Hipótese do contínuo

Em matemática, especificamente na teoria dos conjuntos, a hipótese do contínuo (abreviado CH) é uma hipótese sobre os tamanhos possíveis de conjuntos infinitos. Afirma que

não há nenhum conjunto cuja cardinalidade está estritamente entre o dos inteiros e os números reais,

ou equivalentemente, que

qualquer subconjunto dos números reais é finito, é contável infinito, ou tem a mesma cardinalidade que os números reais.

Em Zermelo-Fraenkel definir a teoria com o axioma da escolha (ZFC), isto é equivalente à seguinte equação em números aleph: ${displaystyle 2^{aleph _{0}}=aleph _{1}}$, ou mesmo mais curto com números de beth: ${displaystyle beth _{1}=aleph _{1}}$.

A hipótese do contínuo foi apresentada por Georg Cantor em 1878, e estabelecer sua veracidade ou falsidade é o primeiro dos 23 problemas de Hilbert apresentados em 1900. A resposta para esse problema é independente de ZFC, de modo que o contínuo hipótese ou sua negação pode ser adicionada como um axioma à teoria dos conjuntos ZFC, com a teoria resultante sendo consistente se e somente se ZFC for consistente. Esta independência foi provada em 1963 por Paul Cohen, complementando o trabalho anterior de Kurt Gödel em 1940.

O nome da hipótese vem do termo o continuum para os números reais.

O problema é um dos problemas mais importantes da matemática.

História

Cantor acreditava que a hipótese do contínuo era verdadeira e por muitos anos tentou em vão prová-la. Tornou-se o primeiro na lista de importantes questões em aberto de David Hilbert, apresentada no Congresso Internacional de Matemáticos no ano de 1900 em Paris. A teoria axiomática dos conjuntos ainda não havia sido formulada. Kurt Gödel provou em 1940 que a negação da hipótese do contínuo, ou seja, a existência de um conjunto com cardinalidade intermediária, não poderia ser provada na teoria dos conjuntos padrão. A segunda metade da independência da hipótese do contínuo – ou seja, a não comprovação da inexistência de um conjunto de tamanho intermediário – foi provada em 1963 por Paul Cohen.

Cardinalidade de conjuntos infinitos

Diz-se que dois conjuntos têm a mesma cardinalidade ou número cardinal se existe uma bijeção (uma correspondência um-para-um) entre eles. Intuitivamente, para dois conjuntos S e T terem a mesma cardinalidade significa que é possível "emparelhar" elementos de S com elementos de T de forma que cada elemento de S seja emparelhado com exatamente um elemento de T e vice-versa. Assim, o conjunto {banana, apple, pera} tem a mesma cardinalidade que {yellow, red, green}.

Com conjuntos infinitos, como o conjunto de inteiros ou números racionais, a existência de uma bijeção entre dois conjuntos torna-se mais difícil de demonstrar. Os números racionais aparentemente formam um contra-exemplo para a hipótese do contínuo: os números inteiros formam um subconjunto adequado dos racionais, que eles próprios formam um subconjunto adequado dos reais; portanto, intuitivamente, existem mais números racionais do que números inteiros e mais números reais do que números racionais. No entanto, essa análise intuitiva é falha; não leva em consideração o fato de que todos os três conjuntos são infinitos. Acontece que os números racionais podem realmente ser colocados em correspondência um-para-um com os inteiros e, portanto, o conjunto de números racionais é do mesmo tamanho (cardinalidade) que o conjunto de inteiros: eles são ambos os conjuntos contáveis.

Cantor deu duas provas de que a cardinalidade do conjunto de números inteiros é estritamente menor do que a do conjunto de números reais (consulte a primeira prova de incontáveis de Cantor e o argumento da diagonal de Cantor). Suas provas, no entanto, não dão nenhuma indicação de até que ponto a cardinalidade dos números inteiros é menor que a dos números reais. Cantor propôs a hipótese do contínuo como uma possível solução para esta questão.

A hipótese continuum afirma que o conjunto de números reais tem cardinalidade possível mínima que é maior do que a cardinalidade do conjunto de inteiros. Isto é, cada conjunto, S, de números reais pode ser mapeado um-para-um nos inteiros ou os números reais podem ser mapeados um-para-um em S. Como os números reais são equinumerosos com o powerset dos inteiros, ${displaystyle |mathbb {R} |=2^{aleph _{0}}}$ e a hipótese de continuidade diz que não há nenhum conjunto $Não. S.$ para os quais ${displaystyle aleph _{0}<|S|<2^{aleph _{0}}}$.

