Logaritmo

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Inverso da função exponencial

Lote de funções de logaritmo, com três bases comumente usadas. Os pontos especiais

log b) b) = 1

são indicados por linhas pontilhadas, e todas as curvas intersect in

log b) 1 = 0

Na matemática, o logaritmo é a função inversa da exponenciação. Isso significa o logaritmo de um número $x$ para o estilo base $b$ é o expoente ao qual $b$ deve ser elevado, para produzir $x$ . Por exemplo, como $1000 = 10 3$ , a base logarítmica 10 de $1000$ é $3$ , ou $log 10 (1000) = 3$ . O logaritmo de $x$ para base $b$ é denotado como $log b (x)$ , ou sem parênteses, $log b x$ , ou mesmo sem a base explícita, $log x$ , quando nenhuma confusão é possível ou quando a base não importa, como na notação O grande.

A base do logaritmo $10$ é chamada de decimal ou logaritmo comum e é comumente usada em ciência e engenharia. O logaritmo natural tem como base o número e ≈ 2,718; seu uso é muito difundido na matemática e na física, por causa de sua derivada muito simples. O logaritmo binário usa base $2$ e é freqüentemente usado em ciência da computação.

Os logaritmos foram introduzidos por John Napier em 1614 como um meio de simplificar os cálculos. Eles foram rapidamente adotados por navegadores, cientistas, engenheiros, agrimensores e outros para realizar cálculos de alta precisão com mais facilidade. Usando tabelas de logaritmos, etapas tediosas de multiplicação de vários dígitos podem ser substituídas por pesquisas de tabela e adição mais simples. Isso é possível porque o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos dos fatores:

{displaystyle log _{b}(xy)=log _{b}x+log _{b}y,}

desde que $b$ , $x$ e $y$ são todos positivos e $b \neq 1$ . A régua de cálculo, também baseada em logaritmos, permite cálculos rápidos sem tabelas, mas com menor precisão. A noção atual de logaritmos vem de Leonhard Euler, que os conectou à função exponencial no século 18 e que também introduziu a letra $e$ como a base dos logaritmos naturais.

As escalas logarítmicas reduzem quantidades amplas para escopos menores. Por exemplo, o decibel (dB) é uma unidade usada para expressar razão como logaritmos, principalmente para potência e amplitude do sinal (da qual a pressão sonora é um exemplo comum). Em química, o pH é uma medida logarítmica para a acidez de uma solução aquosa. Os logaritmos são comuns em fórmulas científicas e em medições da complexidade de algoritmos e de objetos geométricos chamados fractais. Eles ajudam a descrever proporções de frequência de intervalos musicais, aparecem em fórmulas que contam números primos ou aproximam fatoriais, informam alguns modelos em psicofísica e podem auxiliar na contabilidade forense.

O conceito de logaritmo como o inverso da exponenciação também se estende a outras estruturas matemáticas. No entanto, em configurações gerais, o logaritmo tende a ser uma função de vários valores. Por exemplo, o logaritmo complexo é o inverso multivalorado da função exponencial complexa. Da mesma forma, o logaritmo discreto é o inverso multivalorado da função exponencial em grupos finitos; tem usos em criptografia de chave pública.

Motivação

O gráfico da base de logaritmo 2 cruza o eixo x em

x = 1

e passa através dos pontos (2, 1), (4, 2)e (8, 3), representando, por exemplo,

log 2 8) = 3

23 = 8

. O gráfico fica arbitrariamente perto do

Sim.

-axis, mas não o conhece.

Adição, multiplicação e exponenciação são três das operações aritméticas mais fundamentais. O inverso da adição é a subtração, e o inverso da multiplicação é a divisão. Da mesma forma, um logaritmo é a operação inversa da exponenciação. Exponenciação é quando um número $b$ , a base, é elevado a uma certa potência $y$ , o expoente, para fornecer um valor $x$ ; isso é denotado

{displaystyle b^{y}=x.}

Por exemplo, aumentando $2$ ao poder de $3$ dá $8$ : $2^{3}=8$

O logaritmo da base $b)$ é a operação inversa, que fornece a saída $Sim.$ da entrada $x$ . Isso é, ${displaystyle y=log _{b}x}$ é equivalente a ${displaystyle x=b^{y}}$ se $b)$ é um número real positivo. (Se $b)$ não é um número real positivo, tanto exponencial quanto logaritmo pode ser definido, mas pode levar vários valores, o que torna as definições muito mais complicadas.)

Uma das principais motivações históricas da introdução dos logaritmos é a fórmula

{displaystyle log _{b}(xy)=log _{b}x+log _{b}y,}

que permitia (antes da invenção dos computadores) reduzir o cálculo de multiplicações e divisões para adições, subtrações e tabelas de logaritmos.

Definição

Dado um número real positivo $b)$ tal que $b) \neq 1$ , o - Não. de um número real positivo $x$ com respeito à base $b)$ é o expoente pelo qual $b)$ devem ser criados para produzir $x$ . Em outras palavras, o logaritmo de $x$ para a base $b)$ é o número real único $Sim.$ tal que $b^{y}=x$ .

O logaritmo é indicado por " $log b x$ " (pronunciado como "o logaritmo de $x$ para base $b$ ", "o base- $b$ logaritmo de $x$ ", ou mais comumente "o log, base $b$ , de $x$ ").

Uma definição equivalente e mais sucinta é que a função $log b)$ é a função inversa para a função ${displaystyle xmapsto b^{x}}$ .

Exemplos

$log 2 16 = 4$ , desde $24 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ .
Os logaritmos também podem ser negativos: ${textstyle log _{2}!{frac {1}{2}}=-1}$ desde então ${textstyle 2^{-1}={frac {1}{2^{1}}}={frac {1}{2}}.}$
$log 10. 150$ é aproximadamente 2.176, que fica entre 2 e 3, assim como 150 mentiras entre $10. 2 = 100$ e $10. 3 = 1000$ .
Para qualquer base $b)$ , $log b) b) = 1$ e $log b) 1 = 0$ , desde $b) 1 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = b)$ e $b) 0 = 1$ , respectivamente.

Identidades logarítmicas

Várias fórmulas importantes, às vezes chamadas de identidades logarítmicas ou leis logarítmicas, relacionam logaritmos entre si.

Produto, quociente, potência e raiz

O logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos dos números que estão sendo multiplicados; o logaritmo da relação de dois números é a diferença dos logaritmos. O logaritmo do $p$ -o poder de um número é $p$ o logaritmo do próprio número; o logaritmo de um $p$ -a raiz é o logaritmo do número dividido por $p$ . A tabela a seguir lista essas identidades com exemplos. Cada uma das identidades pode ser derivada após a substituição das definições de logaritmo ${displaystyle x=b^{,log _{b}x}}$ ou ${displaystyle y=b^{,log _{b}y}}$ nos lados esquerdos.

