Identidade de Bezout

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Na matemática, a identidade de Bézout (também chamada de Lema de Bézout), em homenagem a Étienne Bézout, é o seguinte teorema:

A identidade de Bézout—Vamos. $um$ e $b)$ ser inteiros com maior divisor comum $D$ . Então existem inteiros $x$ e $Sim.$ tal que $Ax + por = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = D$ . Além disso, os inteiros da forma $az + b)$ são exatamente os múltiplos de $D$ .

Aqui o maior divisor comum de $0$ e $0$ é levado a ser $0$ . Os inteiros $x$ e $Sim.$ são chamados Coeficientes de Bézout para $(um, b))$ ; eles não são únicos. Um par de coeficientes de Bézout pode ser computado pelo algoritmo Euclidiano estendido, e este par é, no caso de inteiros um dos dois pares tal que $|x|leq |b/d|}$ e $|y|leq |a/d|;}$ a igualdade ocorre somente se um de $um$ e $b)$ é um múltiplo do outro.

Como exemplo, o máximo divisor comum de 15 e 69 é 3, e 3 pode ser escrito como uma combinação de 15 e 69 como $3 = 15 \times (-9) + 69 \times 2,$ com coeficientes de Bézout −9 e 2.

Muitos outros teoremas da teoria elementar dos números, como o lema de Euclides ou o teorema chinês dos restos, resultam da identidade de Bézout.

Um domínio Bézout é um domínio integral no qual a identidade de Bézout se mantém. Em particular, a identidade de Bézout mantém-se em domínios ideais principais. Todo teorema que resulta da identidade de Bézout é, portanto, verdadeiro em todos os domínios de ideais principais.

Estrutura de soluções

Se $a$ e $b$ não forem zero e um par de coeficientes Bézout $(x, y)$ foi calculado (por exemplo, usando o algoritmo euclidiano estendido), todos os pares podem ser representados na forma

{displaystyle left(x-k{frac {b}{d}}, y+k{frac {a}{d}}right),}

k

D

um

b)

Se $a$ e $b< /span> são ambos diferentes de zero, então exatamente dois desses pares de coeficientes de Bézout satisfazem$

{displaystyle |x|leq left|{frac {b}{d}}right|quad {text{and}}quad |y|leq left|{frac {a}{d}}right|,}

um

b)

Isso depende de uma propriedade da divisão euclidiana: dado dois inteiros não-zero $c$ e $D$ , se $D$ não se divide $c$ , há exatamente um par $(q, R)$ tal que $Não. C=dq+r$ e ${displaystyle 0$ e outro tal que $Não. C=dq+r$ e ${displaystyle -|d|$

Os dois pares de pequenos coeficientes de Bézout são obtidos a partir do dado $(x, Sim.)$ escolhendo para $k$ na fórmula acima qualquer um dos dois inteiros ao lado $(x){b/d}}}$ .

O algoritmo euclidiano estendido sempre produz um desses dois pares mínimos.

Exemplo

Seja $a = 12$ e $b = 42$ , então $gcd (12, 42) = 6$ . Então são obtidas as seguintes identidades de Bézout, com os coeficientes de Bézout escritos em vermelho para os pares mínimos e em azul para os demais.

{displaystyle {begin{aligned}vdots \12× ({color {blue}{-10}})&+;;42× color {blue}{3}&=6\12× ({color {red}{-3}})&+;42× color {red}{1}=6&timetimetime ({color {red}{-1}})&=612× color {blue}{11}&+;;42× ({color {blue}{-3}})&=612× color {blue}{18}&+;42× ({color {blue}{-5}})&=6vdots

Se $(x,y)=(18,-5)}$ é o par original de coeficientes de Bézout, então ${displaystyle {frac {18}{42/6}}in [2,3]}$ produz os pares mínimos através $k = 2$ , respectivamente $k = 3$ ; isto é, $(18 - 2 \cdot 7, -5 + 2 \cdot 2) = (4, -1)$ e $(18 - 3 \cdot 7, -5 + 3 \cdot 2) = (-3, 1)$ .

