Linguagem sensível ao contexto

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Na teoria da linguagem formal, uma linguagem sensível ao contexto é uma linguagem que pode ser definida por uma gramática sensível ao contexto (e equivalentemente por uma gramática não contrativa). A sensível ao contexto é um dos quatro tipos de gramática na hierarquia de Chomsky.

Propriedades computacionais

Computacionalmente, uma linguagem sensível ao contexto é equivalente a uma máquina de Turing nondeterminística delimitada linear, também chamada de autômato linear. Essa é uma máquina de Turing não determinística com uma fita de apenas ${displaystyle kn}$ células, onde $n$ é o tamanho da entrada e $k$ é uma constante associada à máquina. Isso significa que cada linguagem formal que pode ser decidida por tal máquina é uma linguagem sensível ao contexto, e cada linguagem sensível ao contexto pode ser decidida por tal máquina.

Este conjunto de idiomas também é conhecido como NLINSPACE ou NSPACE(O(n)), porque eles podem ser aceitos usando espaço linear em uma máquina de Turing não determinística. A classe LINSPACE (ou DSPACE(O(n))) é definida da mesma forma, exceto pelo uso de um método determinístico Máquina de Turing. Claramente LINSPACE é um subconjunto de NLINSPACE, mas não se sabe se LINSPACE=NLINSPACE.

Exemplos

Uma das linguagens mais simples sensível ao contexto, mas não sem contexto é $L={a^{n}b^{n}c^{n}:ngeq 1}$ : a linguagem de todas as cadeias compostas por $n$ ocorrências do símbolo "a", então $n$ "B"'s, então $n$ "c"'s (abc, aabbcc, aaabbbccc, etc.). Um superconjunto desta linguagem, chamado de linguagem Bach, é definido como o conjunto de todas as cadeias onde "a", "b" e "c" (ou qualquer outro conjunto de três símbolos) ocorre igualmente frequentemente (aabccb, baabcaccb, etc) e também é sensível ao contexto.

$L$ pode ser mostrado como uma linguagem sensível ao contexto construindo um autômato limitado linear que aceita $L$ . A linguagem pode ser facilmente demonstrada como nem regular nem livre de contexto aplicando os respectivos lemas de bombeamento para cada uma das classes de linguagem para $L$ .

Da mesma forma:

${displaystyle L_{Cross}={a^{m}b^{n}c^{m}d^{n}:mgeq 1,ngeq 1}}$ é outra linguagem sensível ao contexto; a gramática sensível ao contexto correspondente pode ser facilmente projetada a partir de duas gramáticas livres de contexto gerando formas sentenciais nos formatos ${displaystyle a^{m}C^{m}}$ e ${displaystyle B^{n}d^{n}}$ e depois complementá-los com uma produção de permutação como ${displaystyle CBrightarrow BC}$ , um novo símbolo de partida e açúcar sintático padrão.

${displaystyle L_{MUL3}={a^{m}b^{n}c^{mn}:mgeq 1,ngeq 1}}$ é outra linguagem sensível ao contexto (o "3" em nome desta linguagem destina-se a significar um alfabeto ternário); isto é, a operação "produto" define uma linguagem sensível ao contexto (mas o "sum" define apenas uma linguagem livre de contexto como a gramática ${displaystyle Srightarrow aSc|R}$ e ${displaystyle Rrightarrow bRc|bc}$ shows). Por causa da propriedade comutativa do produto, a gramática mais intuitiva para ${displaystyle L_{MUL3}}$ é ambíguo. Este problema pode ser evitado considerando uma definição de alguma forma mais restritiva da linguagem, por exemplo. $<math alttext="{displaystyle L_{ORDMUL3}={a^{m}b^{n}c^{mn}:1<mLORDMUL3= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(ummb)ncmn:1<m<n?Não. L_{ORDMUL3}={a^{m}b^{n}c^{mn}:1<m<n}}<img alt="{displaystyle L_{ORDMUL3}={a^{m}b^{n}c^{mn}:1<m$ . Isto pode ser especializado $1,n>1}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">LMUL1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(ummn:m>1,n>1?Não. L_{MUL1}={a^{mn}:m>1,n>1}}1,n>1}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7369cbadfb66a282f1ff3b77d5622864da5b4957" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.986ex; height:2.843ex;"/>$ e, deste modo, $1}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Lm2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(umm2:m>1?Não. L_{m^{2}}={a^{m^{2}}:m>1}}1}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/254a359cd69d99771a7e15ae71e12ea024b7ac87" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.488ex; height:3.509ex;"/>$ , $1}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Lm3= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(umm3:m>1?Não. L_{m^{3}}={a^{m^{3}}:m>1}}1}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f184d8d23aa6d2a527714259cac7e99674f8948" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.488ex; height:3.509ex;"/>$ , etc.

${displaystyle L_{REP}={w^{|w|}:win Sigma ^{*}}}$ é uma linguagem sensível ao contexto. A gramática sensível ao contexto correspondente pode ser obtida como generalização das gramáticas sensíveis ao contexto para ${displaystyle L_{Square}={w^{2}:win Sigma ^{*}}}$ , ${displaystyle L_{Cube}={w^{3}:win Sigma ^{*}}}$ , etc.

${displaystyle L_{EXP}={a^{2^{n}}:ngeq 1}}$ é uma linguagem sensível ao contexto.

${displaystyle L_{PRIMES2}={w:|w|{mbox{ is prime }}}}$ é uma linguagem sensível ao contexto (o "2" em nome desta linguagem destina-se a significar um alfabeto binário). Isto foi provado por Hartmanis usando o bombeamento de lemmas para linguagens regulares e sem contexto sobre um alfabeto binário e, depois disso, esboçando um autômato multitape limitado linear aceitando ${displaystyle L_{PRIMES2}}$ .

${displaystyle L_{PRIMES1}={a^{p}:p{mbox{ is prime }}}}$ é uma linguagem sensível ao contexto (o "1" em nome desta língua destina-se a significar um alfabeto unário). Isto foi creditado por A. Salomaa a Matti Soittola por meio de um autômato linear limitado sobre um alfabeto unário (páginas 213-214, exercício 6.8) e também a Marti Penttonen por meio de uma gramática sensível ao contexto também sobre um alfabeto unário (Veja: Linguagens Formais por A. Salomaa, página 14, Exemplo 2.5).

Um exemplo de linguagem recursiva que não é sensível ao contexto é qualquer linguagem recursiva cuja decisão seja um problema EXPSPACE difícil, digamos, o conjunto de pares de expressões regulares equivalentes com exponenciação.

Propriedades de linguagens sensíveis ao contexto

A união, interseção, concatenação de duas linguagens sensíveis ao contexto é sensível ao contexto, também o Kleene plus de uma linguagem sensível ao contexto é sensível ao contexto.
O complemento de uma linguagem sensível ao contexto é, em si, um resultado sensível ao contexto conhecido como teorema de Immerman–Szelepcsényi.
A adesão de uma cadeia de caracteres em uma linguagem definida por uma gramática sensível ao contexto arbitrária, ou por uma gramática sensível ao contexto arbitrário, é um problema PSPACE-completo.

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