Mapa bilinear

Em matemática, um mapa bilinear é uma função que combina elementos de dois espaços vetoriais para produzir um elemento de um terceiro espaço vetorial e é linear em cada um de seus argumentos. A multiplicação de matrizes é um exemplo.

Definição

Espaços vetoriais

Vamos. V,W- Sim. e X- Sim. ser três espaços vetoriais sobre o mesmo campo base FNão.. Um mapa bilinear é uma função

B:V× × W→ → X{displaystyle B:Vtimes Wto X}

O quê?∈ ∈ W- Sim.

BO quê?Não. B_{w}}

v↦ ↦ B(v,O quê?)(v,w)}

VNão.

X,Não. X,

v∈ ∈ V{displaystyle vin V}

BvNão. B_{v}}

O quê?↦ ↦ B(v,O quê?)(v,w)}

WNão. W.

X.Sim.

Tal mapa BNão. satisfaz as seguintes propriedades.

• Para qualquer λ λ ∈ ∈ F{displaystyle lambda in F}, B(λ λ v,O quê?)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =B(v,λ λ O quê?)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =λ λ B(v,O quê?).{displaystyle B(lambda v,w)=B(v,lambda w)=lambda B(v,w). ?
• O mapa BNão. é aditivo em ambos os componentes: se v1,v2∈ ∈ VNão. v_{1},v_{2}in V} e O quê?1,O quê?2∈ ∈ W,Não. w_{1},w_{2}in W, então B(v1+v2,O quê?)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =B(v1,O quê?)+B(v2,O quê?)(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)} e B(v,O quê?1+O quê?2)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =B(v,O quê?1)+B(v,O quê?2).(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1})+B(v,w_{2}). ?

Se V= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =WNão. V=W nós temos B(v, O quê?) = B(O quê?, v) para todos v,O quê?∈ ∈ V,{displaystyle v,win V,} então dizemos que B o simétrica. Se X é o campo base F, então o mapa é chamado de forma bilinear, que são bem estudados (por exemplo: produto escalar, produto interno e forma quadrática).

Módulos

A definição funciona sem nenhuma alteração se, em vez de espaços vetoriais sobre um corpo F, usarmos módulos sobre um anel comutativo R. Ele generaliza para funções n-árias, onde o termo apropriado é multilinear.

Para anéis não comutativos R e S, um módulo R esquerdo M e um direito S-módulo N, um mapa bilinear é um mapa B: M × N → T com T e (R, S)-bimodule, e para o qual qualquer n em N, m ↦ B(m, n) é um homomorfismo de módulo R, e para qualquer m em M, n ↦ B(m , n) é um homomorfismo de módulo S. Isso satisfaz

B(R) m, n) = R) B(m, n)

B(m, n) S) = B(m, n⋅) S

para todo m em M, n em N, r em R e s em S, assim como B sendo aditivo em cada argumento.

Propriedades

Uma consequência imediata da definição é que B(v, w) = 0_X sempre que v = 0_V ou w = 0_W. Isso pode ser visto escrevendo o vetor zero 0_V como 0 ⋅ 0_V (e similarmente para 0_W) e movendo o escalar 0 "para fora", na frente de B, por linearidade.

O conjunto L(V, W; X) de todos os mapas bilineares é um subespaço linear do espaço (ou seja, espaço vetorial, módulo) de todos os mapas de V × W em X.

Se V, W, X são finito-dimensional, então assim é L(V, W; X). Para X= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =F,- Sim. isto é, formas bilineares, a dimensão deste espaço é Não. V × W (enquanto o espaço L(V × W; F) de linear linear linear formas de dimensão Não. V + dim W). Para ver isso, escolha uma base para V e W; então cada mapa bilinear pode ser representado exclusivamente pela matriz B(e_Eu..., f_JJ)e vice-versa. Agora, se X é um espaço de maior dimensão, obviamente temos Não. L(V, W; X) = dim V × W × X.

