Kurt Gödel

Kurt Gödel (GUR-dəl, Alemão: [keditar _ editar código-fonte] (Ouça.); 28 de abril de 1906 - 14 de janeiro de 1978) foi um lógico, matemático e filósofo. Considerado junto com Aristóteles e Gottlob Frege como um dos lógicos mais significativos da história, Gödel teve um efeito imenso sobre o pensamento científico e filosófico no século XX, um momento em que outros como Bertrand Russell, Alfred North Whitehead, e David Hilbert estavam usando lógica e teoria definida para investigar os fundamentos da matemática, construindo no trabalho anterior pelos gostos de Richard Dedekind, Georg Cantor e Frege.

As descobertas de Gödel nos fundamentos da matemática levaram à prova do teorema da completude de Gödel em 1929 como parte de sua dissertação para obter um doutorado na Universidade de Viena e à publicação dos dois livros de Gödel& #39;s teoremas da incompletude dois anos depois, em 1931. O primeiro teorema da incompletude afirma que, para qualquer sistema axiomático recursivo consistente em ω poderoso o suficiente para descrever a aritmética dos números naturais (por exemplo, aritmética de Peano), existem proposições verdadeiras sobre os números naturais que não podem ser provados nem refutados pelos axiomas. Para provar isso, Gödel desenvolveu uma técnica agora conhecida como numeração de Gödel, que codifica expressões formais como números naturais. O segundo teorema da incompletude, que decorre do primeiro, afirma que o sistema não pode provar sua própria consistência.

Gödel também mostrou que nem o axioma da escolha nem a hipótese do contínuo podem ser refutados da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel aceita, assumindo que seus axiomas são consistentes. O resultado anterior abriu a porta para os matemáticos assumirem o axioma da escolha em suas provas. Ele também fez importantes contribuições para a teoria da prova, esclarecendo as conexões entre lógica clássica, lógica intuicionista e lógica modal.

Infância e educação

Infância

Gödel nasceu em 28 de abril de 1906 em Brünn (atual Brno), Áustria-Hungria (atual República Tcheca), na família de língua alemã de Rudolf Gödel (1874–1929), diretor administrativo e co-proprietário de uma grande empresa têxtil e Marianne Gödel (nascida Handschuh, 1879–1966). Na época de seu nascimento, a cidade tinha uma maioria de língua alemã, que incluía seus pais. Seu pai era católico e sua mãe protestante e os filhos foram criados protestantes. Os ancestrais de Kurt Gödel eram frequentemente ativos na vida cultural de Brünn. Por exemplo, seu avô Joseph Gödel foi um cantor famoso em sua época e por alguns anos membro do Brünner Männergesangverein (União Coral Masculina de Brünn).

Gödel tornou-se cidadão da Tchecoslováquia automaticamente aos 12 anos, quando o Império Austro-Húngaro entrou em colapso após sua derrota na Primeira Guerra Mundial. De acordo com seu colega Klepetař, como muitos residentes da região predominantemente alemã Sudetenländer, "Gödel sempre se considerou austríaco e exilado na Tchecoslováquia". Em fevereiro de 1929, ele foi liberado de sua cidadania tchecoslovaca e, em abril, recebeu a cidadania austríaca. Quando a Alemanha anexou a Áustria em 1938, Gödel tornou-se automaticamente cidadão alemão aos 32 anos. Em 1948, após a Segunda Guerra Mundial, aos 42 anos, tornou-se cidadão americano.

Na família, o jovem Gödel era apelidado de Herr Warum ("Sr. Por que&# 34;) por causa de sua curiosidade insaciável. De acordo com seu irmão Rudolf, aos seis ou sete anos de idade, Kurt sofria de febre reumática; ele se recuperou completamente, mas pelo resto de sua vida permaneceu convencido de que seu coração havia sofrido danos permanentes. A partir dos quatro anos, Gödel sofria de "episódios frequentes de problemas de saúde", que continuariam por toda a vida.

