Homomorfismo de grupo

Depicção de um homomorfismo de grupo (h) de G (à esquerda) H. H. H. (direita). O oval dentro H. H. H. é a imagem de h. N é o kernel do h e ANO é um conjunto de N.

Em matemática, dados dois grupos, (G, ∗) e (H, ·), um homomorfismo de grupo de (G, ∗) para (H, ·) é uma função h: G → H tal que para todo u e v em G é válido que

h(u∗ ∗ v)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =h(u))) h(v){displaystyle h(u*v)=h(u)cdot h(v)}

onde a operação de grupo no lado esquerdo da equação é a de G e no lado direito a de H.

A partir desta propriedade, pode-se deduzir que h mapeia o elemento de identidade e_G de G para o elemento de identidade e_H de H,

h(eG)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =eH. H. H.{displaystyle h(e_{G})=e_{H}}

e também mapeia inversos para inversos no sentido de que

h(u- Sim. - Sim. 1)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =h(u)- Sim. - Sim. 1.{displaystyle hleft(u^{-1}right)=h(u)^{-1}.,}

Portanto, pode-se dizer que h "é compatível com a estrutura do grupo".

Notações mais antigas para o homomorfismo h(x) pode ser x^h ou x_h, embora isso possa ser confundido como um índice ou um subescrito geral. Na teoria dos autômatos, às vezes os homomorfismos são escritos à direita de seus argumentos sem parênteses, de modo que h(x) torna-se simplesmente xhNão..

Em áreas da matemática onde se considera grupos dotados de estrutura adicional, um homomorfismo às vezes significa um mapa que respeita não apenas a estrutura do grupo (como acima), mas também a estrutura extra. Por exemplo, um homomorfismo de grupos topológicos geralmente precisa ser contínuo.

Intuição

O objetivo de definir um homomorfismo de grupo é criar funções que preservem a estrutura algébrica. Uma definição equivalente de homomorfismo de grupo é: A função h: G → H é um homomorfismo de grupo se sempre

um ∗ b) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = c nós temos h(um⋅) h(b)) = h(c).

Em outras palavras, o grupo H em certo sentido tem uma estrutura algébrica semelhante a G e o homomorfismo h preserva isso.

Tipos

Monomorfismo

Um homomorfismo de grupo que é injetivo (ou, um a um); isto é, preserva a nitidez.

Epimorfismo

Um homomorfismo de grupo que é subjetivo (ou, em); isto é, atinge cada ponto no codomínio.

Isomorfismo

Um homomorfismo de grupo que é bijetivo; isto é, injetivo e surjetivo. Seu inverso também é um homomorfismo de grupo. Neste caso, os grupos G e H. H. H. são chamados isomorfo; eles diferem apenas na notação de seus elementos e são idênticos para todos os fins práticos.

Endomorfismo

Um homomorfismo de grupo, h: G → G; o domínio e o codomínio são os mesmos. Também chamado de endomorfismo de G.

Automorfismo

Um endomorfismo de grupo que é bijetivo e, portanto, um isomorfismo. O conjunto de todos os automorfismos de um grupo G, com composição funcional como operação, ele próprio forma um grupo, o grupo de automorfismo de G. É denotado por Aut(G). Como exemplo, o grupo de automorfismo (Z., +) contém apenas dois elementos, a transformação da identidade e a multiplicação com −1; é isomorfo para (Z./2Z., +).

Imagem e kernel

Definimos o kernel de h como o conjunto de elementos em G que são mapeados para a identidade em H

ker⁡ ⁡ (h)?(u∈ ∈ G:: h(u)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =eH. H. H.?.{displaystyle operatorname {ker} (h):=left{uin Gcolon h(u)=e_{H}right}.}

e a imagem de h a ser

im⁡ ⁡ (h)?h(G))) (h(u):: u∈ ∈ G?.{displaystyle operatorname {im} (h):=h(G)equiv left{h(u)colon uin Gright}.}

O núcleo e a imagem de um homomorfismo podem ser interpretados como medindo o quão perto está de ser um isomorfismo. O primeiro teorema do isomorfismo afirma que a imagem de um homomorfismo de grupo, h(G) é isomórfica ao grupo quociente G/ker h.

