Hamiltoniano (mecânica quântica)

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Operador quântico para a soma de energias de um sistema

Na mecânica quântica, o Hamiltoniano de um sistema é um operador correspondente à energia total desse sistema, incluindo a energia cinética e a energia potencial. Seu espectro, o espectro de energia do sistema ou seu conjunto de valores próprios de energia, é o conjunto de possíveis resultados obtidos a partir de uma medição do total do sistema energia. Devido à sua estreita relação com o espectro de energia e evolução temporal de um sistema, é de fundamental importância na maioria das formulações da teoria quântica.

O Hamiltoniano é nomeado após William Rowan Hamilton, que desenvolveu uma reformulação revolucionária da mecânica newtoniana, conhecida como mecânica Hamiltoniana, que era historicamente importante para o desenvolvimento da física quântica. Semelhante à notação vetorial, é tipicamente denotado por ${hat {H}}$ , onde o chapéu indica que é um operador. Também pode ser escrito como $H$ ou ${check {H}}$ .

Introdução

O hamiltoniano de um sistema representa a energia total do sistema; ou seja, a soma das energias cinética e potencial de todas as partículas associadas ao sistema. O hamiltoniano assume diferentes formas e pode ser simplificado em alguns casos levando em consideração as características concretas do sistema em análise, como uma ou várias partículas no sistema, interação entre partículas, tipo de energia potencial, potencial variável no tempo ou independente do tempo um.

Hamiltoniano de Schrödinger

Uma partícula

Por analogia com a mecânica clássica, o hamiltoniano é comumente expresso como a soma dos operadores correspondentes às energias cinética e potencial de um sistema na forma

{displaystyle {hat {H}}={hat {T}}+{hat {V}},}

onde

{displaystyle {hat {V}}=V=V(mathbf {r}t),}

{displaystyle {hat {T}}={frac {mathbf {hat {p}} cdot mathbf {hat {p}} }{2m}}={frac {{hat {p}}^{2}}{2m}}=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2},}

m

{displaystyle {hat {p}}=-ihbar nabla}

nabla

nabla

nabla ^{2}

{displaystyle nabla ^{2}={frac {partial ^{2}}{{partial x}^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{{partial y}^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{{partial z}^{2}}}}

Embora esta não seja a definição técnica do hamiltoniano na mecânica clássica, é a forma que ele mais comumente assume. A combinação destes produz a forma familiar usada na equação de Schrödinger:

{displaystyle {begin{aligned}{hat {H}}&={hat {T}}+{hat {V}}\[6pt]&={frac {mathbf {hat {p}} cdot mathbf {hat {p}} }{2m}}+V(mathbf {r}t)\[6pt]&=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2}+V(mathbf {r}t)end{aligned}}}

que permite aplicar o Hamiltoniano a sistemas descritos por uma função de onda ${displaystyle Psi (mathbf {r}t)}$ . Esta é a abordagem comumente tomada em tratamentos introdutórios da mecânica quântica, usando o formalismo da mecânica de onda de Schrödinger.

Também é possível fazer substituições em algumas variáveis para atender casos específicos, como alguns envolvendo campos eletromagnéticos.

Muitas partículas

O formalismo pode ser alargado a $N$ partículas:

{displaystyle {hat {H}}=sum _{n=1}^{N}{hat {T}}_{n}+{hat {V}}}

onde

{displaystyle {hat {V}}=V(mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2},ldotsmathbf {r} _{N},t),}

{displaystyle {hat {T}}_{n}={frac {mathbf {hat {p}} _{n}cdot mathbf {hat {p}} _{n}}{2m_{n}}}=-{frac {hbar ^{2}}{2m_{n}}}nabla _{n}^{2}}

n

{displaystyle nabla _{n}}

n

{displaystyle nabla _{n}^{2}}

n

{displaystyle nabla _{n}^{2}={frac {partial ^{2}}{partial x_{n}^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial y_{n}^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial z_{n}^{2}}},}

Combinando estes rendimentos o Hamiltoniano Schrödinger para o $N$ - caso de partículas:

{displaystyle {begin{aligned}{hat {H}}&=sum _{n=1}^{N}{hat {T}}_{n}+{hat {V}}\[6pt]&=sum _{n=1}^{N}{frac {mathbf {hat {p}} _{n}cdot mathbf {hat {p}} _{n}}{2m_{n}}}+V(mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2},ldotsmathbf {r} _{N},t)\[6pt]&=-{frac {hbar ^{2}}{2}}sum _{n=1}^{N}{frac {1}{m_{n}}}nabla _{n}^{2}+V(mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2},ldotsmathbf {r} _{N},t)end{aligned}}}

No entanto, complicações podem surgir no problema de muitos corpos. Como a energia potencial depende do arranjo espacial das partículas, a energia cinética também dependerá da configuração espacial para conservar energia. O movimento devido a qualquer partícula irá variar devido ao movimento de todas as outras partículas no sistema. Por esta razão, termos cruzados para energia cinética podem aparecer no hamiltoniano; uma mistura dos gradientes para duas partículas:

{displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2M}}nabla _{i}cdot nabla _{j}}

Onde? $M$ denota a massa da coleção de partículas resultando nesta energia cinética extra. Os termos deste formulário são conhecidos como termos de polarização em massa, e aparecem no Hamiltoniano de muitos átomos de elétrons (veja abaixo).

Para $N$ interagindo partículas, ou seja, partículas que interagem mutuamente e constituem uma situação de muitos corpos, a função de energia potencial $V$ o não simplesmente uma soma dos potenciais separados (e certamente não um produto, pois isso é dimensionalmente incorreta). A função de energia potencial só pode ser escrita como acima: uma função de todas as posições espaciais de cada partícula.

Para partículas não interativas, ou seja, partículas que não interagem entre si e se movem independentemente, o potencial do sistema é a soma da energia potencial separada para cada partícula, ou seja

{displaystyle V=sum _{i=1}^{N}V(mathbf {r} _{i},t)=V(mathbf {r} _{1},t)+V(mathbf {r} _{2},t)+cdots +V(mathbf {r} _{N},t)}

A forma geral do hamiltoniano neste caso é:

{displaystyle {begin{aligned}{hat {H}}&=-{frac {hbar ^{2}}{2}}sum _{i=1}^{N}{frac {1}{m_{i}}}nabla _{i}^{2}+sum _{i=1}^{N}V_{i}\[6pt]&=sum _{i=1}^{N}left(-{frac {hbar ^{2}}{2m_{i}}}nabla _{i}^{2}+V_{i}right)\[6pt]&=sum _{i=1}^{N}{hat {H}}_{i}end{aligned}}}

onde a soma é tomada sobre todas as partículas e seus potenciais correspondentes; o resultado é que o hamiltoniano do sistema é a soma dos hamiltonianos separados para cada partícula. Esta é uma situação idealizada - na prática, as partículas são quase sempre influenciadas por algum potencial e existem interações de muitos corpos. Um exemplo ilustrativo de uma interação de dois corpos onde esta forma não se aplica é para potenciais eletrostáticos devido a partículas carregadas, porque elas interagem entre si por interação de Coulomb (força eletrostática), conforme mostrado abaixo.

Equação de Schrödinger

O Hamiltoniano gera a evolução do tempo dos estados quânticos. Se $left|psi (t)rightrangle$ é o estado do sistema no momento $t$ , então

{displaystyle Hleft|psi (t)rightrangle =ihbar {partial over partial t}left|psi (t)rightrangle.}

Esta equação é a equação de Schrödinger. Ele toma a mesma forma que a equação Hamilton-Jacobi, que é uma das razões $H$ também é chamado de Hamiltoniano. Dado o estado em algum momento inicial ( $t=0$ ), podemos resolvê-lo para obter o estado a qualquer momento subsequente. Em particular, se $H$ é independente do tempo, então

{displaystyle left|psi (t)rightrangle =e^{-iHt/hbar }left|psi (0)rightrangle.}

O operador exponencial no lado direito da equação Schrödinger é geralmente definido pela série de potência correspondente em $H$ . Pode-se notar que a tomada de polinômios ou série de potência de operadores não-limitados que não são definidos em todos os lugares pode não fazer sentido matemático. Rigorosamente, para tomar funções de operadores não aderidos, é necessário um cálculo funcional. No caso da função exponencial, o cálculo funcional contínuo ou apenas holomorfo é suficiente. Notamos novamente, no entanto, que para cálculos comuns a formulação dos físicos é bastante suficiente.

