Lei do meio excluído

Na lógica, a lei do terceiro excluído (ou o princípio do terceiro excluído) afirma que para cada proposição, esta proposição ou sua negação é verdadeira. É uma das chamadas três leis do pensamento, juntamente com a lei da não contradição e a lei da identidade. No entanto, nenhum sistema de lógica é construído apenas sobre essas leis, e nenhuma dessas leis fornece regras de inferência, como o modus ponens ou as leis de De Morgan.

A lei também é conhecida como lei (ou princípio) do terceiro excluído, em latim princípio tertii exclusi. Outra designação latina para esta lei é tertium non datur: "nenhuma terceira [possibilidade] é dada". É uma tautologia.

O princípio não deve ser confundido com o princípio semântico da bivalência, que afirma que toda proposição é verdadeira ou falsa. O princípio da bivalência sempre implica a lei do terceiro excluído, enquanto o inverso nem sempre é verdadeiro. Um contra-exemplo comumente citado usa declarações improváveis agora, mas comprováveis no futuro para mostrar que a lei do terceiro excluído pode ser aplicada quando o princípio da bivalência falha.

História

Aristóteles

A formulação mais antiga conhecida está na discussão de Aristóteles sobre o princípio da não-contradição, proposto pela primeira vez em Sobre a interpretação, onde ele diz que de duas proposições contraditórias (ou seja, onde uma proposição é a negação da outra) uma deve ser verdadeira e a outra falsa. Ele também o afirma como um princípio no livro 3 da Metafísica, dizendo que é necessário em todos os casos afirmar ou negar, e que é impossível que haja algo entre as duas partes de uma contradição.

Aristóteles escreveu que a ambigüidade pode surgir do uso de nomes ambíguos, mas não pode existir nos próprios fatos:

É impossível, então, que "ser um homem" deve significar precisamente "não ser um homem", se "homem" não significa apenas algo sobre um assunto, mas também tem um significado.... E não será possível ser e não ser a mesma coisa, exceto em virtude de uma ambiguidade, como se alguém a quem chamamos "homem", e outros fossem chamar "não homem"; mas o ponto em questão não é isso, se a mesma coisa pode ao mesmo tempo ser e não ser um homem em nome, mas se pode ser de fato. (Metafísica 4.4, W.D. Ross (trans), GBWW 8, 525–526).

A afirmação de Aristóteles de que "não será possível ser e não ser a mesma coisa", que seria escrita na lógica proposicional como ~(P ∧ ~P), é uma afirmação que os lógicos modernos poderiam chamar de lei do terceiro excluído (P ∨ ~P), como distribuição da negação da afirmação de Aristóteles os torna equivalentes, independentemente do fato de que o primeiro afirma que nenhuma afirmação é ao mesmo tempo verdadeira e falsa, enquanto o último exige que qualquer afirmação seja ou verdadeiro ou falso.

Mas Aristóteles também escreve, "já que é impossível que os contraditórios sejam ao mesmo tempo verdadeiros da mesma coisa, obviamente os contrários também não podem pertencer ao mesmo tempo à mesma coisa" (Livro IV, CH 6, p. 531). Ele então propõe que "não pode haver um intermediário entre contraditórios, mas de um assunto devemos afirmar ou negar qualquer predicado" (Livro IV, CH 7, p. 531). No contexto da lógica tradicional de Aristóteles, esta é uma afirmação notavelmente precisa da lei do terceiro excluído, P ∨ ~P.

Também em Sobre a interpretação, Aristóteles parece negar a lei do meio excluído no caso de contingentes futuros, em sua discussão sobre a batalha naval.

Leibniz

Sua forma habitual, "Todo julgamento é verdadeiro ou falso" [nota 9]..."(de Kolmogorov em van Heijenoort, p. 421) nota de rodapé 9: "Esta é a formulação muito simples de Leibniz (veja Nouveaux Essais, IV, 2)" (ibid p 421)

Bertrand Russell e Principia Mathematica

O princípio foi declarado como um teorema da lógica proposicional por Russell e Whitehead em Principia Mathematica como:

∗ ∗ 2)) 11.? ? .p∨ ∨ ∼ ∼ p{displaystyle mathbf {*2cdot 11}. vdash. p vee thicksim p}.

