Grupóide

Na matemática, especialmente na teoria das categorias e na teoria da homotopia, um grupóide (menos frequentemente grupóide de Brandt ou grupo virtual) generaliza a noção de grupo de várias maneiras equivalentes. Um grupóide pode ser visto como:

• Grupo com uma função parcial substituindo a operação binária;
• Categoria em que cada morfismo é invertível. Uma categoria deste tipo pode ser vista como aumentada com uma operação unária nos morfismos, chamada inverso por analogia com a teoria do grupo. Um groupoid onde há apenas um objeto é um grupo habitual.

Na presença de digitação dependente, uma categoria em geral pode ser vista como um monoide tipo, e de forma semelhante, um groupoid pode ser visto como simplesmente um grupo digitado. Os morfismos tomam um de um objeto para outro, e formam uma família dependente de tipos, assim os morfismos podem ser digitados g:A→ → B{displaystyle g:Arightarrow B., h:B→ → C{displaystyle h:Brightarrow C.Diga. A composição é então uma função total: ∘ ∘ :(B→ → C)→ → (A→ → B)→ → A→ → C{displaystyle circ:(Brightarrow C)rightarrow (Arightarrow B)rightarrow Arightarrow C}, para que h∘ ∘ g:A→ → C{displaystyle hcirc g: Um limite C..

Casos especiais incluem:

• Setoids: conjuntos que vêm com uma relação de equivalência,
• G-sets: conjuntos equipados com uma ação de um grupo GNão. G..

Grupóides são frequentemente usados para raciocinar sobre objetos geométricos, como variedades. Heinrich Brandt (1927) introduziu os grupóides implicitamente por meio dos semigrupos de Brandt.

Definições

Um groupoid é uma estrutura algébrica (G,∗ ∗ )(G,ast)} consistindo de um conjunto não vazio GNão. G. e uma função parcial binária '∗ ∗ - Sim."definido em GNão. G..

Algébrico

Um groupoid é um conjunto GNão. G. com uma operação unary - Sim. - Sim. 1:G→ → G,Não. Gto G,} e uma função parcial ∗ ∗ :G× × G⇀ ⇀ GNão. *: Gtimes Grightharpoonup G.. Aqui * não é uma operação binária porque não é necessariamente definida para todos os pares de elementos de GNão. G.. Condições precisas em que ∗ ∗ Não. é definido não são articulados aqui e variam por situação.

As operações ∗ ∗ - Sim. e ^{- Sim.} tem as seguintes propriedades axiomáticas: Para todos umNão., b)Não.e cNão. em GNão. G.,

1. Associação: Se um∗ ∗ b)Não. - A sério? e b)∗ ∗ cNão. B*c são definidos, então (um∗ ∗ b))∗ ∗ c(a*b)*c} e um∗ ∗ (b)∗ ∗ c)(b*c)} são definidos e são iguais. Inversamente, se um de (um∗ ∗ b))∗ ∗ c(a*b)*c} e um∗ ∗ (b)∗ ∗ c)(b*c)} é definido, então assim são ambos um∗ ∗ b)Não. - A sério? e b)∗ ∗ cNão. B*c bem como (um∗ ∗ b))∗ ∗ c(a*b)*c} = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = um∗ ∗ (b)∗ ∗ c)(b*c)}.
2. Invertido: um- Sim. - Sim. 1∗ ∗ um- Sim. e um∗ ∗ um- Sim. - Sim. 1Não. a*{a^{-1}}} são sempre definidos.
3. Identidade: Se um∗ ∗ b)Não. - A sério? é definido, então um∗ ∗ b)∗ ∗ b)- Sim. - Sim. 1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =umNão. a*b*{b^{-1}}=a}e um- Sim. - Sim. 1∗ ∗ um∗ ∗ b)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =b)Não. (a^{-1)*a*b=b}. (Os dois axiomas anteriores já mostram que essas expressões são definidas e inequívocas.)