Pela propriedade *-homomorfismo do cálculo funcional, o operador

{displaystyle U=e^{-iHt/hbar }}

é um operador unitário. É o operador de evolução de tempo ou propagador de um sistema quântico fechado. Se o Hamiltoniano é independente do tempo, ${displaystyle {U(t)}}$ formar um grupo unitário de um parâmetro (mais do que um semigrupo); isto dá origem ao princípio físico do equilíbrio detalhado.

Formalismo de Dirac

No entanto, no formalismo mais geral de Dirac, o hamiltoniano é tipicamente implementado como um operador em um espaço de Hilbert da seguinte maneira:

Os eigenkets (eigenvectors) de $H$ , denotado $left|arightrangle$ , fornecer uma base ortonormal para o espaço de Hilbert. O espectro de níveis de energia permitidos do sistema é dado pelo conjunto de autovalores, denotados ${displaystyle {E_{a}}}$ , resolvendo a equação:

{displaystyle Hleft|arightrangle =E_{a}left|arightrangle.}

Desde então $H$ é um operador ermitiano, a energia é sempre um número real.

De um ponto de vista matematicamente rigoroso, deve-se tomar cuidado com as suposições acima. Operadores em espaços de Hilbert de dimensão infinita não precisam ter autovalores (o conjunto de autovalores não coincide necessariamente com o espectro de um operador). No entanto, todos os cálculos mecânicos quânticos de rotina podem ser feitos usando a formulação física.

Expressões para o hamiltoniano

A seguir estão expressões para o Hamiltoniano em uma série de situações. As formas típicas de classificar as expressões são o número de partículas, o número de dimensões e a natureza da potencial função de energia, principalmente a dependência do espaço e do tempo. Massas são denotadas por $m$ e encargos por $q$ .

Formas gerais para uma partícula

Partícula livre

A partícula não está ligada a nenhuma energia potencial, então o potencial é zero e este hamiltoniano é o mais simples. Para uma dimensão:

{displaystyle {hat {H}}=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}}

e em dimensões superiores:

{displaystyle {hat {H}}=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2}}

Poço de potencial constante

Para uma partícula em uma região de constante potencial ${displaystyle V=V_{0}}$ (sem dependência de espaço ou tempo), em uma dimensão, o Hamiltoniano é:

{displaystyle {hat {H}}=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+V_{0}}

em três dimensões

{displaystyle {hat {H}}=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2}+V_{0}}

Isso se aplica à "partícula em uma caixa" problema e potenciais degrau.

Oscilador harmônico simples

Para um oscilador harmônico simples em uma dimensão, o potencial varia com a posição (mas não com o tempo), de acordo com:

{displaystyle V={frac {k}{2}}x^{2}={frac {momega ^{2}}{2}}x^{2}}

onde a frequência angular $omega$ , constante de mola eficaz $k$ e massa $m$ do oscilador satisfazer:

{displaystyle omega ^{2}={frac {k}{m}}}

então o hamiltoniano é:

{displaystyle {hat {H}}=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+{frac {momega ^{2}}{2}}x^{2}}

Para três dimensões, isso se torna

{displaystyle {hat {H}}=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2}+{frac {momega ^{2}}{2}}r^{2}}

onde o vetor de posição tridimensional $mathbf {r}$ usando coordenadas cartesianas é $(x,y,z)$ , sua magnitude é

{displaystyle r^{2}=mathbf {r} cdot mathbf {r} =|mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}

Escrever o hamiltoniano por completo mostra que ele é simplesmente a soma dos hamiltonianos unidimensionais em cada direção:

{displaystyle {begin{aligned}{hat {H}}&=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}left({frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}right)+{frac {momega ^{2}}{2}}left(x^{2}+y^{2}+z^{2}right)\[6pt]&=left(-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+{frac {momega ^{2}}{2}}x^{2}right)+left(-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}+{frac {momega ^{2}}{2}}y^{2}right)+left(-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}+{frac {momega ^{2}}{2}}z^{2}right)end{aligned}}}