	Fórmula	Exemplo
Produto	${textstyle log _{b}(xy)=log _{b}x+log _{b}y}$	${textstyle log _{3}243=log _{3}(9cdot 27)=log _{3}9+log _{3}27=2+3=5}$
Quantidade	${textstyle log _{b}!{frac {x}{y}}=log _{b}x-log _{b}y}$	${textstyle log _{2}16=log _{2}!{frac {64}{4}}=log _{2}64-log _{2}4=6-2=4}$
Poder	${textstyle log _{b}left(x^{p}right)=plog _{b}x}$	${textstyle log _{2}64=log _{2}left(2^{6}right)=6log _{2}2=6}$
Raiz	${textstyle log _{b}{sqrt[{p}]{x}}={frac {log _{b}x}{p}}}$	${textstyle log _{10}{sqrt {1000}}={frac {1}{2}}log _{10}1000={frac {3}{2}}=1.5}$

Mudança de base

O logaritmo $log b x$ pode ser calculado a partir dos logaritmos de $x$ e $b$ em relação a uma base arbitrária $k$ usando a seguinte fórmula:

{displaystyle log _{b}x={frac {log _{k}x}{log _{k}b}}.,}

As calculadoras científicas típicas calculam os logaritmos nas bases 10 e $e$ . Logaritmos em relação a qualquer base $b$ podem ser determinados usando qualquer um destes dois logaritmos pela fórmula anterior:

{displaystyle log _{b}x={frac {log _{10}x}{log _{10}b}}={frac {log _{e}x}{log _{e}b}}.}

Dado um número $x$ e seu logaritmo $y = log b x$ para uma base desconhecida $b$ , a base é dada por:

{displaystyle b=x^{frac {1}{y}},}

que pode ser visto de tomar a equação de definição ${displaystyle x=b^{,log _{b}x}=b^{y}}$ ao poder de ${displaystyle {tfrac {1}{y}}.}$

Bases particulares

Lote de logaritmo para bases 0.5, 2 e

e

Entre todas as escolhas para a base, três são particularmente comuns. Estes são $b = 10$ , $b = e$ (o irracional constante matemática ≈ 2,71828) e $b = 2$ (o logaritmo binário). Na análise matemática, a base logarítmica $e$ é difundida por causa das propriedades analíticas explicadas abaixo. Por outro lado, logaritmos base-10 (o logaritmo comum) são fáceis de usar para cálculos manuais no sistema de numeração decimal:

{displaystyle log _{10}(10x)=log _{10}10+log _{10}x=1+log _{10}x. }

Assim, $log 10 (x)$ está relacionado ao número de dígitos decimais de um inteiro positivo $x$ : o número de dígitos é o menor inteiro estritamente maior que $log 10 (x)$ . Por exemplo, $log 10 (1430)$ é aproximadamente 3,15. O próximo inteiro é 4, que é o número de dígitos de 1430. Tanto o logaritmo natural quanto o logaritmo binário são usados na teoria da informação, correspondendo ao uso de nats ou bits como unidades fundamentais de informação, respectivamente. Os logaritmos binários também são usados na ciência da computação, onde o sistema binário é onipresente; na teoria musical, onde uma proporção de altura de dois (a oitava) é onipresente e o número de centavos entre quaisquer duas alturas é o logaritmo binário, vezes 1200, de sua proporção (isto é, 100 centavos por semitom de temperamento igual); e na fotografia para medir valores de exposição, níveis de luz, tempos de exposição, aberturas e velocidades de filme em "paradas".

A tabela a seguir lista notações comuns para logaritmos para essas bases e os campos onde são usadas. Muitas disciplinas escrevem $log x$ em vez de $log b x$ , quando a base pretendida pode ser determinada a partir do contexto. A "notação ISO" a coluna lista as designações sugeridas pela Organização Internacional de Padronização (ISO 80000-2). Como a notação $log x$ foi usada para todas as três bases (ou quando a base é indeterminada ou imaterial), a base pretendida deve frequentemente ser inferida com base no contexto ou na disciplina. Em ciência da computação, $log$ geralmente se refere a $log 2$ , e em matemática $log$ geralmente se refere a $log e$ . Em outros contextos, $log$ geralmente significa $log 10$ .

Base $b)$	Nome do registo_b)x	Notação ISO	Outras notações	Usado em
2	logaritm binário	$Ib. x$	$I. x$ , $log x$ , $Ig x$ , $log 2 x$	ciência da computação, teoria da informação, bioinformática, teoria da música, fotografia
$e$	logaritm natural	$I x$	$log x$ (em matemática e muitas linguagens de programação), $log e x$	matemática, física, química, estatísticas, economia, teoria da informação e engenharia
10.	logaritm comum	$Ig x$	$log x$ , $log 10. x$ (em engenharia, biologia, astronomia)	vários campos de engenharia (ver decibel e ver abaixo), tabelas de logaritmo, calculadoras portáteis, espectroscopia
$b)$	logaritmo para base $b)$	$log b) x$		matemática

História

A história dos logaritmos na Europa do século XVII é a descoberta de uma nova função que estendeu o domínio da análise além do escopo dos métodos algébricos. O método dos logaritmos foi proposto publicamente por John Napier em 1614, em um livro intitulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descrição da Maravilhosa Regra dos Logaritmos). Antes da invenção de Napier, havia outras técnicas de escopos semelhantes, como a prostaférese ou o uso de tabelas de progressões, extensivamente desenvolvidas por Jost Bürgi por volta de 1600. Napier cunhou o termo para logaritmo no latim médio, ' 34;logaritmo," derivado do grego, significando literalmente, "número-razão" de logos "proporção, proporção, palavra" + arithmos "número".

O logaritmo comum de um número é o índice dessa potência de dez que é igual ao número. Falar de um número como exigindo tantos algarismos é uma alusão grosseira ao logaritmo comum, e foi referido por Arquimedes como a "ordem de um número". Os primeiros logaritmos reais eram métodos heurísticos para transformar a multiplicação em adição, facilitando assim a computação rápida. Alguns desses métodos usavam tabelas derivadas de identidades trigonométricas. Esses métodos são chamados de prostaférese.

Invenção da função agora conhecida como logaritmo natural começou como uma tentativa de realizar uma quadratura de uma hiperbola retangular por Grégoire de Saint-Vincent, um jesuíta belga residente em Praga. Arquimedes tinha escrito A Quadratura do Parabola no terceiro século a.C., mas uma quadratura para o hiperbola elude todos os esforços até que Saint-Vincent publicou seus resultados em 1647. A relação que o logaritmo fornece entre uma progressão geométrica em seu argumento e uma progressão aritmética de valores, levou A. A. de Sarasa a fazer a conexão da quadratura de Saint-Vincent e a tradição de logaritmos em prosthaphaeresis, levando ao termo " logaritmo hiperbólico", sinônimo de logaritmo natural. Logo a nova função foi apreciada por Christiaan Huygens, e James Gregory. A notação Log y foi adotada por Leibniz em 1675, e no ano seguinte ele a conectou à integral ${textstyle int {frac {dy}{y}}.}$

Antes de Euler desenvolver sua concepção moderna de logaritmos naturais complexos, Roger Cotes obteve um resultado quase equivalente quando mostrou em 1714 que

{displaystyle log(cos theta +isin theta)=itheta }

Tabelas de logaritmos, réguas de cálculo e aplicações históricas

O 1797 Enciclopédia Britannica explicação de logaritmos

Ao simplificar cálculos difíceis antes que calculadoras e computadores se tornassem disponíveis, os logaritmos contribuíram para o avanço da ciência, especialmente da astronomia. Eles foram fundamentais para os avanços na topografia, navegação celeste e outros domínios. Pierre-Simon Laplace chamou logaritmos

"...[a]n admirável artifice que, ao reduzir a alguns dias o trabalho de muitos meses, duplica a vida do astrônomo, e poupa-lhe os erros e o desgosto inseparável de longos cálculos."