Assumindo o axioma da escolha, há um menor número cardinal único ${displaystyle aleph _{1}}$ maior do que ${displaystyle aleph _{0}}$, e a hipótese de continuidade é, por sua vez, equivalente à igualdade ${displaystyle 2^{aleph _{0}}=aleph _{1}}$.

Independência do ZFC

A independência da hipótese do contínuo (CH) da teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel (ZF) decorre do trabalho combinado de Kurt Gödel e Paul Cohen.

Gödel mostrou que CH não pode ser refutado de ZF, mesmo que o axioma da escolha (AC) seja adotado (tornando ZFC). A prova de Gödel mostra que CH e AC ambos se sustentam no universo construtível L, um modelo interno da teoria dos conjuntos ZF, assumindo apenas os axiomas de ZF. A existência de um modelo interno de ZF no qual os axiomas adicionais são válidos mostra que os axiomas adicionais são consistentes com ZF, desde que o próprio ZF seja consistente. A última condição não pode ser provada no próprio ZF, devido aos teoremas da incompletude de Gödel, mas é amplamente considerada verdadeira e pode ser provada em teorias de conjuntos mais fortes.

Cohen mostrou que CH não pode ser provado a partir dos axiomas ZFC, completando a prova de independência geral. Para provar seu resultado, Cohen desenvolveu o método de forçamento, que se tornou uma ferramenta padrão na teoria dos conjuntos. Essencialmente, este método começa com um modelo de ZF no qual CH se mantém, e constrói outro modelo que contém mais conjuntos que o original, de forma que CH não se sustenta no novo modelo. Cohen foi premiado com a Medalha Fields em 1966 por sua prova.

A prova de independência acabou de descrever mostra que CH é independente de ZFC. Outras pesquisas mostraram que CH é independente de todos os conhecidos grandes axiomas cardeais no contexto do ZFC. Além disso, foi demonstrado que a cardinalidade do continuum pode ser qualquer cardeal consistente com o teorema de König. Um resultado de Solovay, provado logo após o resultado de Cohen sobre a independência da hipótese de continuidade, mostra que em qualquer modelo de ZFC, se $- Sim.$ é um cardeal de cofinalidade incontável, então há uma extensão forçada em que ${displaystyle 2^{aleph _{0}}=kappa }$. No entanto, por teorema de König, não é consistente assumir ${displaystyle 2^{aleph _{0}}}$ o ${displaystyle aleph _{omega)$ ou ${displaystyle aleph _{omega _{1}+omega }}$ ou qualquer cardeal com cofinalidade $- Sim.$.

A hipótese do contínuo está intimamente relacionada a muitas declarações em análise, topologia de conjunto de pontos e teoria de medida. Como resultado de sua independência, muitas conjecturas substanciais nesses campos também se mostraram independentes.

A independência do ZFC significa que é impossível provar ou refutar o CH dentro do ZFC. No entanto, os resultados negativos de Gödel e Cohen não são universalmente aceitos como descartando todo o interesse na hipótese do contínuo. O problema de Hilbert continua sendo um tópico ativo de pesquisa; ver Woodin e Peter Koellner para uma visão geral do status atual da pesquisa.

A hipótese do contínuo não foi a primeira afirmação que se mostrou independente do ZFC. Uma consequência imediata do teorema da incompletude de Gödel, publicado em 1931, é que existe uma declaração formal (uma para cada esquema de numeração de Gödel apropriado) expressando a consistência de ZFC que é independente de ZFC, assumindo que ZFC é consistente. A hipótese do contínuo e o axioma da escolha estavam entre as primeiras declarações matemáticas que se mostraram independentes da teoria dos conjuntos de ZF.

Argumentos a favor e contra a hipótese do contínuo

Gödel acreditava que CH é falso, e que sua prova de que CH é consistente com ZFC apenas mostra que os axiomas de Zermelo-Fraenkel não caracterizam adequadamente o universo de conjuntos. Gödel era um platônico e, portanto, não tinha problemas em afirmar a verdade e a falsidade de afirmações independentemente de sua comprovação. Cohen, embora formalista, também tendia a rejeitar CH.

Historicamente, os matemáticos que favoreciam um "rico" e "grande" universo de conjuntos foram contra CH, enquanto aqueles que favorecem um "puro" e "controlável" universo favoreceu CH. Argumentos paralelos foram feitos a favor e contra o axioma da construtibilidade, que implica CH. Mais recentemente, Matthew Foreman apontou que o maximalismo ontológico pode realmente ser usado para argumentar a favor de CH, porque entre os modelos que têm os mesmos reais, os modelos com "mais" conjuntos de reais têm uma chance melhor de satisfazer CH.