Então, o que é "verdade" e "falsidade"? Na abertura PM anuncia rapidamente algumas definições:

Valores da verdade. O "verdadeiro valor" de uma proposição é verdade se é verdade e falsidade se for falso* [* Esta frase é devido a Frege]... o valor da verdade de "p ∨ q" é verdade se o valor da verdade de qualquer p ou q é verdade, e é falsidade de outra forma... o de "~ p" é o oposto do de p..." (p. 7-8)

Isso não ajuda muito. Mais tarde, porém, em uma discussão muito mais profunda ("Definição e ambiguidade sistemática de Verdade e Falsidade" Capítulo II parte III, p. 41 e seguintes), PM define verdade e falsidade em termos de uma relação entre o "a" e o "b" e o "percipiente". Por exemplo "Este 'a' é 'b'" (por exemplo, "Este 'objeto a' é 'vermelho'") realmente significa "'objeto a' é um dado dos sentidos" e "'vermelho' é um dado dos sentidos", e eles "estão em relação" um ao outro e em relação ao "eu". Assim, o que realmente queremos dizer é: "Eu percebo que 'Este objeto a é vermelho'" e esta é uma "verdade" inegável de terceiros.

PM define ainda uma distinção entre um "dado dos sentidos" e uma "sensação":

Ou seja, quando julgamos (dizer) "isto é vermelho", o que ocorre é uma relação de três termos, a mente, e "isso", e "vermelho". Por outro lado, quando percebemos "a vermelhidão disto", há uma relação de dois termos, ou seja, a mente e o objeto complexo "a vermelhidão disto" (pp. 43–44).

Russell reiterou sua distinção entre "sense-datum" e "sensação" em seu livro Os Problemas da Filosofia (1912), publicado ao mesmo tempo que PM (1910–1913):

Vamos dar o nome de "dados de sentido" para as coisas que são imediatamente conhecidas na sensação: coisas como cores, sons, cheiros, durezas, rugas, e assim por diante. Daremos o nome "sensação" à experiência de estar imediatamente consciente destas coisas... A cor em si é um sentido-datum, não uma sensação. (p. 12)

Russell descreveu ainda mais seu raciocínio por trás de suas definições de "verdade" e "falsidade" no mesmo livro (Capítulo XII, Verdade e Falsidade).

Consequências da lei do terceiro excluído no Principia Mathematica

Da lei do terceiro excluído, fórmula ✸2.1 em Principia Mathematica, Whitehead e Russell derivam algumas das ferramentas mais poderosas no kit de ferramentas de argumentação do lógico. (No Principia Mathematica, fórmulas e proposições são identificadas por um asterisco inicial e dois números, como "✸2.1".)

✸2.1 ~p ∨ p "Esta é a Lei do meio excluído" (PM, p. 101).

A prova de ✸2.1 é aproximadamente a seguinte: "idéia primitiva" 1.08 define p → q = ~p ∨ q. Substituir p por q nesta regra resulta em p → p = ~p ∨ p. Como p → p é verdadeiro (este é o Teorema 2.08, provado separadamente), então ~p ∨ p deve ser verdade.