Gödel frequentou a Evangelische Volksschule, uma escola luterana em Brünn de 1912 a 1916, e foi matriculada na o Deutsches Staats-Realgymnasium de 1916 a 1924, destacando-se com honras em todas as suas disciplinas, particularmente em matemática, línguas e religião. Embora Gödel tenha se destacado primeiro em idiomas, mais tarde ele se interessou mais por história e matemática. Seu interesse pela matemática aumentou quando, em 1920, seu irmão mais velho Rudolf (nascido em 1902) partiu para Viena, onde cursou medicina na Universidade de Viena. Durante a adolescência, Gödel estudou a taquigrafia de Gabelsberger, a Teoria das Cores de Goethe e as críticas de Isaac Newton, e os escritos de Immanuel Kant.

Estudos em Viena

Plaque para Gödel em 43-45 Josefstädter Straße[de], Viena, onde ele descobriu seus teoremas de incompletude

Aos 18 anos, Gödel juntou-se ao irmão na Universidade de Viena. Naquela época, ele já dominava a matemática de nível universitário. Embora inicialmente pretendesse estudar física teórica, também frequentou cursos de matemática e filosofia. Durante esse tempo, ele adotou ideias de realismo matemático. Ele leu Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft de Kant e participou do Círculo de Viena com Moritz Schlick, Hans Hahn e Rudolf Carnap. Gödel então estudou teoria dos números, mas quando participou de um seminário dirigido por Moritz Schlick que estudou o livro Introdução à filosofia matemática de Bertrand Russell, ele se interessou por lógica matemática. De acordo com Gödel, a lógica matemática era "uma ciência anterior a todas as outras, que contém as ideias e os princípios subjacentes a todas as ciências"

Assistir a uma palestra de David Hilbert em Bolonha sobre completude e consistência em sistemas matemáticos pode ter definido o rumo da vida de Gödel. Em 1928, Hilbert e Wilhelm Ackermann publicaram Grundzüge der theoretischen Logik (Princípios de lógica matemática), uma introdução à lógica de primeira ordem na qual o problema da completude foi colocado: "Os axiomas de um sistema formal são suficientes para derivar todas as afirmações que são verdadeiras em todos os modelos do sistema?"

Esse problema se tornou o tema que Gödel escolheu para seu trabalho de doutorado. Em 1929, aos 23 anos, completou sua tese de doutorado sob a supervisão de Hans Hahn. Nele, ele estabeleceu seu teorema de completude homônimo sobre o cálculo de predicados de primeira ordem. Ele obteve seu doutorado em 1930, e sua tese (acompanhada de algum trabalho adicional) foi publicada pela Academia de Ciências de Viena.

Carreira

Teoremas da incompletude

A conquista de Kurt Gödel na lógica moderna é singular e monumental, pois é mais do que um monumento, é um marco que permanecerá visível no espaço e no tempo.... O tema da lógica mudou completamente sua natureza e possibilidades com a conquista de Gödel.

—John von Neumann

Em 1930, Gödel participou da Segunda Conferência sobre Epistemologia das Ciências Exatas, realizada em Königsberg, de 5 a 7 de setembro. Aqui ele entregou seus teoremas de incompletude.

Gödel publicou seus teoremas de incompletude em Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (chamado em inglês "On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems"). Nesse artigo, ele provou para qualquer sistema axiomático computável que seja poderoso o suficiente para descrever a aritmética dos números naturais (por exemplo, os axiomas de Peano ou a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha), que:

1. Se um sistema (lógico ou axiomático formal) é ômega-consistente, não pode ser sinteticamente completo.
2. A consistência dos axiomas não pode ser provada dentro de seu próprio sistema.

Esses teoremas encerraram meio século de tentativas, começando com o trabalho de Gottlob Frege e culminando no Principia Mathematica e o Programa de Hilbert, para encontrar uma axiomatização não relativamente consistente suficiente para a teoria dos números (que serviria de base para outros campos da matemática).

Em retrospectiva, a ideia básica no cerne do teorema da incompletude é bastante simples. Gödel essencialmente construiu uma fórmula que afirma que é improvável em um determinado sistema formal. Se fosse demonstrável, seria falso. Assim, sempre haverá pelo menos uma afirmação verdadeira, mas improvável. Isto é, para qualquer conjunto de axiomas para aritmética computavelmente enumerável (isto é, um conjunto que pode, em princípio, ser impresso por um computador idealizado com recursos ilimitados), existe uma fórmula que é verdadeira para a aritmética, mas que não é demonstrável em esse sistema. Para tornar isso preciso, no entanto, Gödel precisava produzir um método para codificar (como números naturais) declarações, provas e o conceito de demonstrabilidade; ele fez isso usando um processo conhecido como numeração de Gödel.