Como a função $f (x) = b x$ é a função inversa de $log b x$ , foi chamado de antilogaritmo. Hoje em dia, essa função é mais comumente chamada de função exponencial.

Tabelas de registro

Uma ferramenta chave que permitiu o uso prático de logaritmos foi a tabela de logaritmos. A primeira dessas tabelas foi compilada por Henry Briggs em 1617, imediatamente após a invenção de Napier, mas com a inovação de usar 10 como base. Briggs' a primeira tabela continha os logaritmos comuns de todos os números inteiros no intervalo de 1 a 1000, com uma precisão de 14 dígitos. Posteriormente, foram escritas tabelas com escopo crescente. Essas tabelas listavam os valores de $log 10 x$ para qualquer número $x$ em um determinado intervalo, com uma certa precisão. Logaritmos de base 10 foram usados universalmente para computação, daí o nome logaritmo comum, uma vez que números que diferem por fatores de 10 têm logaritmos que diferem por números inteiros. O logaritmo comum de $x$ pode ser separado em uma parte inteira e uma parte fracionária, conhecida como característica e mantissa. As tabelas de logaritmos precisam incluir apenas a mantissa, pois a característica pode ser facilmente determinada contando os dígitos a partir do ponto decimal. A característica de $10 \cdot x$ é um mais a característica de $x$ , e suas mantissas são as mesmas. Assim, usando uma tabela de log de três dígitos, o logaritmo de 3542 é aproximado por

{displaystyle log _{10}3542=log _{10}(1000cdot 3.542)=3+log _{10}3.542approx 3+log _{10}3.54,}

Maior precisão pode ser obtida por interpolação:

{displaystyle log _{10}3542approx 3+log _{10}3.54+0.2(log _{10}3.55-log _{10}3.54),}

O valor de $10 x$ pode ser determinado por consulta reversa na mesma tabela, pois o logaritmo é uma função monotônica.

Cálculos

O produto e o quociente de dois números positivos $c$ e $d$ foram calculados rotineiramente como a soma e a diferença de seus logaritmos. O produto $cd$ ou quociente $c / d$ veio de procurar o antilogaritmo da soma ou diferença, através da mesma tabela:

{displaystyle cd=10^{,log _{10}c},10^{,log _{10}d}=10^{,log _{10}c,+,log _{10}d}}

{displaystyle {frac {c}{d}}=cd^{-1}=10^{,log _{10}c,-,log _{10}d}.}

Para cálculos manuais que exigem precisão apreciável, realizar as pesquisas dos dois logaritmos, calcular sua soma ou diferença e procurar o antilogaritmo é muito mais rápido do que realizar a multiplicação por métodos anteriores, como a prostaférese, que depende de identidades trigonométricas.

Cálculos de potências e raízes são reduzidos a multiplicações ou divisões e pesquisas por

{displaystyle c^{d}=left(10^{,log _{10}c}right)^{d}=10^{,dlog _{10}c}}

{displaystyle {sqrt[{d}]{c}}=c^{frac {1}{d}}=10^{{frac {1}{d}}log _{10}c}.}

Os cálculos trigonométricos eram facilitados por tabelas que continham os logaritmos comuns das funções trigonométricas.

Regras de apresentação

Outra aplicação crítica foi a régua de cálculo, um par de escalas divididas logaritmicamente usadas para cálculo. A escala logarítmica não deslizante, a regra de Gunter, foi inventada logo após a invenção de Napier. William Oughtred o aprimorou para criar a régua de cálculo - um par de escalas logarítmicas móveis uma em relação à outra. Os números são colocados em escalas móveis em distâncias proporcionais às diferenças entre seus logaritmos. Deslizar a escala superior apropriadamente equivale a adicionar logaritmos mecanicamente, conforme ilustrado aqui:

Representação esquemática de uma regra de slide. A partir de 2 na escala inferior, adicione a distância a 3 na escala superior para alcançar o produto 6. A regra do slide funciona porque é marcado tal que a distância de 1 a

x

é proporcional ao logaritmo de

x

Por exemplo, adicionar a distância de 1 a 2 na escala inferior à distância de 1 a 3 na escala superior produz um produto de 6, que é lido na parte inferior. A régua de cálculo foi uma ferramenta de cálculo essencial para engenheiros e cientistas até a década de 1970, pois permite, em detrimento da precisão, cálculos muito mais rápidos do que as técnicas baseadas em tabelas.

Propriedades analíticas

Um estudo mais profundo de logaritmos requer o conceito de uma função. Uma função é uma regra que, dado um número, produz outro número. Um exemplo é a função que produz a $x$ -ésima potência de $b$ de qualquer número real $x$ , onde o estilo base $b$ é um número fixo. Esta função é escrita como $f (x) = b x$ . Quando $b$ é positivo e diferente de 1, mostramos abaixo que $f$ é invertível quando considerado como uma função dos reais aos reais positivos.

Existência

Seja $b$ um número real positivo diferente de 1 e seja $f (x) = b x$ .

É um resultado padrão na análise real que qualquer função estritamente monotônica contínua é bijetiva entre seu domínio e alcance. Este fato segue do teorema do valor intermediário. Agora. $f$ é estritamente crescente (para $b) > 1$ ), ou estritamente diminuindo (para $0 < b) < 1$ ), é contínuo, tem domínio $mathbb {R}$ , e tem alcance $0}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">R>0{displaystyle mathbb {R} _{>0}}0}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/731b0a191e1eb70161af731d0d567b236457074f" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.011ex; height:2.509ex;"/>$ . Portanto, $f$ é uma bijeção de $mathbb {R}$ para $0}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">R>0{displaystyle mathbb {R} _{>0}}0}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/731b0a191e1eb70161af731d0d567b236457074f" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.011ex; height:2.509ex;"/>$ . Em outras palavras, para cada número real positivo $Sim.$ , há exatamente um número real $x$ tal que ${displaystyle b^{x}=y}$ .

Nós deixamos $0}to mathbb {R} }" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">logb):: R>0→ → R{displaystyle log _{b}colon mathbb {R} _{>0}to mathbb Não.0}to mathbb {R} }" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6e100b69edcf61555f7a41633c3c34c1a969a97" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.246ex; height:2.676ex;"/>$ denote o inverso de $f$ . Isso é, $log b) Sim.$ é o número real único $x$ tal que ${displaystyle b^{x}=y}$ . Esta função é chamada de base... $b)$ função de logaritm ou função logarítmica (ou simplesmente) - Não.).

Caracterização pela fórmula do produto

A função $log b x$ também pode ser essencialmente caracterizada pela fórmula do produto

{displaystyle log _{b}(xy)=log _{b}x+log _{b}y.}

Mais precisamente, o logaritmo para qualquer base $b > 1$ é a única função crescente f dos reais positivos aos reais satisfazendo $f (b) = 1$ e

f(xy)=f(x)+f(y).

Gráfico da função logarítmica

O gráfico da função logaritmo

log b) (x)

(azul) é obtido refletindo o gráfico da função

b) x

(vermelho) na linha diagonal (

x = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Sim.