Rotor rígido

Para um rotor rígido - isto é, sistema de partículas que podem girar livremente em torno de qualquer eixo, não ligado a nenhum potencial (como moléculas livres com graus de liberdade vibracionais desprezíveis, digamos devido a ligações químicas duplas ou triplas), o hamiltoniano é:

{displaystyle {hat {H}}=-{frac {hbar ^{2}}{2I_{xx}}}{hat {J}}_{x}^{2}-{frac {hbar ^{2}}{2I_{yy}}}{hat {J}}_{y}^{2}-{frac {hbar ^{2}}{2I_{zz}}}{hat {J}}_{z}^{2}}

Onde? $I_{{xx}}$ , ${displaystyle I_{yy}}$ e ${displaystyle I_{zz}}$ são o momento de componentes inércia (tecnicamente os elementos diagonais do momento do tensor inércia), e ${displaystyle {hat {J}}_{x}}$ , ${displaystyle {hat {J}}_{y}}$ , e ${displaystyle {hat {J}}_{z}}$ são os operadores de impulso angular total (componentes), sobre o $x$ , $y$ e $z$ eixos respectivamente.

Potencial eletrostático (Coulomb)

A energia potencial do Coulomb para duas cargas de ponto $q_{1}$ e $q_{2}$ (isto é, aqueles que não têm extensão espacial independentemente), em três dimensões, é (em unidades SI - em vez de unidades gaussianas que são frequentemente usadas no eletromagnetismo):

{displaystyle V={frac {q_{1}q_{2}}{4pi varepsilon _{0}|mathbf {r} |}}}

No entanto, este é apenas o potencial para uma carga de ponto devido a outra. Se houver muitas partículas carregadas, cada carga tem uma energia potencial devido a cada outro ponto de carga (exceto a si mesmo). Para $N$ encargos, a energia potencial de carga $q_{j}$ devido a todas as outras cargas é (veja também energia potencial eletrostática armazenada em uma configuração de cargas de ponto discreto):

{displaystyle V_{j}={frac {1}{2}}sum _{ineq j}q_{i}phi (mathbf {r} _{i})={frac {1}{8pi varepsilon _{0}}}sum _{ineq j}{frac {q_{i}q_{j}}{|mathbf {r} _{i}-mathbf {r} _{j}|}}}

Onde? ${displaystyle phi (mathbf {r} _{i})}$ é o potencial eletrostático de carga $q_{j}$ em $mathbf {r} _{i}$ . O potencial total do sistema é então a soma sobre $j$ :

{displaystyle V={frac {1}{8pi varepsilon _{0}}}sum _{j=1}^{N}sum _{ineq j}{frac {q_{i}q_{j}}{|mathbf {r} _{i}-mathbf {r} _{j}|}}}

então o hamiltoniano é:

{displaystyle {begin{aligned}{hat {H}}&=-{frac {hbar ^{2}}{2}}sum _{j=1}^{N}{frac {1}{m_{j}}}nabla _{j}^{2}+{frac {1}{8pi varepsilon _{0}}}sum _{j=1}^{N}sum _{ineq j}{frac {q_{i}q_{j}}{|mathbf {r} _{i}-mathbf {r} _{j}|}}\&=sum _{j=1}^{N}left(-{frac {hbar ^{2}}{2m_{j}}}nabla _{j}^{2}+{frac {1}{8pi varepsilon _{0}}}sum _{ineq j}{frac {q_{i}q_{j}}{|mathbf {r} _{i}-mathbf {r} _{j}|}}right)\end{aligned}}}

Dipolo elétrico em um campo elétrico

Para um momento dipolo elétrico $mathbf{d}$ constituindo cargas de magnitude $q$ , em um campo eletrostático uniforme (independente do tempo) $mathbf {E}$ , posicionado em um lugar, o potencial é:

{displaystyle V=-mathbf {hat {d}} cdot mathbf {E} }

o próprio momento de dipolo é o operador

{displaystyle mathbf {hat {d}} =qmathbf {hat {r}} }

Como a partícula é estacionária, não há energia cinética translacional do dipolo, então o hamiltoniano do dipolo é apenas a energia potencial:

{displaystyle {hat {H}}=-mathbf {hat {d}} cdot mathbf {E} =-qmathbf {hat {r}} cdot mathbf {E} }

Dipolo magnético em um campo magnético

Para um momento dipolo magnético ${boldsymbol {mu }}$ em um campo magnetostático uniforme (independente do tempo) $mathbf {B}$ , posicionado em um lugar, o potencial é:

{displaystyle V=-{boldsymbol {mu }}cdot mathbf {B} }

Como a partícula é estacionária, não há energia cinética translacional do dipolo, então o hamiltoniano do dipolo é apenas a energia potencial:

{displaystyle {hat {H}}=-{boldsymbol {mu }}cdot mathbf {B} }

Para uma partícula de spin 1⁄2, o momento magnético de spin correspondente é:

{displaystyle {boldsymbol {mu }}_{S}={frac {g_{s}e}{2m}}mathbf {S} }

Onde? $g_{s}$ é o "spin g-factor" (não confundir-se com a razão giromagnética), $e$ é a carga eletrônica, $mathbf {S}$ é o vetor do operador de rotação, cujos componentes são as matrizes Pauli, daí

{displaystyle {hat {H}}={frac {g_{s}e}{2m}}mathbf {S} cdot mathbf {B} }

Partícula carregada em um campo eletromagnético

Para uma partícula com massa $m$ e carga $q$ em um campo eletromagnético, descrito pelo potencial escalar $phi$ e potencial de vetores $mathbf {A}$ , há duas partes para o Hamiltoniano para substituir. O operador momentum canônico ${mathbf {{hat {p}}}}$ , que inclui uma contribuição de $mathbf {A}$ campo e cumpre a relação de comutação canônica, deve ser quantificado;

{displaystyle mathbf {hat {p}} =m{dot {mathbf {r} }}+qmathbf {A}}

Onde? ${displaystyle m{dot {mathbf {r} }}}$ é o impulso cinético. A prescrição de quantificação lê

{displaystyle mathbf {hat {p}} =-ihbar nabla}

então o operador de energia cinética correspondente é

{displaystyle {hat {T}}={frac {1}{2}}m{dot {mathbf {r} }}cdot {dot {mathbf {r} }}={frac {1}{2m}}left(mathbf {hat {p}} -qmathbf {A} right)^{2}}

e a energia potencial, que é devido ao $phi$ campo, é dado por

{displaystyle {hat {V}}=qphi.}

Inserir tudo isso no hamiltoniano dá

{displaystyle {hat {H}}={frac {1}{2m}}left(-ihbar nabla -qmathbf {A} right)^{2}+qphi.}

Leis de conservação, simetria e degeneração do autovetor de energia

Em muitos sistemas, dois ou mais eigenstates de energia têm a mesma energia. Um exemplo simples disso é uma partícula livre, cujos eigenstates de energia têm ondas que estão propagando ondas planas. A energia de cada uma dessas ondas planas é inversamente proporcional ao quadrado de seu comprimento de onda. Uma onda que se propaga no $x$ direção é um estado diferente de uma propagação no $y$ direção, mas se eles têm o mesmo comprimento de onda, então suas energias serão as mesmas. Quando isso acontece, os estados são ditos ser degenerar.

Acontece que a degeneração ocorre sempre que um operador unitário não trivial $U$ comuta com o Hamiltoniano. Para ver isto, suponha que $|arangle$ é um eigenket energético. Então... $U|arangle$ é um eigenket energético com o mesmo eigenvalue, uma vez que

{displaystyle UH|arangle =UE_{a}|arangle =E_{a}(U|arangle)=H;(U|arangle).}

Desde então $U$ é não trivial, pelo menos um par de $|arangle$ e $U|arangle$ deve representar estados distintos. Portanto, $H$ tem pelo menos um par de eigenkets de energia degenerada. No caso da partícula livre, o operador unitário que produz a simetria é o operador de rotação, que gira as funções de onda por algum ângulo, preservando sua forma de outra forma.

