Índice de Pareto

Na economia, o índice de Pareto, em homenagem ao economista e sociólogo italiano Vilfredo Pareto, é uma medida da amplitude da distribuição de renda ou riqueza. É um dos parâmetros que especificam uma distribuição de Pareto e incorpora o princípio de Pareto. Aplicado à renda, o princípio de Pareto às vezes é declarado em exposições populares dizendo que q=20% da população tem p=80% da renda. De fato, os dados de Pareto sobre o imposto de renda britânico em seu Cours d'économie politique indicam que cerca de 20% da população detinha cerca de 80% da renda. Por exemplo, se a população é 100 e a riqueza total é $ 100x_m, então juntas q=20 pessoas têm px_m=$80x_m. Portanto, cada uma dessas pessoas tem x=px_m/q=$4x_m.

Uma das caracterizações mais simples da distribuição de Pareto, quando usada para modelar a distribuição de renda, diz que a proporção da população cuja renda excede qualquer número positivo x > x_m é

q= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(xmx)α α = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(qp)α α {displaystyle q=left({frac) (x) {m} }}{x}}right)^{alpha }=left({frac {q}{p}}right)^{alpha }}

onde x_m é um número positivo, o mínimo do suporte desta distribuição de probabilidade (o subscrito m significa mínimo). O índice de Pareto é o parâmetro α. Como uma proporção deve estar entre 0 e 1, inclusive, o índice α deve ser positivo, mas para que a renda total de toda a população seja finita, α também deve ser maior que 1. Quanto maior o índice de Pareto, menor a proporção de pessoas de renda muito alta.

Dado um p+q= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1Não. P+q=1 regra (por que?), com q}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">p>qNão. q" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3988956bbb7d322230b1aedcf7c5e3121da6edf4" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:5.427ex; height:2.176ex;"/>, o índice de Pareto é dado por:

α α = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =logp/q⁡ ⁡ 1/q= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =log⁡ ⁡ (1/q)/log⁡ ⁡ (p/q)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =log⁡ ⁡ (q)/log⁡ ⁡ (q/p).{displaystyle alpha =log _{p/q}1/q=log(1/q)/log(p/q)=log(q)/log(q/p).}

Se q= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1/n- Sim., isto simplifica a

α α = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =logn- Sim. - Sim. 1⁡ ⁡ (n).{displaystyle alpha =log _{n-1}(n). ?

Alternativamente, em termos de probabilidades, X:Y

α α = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =logX/Y⁡ ⁡ (X+Y)/Y,{displaystyle alpha =log _{X/Y}(X+Y)/Y,}

então X:1 resulta

α α = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =logX⁡ ⁡ (X+1).{displaystyle alpha =log _{X}(X+1).}

Por exemplo, a regra 80–20 (4:1) corresponde a α = log(5)/log(4) ≈ 1,16, 90–10 (9:1) corresponde a α = log(10)/log (9) ≈ 1,05 e 99–1 corresponde a α = log(100)/log(99) ≈ 1,002, enquanto a regra 70–30 corresponde a α = log(0,3)/log(0,3/0,7) ≈ 1,42 e 2:1 (67–33) corresponde a α = log(3)/log(2) ≈ 1,585.

Matematicamente, a fórmula acima implica que todas as rendas são pelo menos o limite inferior x_m, que é positivo. Com essa renda, a densidade de probabilidade repentinamente salta de zero e começa a diminuir, o que é claramente irreal. Os economistas, portanto, às vezes afirmam que a lei de Pareto, conforme declarada aqui, aplica-se apenas à cauda superior da distribuição.

Referências e links externos

• Vilfredo Pareto, Cours d'économie politique professé à l'université de Lausanne, 3 volumes, 1896–7.
• "Universal Structure of the Personal Income Distribution", Wataru Souma
• «Wealth Condensation in Pareto Macroeconomies», Z. Burda, D. Johnston, J. Jurkiewicz, M. Kamiński, M.A. Nowak, G. Papp, I. Zahed, Revisão Física E, volume 65, 2002.
• "Physics of Personal Income", Wataru Souma
• "Pareto Index Estimation Under Moderate Right Censoring", Jan Beirlant, Armelle Guillou, Jornal Atuária Escandinávia, volume 2 (2001), páginas 111–125.
• "Distribuição de riqueza em uma Sociedade Egípcia Antiga", A. Y. Abul-Magd, Revisão Física E, volume 66, 2002.
• "Índice de Paristo Induzida da Escala de Empresas", Atushi Ishikawa, Fisica A, volume 363, páginas 367–376, 2006.
• "Poder Lei Tails na distribuição de renda pessoal italiana", Fabio Clementi, Mauro Gallegati, Fisica A, volume 350, páginas 427–438, 2005.
• Efeitos de pequeno mundo na distribuição de riqueza, Wataru Souma, Yoshi Fujiwara, Hideaki Aoyama
• "Weak Limiting Behaviour of a Simple Tail Pareto-Index Estimator", J.N. Bacro e M. Brito, Journal of Statistical Planning and Inference, volume 45, número 1, 1995, páginas 7–19.
• Critério de Erro de Predição para Escolher o Quantil Inferior na Estimativa de Índice de Pareto, por Debbie Dupuis e Maria-Pia Victoria-Feser
• "Generalized Pareto Fit to the Society of Actuaries Large Claims Database", A. Cebrián, M. Denuit e Ph. Lambert, Jornal Atuarial da América do Norte, volume 8
• "Uma nova ilustração da Lei de Pareto", Josiah C. Stamp, Journal of the Royal Statistics Society, volume 77, número 2, páginas 200–204, janeiro 1914.
• "A Lei de Pareto e a Distribuição de Renda", G. Findlay Shirras, Jornal Económico, volume 45, número 180, páginas 663–681, dezembro 1935.
• "Índice de Paris" em várias línguas, do glossário de termos estatísticos do Instituto Estatístico Internacional.