Exemplos

• Matriz multiplicação é um mapa bilinear M.m, n) × M(n, p) → M(m, p).
• Se um espaço vetorial V sobre os números reais R{displaystyle mathbb {R} } } carrega um produto interno, então o produto interno é um mapa bilinear V× × V→ → R.Não. Vtimes Vto mathbb {R}.} O espaço vetorial do produto tem uma dimensão.
• Em geral, para um espaço vetorial V sobre um campo F, uma forma bilinear em V é o mesmo que um mapa bilinear V × V → F.
• Se V é um espaço vetorial com espaço duplo V^∗, então o operador de aplicação, b)(f, v) = f(v) é um mapa bilinear de V^∗ × V para o campo base.
• Vamos. V e W ser espaços vetoriais sobre o mesmo campo base F. Se f é um membro de V^∗ e g um membro de W^∗, então b)(v, O quê?) = f(v)g(O quê?) define um mapa bilinear V × W → F.
• O produto cruzado em R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}} é um mapa bilinear R3× × R3→ → R3.{displaystyle mathbb {R} ^{3}times mathbb {R} ^{3}to mathbb {R} ^{3}.}
• Vamos. B:V× × W→ → X{displaystyle B:Vtimes Wto X} ser um mapa bilinear, e L:U→ → W- Sim. ser um mapa linear, então (v, u) B(v, Lu) é um mapa bilinear sobre V × U.

Continuidade e continuidade separada

Suponha X,Y,eZ.Não. X,Y,{text{ e }}Z} são espaços vetoriais topológicos e deixam b):X× × Y→ → Z.{displaystyle b:Xtimes Yto Z} ser um mapa bilinear. Então... b) é dito para ser separadamente contínuo se as duas condições seguintes forem mantidas:

1. para todos x∈ ∈ X,{displaystyle xin X,} o mapa Y→ → Z.Não. Sim. por Sim.↦ ↦ b)(x,Sim.)(x,y)} é contínuo;
2. para todos Sim.∈ ∈ Y,{displaystyle yin Y,} o mapa X→ → Z.Não. Xto Z} por x↦ ↦ b)(x,Sim.)(x,y)} é contínuo.

Muitos bilineares separadamente contínuos que não são contínuos satisfazem uma propriedade adicional: hipocontinuidade. Todos os mapas bilineares contínuos são hipocontínuos.

Condições suficientes para continuidade

Muitos mapas bilineares que ocorrem na prática são separadamente contínuos, mas nem todos são contínuos. Listamos aqui condições suficientes para que uma bilinear contínua separadamente seja contínua.

• Se X é um espaço de Baire e Y é metrizável então cada mapa bilinear contínuo separadamente b):X× × Y→ → Z.{displaystyle b:Xtimes Yto Z} é contínuo.
• Se X,Y,eZ.Não. X,Y,{text{ e }}Z} são as fortes duplas de espaços Fréchet, em seguida, cada mapa bilinear contínuo separadamente b):X× × Y→ → Z.{displaystyle b:Xtimes Yto Z} é contínuo.
• Se um mapa bilinear é contínuo em (0, 0) então é contínuo em todos os lugares.

Mapa de composição

Vamos. X,Y,eZ.Não. X,Y,{text{ e }}Z} ser localmente convex espaços Hausdorff e deixar C:L(X;Y)× × L(Y;Z.)→ → L(X;Z.){displaystyle C:L(X;Y)times L(Y;Z)to L(X;Z)} ser o mapa de composição definido por C(u,v)?v∘ ∘ u.{displaystyle C(u,v):=vcirc u.} Em geral, o mapa bilinear CNão. C. não é contínuo (não importa quais topologias os espaços de mapas lineares são dados). No entanto, temos os seguintes resultados:

Dê a todos os três espaços de mapas lineares uma das seguintes topologias:

1. dar a todos os três a topologia da convergência limitada;
2. dar a todos os três a topologia da convergência compacta;
3. dar a todos os três a topologia da convergência pontual.

• Se ENão. é um subconjunto equitativo de L(Y;Z.)(Y;Z)} então a restrição C|L(X;Y)× × E:L(X;Y)× × E→ → L(X;Z.)Não. C{big vert }_{L(X;Y)times E}:L(X;Y)times Eto L(X;Z)} é contínuo para todas as três topologias.
• Se YNão. Sim. é um espaço barrilado então para cada sequência (uEu...)Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1∞ ∞ {displaystyle left(u_{i}right)_{i=1}^{infty }} convergir para uNão. em L(X;Y){displaystyle L(X;Y)} e cada sequência (vEu...)Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1∞ ∞ {displaystyle left(v_{i}right)_{i=1}^{infty }} convergir para vNão. em L(Y;Z.),(Y;Z),} a sequência (vEu...∘ ∘ uEu...)Eu...= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1∞ ∞ {displaystyle left(v_{i}circ) u_{i}right)_{i=1}^{infty }} converge para v∘ ∘ uNão. em L(Y;Z.).{displaystyle L(Y;Z). ?