sistema muda neste processo simplesmente porque o sistema não foi fechado durante o processo de ligação, então a energia escapou. Por exemplo, a energia de ligação dos núcleos atômicos é frequentemente perdida na forma de raios gama quando os núcleos são formados, deixando nuclídeos que têm menos massa do que as partículas livres (nucleons) de que são compostos.

A equivalência massa-energia também ocorre em sistemas macroscópicos. Por exemplo, se alguém pegar exatamente um quilograma de gelo e aplicar calor, a massa da água derretida resultante será superior a um quilograma: incluirá a massa da energia térmica (calor latente) usada para derreter o gelo; isso decorre da conservação da energia. Esse número é pequeno, mas não desprezível: cerca de 3,7 nanogramas. É dado pelo calor latente do gelo derretido (334 kJ/kg) dividido pela velocidade da luz ao quadrado (c² ≈ 9×10¹⁶ m²/s²).

Relatividade geral

Na relatividade geral, o princípio da equivalência é a equivalência da massa gravitacional e inercial. No cerne dessa afirmação está a ideia de Albert Einstein de que a força gravitacional experimentada localmente enquanto se está sobre um corpo massivo (como a Terra) é a mesma que a pseudoforça experimentada por um observador em um referencial não inercial (ou seja, acelerado).

No entanto, é impossível encontrar uma definição geral objetiva para o conceito de massa invariante na relatividade geral. No cerne do problema está a não linearidade das equações de campo de Einstein, tornando impossível escrever a energia do campo gravitacional como parte do tensor tensão-energia de uma forma que seja invariante para todos os observadores. Para um determinado observador, isso pode ser alcançado pelo pseudotensor tensão-energia-momento.

Na física quântica

Na mecânica clássica, a massa inerte de uma partícula aparece na equação de Euler-Lagrange como um parâmetro m:

DD)(∂ ∂ L∂ ∂ x:: Eu...)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =mx" " Eu....{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}left(,{frac {partial L}{partial {dot {x}}_{i}}},right) = M, {x}}_{i}.}

Após a quantização, substituindo o vetor posição x por uma função de onda, o parâmetro m aparece no operador de energia cinética:

Eu...? ? ∂ ∂ ∂ ∂ )Telecomunicações Telecomunicações (R,))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(- Sim. - Sim. ? ? 22m? ? 2+V(R))Telecomunicações Telecomunicações (R,)).{displaystyle ihbar {frac {partial }{partial t}}Psi (mathbf {r},t)=left(-{frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2}+V(mathbf {r})right)Psi (mathbf {r},t). ?

Na equação de Dirac ostensivamente covariante (relativamente invariante), e em unidades naturais, isso se torna:

(- Sim. - Sim. Eu...γ γ μ μ ∂ ∂ μ μ +m)? ? = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =0(em inglês) }partial _{mu }+m)psi =0}

onde a "massa" o parâmetro m agora é simplesmente uma constante associada ao quantum descrito pela função de onda ψ.

No Modelo Padrão da física de partículas como desenvolvido na década de 1960, este termo surge do acoplamento do campo Ψ a um campo adicional Φ, o campo Higgs. No caso de fermions, o mecanismo de Higgs resulta na substituição do termo mΨ in the Lagrangian with G? ? ? ? ? ? φ φ ? ? G_{psi }, *overline {psi }}phi psi }. Isso muda o explanandum do valor para a massa de cada partícula elementar ao valor da constante de acoplamento desconhecido G_?.

Partículas taquiônicas e massa imaginária (complexa)

Um campo taquiônico, ou simplesmente táquion, é um campo quântico com uma massa imaginária. Embora os táquions (partículas que se movem mais rápido que a luz) sejam um conceito puramente hipotético que geralmente não existe, os campos com massa imaginária passaram a desempenhar um papel importante na física moderna e são discutidos em livros populares de física. Sob nenhuma circunstância qualquer excitação se propaga mais rápido que a luz em tais teorias - a presença ou ausência de uma massa taquiônica não tem nenhum efeito sobre a velocidade máxima dos sinais (não há violação de causalidade). Enquanto o campo pode ter massa imaginária, quaisquer partículas físicas não; a "massa imaginária" mostra que o sistema se torna instável e elimina a instabilidade passando por um tipo de transição de fase chamada condensação de táquions (estreitamente relacionada às transições de fase de segunda ordem) que resulta em quebra de simetria nos modelos atuais de física de partículas.