O kernel de h é um subgrupo normal de G e a imagem de h é um subgrupo de H:

h(g- Sim. - Sim. 1∘ ∘ u∘ ∘ g)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =h(g)- Sim. - Sim. 1)) h(u))) h(g)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =h(g)- Sim. - Sim. 1)) eH. H. H.)) h(g)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =h(g)- Sim. - Sim. 1)) h(g)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =eH. H. H..{displaystyle {begin{aligned}hleft(g^{-1}circ ucirc gright)&=h(g)^{-1}cdot h(u)cdot h(g)&=h(g)^{-1}cdot e_{H}cdot h(g)&=h(g)^{-1}cdot h(g)=e

Se e somente se ker(h) = {e_G}, o homomorfismo, h, é um monomorfismo de grupo; ou seja, h é injetivo (um para um). A injeção fornece diretamente que existe um elemento exclusivo no kernel e, inversamente, um elemento exclusivo no kernel fornece injeção:

h(g1)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =h(g2)⇔ ⇔ h(g1))) h(g2)- Sim. - Sim. 1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =eH. H. H.⇔ ⇔ h(g1∘ ∘ g2- Sim. - Sim. 1)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =eH. H. H.,ker⁡ ⁡ (h)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(eG?⇒ ⇒ g1∘ ∘ g2- Sim. - Sim. 1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =eG⇔ ⇔ g1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =g2{displaystyle {begin{aligned}&h(g_{1})&=h(g_{2})\Leftrightarrow &&h(g_{1})cdot h(g_{2})^{-1}&=e_{H}\Leftrightarrow &&hleft(g_{1}circ g_{2}^{-1}right)&=e_{ H}, operatorname {ker} (h)={e_{G}}\Rightarrow &&g_{1}circ g_{2}^{-1}&=e_{G}\Leftrightarrow &&g_{1}&=g_{2}end{aligned}}}

Exemplos

• Considere o grupo cíclico Z₃ Não.Z./3Z., +) = ({0, 1, 2}, +) e o grupo de inteiros (Z., +). O mapa h: Z. → Z./3Z. com h(u) = u mod 3 é um homomorfismo de grupo. É surjetivo e seu kernel consiste em todos os inteiros que são divisíveis por 3.

• O mapa exponencial produz um homomorfismo de grupo do grupo de números reais R com adição ao grupo de números reais não zero R* com multiplicação. O kernel é {0} e a imagem consiste nos números reais positivos.
• O mapa exponencial também produz um homomorfismo de grupo do grupo de números complexos C com adição ao grupo de números complexos não zero C* com multiplicação. Este mapa é surjetivo e tem o kernel {2πki: k ∈ Z.}, como pode ser visto da fórmula de Euler. Campos como R e C que têm homomorfismos de seu grupo aditivo para seu grupo multiplicativo são assim chamados campos exponeciais.

Categoria de grupos

Se h: G → H e k: H → K são homomorfismos de grupo, então k também é ∘ h: G → K. Isso mostra que a classe de todos os grupos, junto com os homomorfismos de grupo como morfismos, forma uma categoria.

Homomorfismos de grupos abelianos

Se G e H são grupos abelianos (ou seja, comutativos), então o conjunto Hom(G, H) de todos os homomorfismos de grupo de G a H é ele próprio um grupo abeliano: a soma h + k de dois homomorfismos é definido por

(h + k)u) = h(u) + k(u) para todos u em G.

A comutatividade de H é necessária para provar que h + k é novamente um homomorfismo de grupo.

A adição de homomorfismos é compatível com a composição de homomorfismos no seguinte sentido: se f está em Hom(K, G), h, k são elementos de Hom(G, H), e g está em Hom(H, L ), então

(h + k) f Não.h ∘ f) + (k ∘ f) e g (em inglês)h + k) = (g ∘ h) + (g ∘ k).

Como a composição é associativa, isso mostra que o conjunto End(G) de todos os endomorfismos de um grupo abeliano forma um anel, o anel de endomorfismo de G. Por exemplo, o anel de endomorfismo do grupo abeliano que consiste na soma direta de m cópias de Z/nZ é isomorfo ao anel de matrizes m-por-m com entradas em Z/n Z. A compatibilidade acima também mostra que a categoria de todos os grupos abelianos com homomorfismos de grupo forma uma categoria pré-aditiva; a existência de somas diretas e núcleos bem comportados torna esta categoria o exemplo prototípico de uma categoria abeliana.