Homomorfismo de anel

Na teoria dos anéis, um ramo da álgebra abstrata, um homomorfismo de anéis é uma função de preservação de estrutura entre dois anéis. Mais explicitamente, se R e S são anéis, então um homomorfismo de anel é uma função f: R → S tal que f é:

preservação da adição:

f(um+b))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(um)+f(b))(a+b)=f(a)+f(b)} para todos um e b) em R,

preservação da multiplicação:

f(umb))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(um)f(b)){displaystyle f(ab)=f(a)f(b)} para todos um e b) em R,

e unidade (identidade multiplicativa) preservando:

f(1R)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1S{displaystyle f(1_{R})=1_{S}}.

Os inversos dos aditivos e a identidade aditiva também fazem parte da estrutura, mas não é necessário exigir explicitamente que eles também sejam respeitados, porque essas condições são consequências das três condições acima.

Se além disso f é uma bijeção, então seu inverso f⁻¹ também é um homomorfismo de anel. Neste caso, f é chamado de isomorfismo de anel, e os anéis R e S são chamados de isomórfico. Do ponto de vista da teoria dos anéis, os anéis isomórficos não podem ser distinguidos.

Se R e S são rngs, então a noção correspondente é a de um homomorfismo rng, definido como acima, exceto sem a terceira condição f(1_R) = 1_S. Um homomorfismo de anel entre anéis (unitais) não precisa ser um homomorfismo de anel.

A composição de dois homomorfismos de anel é um homomorfismo de anel. Segue-se que a classe de todos os anéis forma uma categoria com homomorfismos de anéis como os morfismos (cf. a categoria de anéis). Em particular, obtêm-se as noções de endomorfismo de anel, isomorfismo de anel e automorfismo de anel.

Propriedades

Vamos. f:: R→ → S{displaystyle fcolon Rrightarrow S} ser um homomorfismo do anel. Então, diretamente a partir dessas definições, pode-se deduzir:

• f(0_R) = 0_S.
• f(um) = −f(um) para todos um em R.
• Para qualquer elemento unitário um em R, f(um) é um elemento unitário tal que f(um^{- Sim.}) = f(um)^{- Sim.}. Em particular, f induz um grupo de homomorfismo do grupo (multiplicativo) de unidades de R ao grupo (multiplicativo) de unidades de S (ou de im(f)).
• A imagem de f, denotado i(f), é um subring de S.
• O kernel do f, definido como kerf) = {um em R: f(um) = 0_S?, é um ideal em R. Cada ideal em um anel R surge de algum homomorfismo de anel desta forma.
• O homomorfismo f é injetável se e somente se kerf) = {0_R?.
• Se existe um homomorfismo de anel f: R → S então a característica de S divide a característica de R. Isso pode às vezes ser usado para mostrar que entre certos anéis R e S, sem homomorfismos do anel R → S existe.
• Se R_p é o menor subring contido em R e S_p é o menor subring contido em S, então cada homomorfismo do anel f: R → S induz um homomorfismo de anel f_p: R_p → S_p.
• Se R é um campo (ou mais geralmente um campo de skew) e S não é o anel zero, então f é injetável.
• Se ambos R e S são campos, então im(f) é um subcampo de SEntão... S pode ser visto como uma extensão de campo de R.
• Se Eu... é um ideal de S então f^{- Sim.}(Eu...) é um ideal de R.
• Se R e S são comutativos e P é um ideal primo de S então f^{- Sim.}(P) é um ideal primo de R.
• Se R e S são comutativos, M é um ideal máximo de Se f é surjetivo, então f^{- Sim.}(M) é um ideal máximo de R.
• Se R e S são comutativos e S é um domínio integral, então ker(f) é um ideal primo de R.
• Se R e S são comutativos, S é um campo, e f é surjetivo, então ker(f) é um ideal máximo de R.
• Se f é subjetivo, P é primo (maximal) ideal em R e kerf) ⊆ P, então f(P) é primo (maximal) ideal em S.

Além disso,

• A composição dos homomorfismos do anel é um homomorfismo do anel.
• Para cada anel R, o mapa de identidade R → R é um homomorfismo do anel.
• Portanto, a classe de todos os anéis juntamente com homomorfismos do anel forma uma categoria, a categoria de anéis.
• O mapa zero R → S enviar cada elemento de R para 0 é apenas um homomorfismo de anel se S é o anel zero (o anel cujo único elemento é zero).
• Para cada anel R, há um homomorfismo anel único Z. → R. Isso diz que o anel de inteiros é um objeto inicial na categoria de anéis.
• Para cada anel R, há um homomorfismo anel único de R para o anel zero. Isso diz que o anel zero é um objeto terminal na categoria de anéis.

