Mapeamento de contração

Em matemática, mapeamento de contraçãoou contração ou contratante, em um espaço métrico (M,D) é uma função f a partir de M para si mesmo, com a propriedade que há algum número real <math alttext="{displaystyle 0leq k0≤ ≤ k<1{displaystyle 0leq k<1}}<img alt="{displaystyle 0leq k tal que para todos x e Sim. em M,

D(f(x),f(Sim.))≤ ≤ kD(x,Sim.).(f(x),f(y)leq k,d(x,y). ?

O menor valor de k é chamado de constante de Lipschitz de f. Os mapas contrativos às vezes são chamados de mapas Lipschitzianos. Se a condição acima for satisfeita para k ≤ 1, então o mapeamento é considerado um mapa não expansivo.

Mais geralmente, a ideia de um mapeamento contrativo pode ser definida para mapas entre espaços métricos. Assim, se (M,D) eN,D ') são dois espaços métricos, então f:M→ → N{displaystyle f:Mrightarrow Não. é um mapeamento contrativo se houver uma constante <math alttext="{displaystyle 0leq k0≤ ≤ k<1{displaystyle 0leq k<1}}<img alt="{displaystyle 0leq k tal que

D?(f(x),f(Sim.))≤ ≤ kD(x,Sim.)(f(x),f(y)leq k,d(x,y)}

para todo x e y em M.

Todo mapeamento de contração é contínuo de Lipschitz e, portanto, uniformemente contínuo (para uma função contínua de Lipschitz, a constante k não é mais necessariamente menor que 1).

Um mapeamento de contração tem no máximo um ponto fixo. Além disso, o teorema do ponto fixo de Banach afirma que todo mapeamento de contração em um espaço métrico completo não vazio tem um único ponto fixo e que, para qualquer x em M, o iterado sequência de funções x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))),... converge para o ponto fixo. Este conceito é muito útil para sistemas de função iterados onde os mapeamentos de contração são frequentemente usados. O teorema do ponto fixo de Banach também é aplicado para provar a existência de soluções de equações diferenciais ordinárias e é usado em uma prova do teorema da função inversa.

Mapeamentos de contração desempenham um papel importante em problemas de programação dinâmica.

Mapeamento firmemente não expansivo

Um mapeamento não experimental com k= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1Não. pode ser generalizado para um mapeamento firmemente não experimental em um espaço de Hilbert H. H. H.{displaystyle {mathcal {H}}} se o seguinte for válido para todos x e Sim. em H. H. H.{displaystyle {mathcal {H}}}:

‖ ‖ f(x)- Sim. - Sim. f(Sim.)‖ ‖ 2≤ ≤ ⟨ ⟨ x- Sim. - Sim. Sim.,f(x)- Sim. - Sim. f(Sim.))) .{displaystyle |f(x)-f(y)|^{2}leq ,langle x-y,f(x)-f(y)rangle.}

onde

D(x,Sim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =‖ ‖ x- Sim. - Sim. Sim.‖ ‖ {displaystyle d(x,y)=|x-y|}.

Este é um caso especial de α α - Sim. operadores não-expansivos médios com α α = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1/2{displaystyle alpha =1/2}. Um mapeamento firmemente não-expansivo é sempre não-expansivo, através da desigualdade Cauchy-Schwarz.

A classe de mapas firmemente não-expansivos é fechada sob combinações convexas, mas não composições. Esta classe inclui mapeamentos proximais de funções convexas, inferiores semicontínuas, portanto também inclui projeções ortogonais em conjuntos convexos fechados não vazios. A classe de operadores firmemente não-expansivos é igual ao conjunto de resolventes de operadores maximally monotone. Surpreendentemente, enquanto iterando mapas não-expansivos não tem garantia de encontrar um ponto fixo (por exemplo, multiplicação por -1), a não-expansividade firme é suficiente para garantir a convergência global a um ponto fixo, desde que exista um ponto fixo. Mais precisamente, se Fixaçãof?(x∈ ∈ H. H. H.|f(x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x?≠ ≠ ∅ ∅ {displaystyle {text{Fix}}f:={xin {mathcal {H}} | f(x)=x}neq varnothing }, então para qualquer ponto inicial x0∈ ∈ H. H. H.{displaystyle x_{0}in {mathcal} (H), iterando

(Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas n∈ ∈ N)xn+1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(xn)(forall nin mathbb {N})quad x_{n+1}=f(x_{n})}

produz convergência para um ponto fixo xn→ → zangão.∈ ∈ Fixaçãof{displaystyle x_{n}to zin {text{Fix}}f}. Esta convergência pode ser fraca em um ambiente infinita-dimensional.

Mapa de subcontratação

Um mapa de subcontratação ou subcontratado é um mapa f em um espaço métrico (M,  d) tal que

D(f(x),f(Sim.))≤ ≤ D(x,Sim.);(f(x),f(y)leq d(x,y);}

<math alttext="{displaystyle d(f(f(x)),f(x))D(f(f(x)),f(x))<D(f(x),x)a menos quex= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(x).(f(x)),f(x))))<d(f(x),x)quad {text{unless}}quad x=f(x)}<img alt="{displaystyle d(f(f(x)),f(x))

Se a imagem de um subempreiteiro f é compacta, então f tem um ponto fixo.

Espaços localmente convexos

Em um espaço localmente convexo (E, P) com topologia dada por um conjunto P de seminormas, pode-se definir para qualquer p ∈ P uma p-contração como um mapa f tal que existe algum k_p < 1 tal que p(f(x) − f(y)) ≤ k_p p(x − y). Se f é uma contração p para todo p ∈ P e (E, P) é sequencialmente completo, então f tem um ponto fixo, dado como limite de qualquer sequência x_n+1 = f(x_n), e se ( E, P) é Hausdorff, então o ponto fixo é único.