✸2.11 p ∨ ~p (A permutação das asserções é permitida pelo axioma 1.4)
✸2.12 p → ~(~p) (Princípio da dupla negação, parte 1: se "esta rosa é vermelha" é verdade então'não é verdade que "'esta rosa não é vermelha' é verdade".)
✸2.13 p ∨ ~{~(~p)} (Lema junto com 2.12 usado para derivar 2.14)
✸2.14 ~(~p) → p (Princípio da dupla negação, parte 2)
✸2.15 (~p → q) → (~q → p) (Um dos quatro &# 34;Princípios de transposição". Semelhante a 1.03, 1.16 e 1.17. Uma demonstração muito longa foi necessária aqui.)
✸2.16 (p → q) → (~q → ~p) (Se for verdade que "Se esta rosa é vermelha então este porco voa" então é verdade que "Se este porco não voa então esta rosa não é vermelha.& #34;)
✸2.17 (~p → ~q) → (q → p) (Outro dos "Princípios de transposição".)
✸2.18 (~p → p) → p (chamado "O complemento de reductio ad absurdum. Afirma que uma proposição que segue da hipótese de sua própria falsidade é verdadeira" (PM, pp. 103–104).

A maioria desses teoremas—em particular ✸2.1, ✸2.11 e ✸2.14—são rejeitados pelo intuicionismo. Essas ferramentas são reformuladas em outra forma que Kolmogorov cita como "os quatro axiomas de implicação de Hilbert" e "dois axiomas de negação de Hilbert" (Kolmogorov em van Heijenoort, p. 335).

Proposições ✸2.12 e ✸2.14, "dupla negação": Os escritos intuicionistas de L. E. J. Brouwer referem-se ao que ele chama de "o princípio da reciprocidade das espécies múltiplas, ou seja, o princípio de que para todo sistema a correção de uma propriedade decorre da impossibilidade da impossibilidade desta propriedade" (Brouwer, ibid, p. 335).

Este princípio é comumente chamado de "o princípio da dupla negação" (PM, pp. 101–102). Da lei do terceiro excluído (✸2.1 e ✸2.11), PM deriva o princípio ✸2.12 imediatamente. Substituímos ~p por p em 2.11 para obter ~p ∨ ~(~p), e pelo definição de implicação (ou seja, 1,01 p → q = ~p ∨ q) então ~p ∨ ~(~p)= p → ~(~p). QED (A derivação de 2.14 é um pouco mais complexa.)

Reichenbach

Está correto, pelo menos para a lógica bivalente - ou seja, pode ser visto com um mapa de Karnaugh - que esta lei remove "o meio" do inclusivo-ou usado em sua lei (3). E este é o ponto da demonstração de Reichenbach de que alguns acreditam que o ou exclusivo deveria tomar o lugar do ou inclusivo.

Sobre esta questão (em termos reconhecidamente muito técnicos) Reichenbach observa:

O tertium non datur

29.x)f(x) ∨ ~f(x)

não é exaustivo em seus termos principais e é, portanto, uma fórmula inflada. Este fato pode, talvez, explicar por que algumas pessoas considerá-lo irracional para escrever (29) com o inclusivo-'or', e quer tê-lo escrito com o sinal do exclusivo exclusivo- Ou '

30.x)f(x)) ~f(x)], onde o símbolo """ significa exclusivo-or

em que forma seria totalmente exaustiva e, portanto, nomológica no sentido mais estreito. (Reichenbach, p. 376)

Na linha (30) o "(x)" significa "para todos" ou "para cada", uma forma usada por Russell e Reichenbach; hoje o simbolismo é geralmente Gerenciamento de contas Gerenciamento de contas - Sim. x. Assim, um exemplo da expressão pareceria assim:

• (porco.:Flies(porco.)) ~Flies(porco.)
• (Para todos os casos de "pig" visto e invisível): ("Pig voa" ou "Pig não voa" mas não ambos simultaneamente)

Formalistas versus Intuicionistas

Do final dos anos 1800 até os anos 1930, um debate amargo e persistente ocorreu entre Hilbert e seus seguidores contra Hermann Weyl e L. E. J. Brouwer. A filosofia de Brouwer, chamada de intuicionismo, começou para valer com Leopold Kronecker no final do século XIX.