Como discutido acima, a função $log b)$ é o inverso para a função exponencial ${displaystyle xmapsto b^{x}}$ . Portanto, seus gráficos correspondem uns aos outros ao trocar o $x$ - e o $Sim.$ -coordenadas (ou sobre a reflexão na linha diagonal $x = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Sim.$ ), como mostrado à direita: um ponto $(), u = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = b)))$ no gráfico de $f$ produz um ponto $(u,) = log b) u)$ no gráfico do logaritmo e vice-versa. Como consequência, $log b) (x)$ diverge ao infinito (se torna maior que qualquer número) se $x$ cresce ao infinito, desde que $b)$ é maior que um. Nesse caso, $log b) (x)$ é uma função crescente. Para $b) < 1$ , $log b) (x)$ tende a menos infinito. Quando $x$ aproxima-se de zero, $log b) x$ vai para menos infinito para $b) > 1$ (mais infinito) $b) < 1$ , respectivamente).

Derivada e antiderivada

O gráfico do logaritmo natural (verde) e seu tangente em

x = 1,5

(preto)

As propriedades analíticas das funções passam para seus inversos. Assim, como $f (x) = b x$ é uma função contínua e diferenciável, assim como $log b y$ . Grosso modo, uma função contínua é diferenciável se seu gráfico não tiver "cantos" agudos. Além disso, como a derivada de $f (x)$ é avaliada como $ln(b) b x$ pelas propriedades da função exponencial, a regra da cadeia implica que a derivada de $log b x$ é dado por

{displaystyle {frac {d}{dx}}log _{b}x={frac {1}{xln b}}.}

Isto é, a inclinação da tangente tocando o gráfico do logaritmo $base- b$ no ponto $(x, log b (x))$ é igual a $1/(x ln(b))$ .

A derivada de $ln(x)$ é $1/ x; isso implica que ln(x) é a antiderivada única de 1/ x que tem o valor 0 para x = 1 . É esta fórmula muito simples que motivou a qualificar como "natural" o logaritmo natural; esse também é um dos principais motivos da importância da constante e.$

A derivada com um argumento funcional generalizado $f (x)$ é

{displaystyle {frac {d}{dx}}ln f(x)={frac {f'(x)}{f(x)}}.}

O quociente no lado direito é chamado de derivada logarítmica de $f$ . Calculando $f' (x)$ por meio da derivada de $ln(f (x))$ é conhecido como diferenciação logarítmica. A primitiva do logaritmo natural $ln(x)$ é:

int ln(x),dx=xln(x)-x+C.

Fórmulas relacionadas, como antiderivadas de logaritmos para outras bases, podem ser derivadas dessa equação usando a mudança de bases.

Representação integral do logaritmo natural

O logaritmo natural de $)$ é a área sombreada sob o gráfico da função

f (x) = 1/ x

(reciprocidade)

x

O logaritmo natural de $t$ pode ser definido como a integral definida:

{displaystyle ln t=int _{1}^{t}{frac {1}{x}},dx.}

Esta definição tem a vantagem de não depender da função exponencial ou de quaisquer funções trigonométricas; a definição é em termos de uma integral de um recíproco simples. Como uma integral, $ln(t)$ é igual à área entre $x$ -axis e o gráfico da função $1/ x$ , variando de $x = 1$ a $x = t$ . Isso é uma consequência do teorema fundamental do cálculo e do fato de que a derivada de $ln(x)$ é $1 / x$ . Fórmulas de produto e logaritmo de potência podem ser derivadas dessa definição. Por exemplo, a fórmula do produto $ln(tu) = ln(t) + ln(u)$ é deduzido como:

ln(tu)=int _{1}^{tu}{frac {1}{x}},dx {stackrel {(1)}{=}}int _{1}^{t}{frac {1}{x}},dx+int _{t}^{tu}{frac {1}{x}},dx {stackrel {(2)}{=}}ln(t)+int _{1}^{u}{frac {1}{w}},dw=ln(t)+ln(u).

A igualdade (1) divide a integral em duas partes, enquanto a igualdade (2) é uma mudança de variável ( $w = x / t$ ). Na ilustração abaixo, a divisão corresponde à divisão da área nas partes amarela e azul. Redimensionar a área azul esquerda verticalmente pelo fator $t$ e reduzi-la horizontalmente pelo mesmo fator não altera seu tamanho. Movendo-a adequadamente, a área se ajusta ao gráfico da função $f (x) = 1/ x$ novamente. Portanto, a área azul à esquerda, que é a integral de $f (x)$ de $t$ a $tu$ é o mesmo que a integral de 1 a $u$ . Isso justifica a igualdade (2) com uma prova mais geométrica.

Uma prova visual da fórmula do produto do logaritmo natural

A fórmula da potência $ln(t r) = r ln (t)$ pode ser derivado de forma semelhante:

ln(t^{r})=int _{1}^{t^{r}}{frac {1}{x}}dx=int _{1}^{t}{frac {1}{w^{r}}}left(rw^{r-1},dwright)=rint _{1}^{t}{frac {1}{w}},dw=rln(t).

A segunda igualdade usa uma mudança de variáveis (integração por substituição), $w = x 1/ r$ .

A soma dos recíprocos dos números naturais,

1+{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+cdots +{frac {1}{n}}=sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k}},

é chamada de série harmônica. Está intimamente ligado ao logaritmo natural: como $n$ tende ao infinito, a diferença,

sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k}}-ln(n),

converge (ou seja, fica arbitrariamente próximo) para um número conhecido como constante de Euler–Mascheroni $γ = 0,5772...$ . Essa relação auxilia na análise do desempenho de algoritmos como o quicksort.

Transcendência do logaritmo

Os números reais que não são algébricas são chamados transcendentais; por exemplo, π e e são tais números, mas ${sqrt {2-{sqrt {3}}}}$ Não é. Quase todos os números reais são transcendentais. O logaritmo é um exemplo de uma função transcendental. O teorema de Gelfond-Schneider afirma que os logaritmos geralmente tomam valores transcendentais, ou seja, "difíceis".

Cálculo

As chaves de logaritmo (LOG para base 10 e LN para base

e

) em uma calculadora de grafos TI-83 Plus

Logaritmos são fáceis de calcular em alguns casos, como $log 10 (1000) = 3$ . Em geral, os logaritmos podem ser calculados usando séries de potência ou a média aritmética-geométrica, ou podem ser recuperados de uma tabela de logaritmos pré-calculada que fornece uma precisão fixa. O método de Newton, um método iterativo para resolver equações aproximadamente, também pode ser usado para calcular o logaritmo, porque sua função inversa, a função exponencial, pode ser calculada com eficiência. Usando tabelas de consulta, métodos semelhantes ao CORDIC podem ser usados para calcular logaritmos usando apenas as operações de adição e deslocamento de bits. Além disso, o algoritmo de logaritmo binário calcula $lb(x)$ recursivamente, com base em quadrados repetidos de $x$ , aproveitando a relação

{displaystyle log _{2}left(x^{2}right)=2log _{2}|x|.}

Série de potência

Série Taylor

A série de Taylor

In. zangão.)

centralizado em

zangão. = 1

. A animação mostra as primeiras 10 aproximações junto com a 99a e 100a. As aproximações não convergem além de uma distância de 1 do centro.