Duas propriedades fáceis e convenientes decorrem desses axiomas:

• (um- Sim. - Sim. 1)- Sim. - Sim. 1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =um(a^{-1})^{-1}=a},
• Se um∗ ∗ b)Não. - A sério? é definido, então (um∗ ∗ b))- Sim. - Sim. 1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =b)- Sim. - Sim. 1∗ ∗ um- Sim. - Sim. 1(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}}.

Categoria teórica

Um grupóide é uma pequena categoria na qual todo morfismo é um isomorfismo, ou seja, invertível. Mais explicitamente, um grupóide G é:

• Um conjunto G₀ de objetos;
• Para cada par de objetos x e Sim. em G₀, existe um (possivelmente vazio) conjunto G(x,Sim.) de morfismos (ou flechas) de x para Sim.. Nós escrevemos f: x → Sim. para indicar que f é um elemento de G(x,Sim.).
• Para cada objeto x, um elemento designado Eu...Dx{displaystyle mathrm {id} _{x}} de G(x,x);
• Para cada triplo de objetos x, Sim.e zangão., uma função compx,Sim.,zangão.:G(Sim.,zangão.)× × G(x,Sim.)→ → G(x,zangão.):(g,f)↦ ↦ gf{displaystyle mathrm {comp} _{x,y,z}:G(y,z)times G(x,y)rightarrow G(x,z):(g,f)mapsto gf};
• Para cada par de objetos x, Sim. uma função Eu...nv:G(x,Sim.)→ → G(Sim.,x):f↦ ↦ f- Sim. - Sim. 1{displaystyle mathrm {inv}:G(x,y)rightarrow G(y,x):fmapsto f^{-1}};

satisfatório, para qualquer f: x → y, g: y → z e h: z → w:

• fEu...Dx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f{displaystyle f\mathrm {id}} _{x}=f e Eu...DSim.f= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f{displaystyle mathrm {id} _{y} f=f};
• (hg)f= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =h(gf)(hg)f=h(gf)};
• ff- Sim. - Sim. 1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Eu...DSim.{displaystyle ff^{-1}=mathrm {id} _{y}} e f- Sim. - Sim. 1f= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Eu...Dx{displaystyle f^{-1}f=mathrm {id} _{x}}.

Se f é um elemento de G(x,Sim.) então x é chamado de fonte de f, escrito S(f), e Sim. é chamado de alvo de f, escrito )(f). Um groupoid G é por vezes denotado como G1⇉ ⇉ G0Não. G_{1}rightarrows G_{0}}, onde G1Não. G_{1}} é o conjunto de todos os morfismos, e as duas flechas G1→ → G0{displaystyle G_{1}to G_{0}} representar a fonte e o alvo.

De forma mais geral, pode-se considerar um objeto grupóide em uma categoria arbitrária admitindo produtos de fibras finitas.

Comparando as definições

As definições algébricas e teóricos da categoria são equivalentes, como mostramos agora. Dado um groupoid no sentido teórico da categoria, deixe G ser a união disjunta de todos os conjuntos G(x,Sim.) (isto é, os conjuntos de morfismos de x para Sim.). Então... comp- Sim. e Eu...nv- Sim. tornar-se operações parciais em Ge Eu...nv- Sim. de fato será definido em todo lugar. Definimos ∗ a ser comp- Sim. e ^{- Sim.} para ser Eu...nv- Sim., que dá um groupoid no sentido algébrico. Referência explícita G₀ (e, portanto, Eu...D{displaystyle mathrm {id} }) pode ser descartado.

Por outro lado, dado um groupoid G no sentido algébrico, definir uma relação de equivalência ∼ ∼ - Sim. sobre os seus elementos um∼ ∼ b)- Sim. se f um ∗ um^{- Sim.} = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = b) ∗ b)^{- Sim.}. Vamos. G₀ ser o conjunto de classes de equivalência de ∼ ∼ - Sim., i.e. G0?G/∼ ∼ Não. G_{0}:=G/!sim }. Denominação um ∗ um^{- Sim.} por 1x{displaystyle 1_{x}} se um∈ ∈ G- Sim. com x∈ ∈ G0{displaystyle xin G_{0}}.