Hilbert não gostou muito das ideias de Kronecker:

Kronecker insistiu que não poderia haver existência sem construção. Para ele, quanto a Paul Gordan [um outro matemático idoso], a prova de Hilbert da finitude da base do sistema invariante simplesmente não era matemática. Hilbert, por outro lado, ao longo de sua vida era insistir que, se pudermos provar que os atributos atribuídos a um conceito nunca levarão a uma contradição, a existência matemática do conceito é assim estabelecida (Reid p. 34)

Foi sua contenção [Kronecker] de que nada poderia ser dito ter existência matemática a menos que pudesse ser construído com um número finito de inteiros positivos (Reid p. 26)

O debate teve um efeito profundo em Hilbert. Reid indica que o segundo problema de Hilbert (um dos problemas de Hilbert da Segunda Conferência Internacional em Paris em 1900) evoluiu desse debate (itálico no original):

Em seu segundo problema, [Hilbert] tinha pedido um prova matemática da consistência dos axiomas da aritmética dos números reais.

Para mostrar o significado deste problema, ele acrescentou a seguinte observação:

"Se atributos contraditórios forem atribuídos a um conceito, eu digo que matematicamente o conceito não existe" (Reid p. 71)

Assim, Hilbert estava dizendo: "Se p e ~p são mostrados como verdadeiros, então p não existe', e estava assim invocando a lei do meio excluído lançada na forma da lei da contradição.

E, finalmente, construtivistas... restringiu a matemática ao estudo de operações concretas em estruturas infinitas finitas ou potencialmente (mas não realmente); completaram totalidades infinitas... foram rejeitadas, como eram provas indiretas baseadas na Lei do Meio Excluído. Os mais radicais entre os construtivistas foram os intuicionistas, liderados pelo erstwhile topologist L. E. J. Brouwer (Dawson p. 49)

O debate rancoroso continuou no início dos anos 1900 até os anos 1920; em 1927, Brouwer reclamou de "polemizar contra ele [o intuicionismo] em tom de escárnio" (Brouwer em van Heijenoort, p. 492). Mas o debate foi fértil: resultou em Principia Mathematica (1910-1913), e esse trabalho deu uma definição precisa à lei do terceiro excluído, e tudo isso forneceu um cenário intelectual e as ferramentas necessárias para os matemáticos do início do século 20:

Fora do rancor, e gerado em parte por ele, surgiram vários desenvolvimentos lógicos importantes; a axiomatização de Zermelo da teoria dos conjuntos (1908a), que foi seguida dois anos depois pelo primeiro volume de Principia Matemática, em que Russell e Whitehead mostraram como, através da teoria dos tipos: grande parte da aritmética poderia ser desenvolvida por meios lógicos (Dawson p. 49)

Brouwer reduziu o debate ao uso de provas elaboradas a partir de argumentos "negativos" ou "inexistência" versus "construtivo" prova:

De acordo com Brouwer, uma declaração de que um objeto existe tendo uma determinada propriedade significa que, e só é provado, quando um método é conhecido que, em princípio, pelo menos permitirá que tal objeto seja encontrado ou construído...

Hilbert naturalmente discordou.

"as provas de existência puras têm sido os marcos mais importantes no desenvolvimento histórico da nossa ciência", afirmou. (Rei p. 155)

Brouwer se recusou a aceitar o princípio lógico do meio excluído, Seu argumento foi o seguinte:

"Suponha que A é a declaração "Existe um membro do conjunto S ter a propriedade P" Se o conjunto for finito, é possível - em princípio - examinar cada membro de S e determinar se há um membro de S com a propriedade P ou que cada membro de S falta a propriedade P" (isso estava faltando uma citação final) Para conjuntos finitos, portanto, Brouwer aceitou o princípio do meio excluído como válido. Ele se recusou a aceitá-lo para conjuntos infinitos porque se o conjunto S é infinito, não podemos — mesmo em princípio — examinar cada membro do conjunto. Se, durante o nosso exame, encontrarmos um membro do conjunto com a propriedade P, a primeira alternativa é substanciada; mas se nunca encontrarmos tal membro, a segunda alternativa ainda não está fundamentada.