Exemplos

• A função f: Z. → Z./nZ., definido por f(um) = [um]_n = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = um mod n é um homomorfismo de anel subjetivo com kernel nZ. (ver aritmética modular).
• A conjugação complexa C → C é um homomorfismo do anel (este é um exemplo de automorfismo do anel).
• Para um anel R de primeira característica p, R → R, x → x^p é um endomorfismo anel chamado de endomorfismo Frobenius.
• Se R e S são anéis, a função zero de R para S é um homomorfismo do anel se e somente se S é o anel zero. (No entanto, não mapeia 1_R a 1_S.) Por outro lado, a função zero é sempre um homomorfismo rng.
• Se RNão.X] denota o anel de todos os polinômios na variável X com coeficientes nos números reais Re C denota os números complexos, em seguida, a função f: RNão.X] → C definido por f(p) = p(Eu...) (substitua a unidade imaginária Eu... para a variável X no polinômio p) é um homomorfismo de anel subjetivo. O kernel do f consiste em todos os polinômios em RNão.XIsso é divisível X² + 1.
• Se f: R → S é um homomorfismo entre os anéis R e S, então f induz um homomorfismo de anel entre os anéis de matriz M_n(R) → M_n(S).
• Vamos. V ser um espaço vetorial sobre um campo k. Então o mapa ? ? :k→ → Fim⁡ ⁡ (V){displaystyle rho:kto operatorname {End} (V)} por ? ? (um)v= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =umv(a)v=av) é um homomorfismo do anel. Mais geralmente, dado um grupo abeliano M, uma estrutura de módulo em M sobre um anel R é equivalente a dar um homomorfismo de anel R→ → Fim⁡ ⁡ (M)Não. Rto operatorname {End} (M)}.
• Um homomorfismo de álgebra unital entre álgebras associativas unitais sobre um anel comutativo R é um homomorfismo de anel que também é R-linear.

Não exemplos

• A função f: Z./6Z. → Z./6Z. definido por f(um]₆) = [4]um]₆ é um homomorfismo rng (e endomorfismo rng), com kernel 3Z./6Z. e imagem 2Z./6Z. (que é isomorfo para Z./3Z.).
• Não há homomorfismo de anel Z./nZ. → Z. para qualquer n ≥ 1.
• Se R e S são anéis, a inclusão R→ → R× × SNão. Rto Rtimes S} enviando cada um R para (R,0) é um homomorfismo rng, mas não um homomorfismo de anel (se S não é o anel zero), uma vez que não mapeia a identidade multiplicativa 1 de R para a identidade multiplicativa (1,1) de R× × SNão. Rtimes S}.

A categoria dos anéis

Endomorfismos, isomorfismos e automorfismos

• A endomorfismo do anel é um homomorfismo do anel para si mesmo.
• A isomorfismo do anel é um homomorfismo do anel com um inverso de 2 lados que também é um homomorfismo do anel. Pode-se provar que um homomorfismo de anel é um isomorfismo se e somente se é bijetivo como uma função nos conjuntos subjacentes. Se existe um isomorfismo entre dois anéis R e S, então R e S são chamados isomorfo. Os anéis isomórficos diferem apenas por um relabeling de elementos. Exemplo: Até o isomorfismo, há quatro anéis de ordem 4. (Isto significa que existem quatro anéis não-isomorfos da ordem 4 de modo que cada outro anel da ordem 4 é isomorfo para um deles.) Por outro lado, até o isomorfismo, há onze rngs da ordem 4.
• A automorfismo de anel é um isomorfismo do anel para si mesmo.

Monomorfismos e epimorfismos

Os homomorfismos de anéis injetivos são idênticos aos monomorfismos na categoria de anéis: Se f: R → S</i é um monomorfismo que não é injetivo, então ele envia alguns r₁ e r₂ para o mesmo elemento de S. Considere os dois mapas g₁ e g₂ de Z[ x] para R que mapeia x para r₁ e r₂, respectivamente; f ∘ g₁ e f ∘ g₂ são idênticos, mas como f é um monomorfismo isso é impossível.

No entanto, os homomorfismos de anéis sobrejetivos são muito diferentes dos epimorfismos na categoria de anéis. Por exemplo, a inclusão Z ⊆ Q é um epimorfismo de anel, mas não uma sobrejeção. No entanto, eles são exatamente iguais aos epimorfismos fortes.