Outro ponto de vista é que a concepção de conjunto não é específica o suficiente para determinar se CH é verdadeiro ou falso. Este ponto de vista foi avançado já em 1923 por Skolem, mesmo antes do primeiro teorema da incompletude de Gödel. Skolem argumentou com base no que hoje é conhecido como paradoxo de Skolem, e mais tarde foi apoiado pela independência de CH dos axiomas de ZFC, uma vez que esses axiomas são suficientes para estabelecer as propriedades elementares de conjuntos e cardinalidades. Para argumentar contra esse ponto de vista, bastaria demonstrar novos axiomas que são apoiados pela intuição e resolvem CH em uma direção ou outra. Embora o axioma da construtibilidade resolva CH, geralmente não é considerado intuitivamente verdadeiro, assim como CH é geralmente considerado falso.

Pelo menos dois outros axiomas foram propostos com implicações para a hipótese do contínuo, embora esses axiomas atualmente não tenham encontrado ampla aceitação na comunidade matemática. Em 1986, Chris Freiling apresentou um argumento contra CH mostrando que a negação de CH é equivalente ao axioma de simetria de Freiling, uma afirmação derivada do argumento de intuições particulares sobre probabilidades. Freiling acredita que este axioma é "intuitivamente verdadeiro" mas outros discordaram.

Um argumento difícil contra CH desenvolvido por W. Hugh Woodin tem atraído atenção considerável desde o ano 2000. Foreman não rejeita o argumento de Woodin completamente, mas exorta cautela. Woodin propôs uma nova hipótese de que ele rotulou o (*)-axioma", ou "Star axiom". O axioma da Estrela implicaria que ${displaystyle 2^{aleph _{0}}}$ o ${displaystyle aleph _{2}}$, assim falsificando CH. O axioma das Estrelas foi reforçado por uma prova independente de maio de 2021 mostrando o axioma das Estrelas pode ser derivado de uma variação do máximo de Martin. No entanto, Woodin afirmou na década de 2010, que agora em vez disso acredita que CH é verdade, com base em sua crença em sua nova conjectura "última L".

Solomon Feferman argumentou que CH não é um problema matemático definido. Ele propõe uma teoria de "definição" usando um subsistema semi-intuicionista de ZF que aceita a lógica clássica para quantificadores limitados, mas usa a lógica intuicionista para os não ultrapassados, e sugere que uma proposição $- Sim.$ é matematicamente "definido" se a teoria semi-intuicionista pode provar $(phi lor neg phi)}$. Ele conjectura que CH não é definido de acordo com esta noção, e propõe que CH deve, portanto, ser considerado não ter um valor de verdade. Peter Koellner escreveu um comentário crítico sobre o artigo de Feferman.

Joel David Hamkins propõe uma abordagem do multiverso para a teoria dos conjuntos e argumenta que "a hipótese do contínuo é estabelecida na visão do multiverso por nosso amplo conhecimento sobre como ele se comporta no multiverso e, como resultado, não pode mais ser resolvido da maneira anteriormente esperada". Em uma veia relacionada, Saharon Shelah escreveu que "não concorda com a visão platônica pura de que os problemas interessantes na teoria dos conjuntos podem ser resolvidos, de que apenas temos que descobrir o axioma adicional". Minha imagem mental é que temos muitas teorias de conjuntos possíveis, todas em conformidade com ZFC".

A hipótese do contínuo generalizado

O hipótese de continuidade generalizada (GCH) afirma que se a cardinalidade de um conjunto infinito está entre o de um conjunto infinito S e o do conjunto de energia ${displaystyle {mathcal {P}}(S)}$ de S, então tem a mesma cardinalidade como qualquer S ou ${displaystyle {mathcal {P}}(S)}$. Isto é, para qualquer cardeal infinito $- Sim.$ não há cardeal $- Sim.$ tal que ${displaystyle lambda$. GCH é equivalente a:

${displaystyle aleph _{alpha +1=2^{aleph *)$ para cada ordinal $- Sim.$ (ocasionalmente chamado) A hipótese do aleph de Cantor).

Os números de beth fornecem uma notação alternativa para esta condição: ${displaystyle aleph _{alpha }=beth _{alpha)$ para cada ordinal $- Sim.$. A hipótese de continuidade é o caso especial para o ordinal ${displaystyle alfa - Sim.$. GCH foi sugerido pela primeira vez por Philip Jourdain. Para a história inicial do GCH, veja Moore.