Uma vez que os teoremas matemáticos são muitas vezes comprovados ao estabelecer que a negação nos envolveria em uma contradição, essa terceira possibilidade que Brouwer sugeriu seria colocar em questão muitas das afirmações matemáticas atualmente aceitas.

"Levando o Princípio do Meio Excluído do matemático", disse Hilbert, "é o mesmo que proibir o pugilista o uso de seus punhos".

"A possível perda não parecia incomodar Weyl... O programa de Brouwer foi o futuro, ele insistiu para seus amigos em Zurique." (Reid, p. 149)

Em sua palestra em 1941 em Yale e no artigo subsequente, Gödel propôs uma solução: "que a negação de uma proposição universal deveria ser entendida como afirmando a existência... de um contra-exemplo" (Dawson, p. 157)

A abordagem de Gödel para a lei do meio excluído era afirmar que as objeções contra "o uso de 'definições impredicativas&# 39;" tinha "carregado mais peso" do que "a lei do terceiro excluído e teoremas relacionados do cálculo proposicional" (Dawson p. 156). Ele propôs seu "sistema Σ... e concluiu mencionando várias aplicações de sua interpretação. Entre eles estava uma prova da consistência com a lógica intuicionista do princípio ~ (∀A: (A ∨ ~A)) (apesar da inconsistência da suposição ∃ A: ~ (A ∨ ~A))" (Dawson, p. 157) (nenhum parêntese de fechamento foi colocado)

O debate parecia enfraquecer: matemáticos, lógicos e engenheiros continuam a usar a lei do meio excluído (e da dupla negação) em seu trabalho diário.

Definições intuicionistas da lei (princípio) do terceiro excluído

O seguinte destaca o profundo problema matemático e filosófico por trás do que significa "saber", e também ajuda a elucidar o que a "lei" implica (ou seja, o que a lei realmente significa). Surgem suas dificuldades com a lei: que eles não querem aceitar como verdadeiras as implicações tiradas daquilo que é inverificável (intestável, incognoscível) ou do impossível ou do falso. (Todas as citações são de van Heijenoort, itálico adicionado).

Brouwer oferece sua definição de "princípio do terceiro excluído"; vemos aqui também a questão da "testabilidade":

Com base na testabilidade mencionada, existe, para propriedades concebidas dentro de um sistema principal finito específico, o "princípio do meio excluído", isto é, o princípio de que para cada sistema cada propriedade é correta [ricotivista] ou impossível, e em particular o princípio da reciprocidade das espécies complementares, isto é, o princípio que para cada sistema a correção de uma propriedade segue da impossibilidade da impossibilidade desta propriedade. (335)

Kolmogorov cita os dois axiomas de negação de Hilbert

5. A →A → B)
6. (A → B) →A → B) → B?

O primeiro axioma de negação de Hilbert, "qualquer coisa segue do falso", fez sua aparência apenas com a ascensão da lógica simbólica, como fez o primeiro axioma da implicação... enquanto... o axioma em consideração [axioma 5] afirma algo sobre as consequências de algo impossível: temos que aceitar B se o verdadeiro julgamento A é considerado falso...

O segundo axioma de negação de Hilbert expressa o princípio do meio excluído. O princípio é expresso aqui na forma em que é usado para derivações: se B a partir de A assim como de ~A, então B é verdade. Sua forma habitual, "todo julgamento é verdadeiro ou falso" é equivalente ao dado acima".

Da primeira interpretação da negação, ou seja, a interdição de relação ao julgamento como verdadeiro, é impossível obter a certeza de que o princípio do meio excluído é verdadeiro... Brouwer mostrou que, no caso de tais sentenças transfinitas, o princípio do meio excluído não pode ser considerado óbvio

Nota de rodapé 9: "Esta é a formulação muito simples de Leibniz (veja Nouveaux Essais, IV,2). A formulação "A ou B ou não...B" não tem nada a ver com a lógica dos julgamentos.

