Introdução bicondicional

Na lógica proposicional, introdução bicondicional é uma regra válida de inferência. Permite que um infera um bicondicional de duas declarações condicionais. A regra torna possível introduzir uma declaração bicondicional em uma prova lógica. Se P→ → QNão. Pto Q. é verdade, e se Q→ → PNão. Qto P} é verdade, então pode-se inferir que P↔ ↔ QNão. Pleftrightarrow Q} é verdade. Por exemplo, das afirmações "se eu estiver respirando, então eu estou vivo" e "se eu estiver vivo, então eu estou respirando", pode ser inferido que "eu estou respirando se e somente se eu estiver vivo". A introdução bicondicional é o converso da eliminação bicondicional. A regra pode ser declarada formalmente como:

P→ → Q,Q→ → P∴ ∴ P↔ ↔ Q{displaystyle {frac {Pto Q,Qto P}{fore Pleftrightarrow Q}}}

onde a regra é que onde quer que instâncias de "P→ → QNão. Pto Q."e"Q→ → PNão. Qto P}" aparecem em linhas de uma prova, "P↔ ↔ QNão. Pleftrightarrow Q}" pode validamente ser colocado em uma linha subsequente.

Notação formal

A regra da introdução bicondicional pode ser escrita em notação sequencial:

(P→ → Q),(Q→ → P)? ? (P↔ ↔ Q)(Pto Q),(Qto P)vdash (Pleftrightarrow Q)}

Onde? ? ? - Sim. é um símbolo metalógico que significa que P↔ ↔ QNão. Pleftrightarrow Q} é uma consequência sintática quando P→ → QNão. Pto Q. e Q→ → PNão. Qto P} estão ambos em uma prova;

ou como a declaração de uma tautologia verofuncional ou teorema da lógica proposicional:

((P→ → Q)∧ ∧ (Q→ → P))→ → (P↔ ↔ Q)(Pto Q)land (Qto P))to (Pleftrightarrow Q)}

Onde? PNão. P.e QNão. são proposições expressas em algum sistema formal.