Agora defina G(x,Sim.){displaystyle G(x,y)} como o conjunto de todos os elementos f tal que 1x∗ ∗ f∗ ∗ 1Sim.Não. 1_{x}*f*1_{y}} existe. Conduzido f∈ ∈ G(x,Sim.)(x,y)} e g∈ ∈ G(Sim.,zangão.),{displaystyle gin G(y,z),} seu composto é definido como gf?f∗ ∗ g∈ ∈ G(x,zangão.){displaystyle gf:=f*gin G(x,z)}. Para ver que isso é bem definido, observe que (1x∗ ∗ f)∗ ∗ 1Sim.{displaystyle (1_{x}*f)*1_{y}} e 1Sim.∗ ∗ (g∗ ∗ 1zangão.)Não. 1_{y}*(g*1_{z})} existir, assim como (1x∗ ∗ f∗ ∗ 1Sim.)∗ ∗ (g∗ ∗ 1zangão.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f∗ ∗ g(g*1_{x}*f*1_{y})*(g*1_{z})=f*g}. O morfismo de identidade x é então 1x{displaystyle 1_{x}}e o inverso teórico da categoria f o f^{- Sim.}.

Conjuntos nas definições acima podem ser substituídos por classes, como geralmente é o caso na teoria das categorias.

Grupos de vértices e órbitas

Dado um grupóide G, os grupos de vértices ou grupos de isotropia ou grupos de objetos em G são os subconjuntos da forma G(x,x), onde x é qualquer objeto de G. Segue-se facilmente dos axiomas acima que estes são de fato grupos, já que cada par de elementos é componível e os inversos estão no mesmo grupo de vértices.

O órbita de um groupoid G em um ponto x∈ ∈ X{displaystyle xin X} é dado pelo conjunto S()- Sim. - Sim. 1(x))? ? X{displaystyle s(t^{-1}(x)subset X} contendo cada ponto que pode ser unido a x por um morfismo em G. Se dois pontos xNão. e Sim.- Sim. estão nas mesmas órbitas, seus grupos de vértices G(x)G(x)} e G(Sim.)- Sim. são isomorfos: se fNão. é qualquer morfismo de xNão. para Sim.- Sim., então o isomorfismo é dado pelo mapeamento g→ → fgf- Sim. - Sim. 1{displaystyle gto fgf^{-1}}.

As órbitas formam uma partição do conjunto X, e um grupóide é chamado de transitivo se tiver apenas uma órbita (equivalentemente, se estiver conectado como uma categoria). Nesse caso, todos os grupos de vértices são isomórficos (por outro lado, esta não é uma condição suficiente para a transitividade; consulte a seção abaixo para contra-exemplos).

Subgrupoides e morfismos

A subgrupo de G⇉ ⇉ XNão. Grightarrows X. é uma subcategoria H. H. H.⇉ ⇉ YNão. Hrightarrows Sim. que é em si um groupoid. Chama-se largo ou completo se for largo ou cheio como subcategoria ou seja, respectivamente, se X= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Y- Sim. ou G(x,Sim.)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =H. H. H.(x,Sim.)(x,y)=H(x,y)} para todos x,Sim.∈ ∈ Y{displaystyle x,yin Y}.

Um morfismo grupóide é simplesmente um functor entre dois grupóides (categoria-teóricos).

Tipos particulares de morfismos de groupoids são de interesse. Um morfismo p:E→ → B{displaystyle p:Eto B} de groupoids é chamado de fibration se para cada objeto xNão. de ENão. e cada morfismo b)Não. de BNão. a partir de p(x)(x)} há um morfismo eNão. de ENão. a partir de xNão. tal que p(e)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =b)(e)=b}. Uma fibração é chamada de um morfismo de cobertura ou cobertura de groupoids, se mais um eNão. é único. Os morfismos cobrindo de groupoids são especialmente úteis porque podem ser usados para modelar mapas de espaços.

Também é verdade que a categoria de cobrindo morfismos de um determinado groupoid BNão. é equivalente à categoria de ações do groupoid BNão. em conjuntos.