Nota de rodapé 10: "Sinbolicamente a segunda forma é expressa assim

A ∨ ~A

onde ∨ significa "ou". A equivalência das duas formas é facilmente comprovada (p. 421)

Exemplos

Por exemplo, se P é a proposição:

Sócrates é mortal.

então a lei do terceiro excluído sustenta que a disjunção lógica:

Ou Sócrates é mortal, ou não é o caso de Sócrates ser mortal.

é verdadeiro apenas em virtude de sua forma. Ou seja, o "meio" A posição de que Sócrates não é nem mortal nem não-mortal é excluída pela lógica e, portanto, ou a primeira possibilidade (Sócrates é mortal) ou sua negação (não é o caso de Sócrates ser mortal) deve ser verdadeiro.

Segue um exemplo de um argumento que depende da lei do terceiro excluído. Procuramos provar que

existem dois números irracionais umNão. e b)Não. tal que umb){displaystyle a^{b}} é racional.

Sabe-se que 2(2}}} é irracional (ver prova). Considere o número

22{displaystyle {sqrt {2}}^{sqrt {2}}}.

Claramente (excluído o meio) este número é racional ou irracional. Se for racional, a prova está completa e

um= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2- Sim. e b)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2{displaystyle b={sqrt {2}}}.

Mas se 22{displaystyle {sqrt {2}}^{sqrt {2}}} é irracional, então deixe

um= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =22- Sim. {2}}^{sqrt {2}}} e b)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2{displaystyle b={sqrt {2}}}.

Então

umb)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(22)2= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2(2)) 2)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =22= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2{displaystyle a^{b}=left({sqrt {2}}^{sqrt {2}}right)^{sqrt {2}}={sqrt {2}}^{left({sqrt {2}}cdot {sqrt {2}}right)}={sqrt {2}}^{2}=2},

e 2 é certamente racional. Isso conclui a prova.

No argumento acima, a afirmação "esse número é racional ou irracional" invoca a lei do meio excluído. Um intuicionista, por exemplo, não aceitaria esse argumento sem mais suporte para essa afirmação. Isso pode vir na forma de uma prova de que o número em questão é de fato irracional (ou racional, conforme o caso); ou um algoritmo finito que poderia determinar se o número é racional.

Provas não construtivas sobre o infinito

A prova acima é um exemplo de prova não construtiva rejeitada pelos intuicionistas:

A prova é não-construtiva porque não dá números específicos umNão. e b)Não. que satisfaçam o teorema, mas apenas duas possibilidades separadas, uma das quais deve funcionar. (Atualmente) um= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =22- Sim. {2}}^{sqrt {2}}} é irracional, mas não há prova fácil conhecida desse fato.) (Davis 2000:220)

(As provas construtivas do exemplo específico acima não são difíceis de produzir; por exemplo, um= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =2- Sim. e b)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =log2⁡ ⁡ 9_{2}9} são facilmente mostrados para ser irracional, e umb)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =3- Sim.; uma prova permitida por intuicionistas).

Por não construtivo, Davis quer dizer que "uma prova de que realmente existem entidades matemáticas satisfazendo certas condições não precisaria fornecer um método para exibir explicitamente as entidades em questão." (pág. 85). Tais provas pressupõem a existência de uma totalidade que é completa, uma noção rejeitada pelos intuicionistas quando estendida ao infinito – para eles o infinito nunca pode ser completo:

Em matemática clássica ocorrem não-construtivo ou indirectamente provas de existência, que os intuicionistas não aceitam. Por exemplo, para provar existe um n tal que P(n), o matemático clássico pode deduzir uma contradição da suposição para todos n, não P(n). Sob a lógica clássica e intuicionista, por reductio ad absurdum isto dá não para todos n, não P(n). A lógica clássica permite que este resultado seja transformado em existe um n tal que P(n), mas não em geral o intuicionista... o significado clássico, que em algum lugar na totalidade infinita completa dos números naturais ocorre um n tal que P(n), não está disponível para ele, uma vez que ele não concebe os números naturais como uma totalidade completa. (Kleene 1952:49–50)