Para qualquer número real $z$ que satisfaça $0 < z \leq 2$ , vale a seguinte fórmula:

{displaystyle {begin{aligned}ln(z)&={frac {(z-1)^{1}}{1}}-{frac {(z-1)^{2}}{2}}+{frac {(z-1)^{3}}{3}}-{frac {(z-1)^{4}}{4}}+cdots \&=sum _{k=1}^{infty }(-1)^{k+1}{frac {(z-1)^{k}}{k}}end{aligned}}}

Esta é uma abreviação para dizer que $ln(z)$ pode ser aproximado para um valor mais e mais preciso pelas seguintes expressões:

{begin{array}{lllll}(z-1)&&\(z-1)&-&{frac {(z-1)^{2}}{2}}&\(z-1)&-&{frac {(z-1)^{2}}{2}}&+&{frac {(z-1)^{3}}{3}}\vdots &end{array}}

Por exemplo, com $z = 1,5$ , a terceira aproximação resulta em 0,4167, que é cerca de 0,011 maior que $ln (1,5) = 0,405465$ . Esta série aproxima $ln(z)$ com precisão arbitrária, desde que o número de somas seja grande o suficiente. No cálculo elementar, $ln(z)$ é, portanto, o limite desta série. É a série de Taylor do logaritmo natural em $z = 1$ . A série Taylor de $ln(z)$ fornece uma aproximação particularmente útil para $ln(1 + z)$ quando $z$ é pequeno, $| z | < 1$ , desde então

ln(1+z)=z-{frac {z^{2}}{2}}+{frac {z^{3}}{3}}cdots approx z.

Por exemplo, com $z = 0.1$ a aproximação de primeira ordem dá $ln(1.1) \approx 0.1$ , que é menos de 5% do valor correto 0,0953.

Tangente hiperbólica inversa

Outra série é baseada na função tangente hiperbólica inversa:

ln(z)=2cdot operatorname {artanh} ,{frac {z-1}{z+1}}=2left({frac {z-1}{z+1}}+{frac {1}{3}}{left({frac {z-1}{z+1}}right)}^{3}+{frac {1}{5}}{left({frac {z-1}{z+1}}right)}^{5}+cdots right),

para qualquer número real $z > 0$ . Usando a notação sigma, isso também é escrito como

{displaystyle ln(z)=2sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{2k+1}}left({frac {z-1}{z+1}}right)^{2k+1}.}

Esta série pode ser derivada da série de Taylor acima. Converge mais rápido que a série de Taylor, especialmente se $z$ estiver próximo de 1. Por exemplo, para $z = 1,5$ , os três primeiros termos da segunda série se aproximam de $ln(1,5)$ com um erro de cerca de 3×10^-6. A convergência rápida para $z$ próximo a 1 pode ser aproveitada da seguinte maneira: dada uma aproximação de baixa precisão $y \approx ln(z)$ e colocando

{displaystyle A={frac {z}{exp(y)}},}

o logaritmo de $z$ é:

{displaystyle ln(z)=y+ln(A).}

Quanto melhor for a aproximação inicial $y$ , mais próximo $A$ está para 1, então seu logaritmo pode ser calculado de forma eficiente. $A$ pode ser calculado usando a série exponencial, que converge rapidamente desde $y$ não é muito grande. O cálculo do logaritmo de $z$ maior pode ser reduzido a valores menores de $z$ escrevendo $z = a \cdot 10 b$ , de modo que $ln(z) = ln(a) + b \cdot ln(10)$ .

Um método intimamente relacionado pode ser usado para calcular o logaritmo de inteiros. Colocando ${displaystyle textstyle z={frac {n+1}{n}}}$ na série acima, segue-se que:

ln(n+1)=ln(n)+2sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{2k+1}}left({frac {1}{2n+1}}right)^{2k+1}.

Se o logaritmo de um inteiro grande $n$ é conhecido, então esta série produz uma série de convergente rápido para $log(n +1)$ , com uma taxa de convergência ${textstyle left({frac {1}{2n+1}}right)^{2}}$ .

Aproximação da média aritmética-geométrica

A média aritmética-geométrica produz aproximações de alta precisão do logaritmo natural. Sasaki e Kanada mostraram em 1982 que era particularmente rápido para precisões entre 400 e 1000 casas decimais, enquanto os métodos da série de Taylor eram tipicamente mais rápidos quando menos precisão era necessária. Em seu trabalho, $ln(x)$ é aproximado a uma precisão de $2 - p$ (ou $p$ bits precisos) pela seguinte fórmula (devido a Carl Friedrich Gauss):

{displaystyle ln(x)approx {frac {pi }{2,mathrm {M} !left(1,2^{2-m}/xright)}}-mln(2).}

Aqui. $M. x, Sim.)$ denota a média aritmética-geométrica de $x$ e $Sim.$ . É obtido por calcular repetidamente a média $(x + Sim.)/2$ (média aritmética) e ${textstyle {sqrt {xy}}}$ (média geométrica) de $x$ e $Sim.$ então deixe esses dois números se tornarem os próximos $x$ e $Sim.$ . Os dois números rapidamente convergem para um limite comum que é o valor de $M. x, Sim.)$ . $m$ é escolhido tal que

2^{p/2}.,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x2m>2p/2.{displaystyle x,2^{m}>2^{p/2}.,}2^{p/2}.," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80443424cc40c061dba53d32f86d2d8169aa1983" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.552ex; height:2.843ex;"/>

para garantir a precisão necessária. Um $m$ maior torna o $M(x, y)$ o cálculo leva mais etapas (o inicial $x$ e $y$ estão mais distantes, portanto são necessários mais passos para convergir), mas fornecem mais precisão. As constantes $π$ e $ln(2)$ pode ser calculado com séries de convergência rápida.

Algoritmo de Feynman

Enquanto no Laboratório Nacional Los Alamos trabalhando no Projeto Manhattan, Richard Feynman desenvolveu um algoritmo de processamento de bits, para computar o logaritmo, que é semelhante à longa divisão e foi mais tarde usado na Máquina de Conexão. O algoritmo usa o fato de que cada número real $1 < x < 2$ é representável como produto de fatores distintos da forma $1 + 2 - Sim. k$ . O algoritmo sequencialmente constrói esse produto $P$ , começando com $P = 1$ e $k = 1$ : se $P \cdot (1 + 2 - Sim. k < x$ , então muda $P$ para $P \cdot (1 + 2 - Sim. k)$ . Em seguida, aumenta $k$ por um, independentemente. O algoritmo pára quando $k$ é grande o suficiente para dar a precisão desejada. Porque... $log(x)$ é a soma dos termos do formulário $log(1 + 2 - Sim. k)$ correspondente aos $k$ para o qual o fator $1 + 2 - Sim. k$ foi incluído no produto $P$ , $log(x)$ pode ser computado por adição simples, usando uma tabela de $log(1 + 2 - Sim. k)$ para todos $k$ . Qualquer base pode ser usada para a tabela de logaritmo.

Aplicativos

Uma concha nautilus exibindo uma espiral logarítmica

Os logaritmos têm muitas aplicações dentro e fora da matemática. Algumas dessas ocorrências estão relacionadas à noção de invariância de escala. Por exemplo, cada câmara da concha de um nautilus é uma cópia aproximada da próxima, dimensionada por um fator constante. Isso dá origem a uma espiral logarítmica. A lei de Benford sobre a distribuição de dígitos iniciais também pode ser explicada pela invariância de escala. Os logaritmos também estão ligados à autossimilaridade. Por exemplo, os logaritmos aparecem na análise de algoritmos que resolvem um problema dividindo-o em dois problemas menores semelhantes e remendando suas soluções. As dimensões de formas geométricas autossimilares, ou seja, formas cujas partes se assemelham à imagem geral também são baseadas em logaritmos. As escalas logarítmicas são úteis para quantificar a mudança relativa de um valor em oposição à sua diferença absoluta. Além disso, como a função logarítmica $log(x)$ cresce muito lentamente para grandes $x$ , escalas logarítmicas são usadas para comprimir dados científicos em larga escala. Os logaritmos também ocorrem em várias fórmulas científicas, como a equação do foguete Tsiolkovsky, a equação de Fenske ou a equação de Nernst.