Prova

Dado quaisquer inteiros nonzero $um$ e $b)$ , let ${displaystyle S={ax+by:x,yin mathbb {Z} {text{ and }}ax+by>0}.}$ O conjunto $S$ é nenhummpty uma vez que contém ou $um$ ou $- um$ (com ${displaystyle x=pm 1}$ e $- Sim.$ ). Desde então $S$ é um conjunto vazio de inteiros positivos, tem um elemento mínimo $- Sim.$ , pelo princípio de ordenação. Para provar que $D$ é o maior divisor comum de $um$ e $b)$ , deve ser provado que $D$ é um divisor comum de $um$ e $b)$ e isto para qualquer outro divisor comum $c$ , um tem ${displaystyle cleq d.}$

A divisão euclidiana de $a$ por $d$ pode ser escrito

{displaystyle a=dq+rquad {text{with}}quad 0leq r

R

{displaystyle Scup {0}}

{displaystyle {begin{aligned}r&=a-qd\&=a-q(as+bt)&=a(1-qs)-bqt.end{aligned}}}

R

- Sim.

{displaystyle rin Scup {0}.}

{displaystyle 0leq r

D

S

R

S

R

D

um

D

b)

D

um

b)

Agora, deixa. $c$ ser qualquer divisor comum de $um$ e $b)$ ; isto é, existe $u$ e $v$ tal que $- Sim.$ e $Não.$ Um tem assim

{displaystyle {begin{aligned}d&=as+bt\&=cus+cvt&=c(us+vt).end{aligned}}}

c

D

Não.

{displaystyle cleq d.}

Generalizações

Para três ou mais números inteiros

A identidade de Bézout pode ser estendida para mais de dois inteiros: se

{displaystyle gcd(a_{1},a_{2},ldotsa_{n})=d}

{displaystyle x_{1},x_{2},ldotsx_{n}}

Não. d=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+cdots +a_{n}x_{n}}

D é o menor inteiro positivo desta forma
cada número desta forma é um múltiplo de D

Para polinômios

A identidade de Bézout nem sempre é válida para polinômios. Por exemplo, ao trabalhar no anel polinomial de números inteiros: o máximo divisor comum de $2 x$ e $x 2$ é x, mas não existe nenhum polinômio de coeficiente inteiro p e q satisfazendo $2 xp + x 2 q = x$ .

No entanto, a identidade de Bézout funciona para polinômios univariados sobre um campo exatamente da mesma forma que para inteiros. Em particular, os coeficientes de Bézout e o máximo divisor comum podem ser calculados com o algoritmo euclidiano estendido.

Como as raízes comuns de dois polinômios são as raízes de seu máximo divisor comum, a identidade de Bézout e o teorema fundamental da álgebra implicam no seguinte resultado:

Para polinômios univariados

f

g

com coeficientes em um campo, existem polinômios um e b) tal que

af + b. = 1

se e somente se

f

g

não têm raiz comum em qualquer campo algébrica fechado (comum campo de números complexos).

A generalização deste resultado para qualquer número de polinômios e indeterminados é o Nullstellensatz de Hilbert.

Para domínios ideais principais

Como observado na introdução, a identidade de Bézout funciona não apenas no anel de inteiros, mas também em qualquer outro domínio ideal principal (PID). Isso é, se $R$ é um PID, e $um$ e $b)$ são elementos de $R$ e $D$ é um grande divisor comum de $um$ e $b)$ , então há elementos $x$ e $Sim.$ em $R$ tal que $- Sim.$ A razão é que o ideal $- Sim.$ é principal e igual a $Não. Rd.$

Um domínio integral no qual a identidade de Bézout é válida é chamado de domínio de Bézout.

História

O matemático francês Étienne Bézout (1730–1783) provou essa identidade para polinômios. Esta declaração para números inteiros já pode ser encontrada no trabalho de um antigo matemático francês, Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638).

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