Em seu artigo de duas páginas Zum intuitivoistischen Aussagenkalkül (1932), Gödel refutou o valor finito do intuicionista lógica. Na prova, ele implicitamente usou o que mais tarde se tornou conhecido como lógica intermediária de Gödel-Dummett (ou lógica difusa de Gödel).

Meados da década de 1930: trabalho adicional e visitas aos Estados Unidos

Gödel obteve sua habilitação em Viena em 1932 e, em 1933, tornou-se Privatdozent (professor não remunerado) lá. Em 1933, Adolf Hitler chegou ao poder na Alemanha e, nos anos seguintes, os nazistas aumentaram sua influência na Áustria e entre os matemáticos de Viena. Em junho de 1936, Moritz Schlick, cujo seminário despertou o interesse de Gödel pela lógica, foi assassinado por um de seus ex-alunos, Johann Nelböck. Isso desencadeou "uma grave crise nervosa" em Godel. Ele desenvolveu sintomas paranóicos, incluindo medo de ser envenenado, e passou vários meses em um sanatório para doenças nervosas.

Em 1933, Gödel viajou pela primeira vez para os Estados Unidos, onde conheceu Albert Einstein, de quem se tornou um bom amigo. Ele fez um discurso na reunião anual da American Mathematical Society. Durante este ano, Gödel também desenvolveu as ideias de computabilidade e funções recursivas a ponto de apresentar uma palestra sobre funções recursivas gerais e o conceito de verdade. Este trabalho foi desenvolvido em teoria dos números, utilizando a numeração de Gödel.

Em 1934, Gödel deu uma série de palestras no Instituto de Estudos Avançados (IAS) em Princeton, Nova Jersey, intitulada Sobre proposições indecidíveis de sistemas matemáticos formais. Stephen Kleene, que acabara de concluir seu doutorado em Princeton, fez anotações dessas palestras que foram posteriormente publicadas.

Gödel visitou o IAS novamente no outono de 1935. As viagens e o trabalho árduo o esgotaram e no ano seguinte ele fez uma pausa para se recuperar de um episódio depressivo. Retornou ao ensino em 1937. Nesse período, trabalhou na prova de consistência do axioma da escolha e da hipótese do contínuo; ele passou a mostrar que essas hipóteses não podem ser refutadas a partir do sistema comum de axiomas da teoria dos conjuntos.

Ele se casou com Adele Nimbursky [es; ast] (nascida Porkert, 1899–1981), que ele conhecia há mais de 10 anos, em 20 de setembro de 1938. Os pais de Gödel se opuseram ao relacionamento porque ela era uma dançarina divorciada, seis anos mais velha do que ele era.

Posteriormente, ele partiu para outra visita aos Estados Unidos, passando o outono de 1938 no IAS e publicando Consistência do axioma da escolha e da hipótese do contínuo generalizado com os axiomas da teoria dos conjuntos, um clássico da matemática moderna. Nesse trabalho ele introduziu o universo construtível, um modelo de teoria dos conjuntos em que os únicos conjuntos existentes são aqueles que podem ser construídos a partir de conjuntos mais simples. Gödel mostrou que tanto o axioma da escolha (AC) quanto a hipótese do contínuo generalizado (GCH) são verdadeiros no universo construtível e, portanto, devem ser consistentes com os axiomas de Zermelo-Fraenkel para a teoria dos conjuntos (ZF). Este resultado teve consequências consideráveis para os matemáticos, pois significa que eles podem assumir o axioma da escolha ao provar o teorema de Hahn-Banach. Paul Cohen mais tarde construiu um modelo de ZF no qual AC e GCH são falsos; juntas, essas provas significam que AC e GCH são independentes dos axiomas ZF para a teoria dos conjuntos.

Gödel passou a primavera de 1939 na Universidade de Notre Dame.

Princeton, Einstein, cidadania americana

Após o Anschluss em 12 de março de 1938, a Áustria tornou-se parte da Alemanha nazista. A Alemanha aboliu o título Privatdozent, então Gödel teve que se candidatar a um cargo diferente sob a nova ordem. Sua antiga associação com membros judeus do Círculo de Viena, especialmente com Hahn, pesou contra ele. A Universidade de Viena recusou seu pedido.