Escala logarítmica

Um gráfico logarítmico que descreve o valor de uma Goldmark em Papiermarks durante a hiperinflação alemã na década de 1920

As quantidades científicas são frequentemente expressas como logaritmos de outras quantidades, usando uma escala logarítmica. Por exemplo, o decibel é uma unidade de medida associada a quantidades de escala logarítmica. Baseia-se no logaritmo comum de proporções - 10 vezes o logaritmo comum de uma relação de potência ou 20 vezes o logaritmo comum de uma relação de tensão. É usado para quantificar a perda de níveis de tensão na transmissão de sinais elétricos, para descrever os níveis de potência dos sons em acústica e a absorção de luz nas áreas de espectrometria e óptica. A relação sinal-ruído que descreve a quantidade de ruído indesejado em relação a um sinal (significativo) também é medida em decibéis. Da mesma forma, a relação sinal-ruído de pico é comumente usada para avaliar a qualidade dos métodos de compressão de som e imagem usando o logaritmo.

A força de um terremoto é medida tomando o logaritmo comum da energia emitida no terremoto. Isso é usado na escala de magnitude do momento ou na escala de magnitude Richter. Por exemplo, um terremoto de 5,0 libera 32 vezes $(10 1,5)$ e um terremoto de 6,0 libera 1000 vezes $(10 3)$ a energia de um 4.0. A magnitude aparente mede logaritmicamente o brilho das estrelas. Em química, o negativo do logaritmo decimal, o decimal cologaritmo, é indicado pela letra p. Por exemplo, o pH é o cologaritmo decimal da atividade dos íons de hidrônio (a forma de íons de hidrogênio H⁺
ingerir água). A atividade dos íons hidrônio em água neutra é 10⁻⁷ mol·L-1, portanto, um pH de 7. O vinagre normalmente tem um pH de cerca de 3. A diferença de 4 corresponde a uma proporção de 10 ⁴ da atividade, ou seja, a atividade do íon hidrônio do vinagre é de cerca de $10 -3 mol\cdotL - 1$ .

Gráficos semilog (log-linear) usam o conceito de escala logarítmica para visualização: um eixo, normalmente o vertical, é escalado logaritmicamente. Por exemplo, o gráfico à direita comprime o aumento acentuado de 1 milhão para 1 trilhão no mesmo espaço (no eixo vertical) do aumento de 1 para 1 milhão. Em tais gráficos, funções exponenciais da forma $f (x) = a \cdot b x$ aparecem como linhas retas com inclinação igual ao logaritmo de $b$ . Gráficos log-log dimensionam ambos os eixos logaritmicamente, o que causa funções da forma $f (x) = a \cdot x k$ a ser representado como linhas retas com inclinação igual ao expoente $k$ . Isso é aplicado na visualização e análise das leis de potência.

Psicologia

Os logaritmos ocorrem em várias leis que descrevem a percepção humana: a lei de Hick propõe uma relação logarítmica entre o tempo que os indivíduos levam para escolher uma alternativa e o número de escolhas que eles têm. A lei de Fitts prevê que o tempo necessário para se mover rapidamente para uma área alvo é uma função logarítmica da distância e do tamanho do alvo. Em psicofísica, a lei de Weber-Fechner propõe uma relação logarítmica entre estímulo e sensação, como o peso real versus o peso percebido de um item que uma pessoa está carregando. (Esta "lei", no entanto, é menos realista do que os modelos mais recentes, como a lei de potência de Stevens.)

Estudos psicológicos constataram que indivíduos com pouca formação matemática tendem a estimar quantidades logaritmicamente, ou seja, posicionam um número em uma linha não marcada de acordo com seu logaritmo, de forma que 10 está posicionado tão próximo de 100 quanto 100 está de 1000. Crescente a educação muda isso para uma estimativa linear (posicionando 1000 10 vezes mais longe) em algumas circunstâncias, enquanto os logaritmos são usados quando os números a serem plotados são difíceis de plotar linearmente.

Teoria da probabilidade e estatística

Três funções de densidade de probabilidade (PDF) de variáveis aleatórias com distribuições log-normais. O parâmetro de localização

μ

, que é zero para os três PDFs mostrados, é a média do logaritmo da variável aleatória, não a média da própria variável.

Distribuição dos primeiros dígitos (em %, barras vermelhas) na população dos 237 países do mundo. Os pontos negros indicam a distribuição prevista pela lei de Benford.

Os logaritmos surgem na teoria da probabilidade: a lei dos grandes números determina que, para uma moeda honesta, à medida que o número de jogadas de moeda aumenta até o infinito, a proporção observada de caras se aproxima da metade. As flutuações dessa proporção em torno da metade são descritas pela lei do logaritmo iterado.

Logaritmos também ocorrem em distribuições log-normais. Quando o logaritmo de uma variável aleatória tem uma distribuição normal, diz-se que a variável tem uma distribuição log-normal. Distribuições log-normais são encontradas em muitos campos, sempre que uma variável é formada como o produto de muitas variáveis aleatórias positivas independentes, por exemplo, no estudo da turbulência.

Os logaritmos são usados para estimativa de probabilidade máxima de modelos estatísticos paramétricos. Para tal modelo, a função de verossimilhança depende de pelo menos um parâmetro que deve ser estimado. Um máximo da função de verossimilhança ocorre no mesmo valor de parâmetro que o máximo do logaritmo da verossimilhança (a "verossimilhança de log"), porque o logaritmo é uma função crescente. A verossimilhança logarítmica é mais fácil de maximizar, especialmente para as verossimilhanças multiplicadas para variáveis aleatórias independentes.

A lei de Benford descreve a ocorrência de dígitos em muitos conjuntos de dados, como alturas de edifícios. De acordo com a lei de Benford, a probabilidade de que o primeiro dígito decimal de um item na amostra de dados seja $d$ (de 1 a 9) é igual a $log 10 (d + 1) - log 10 (d)$ , independentemente da unidade de medida. Assim, pode-se esperar que cerca de 30% dos dados tenham 1 como primeiro dígito, 18% comecem com 2, etc. Os auditores examinam desvios da lei de Benford para detectar contabilidade fraudulenta.

A transformação logarítmica é um tipo de transformação de dados usada para aproximar a distribuição empírica da suposta.

Complexidade computacional

A análise de algoritmos é um ramo da ciência da computação que estuda o desempenho de algoritmos (programas de computador que resolvem um determinado problema). Os logaritmos são valiosos para descrever algoritmos que dividem um problema em outros menores e juntam as soluções dos subproblemas.