A existência de um operador de simetria implica a existência de um observável conservado. Vamos. $G$ ser o gerador Hermitian de $U$ :

{displaystyle U=I-ivarepsilon G+O(varepsilon ^{2})}

É simples mostrar que se $U$ comuta com $H$ , então assim o faz $G$ :

{displaystyle [H,G]=0}

Portanto,

{displaystyle {frac {partial }{partial t}}langle psi (t)|G|psi (t)rangle ={frac {1}{ihbar }}langle psi (t)|[G,H]|psi (t)rangle =0.}

Para obter este resultado, usamos a equação de Schrödinger, bem como sua dual,

{displaystyle langle psi (t)|H=-ihbar {partial over partial t}langle psi (t)|.}

Assim, o valor esperado do observável $G$ é conservado para qualquer estado do sistema. No caso da partícula livre, a quantidade conservada é o impulso angular.

Equações de Hamilton

As equações de Hamilton na mecânica clássica de Hamilton têm uma analogia direta na mecânica quântica. Suponha que temos um conjunto de estados-base $left{left|nrightrangle right}$ , que não precisa necessariamente ser eigenstates da energia. Para a simplicidade, nós assumimos que eles são discretos, e que eles são ortonormais, ou seja,

{displaystyle langle n'|nrangle =delta _{nn'}}

Observe que esses estados básicos são considerados independentes do tempo. Assumiremos que o hamiltoniano também é independente do tempo.

O estado instantâneo do sistema no momento $t$ , $left|psi left(tright)rightrangle$ , pode ser expandido em termos destes estados de base:

{displaystyle |psi (t)rangle =sum _{n}a_{n}(t)|nrangle }

onde

{displaystyle a_{n}(t)=langle n|psi (t)rangle.}

Os coeficientes ${displaystyle a_{n}(t)}$ são variáveis complexas. Podemos tratá-los como coordenadas que especificam o estado do sistema, como as coordenadas de posição e impulso que especificam um sistema clássico. Como as coordenadas clássicas, eles geralmente não são constantes no tempo, e sua dependência do tempo dá origem à dependência do tempo do sistema como um todo.

O valor esperado do hamiltoniano desse estado, que também é a energia média, é

{displaystyle langle H(t)rangle mathrel {stackrel {mathrm {def} }{=}} langle psi (t)|H|psi (t)rangle =sum _{nn'}a_{n'}^{*}a_{n}langle n'|H|nrangle }

onde o último passo foi obtido pela expansão $left|psi left(tright)rightrangle$ em termos dos estados de base.

Cada um ${displaystyle a_{n}(t)}$ realmente corresponde a dois. graus independentes de liberdade, uma vez que a variável tem uma parte real e uma parte imaginária. Agora executamos o seguinte truque: em vez de usar as partes reais e imaginárias como as variáveis independentes, usamos ${displaystyle a_{n}(t)}$ e sua conjugação complexa ${displaystyle a_{n}^{*}(t)}$ . Com essa escolha de variáveis independentes, podemos calcular o derivado parcial

{displaystyle {frac {partial langle Hrangle }{partial a_{n'}^{*}}}=sum _{n}a_{n}langle n'|H|nrangle =langle n'|H|psi rangle }

Aplicando a equação de Schrödinger e usando a ortonormalidade dos estados de base, isso se reduz ainda mais a

{displaystyle {frac {partial langle Hrangle }{partial a_{n'}^{*}}}=ihbar {frac {partial a_{n'}}{partial t}}}

Da mesma forma, pode-se mostrar que

{displaystyle {frac {partial langle Hrangle }{partial a_{n}}}=-ihbar {frac {partial a_{n}^{*}}{partial t}}}

Se definirmos variáveis "momento conjugal" $pi _{n}$ por

{displaystyle pi _{n}(t)=ihbar a_{n}^{*}(t)}

então as equações acima se tornam

{displaystyle {frac {partial langle Hrangle }{partial pi _{n}}}={frac {partial a_{n}}{partial t}},quad {frac {partial langle Hrangle }{partial a_{n}}}=-{frac {partial pi _{n}}{partial t}}}

que é precisamente a forma das equações de Hamilton, com o $a_{n}$ s como as coordenadas generalizadas, o $pi _{n}$ s como o momento conjugado, e $langle Hrangle$ tomando o lugar do Hamiltoniano clássico.

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