Sua situação se intensificou quando o exército alemão o considerou apto para o recrutamento. A Segunda Guerra Mundial começou em setembro de 1939. Antes do final do ano, Gödel e sua esposa deixaram Viena para Princeton. Para evitar a dificuldade de uma travessia do Atlântico, os Gödels pegaram a Ferrovia Transiberiana para o Pacífico, navegaram do Japão para São Francisco (onde chegaram em 4 de março de 1940) e depois cruzaram os Estados Unidos de trem para Princeton. Lá Gödel aceitou um cargo no Instituto de Estudos Avançados (IAS), que ele havia visitado anteriormente durante 1933–34.

Albert Einstein também morava em Princeton nessa época. Gödel e Einstein desenvolveram uma forte amizade e eram conhecidos por fazerem longas caminhadas juntos de e para o Instituto de Estudos Avançados. A natureza de suas conversas era um mistério para os outros membros do Instituto. O economista Oskar Morgenstern conta que, no final de sua vida, Einstein confidenciou que seu "próprio trabalho já não significava muito, que ele veio ao Instituto apenas... para ter o privilégio de voltar para casa com Gödel".

Gödel e sua esposa, Adele, passaram o verão de 1942 em Blue Hill, Maine, no Blue Hill Inn no topo da baía. Gödel não estava apenas de férias, mas teve um verão de trabalho muito produtivo. Usando Heft 15 [volume 15] do Arbeitshefte [cadernos de trabalho], John W. Dawson Jr. conjetura que Gödel descobriu uma prova para a independência do axioma da escolha da teoria dos tipos finitos, uma forma enfraquecida de teoria dos conjuntos, enquanto em Blue Hill em 1942. O amigo próximo de Gödel, Hao Wang, apóia essa conjectura, observando que os cadernos de Blue Hill de Gödel contêm seu tratamento mais extenso do problema.

Em 5 de dezembro de 1947, Einstein e Morgenstern acompanharam Gödel ao seu exame de cidadania americana, onde atuaram como testemunhas. Gödel confidenciou a eles que havia descoberto uma inconsistência na Constituição dos Estados Unidos que poderia permitir que os Estados Unidos se tornassem uma ditadura; desde então, isso foi apelidado de brecha de Gödel. Einstein e Morgenstern estavam preocupados que o comportamento imprevisível de seu amigo pudesse prejudicar sua inscrição. O juiz acabou sendo Phillip Forman, que conhecia Einstein e prestou juramento na audiência de cidadania do próprio Einstein. Tudo correu bem até que Forman perguntou a Gödel se ele achava que uma ditadura como o regime nazista poderia acontecer nos Estados Unidos. Gödel então começou a explicar sua descoberta a Forman. Forman entendeu o que estava acontecendo, interrompeu Gödel e mudou a audiência para outras questões e uma conclusão de rotina.

Gödel tornou-se membro permanente do Institute for Advanced Study em Princeton em 1946. Nessa época ele parou de publicar, embora continuasse a trabalhar. Tornou-se professor titular do Instituto em 1953 e professor emérito em 1976.

Durante seu tempo no instituto, os interesses de Gödel se voltaram para a filosofia e a física. Em 1949, ele demonstrou a existência de soluções envolvendo curvas temporais fechadas, para as equações de campo de Einstein na relatividade geral. Diz-se que ele deu essa elaboração a Einstein como presente em seu 70º aniversário. Seus "universos rotativos" permitiria viajar no tempo para o passado e fez com que Einstein tivesse dúvidas sobre sua própria teoria. Suas soluções são conhecidas como métrica de Gödel (uma solução exata da equação de campo de Einstein).

Ele estudou e admirou as obras de Gottfried Leibniz, mas passou a acreditar que uma conspiração hostil fez com que algumas das obras de Leibniz fossem suprimidas. Em menor grau, ele estudou Immanuel Kant e Edmund Husserl. No início dos anos 1970, Gödel circulou entre seus amigos uma elaboração da versão de Leibniz da prova ontológica de Anselmo de Canterbury da existência de Deus. Isso agora é conhecido como prova ontológica de Gödel.