Por exemplo, para encontrar um número em uma lista ordenada, o algoritmo de busca binária verifica a entrada do meio e continua com a metade antes ou depois da entrada do meio se o número ainda não for encontrado. Este algoritmo requer, em média, $log 2 (N)$ comparações, onde o estilo $N$ é o comprimento da lista. Da mesma forma, o algoritmo de classificação por mesclagem classifica uma lista não classificada dividindo a lista em metades e classificando-as antes de mesclar os resultados. Os algoritmos de classificação por mesclagem geralmente requerem um tempo aproximadamente proporcional a $N \cdot log(N)$ . A base do logaritmo não é especificada aqui, pois o resultado só muda por um fator constante quando outra base é usada. Um fator constante geralmente é desconsiderado na análise de algoritmos sob o modelo de custo uniforme padrão.

Diz-se que uma função $f (x)$ cresce logaritmicamente se $f (x)$ é (exata ou aproximadamente) proporcional ao logaritmo de $x$ . (No entanto, as descrições biológicas do crescimento do organismo usam esse termo para uma função exponencial.) Por exemplo, qualquer número natural $N$ pode ser representado na forma binária em não mais que $log 2 N + 1$ bits. Em outras palavras, a quantidade de memória necessária para armazenar $N$ cresce logaritmicamente com $N$ .

Entropia e caos

Billiards numa mesa de bilhar oval. Duas partículas, começando no centro com um ângulo diferente por um grau, tomam caminhos que divergem caoticamente por causa de reflexões na fronteira.

A entropia é amplamente uma medida da desordem de algum sistema. Em termodinâmica estatística, a entropia S de algum sistema físico é definida como

S=-ksum _{i}p_{i}ln(p_{i}).,

A soma é sobre todos os estados possíveis $i$ do sistema em questão, como as posições das partículas de gás em um recipiente. Além disso, $p i$ é a probabilidade de que o estado $i$ é obtido e $k$ é a constante de Boltzmann. Da mesma forma, a entropia na teoria da informação mede a quantidade de informação. Se um destinatário de mensagem pode esperar qualquer uma das $N$ mensagens possíveis com igual probabilidade, então a quantidade de informação transmitida por qualquer uma dessas mensagens é quantificado como $log 2 N$ bits.

Os expoentes de Lyapunov usam logaritmos para medir o grau de caoticidade de um sistema dinâmico. Por exemplo, para uma partícula se movendo em uma mesa de bilhar oval, mesmo pequenas mudanças nas condições iniciais resultam em trajetórias muito diferentes da partícula. Tais sistemas são caóticos de maneira determinística, porque pequenos erros de medição do estado inicial previsivelmente levam a estados finais amplamente diferentes. Pelo menos um expoente de Lyapunov de um sistema deterministicamente caótico é positivo.

Fractais

O triângulo Sierpinski (à direita) é construído substituindo repetidamente triângulos equiláteros por três menores.

Os logaritmos ocorrem nas definições da dimensão dos fractais. Fractais são objetos geométricos autossimilares no sentido de que pequenas partes reproduzem, pelo menos aproximadamente, toda a estrutura global. O triângulo de Sierpinski (foto) pode ser coberto por três cópias de si mesmo, cada uma com metade do comprimento original. Isso torna a dimensão Hausdorff dessa estrutura $ln(3)/ln(2) \approx 1,58$ . Outra noção de dimensão baseada em logaritmos é obtida contando o número de caixas necessárias para cobrir o fractal em questão.

Música

Quatro oitavas diferentes mostradas em escala linear, então mostradas em escala logarítmica (como a orelha os ouve).

Logaritmos estão relacionados a tons musicais e intervalos. Em temperamento igual, a relação de frequência depende apenas do intervalo entre dois tons, não da frequência específica, ou tom, dos tons individuais. Por exemplo, a nota Lá tem uma frequência de 440 Hz e Si bemol tem uma frequência de 466 Hz. O intervalo entre Lá e Si bemol é um semitom, assim como aquele entre Si bemol e Si (frequência 493 Hz). Consequentemente, as razões de frequência concordam:

{frac {466}{440}}approx {frac {493}{466}}approx 1.059approx {sqrt[{12}]{2}}.

Portanto, logaritmos podem ser usados para descrever os intervalos: um intervalo é medido em semitons tomando o base- $2 1/12$ logaritmo da razão de frequência, enquanto o base- $2 1/1200$ logaritmo da razão de frequência expressa o intervalo em centésimos, centésimos de semitom. O último é usado para codificação mais fina, pois é necessário para temperamentos não iguais.

Intervalo (os dois tons são jogados ao mesmo tempo)	1/12 tom jogar(help·info)	Semitom. jogar	Só um terço importante. jogar	Terceiro maior jogar	Tritonete jogar	Octave jogar
Razão de frequência R	$2^{frac {1}{72}}approx 1.0097$	$2^{frac {1}{12}}approx 1.0595$	${tfrac {5}{4}}=1.25$	${begin{aligned}2^{frac {4}{12}}&={sqrt[{3}]{2}}\&approx 1.2599end{aligned}}$	${begin{aligned}2^{frac {6}{12}}&={sqrt {2}}\&approx 1.4142end{aligned}}$	$2^{frac {12}{12}}=2$
Número correspondente de semitoms $log _{sqrt[{12}]{2}}(r)=12log _{2}(r)$	${displaystyle {tfrac {1}{6}}}$	$1$	${displaystyle approx 3.8631}$	$4$	$6$	$12$
Número correspondente de centavos $log _{sqrt[{1200}]{2}}(r)=1200log _{2}(r)$	${displaystyle 16{tfrac {2}{3}}}$	$100$	${displaystyle approx 386.31}$	${displaystyle 400}$	${displaystyle 600}$	${displaystyle 1200}$

Teoria dos números

Os logaritmos naturais estão intimamente ligados à contagem de números primos (2, 3, 5, 7, 11,...), um tópico importante na teoria dos números. Para qualquer inteiro $x$ , a quantidade de números primos menor ou igual a $x$ é denotado $π(x)$ . O teorema dos números primos afirma que $π (x)$ é aproximadamente dado por

{frac {x}{ln(x)}},

no sentido de que a proporção de $π (x)$ e essa fração se aproxima de 1 quando $x$ tende ao infinito. Como consequência, a probabilidade de um número escolhido aleatoriamente entre 1 e $x$ ser primo é inversamente proporcional ao número de dígitos decimais de $x$ . Uma estimativa muito melhor de $π (x)$ é dado pela função integral logarítmica de deslocamento $Li(x)$ , definida por

mathrm {Li} (x)=int _{2}^{x}{frac {1}{ln(t)}},dt.

A hipótese de Riemann, uma das mais antigas conjecturas matemáticas abertas, pode ser expressa em termos de comparação $π (x)$ e $Li(x)$ . O teorema de Erdős–Kac que descreve o número de fatores primos distintos também envolve o logaritmo natural.

O logaritmo de n fatorial, $n! = 1 \cdot 2 \cdot... \cdot n$ , é dado por

{displaystyle ln(n!)=ln(1)+ln(2)+cdots +ln(n).}

Isso pode ser usado para obter a fórmula de Stirling, uma aproximação de $n!$ para grandes $n$ .

Generalizações

Logaritmo complexo

Forma polar de

z = x + iy

. Ambos

φ

φ '

são argumentos de

zangão.