O termo "tachyon" foi cunhado por Gerald Feinberg em um artigo de 1967, mas logo percebeu-se que o modelo de Feinberg na verdade não permitia velocidades superluminais. Em vez disso, a massa imaginária cria uma instabilidade na configuração: qualquer configuração na qual uma ou mais excitações de campo são taquiônicas decairá espontaneamente e a configuração resultante não contém táquions físicos. Este processo é conhecido como condensação de táquions. Exemplos bem conhecidos incluem a condensação do bóson de Higgs na física de partículas e o ferromagnetismo na física da matéria condensada.

Embora a noção de uma massa imaginária taquiônica possa parecer problemática porque não há interpretação clássica de uma massa imaginária, a massa não é quantizada. Em vez disso, o campo escalar é; mesmo para campos quânticos taquiônicos, os operadores de campo em pontos separados como espaço ainda comutam (ou anticomutam), preservando assim a causalidade. Portanto, as informações ainda não se propagam mais rápido que a luz e as soluções crescem exponencialmente, mas não superluminalmente (não há violação da causalidade). A condensação de táquions leva um sistema físico que atingiu um limite local e pode ingenuamente esperar que produza táquions físicos, para um estado estável alternativo onde não existem táquions físicos. Uma vez que o campo taquiônico atinge o mínimo do potencial, seus quanta não são mais táquions, mas sim partículas comuns com um quadrado positivo de massa.

Este é um caso especial da regra geral, onde partículas massivas instáveis são formalmente descritas como tendo uma massa complexa, com a parte real sendo sua massa no sentido usual, e a parte imaginária sendo a taxa de decaimento em unidades naturais. No entanto, na teoria quântica de campos, uma partícula (um "estado de uma partícula") é aproximadamente definida como um estado que é constante ao longo do tempo; ou seja, um autovalor do hamiltoniano. Uma partícula instável é um estado que é apenas aproximadamente constante ao longo do tempo; Se existir por tempo suficiente para ser medido, pode ser formalmente descrito como tendo uma massa complexa, com a parte real da massa maior que sua parte imaginária. Se ambas as partes tiverem a mesma magnitude, isso é interpretado como uma ressonância aparecendo em um processo de espalhamento em vez de uma partícula, pois é considerado que não existe o suficiente para ser medido independentemente do processo de espalhamento. No caso de um táquion, a parte real da massa é zero e, portanto, nenhum conceito de partícula pode ser atribuído a ele.

Em uma teoria invariante de Lorentz, as mesmas fórmulas que se aplicam às partículas comuns mais lentas que a luz (às vezes chamadas de "bradions" nas discussões sobre táquions) também devem se aplicar aos táquions. Em particular, a relação energia-momento:

E2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =p2c2+m2c4Não. E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4};}

(onde p é o momento relativístico do bradyon e m é sua massa de repouso) ainda deve ser aplicado, juntamente com a fórmula para a energia total de uma partícula:

E= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =mc21- Sim. - Sim. v2c2.{displaystyle E={frac {mc^{2}}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}}}

Esta equação mostra que a energia total de uma partícula (bradyon ou tachyon) contém uma contribuição de sua massa de repouso (a "massa-energia de repouso") e uma contribuição de seu movimento, a energia cinética. Quando v é maior que c, o denominador na equação para a energia é "imaginário", pois o valor sob o radical é negativo. Como a energia total deve ser real, o numerador deve também ser imaginário: ou seja, a massa restante m deve ser imaginária, pois um número imaginário puro dividido por outro número imaginário puro é um número real.