Prêmios e homenagens

Gödel recebeu (com Julian Schwinger) o primeiro Prêmio Albert Einstein em 1951, e também a Medalha Nacional de Ciência, em 1974. Gödel foi eleito membro residente da American Philosophical Society em 1961 e membro estrangeiro da a Royal Society (ForMemRS) em 1968. Ele foi o Plenário do ICM em 1950 em Cambridge, Massachusetts. O Prêmio Gödel, um prêmio anual para trabalhos de destaque na área de ciência da computação teórica, leva seu nome.

Vida e morte posteriores

Gravestone de Kurt e Adele Gödel no Princeton, N.J., cemitério

Mais tarde em sua vida, Gödel sofreu períodos de instabilidade mental e doença. Após o assassinato de seu amigo Moritz Schlick, Gödel desenvolveu um medo obsessivo de ser envenenado e comia apenas comida preparada por sua esposa Adele. Adele foi hospitalizada no final de 1977 e, em sua ausência, Gödel se recusou a comer; ele pesava 29 quilos (65 lb) quando morreu de "desnutrição e inanição causada por distúrbio de personalidade" no Princeton Hospital em 14 de janeiro de 1978. Ele foi enterrado no Cemitério de Princeton. Adele morreu em 1981.

Visões religiosas

Gödel acreditava que Deus era pessoal e chamava sua filosofia de "racionalista, idealista, otimista e teológica".

Gödel acreditava em uma vida após a morte, dizendo: "Claro que isso supõe que existem muitas relações das quais a ciência de hoje e a sabedoria recebida não têm nenhuma idéia". Mas estou convencido disso [a vida após a morte], independentemente de qualquer teologia”. É "possível hoje perceber, por puro raciocínio" que "é inteiramente consistente com os fatos conhecidos." "Se o mundo é construído racionalmente e tem significado, então deve haver algo [como uma vida após a morte]".

Em uma resposta não enviada a um questionário, Gödel descreveu sua religião como "luterana batizada (mas não membro de nenhuma congregação religiosa). Minha crença é teísta, não panteísta, seguindo Leibniz em vez de Spinoza." Da(s) religião(ões) em geral, ele disse: "As religiões são, na maioria das vezes, ruins - mas a religião não é". De acordo com sua esposa Adele, "Gödel, embora não fosse à igreja, era religioso e lia a Bíblia na cama todos os domingos de manhã", enquanto sobre o Islã, ele disse: "Gosto do Islã: é uma ideia consistente [ou conseqüente] de religião e de mente aberta."

Legado

Douglas Hofstadter escreveu o livro de 1979 Gödel, Escher, Bach para celebrar o trabalho e as ideias de Gödel, M. C. Escher e Johann Sebastian Bach. Ele explora parcialmente as ramificações do fato de que o teorema da incompletude de Gödel pode ser aplicado a qualquer sistema computacional Turing-completo, que pode incluir o cérebro humano.

A Kurt Gödel Society, fundada em 1987, foi nomeada em sua homenagem. É uma organização internacional para a promoção da pesquisa em lógica, filosofia e história da matemática. A Universidade de Viena hospeda o Centro de Pesquisa Kurt Gödel para Lógica Matemática. A Association for Symbolic Logic convidou um palestrante anual de Kurt Gödel todos os anos desde 1990. Os Cadernos Filosóficos de Gödel arquivados em 14 de maio de 2019, na Wayback Machine, são editados no Kurt Gödel Research Center Arquivados em 14 de maio de 2019, no Wayback Machine, que está situado na Academia de Ciências e Humanidades Berlin-Brandenburg, na Alemanha.

Lou Jacobi interpreta Gödel no filme de 1994 I.Q.

Cinco volumes das obras coletadas de Gödel foram publicados. Os dois primeiros incluem suas publicações; o terceiro inclui manuscritos inéditos de seu Nachlass, e os dois últimos incluem correspondência.

Em 2005, John Dawson publicou uma biografia de Gödel, Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel (A. K. Peters, Wellesley, MA, ISBN 1-56881-256-6). O livro de Stephen Budiansky sobre a vida de Gödel, Journey to the Edge of Reason: The Life of Kurt Gödel (W. W. Norton & Company, New York City, NY, ISBN 978- 0-393-35820-9), foi um dos críticos do New York Times. Livro Top de 2021. See More

Gödel também foi um dos quatro matemáticos examinados no documentário de 2008 da BBC de David Malone Dangerous Knowledge.