Exemplos

Topologia

Dado um espaço topológico X- Sim., let G0Não. G_{0}} ser o conjunto X- Sim.. Os morfismos do ponto pNão. ao ponto qNão. são classes de equivalência de caminhos contínuos de pNão. para qNão., com dois caminhos sendo equivalentes se eles são homotópicos. Dois desses morfismos são compostos pela primeira vez após o primeiro caminho, então o segundo; a equivalência de homotopia garante que essa composição é associativa. Este grupoide é chamado de grupoide fundamental X- Sim., denotado D D 1(X)(X)} (ou às vezes, D D 1(X)(X)}). O grupo fundamental habitual D D 1(X,x)(X,x)} é então o grupo de vértices para o ponto xNão..

As órbitas do grupoide fundamental D D 1(X)(X)} são os componentes conectados ao caminho X- Sim.. Assim, o groupoid fundamental de um espaço ligado ao caminho é transitivo, e recuperamos o fato conhecido de que os grupos fundamentais em qualquer ponto de base são isomorfos. Além disso, neste caso, o grupoide fundamental e os grupos fundamentais são equivalentes como categorias (veja a seção abaixo para a teoria geral).

Uma extensão importante desta ideia é considerar o groupoid fundamental D D 1(X,A)(X,A)} Onde? A? ? XNão. Asubset X} é um conjunto escolhido de "pontos de base". Aqui. D D 1(X,A)(X,A)} é um subgrupoide (grande) de D D 1(X)(X)}, onde se considera somente caminhos cujos endpoints pertencem a ANão. A.. O conjunto ANão. A. pode ser escolhido de acordo com a geometria da situação à mão.

Relação de equivalência

Se X- Sim. é um setóide, ou seja, um conjunto com uma relação de equivalência ∼ ∼ - Sim., então um groupoid "representando" esta relação de equivalência pode ser formado da seguinte forma:

• Os objetos do groupoid são os elementos do X- Sim.;
• Para qualquer dois elementos xNão. e Sim.- Sim. em X- Sim., há um único morfismo de xNão. para Sim.- Sim. (denota por (Sim.,x)(y,x)}) se e somente se x∼ ∼ Sim.- Sim.;
• A composição de (zangão.,Sim.)- Sim. e (Sim.,x)(y,x)} o (zangão.,x)(z,x)}.

Os grupos de vértices deste grupóide são sempre triviais; além disso, este grupóide em geral não é transitivo e suas órbitas são precisamente as classes de equivalência. Existem dois exemplos extremos:

• Se cada elemento de X- Sim. é em relação com cada outro elemento de X- Sim., nós obtemos o grupo de pares de X- Sim., que tem todo o X× × XNão. Xtimes X} como conjunto de flechas, e que é transitivo.
• Se cada elemento de X- Sim. é apenas em relação a si mesmo, um obtém o grupo de unidade, que X- Sim. como conjunto de flechas, S= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Eu...DXNão. s=t=id_{X}}, e que é completamente intransitivo (todo singleton (x?{displaystyle {x}} é uma órbita).

Exemplos

• Se f:X0→ → Y{displaystyle f:X_{0}to Sim. é uma submersão subjetiva lisa de coletores lisos, então X0× × YX0? ? X0× × X0Não. X_{0}times _{Y}X_{0}subset X_{0}times X_{0}} é uma relação de equivalência desde YNão. Sim. tem uma topologia isomórfica para a topologia quociente de X0Não. X_{0}} sob o mapa surjetivo de espaços topológicos. Se escrevermos, X1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =X0× × YX0Não. X_{1}=X_{0}times _{Y}X_{0}} então temos um groupoid

  X1⇉ ⇉ X0Não. X_{1}rightarrows X_{0}}

  que às vezes é chamado de banal groupoid de uma submersão subjetiva de coletores lisos.
• Se relaxarmos o requisito de reflexividade e considerarmos relações de equivalência parcial, então torna-se possível considerar noções semidecidas de equivalência em realizadores computáveis para conjuntos. Isso permite que os groupoids sejam usados como uma aproximação computável à teoria dos conjuntos, chamada Modelos PER. Considerado como uma categoria, os modelos PER são uma categoria fechada cartesiana com números naturais objeto e subobjeto classificador, dando origem aos topos eficazes introduzidos por Martin Hyland.