Todos os números complexos $a$ que resolvem a equação

{displaystyle e^{a}=z}

são chamados de logaritmos complexos de $z$ , quando o estilo $z$ é (considerado como) um número complexo. Um número complexo é comumente representado como $z = x + iy$ , onde $x$ e $y$ são números reais e $i$ é uma unidade imaginária, cujo quadrado é −1. Tal número pode ser visualizado por um ponto no plano complexo, conforme mostrado à direita. A forma polar codifica um número complexo diferente de zero $z$ por seu valor absoluto, ou seja, a distância (positiva, real) $r$ à origem, e um ângulo entre o real ( $x$ ) eixo $Re$ e a linha que passa pela origem e $z$ . Este ângulo é chamado de argumento de $z$ .

O valor absoluto $r$ de $z$ é dado por

{displaystyle textstyle r={sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}

Usando a interpretação geométrica de seno e cosseno e sua periodicidade em $2 π$ , qualquer número complexo $z$ pode ser denotado como

{displaystyle z=x+iy=r(cos varphi +isin varphi)=r(cos(varphi +2kpi)+isin(varphi +2kpi)),}

para qualquer número inteiro $k$ . Evidentemente, o argumento de $z$ não é especificado exclusivamente: ambos $φ$ e $φ' = φ + 2 k π$ são argumentos válidos de $z$ para todos os inteiros $k$ , porque somar $2 k π$ radianos ou k⋅360° a $φ$ corresponde a "enrolamento" ao redor da origem no sentido anti-horário em $k$ voltas. O número complexo resultante é sempre $z$ , conforme ilustrado à direita para $k = 1$ . Pode-se selecionar exatamente um dos argumentos possíveis de $z$ como o chamado argumento principal, denotado $Arg(z)$ , com $A$ maiúsculo, exigindo $φ$ para pertencer a um, turno convenientemente selecionado, por ex. $- π < φ \leq π$ ou $0 \leq φ < 2 π$ . Essas regiões, onde o argumento de $z$ é determinado exclusivamente, são chamadas de ramificações da função de argumento.

O ramo principal (-

D

D

) do complexo logaritmo,

Log(zangão.)

. O ponto negro em

zangão. = 1

corresponde ao valor absoluto zero e cores mais brilhantes referem-se a valores absolutos maiores. A tonalidade da cor codifica o argumento de

Log(zangão.)

A fórmula de Euler conecta as funções trigonométricas seno e cosseno ao exponencial complexo:

{displaystyle e^{ivarphi }=cos varphi +isin varphi.}

Usando esta fórmula, e novamente a periodicidade, as seguintes identidades são válidas:

{displaystyle {begin{array}{lll}z&=&rleft(cos varphi +isin varphi right)\&=&rleft(cos(varphi +2kpi)+isin(varphi +2kpi)right)\&=&re^{i(varphi +2kpi)}\&=&e^{ln(r)}e^{i(varphi +2kpi)}\&=&e^{ln(r)+i(varphi +2kpi)}=e^{a_{k}},end{array}}}

onde $ln(r)$ é o único logaritmo natural real, $a k$ denotam os logaritmos complexos de $z$ , e $k$ é um inteiro arbitrário. Portanto, os logaritmos complexos de $z$ , que são todos aqueles valores complexos $a k$ para o qual o $a k -th$ potência de $e$ é igual a $z$ , são os infinitos valores

{displaystyle a_{k}=ln(r)+i(varphi +2kpi),quad }

para inteiros arbitrários

k

Tomando $k$ tal que $φ + 2 k π$ está dentro do intervalo definido para os argumentos principais, então $a k$ é chamado de valor principal do logaritmo, denotado $Log(z)$ , novamente com maiúscula $L$ . O argumento principal de qualquer número real positivo $x$ é 0; portanto, $Log(x)$ é um número real e é igual ao logaritmo real (natural). No entanto, as fórmulas acima para logaritmos de produtos e potências não se generalizam para o valor principal do logaritmo complexo.

A ilustração à direita mostra $Log(z)$ , limitando os argumentos de $z$ ao intervalo $(-π, π]$ . Desta forma, o ramo correspondente do logaritmo complexo tem descontinuidades ao longo do real negativo $x$ eixo, que pode ser visto no salto na tonalidade ali. Essa descontinuidade surge do salto para o outro limite no mesmo ramo, ao cruzar um limite, ou seja, não mudar para o valor $k$ correspondente do ramo continuamente vizinho. Esse lugar é chamado de corte de ramificação. Eliminar as restrições de intervalo no argumento torna as relações "argumento de $z$ " e, consequentemente, o "logaritmo de $z$ ", funções multivaloradas.

Inversas de outras funções exponenciais

A exponenciação ocorre em muitas áreas da matemática e sua função inversa é frequentemente chamada de logaritmo. Por exemplo, o logaritmo de uma matriz é a função inversa (de vários valores) da exponencial da matriz. Outro exemplo é o logaritmo p-ádico, a função inversa da exponencial p-ádica. Ambos são definidos via série de Taylor análoga ao caso real. No contexto da geometria diferencial, o mapa exponencial mapeia o espaço tangente em um ponto de uma variedade para uma vizinhança desse ponto. Seu inverso também é chamado de mapa logarítmico (ou log).

No contexto de grupos finitos, a exponenciação é dada pela multiplicação repetida de um elemento de grupo $b$ por si mesmo. O logaritmo discreto é o inteiro $n$ resolvendo a equação

{displaystyle b^{n}=x,}

onde $x$ é um elemento do grupo. A realização da exponenciação pode ser feita com eficiência, mas acredita-se que o logaritmo discreto seja muito difícil de calcular em alguns grupos. Essa assimetria tem aplicações importantes na criptografia de chaves públicas, como por exemplo na troca de chaves Diffie-Hellman, uma rotina que permite trocas seguras de chaves criptográficas em canais de informação não seguros. O logaritmo de Zech está relacionado ao logaritmo discreto no grupo multiplicativo de elementos diferentes de zero de um corpo finito.

Outras funções inversas semelhantes a logaritmos incluem o logaritmo duplo $ln(ln(x))$ , o super- ou hiper-4-logaritmo (uma pequena variação do que é chamado de logaritmo iterado em ciência da computação), a função Lambert W, e o log. São as funções inversas da função exponencial dupla, tetration, de $f (w) = we w$ , e da função logística, respectivamente.

Conceitos relacionados

Da perspectiva da teoria de grupo, a identidade $log(cd) = log(c) + log(d)$ expressa um isomorfismo de grupo entre reais positivos na multiplicação e reais na adição. As funções logarítmicas são os únicos isomorfismos contínuos entre esses grupos. Por meio desse isomorfismo, a medida de Haar (medida de Lebesgue) $dx$ nos reais corresponde à medida de Haar $dx / x$ nos reais positivos. Os reais não negativos não só têm uma multiplicação, mas também têm adição, e formam um semi-anel, chamado de semi-anel de probabilidade; este é de fato um semicampo. O logaritmo então leva a multiplicação para a adição (multiplicação de log) e leva a adição para a adição de log (LogSumExp), dando um isomorfismo de semi-anéis entre o semi-anel de probabilidade e o semi-anel de log.

Formas únicas logarítmicas $df / f$ aparecem em análises complexas e geometria algébrica como formas diferenciais com pólos logarítmicos.

O polilogaritmo é a função definida por

operatorname {Li} _{s}(z)=sum _{k=1}^{infty }{z^{k} over k^{s}}.

Está relacionado ao logaritmo natural por $Li 1 (z) = -ln(1 - z)$ . Além disso, $Li s (1)$ é igual à função zeta de Riemann $ζ(s)$ .

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