David Hilbert e Luitzen E. J. Brouwer dão exemplos da lei do terceiro excluído estendida ao infinito. O exemplo de Hilbert: "a afirmação de que existem apenas números primos finitos ou infinitos" (citado em Davis 2000:97); e Brouwer: "Toda espécie matemática é finita ou infinita." (Brouwer 1923 em van Heijenoort 1967:336). Em geral, os intuicionistas permitem o uso da lei do terceiro excluído quando ela está confinada ao discurso sobre coleções finitas (conjuntos), mas não quando é usada no discurso sobre conjuntos infinitos (por exemplo, os números naturais). Assim, os intuicionistas rejeitam absolutamente a afirmação geral: "Para todas as proposições P referentes a conjuntos infinitos D: P ou ~P" (Kleene 1952:48).

Contra-exemplos putativos para a lei do terceiro excluído incluem o paradoxo do mentiroso ou o paradoxo de Quine. Certas resoluções desses paradoxos, particularmente o dialeteísmo de Graham Priest formalizado em LP, têm a lei do terceiro excluído como um teorema, mas resolvem o Mentiroso como verdadeiro e falso. Dessa forma, a lei do terceiro excluído é verdadeira, mas como a própria verdade e, portanto, a disjunção não é exclusiva, ela diz quase nada se um dos disjuntos é paradoxal ou verdadeiro e falso.

Críticas

Muitos sistemas lógicos modernos substituem a lei do terceiro excluído pelo conceito de negação como falha. Em vez de uma proposição ser verdadeira ou falsa, uma proposição é verdadeira ou não pode ser provada como verdadeira. Essas duas dicotomias diferem apenas em sistemas lógicos que não são completos. O princípio da negação como falha é usado como base para a lógica autoepistêmica e é amplamente utilizado na programação lógica. Nesses sistemas, o programador é livre para afirmar a lei do terceiro excluído como um fato verdadeiro, mas não está embutido a priori nesses sistemas.

Matemáticos como L. E. J. Brouwer e Arend Heyting também contestaram a utilidade da lei do meio excluído no contexto da matemática moderna.

Na lógica matemática

Na lógica matemática moderna, argumenta-se que o meio excluído resulta em uma possível autocontradição. É possível em lógica fazer proposições bem construídas que não podem ser nem verdadeiras nem falsas; um exemplo comum disso é o "paradoxo do mentiroso", a afirmação "esta afirmação é falsa", que é argumentada para si mesma não ser nem verdadeira nem falsa. Arthur Prior argumentou que O Paradoxo não é um exemplo de uma declaração que não pode ser verdadeira ou falsa. A lei do terceiro excluído ainda vale aqui, pois a negação desta afirmação "Esta afirmação não é falsa", pode ser atribuída como verdadeira. Na teoria dos conjuntos, tal paradoxo autorreferencial pode ser construído examinando o conjunto "o conjunto de todos os conjuntos que não se contêm a si mesmos". Esse conjunto é definido de forma inequívoca, mas leva a um paradoxo de Russell: o conjunto contém, como um de seus elementos, a si mesmo? No entanto, na moderna teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, esse tipo de contradição não é mais admitido. Além disso, paradoxos de auto-referência podem ser construídos sem sequer invocar a negação, como no paradoxo de Curry.

Leis análogas

Alguns sistemas de lógica têm leis diferentes, mas análogas. Para algumas lógicas finitas de n-valores, existe uma lei análoga chamada lei dos excluídos n+1º. Se a negação é cíclica e "∨" é um "operador máximo", então a lei pode ser expressa na linguagem objeto por (P ∨ ~P ∨ ~~P ∨... ∨ ~...~P), onde " ~...~" representa n−1 sinais de negação e "∨... ∨" n−1 sinais de disjunção. É fácil verificar que a sentença deve receber pelo menos um dos n valores de verdade (e não um valor que não seja um dos n).

Outros sistemas rejeitam totalmente a lei.