Como CH, GCH também é independente de ZFC, mas Sierpiński provou que ZF + GCH implica o axioma da escolha (AC) (e, portanto, a negação do axioma da determinação, AD), assim a escolha e GCH não são independentes em ZF; não há modelos de ZF em que GCH detém e AC falha. Para provar isso, Sierpiński mostrou GCH implica que cada cardinalidade n é menor do que algum número de aleph, e assim pode ser ordenado. Isso é feito mostrando que n é menor do que ${displaystyle 2^{aleph _{0}+n}}$ que é menor do que seu próprio número Hartogs - isso usa a igualdade ${displaystyle 2^{aleph _{0}+n},=,2cdot ,2^{aleph _{0}+n}}$; para a prova completa, veja Gillman.

Kurt Gödel mostrou que o GCH é uma consequência do ZF + V=L (o axioma que cada conjunto é construtível em relação aos ordinais), e é, portanto, consistente com ZFC. Como GCH implica CH, o modelo de Cohen no qual CH falha é um modelo no qual GCH falha, e, portanto, GCH não é provável de ZFC. W. B. Easton usou o método de forçamento desenvolvido por Cohen para provar o teorema de Easton, o que mostra que é consistente com ZFC para cardeais arbitrariamente grandes ${displaystyle aleph _{alpha)$ deixar de satisfazer ${displaystyle 2^{aleph _{alpha }}=aleph _{alpha +1.$. Muito mais tarde, Foreman e Woodin provaram que (assumindo a consistência de cardeais muito grandes) é consistente que ${displaystyle 2^{kappa }>kappa ^{+}}$ para cada cardeal infinito $- Sim.$. Mais tarde Woodin estendido isso, mostrando a consistência de ${displaystyle 2^{kappa }=kappa ^{++}}$ para todos $- Sim.$. Carmi Merimovich mostrou que, para cada n≥ 1, é consistente com ZFC que para cada κ, 2^κ é o no sucessor de κ. Por outro lado, László Patai provou que se γ é um ordinal e para cada cardeal infinito κ, 2^κ é o γth sucessor de κ, então γ é finito.

Para qualquer conjunto infinito A e B, se houver uma injeção de A a B, então há uma injeção de subconjuntos de A a subconjuntos de B. Assim, para quaisquer cardeais infinitos A e B, ${displaystyle A$. Se A e B são finitos, a desigualdade mais forte ${displaystyle A$ Detém. GCH implica que esta desigualdade estrita e mais forte detém para cardeais infinitos, bem como cardeais finitos.

Implicações de GCH para exponenciação cardinal

Embora a hipótese de continuidade generalizada se refere diretamente apenas à exponencialização cardinal com 2 como base, pode-se deduzir dele os valores da exponenciação cardinal ${displaystyle aleph _{alpha }^{aleph _{beta)$ em todos os casos. GCH implica que:

${displaystyle aleph _{alpha }^{aleph _{beta }}=aleph _{beta +1.$ quando α ≤ β+1.

${displaystyle aleph _{alpha }^{aleph _{beta }}=aleph _{alpha)$ quando β+1 < α e ${displaystyle aleph _{beta }$, onde Ç é a operação de cofinalidade; e

${displaystyle aleph _{alpha }^{aleph _{beta }}=aleph _{alpha +1.$ quando β+1 < α e ${displaystyle aleph _{beta }geq operatorname {cf} (aleph _{alpha })}$.

A primeira igualdade (quando α ≤ β+1) segue de:

${displaystyle aleph _{alpha }^{aleph _{beta }}leq aleph _{beta +1}^{aleph _{beta }}=(2^{aleph _{beta }})^{aleph _{beta }}=2^{aleph _{beta }cdot aleph _{beta }}=2^{aleph _{beta }}=aleph _{beta +1.$ enquanto:

${displaystyle aleph _{beta +1}=2^{aleph _{beta }}leq aleph _{alpha }^{aleph _{beta)$;

A terceira igualdade (quando β+1 < α e ${displaystyle aleph _{beta }geq operatorname {cf} (aleph _{alpha })}$) segue:

${displaystyle aleph _{alpha }^{aleph _{beta }}geq aleph _{alpha }^{operatorname {cf} (aleph _{alpha })}>aleph _{alpha)$, pelo teorema de König, enquanto:

${displaystyle aleph _{alpha }^{aleph _{beta }}leq aleph _{alpha }^{aleph _{alpha }}leq (2^{aleph _{alpha }})^{aleph _{alpha }}=2^{aleph * }cdot aleph _{alpha }}=2^{aleph _{alpha }}=aleph _{alpha +1.$

Onde, para cada γ, GCH é usado para igualar ${displaystyle 2^{aleph _{gamma)$ e ${displaystyle aleph _{gamma +1.$; ${displaystyle aleph _{gamma }^{2}=aleph _{gamma)$ é usado como é equivalente ao axioma da escolha.