Čech groupoid

Um groupoid Čech^{p. 5} é um tipo especial de groupoid associado a uma relação de equivalência dada por uma capa aberta U= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(UEu...?Eu...∈ ∈ Eu...{displaystyle {mathcal {U}}={U_{i}}_{iin I. de algum coletor X- Sim.. Seus objetos são dados pela união disjunta

G0= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∐ ∐ UEu...{displaystyle {mathcal {G}}_{0}=coprod U_{i}},

e suas setas são as interseções

G1= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∐ ∐ UEu...JJ{displaystyle {mathcal {G}}_{1}=coprod U_{ij}}.

Os mapas de origem e destino são então fornecidos pelos mapas induzidos

S= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =φ φ JJ:UEu...JJ→ → UJJ)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =φ φ Eu...:UEu...JJ→ → UEu...- Sim. _{j}:U_{ij}to U_{j}\t=phi _{i}:U_{ij}to U_{i}end{aligned}}}

e o mapa de inclusão

ε ε :UEu...→ → UEu...Eu...{displaystyle varepsilon:U_{i}to U_{ii}}

dando a estrutura de um grupóide. Na verdade, isso pode ser estendido ainda mais definindo

Gn= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =G1× × G0⋯ ⋯ × × G0G1{displaystyle {mathcal {G}}_{n}={mathcal {G}}_{1}times _{{mathcal {G}}_{0}}cdots times _{{mathcal {G}}_{0}}{mathcal {G}}_{1}}

como o nNão.- produto de fibra titulada onde o Gn{displaystyle {mathcal {G}}_{n}} representa nNão.- tuplas de setas composable. O mapa de estrutura do produto de fibra é implicitamente o mapa-alvo, uma vez que

UEu...JJk→ → UEu...JJ↓ ↓ ↓ ↓ UEu...k→ → UEu...{displaystyle {begin{matrix}U_{ijk}&to &U_{ij}\downarrow &&downarrow \U_{ik}&to &U_{i}end{matrix}}}

é um diagrama cartesiano onde os mapas para UEu...Não. U_{i}} são os mapas alvo. Esta construção pode ser vista como um modelo para alguns ∞-groupoids. Além disso, outro artefato desta construção é k-cocycles

Não.σ σ ]∈ ∈ H. H. H.:: k(U,ANão. Não. ){displaystyle [sigma ]in {check {H}}^{k}({mathcal {U}},{underline {A}}}

para algum feixe constante de grupos abelianos pode ser representado como uma função

σ σ :∐ ∐ UEu...1⋯ ⋯ Eu...k→ → A{displaystyle sigma:coprod U_{i_{1}cdots i_{k}}to A}

dando uma representação explícita de classes de cohomologia.

Ação do grupo

Se o grupo GNão. G. actua no conjunto X- Sim., então podemos formar o grupo de ação (ou grupo de transformação) representar esta acção de grupo da seguinte forma:

• Os objetos são os elementos de X- Sim.;
• Para qualquer dois elementos xNão. e Sim.- Sim. em X- Sim., os morfismos de xNão. para Sim.- Sim. corresponder aos elementos gNão. de GNão. G. tal que gx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Sim.- Sim.;
• Composição de morfismos interpreta a operação binária de GNão. G..

Mais explicitamente, o grupo de ação é uma categoria pequena com ob)(C)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =X(C)=X} e hom(C)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =G× × X(C)=Gtimes X} e com mapas de origem e alvo S(g,x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x(g,x)=x} e )(g,x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =gx(g,x)=gx}. Muitas vezes é denotado G⋉ ⋉ X{displaystyle Gltimes X} (ou X⋊ ⋊ G{displaystyle Xrtimes G} para uma ação correta). Multiplicação (ou composição) no groupoid é então (h,Sim.)(g,x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(hg,x)(h,y)(g,x)=(hg,x)} que é definido como Sim.= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =gx- Sim..

Para xNão. em X- Sim., o grupo de vértices consiste naqueles (g,x)(g,x)} com gx= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x- Sim., que é apenas o subgrupo isotropia em xNão. para a ação dada (por isso os grupos de vértices também são chamados grupos isotropia). Da mesma forma, as órbitas do groupoid de ação são a órbita da ação do grupo, e o groupoid é transitivo se e somente se a ação do grupo é transitiva.

Outra maneira de descrever GNão. G.-sets é a categoria functor Não.GR,Se)](Gr}mathrm {Set})}, onde GR{displaystyle mathrm {Gr} } } é o groupoid (categoria) com um elemento e isomorfo para o grupo GNão. G.. Na verdade, todos os funtores FNão. desta categoria define um conjunto X= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =F(GR){displaystyle X=F(mathrm {Gr})} e para cada gNão. em GNão. G. (i.e. para cada morfismo em GR{displaystyle mathrm {Gr} } }) induz uma bijeção Fg{displaystyle F_{g}}: X→ → XNão. Xto X}. A estrutura categórica do funtor FNão. nos garante que FNão. define um GNão. G.-ação no conjunto GNão. G.. O funtor representativo (único) FNão.: GR→ → Se){displaystyle mathrm {Gr} to mathrm {Set} } } é a representação de Cayley GNão. G.. Na verdade, este funtor é isomorfo para H. H. H.om(GR,- Sim. - Sim. ){displaystyle mathrm {Hom} (mathrm {Gr}-)} e assim envia ob)(GR){displaystyle mathrm {ob} (mathrm {Gr})} para o conjunto H. H. H.om(GR,GR){displaystyle mathrm {Hom} (mathrm {Gr}mathrm {Gr})} que é por definição o "set" GNão. G. e o morfismo gNão. de GR{displaystyle mathrm {Gr} } } (i.e. o elemento gNão. de GNão. G.) à permutação Fg{displaystyle F_{g}} do conjunto GNão. G.. Deduzimos da incorporação de Yoneda que o grupo GNão. G. é isomorfo para o grupo (Fg∣ ∣ g∈ ∈ G?Não. {F_{g}mid gin G}}, um subgrupo do grupo de permutações de GNão. G..

Conjunto finito

Considere a ação do grupo Z./2{displaystyle mathbb {Z} /2} no conjunto finito X= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(- Sim. - Sim. 2,- Sim. - Sim. 1,0,1,2?Não. X={-2,-1,0,1,2}} que leva cada número ao seu negativo, então - Sim. - Sim. 2↦ ↦ 2- Sim. e 1↦ ↦ - Sim. - Sim. 1- Sim.. O grupo quociente Não.X/G](X/G)} é o conjunto de classes de equivalência desta ação de grupo (Não.0],Não.1],Não.2]?{displaystyle {[0],[1],[2]}}e Não.0]Não. [0] tem uma ação de grupo Z./2{displaystyle mathbb {Z} /2} sobre ele.

Variedade de quociente

Qualquer grupo finito GNão. G. que mapas para GL(n)(n)} dar uma ação em grupo no espaço affine An{displaystyle mathbb {A} ^{n}} (já que este é o grupo de automorfismos). Então, um grupo quociente pode ser das formas Não.An/G](A} ^{n}/G)}, que tem um ponto com estabilizador GNão. G. na origem. Exemplos como estes formam a base para a teoria dos orbifolds. Outra família comumente estudada de orbifolds são espaços projetivos ponderados P(n1,...... ,nk)(n_{1},ldotsn_{k})} e subespaços deles, como Calabi-Yau orbifolds.

Produto de fibras de grupóides

Dado um diagrama de grupóides com morfismos grupóides

X↓ ↓ Y→ → Z.{displaystyle {begin{aligned}&X\&&downarrow \Y&rightarrow &Zend{aligned}}}

Onde? f:X→ → Z.- Sim. e g:Y→ → Z.{displaystyle g:Yto Z}, podemos formar o groupoid X× × Z.Y{displaystyle Xtimes _{Z}Y}} cujos objetos são triplos (x,φ φ ,Sim.)(x,phiy)}, onde x∈ ∈ Obs.(X){displaystyle xin {text{Ob}}(X)}, Sim.∈ ∈ Obs.(Y){displaystyle yin {text{Ob}}(Y)}e φ φ :f(x)→ → g(Sim.){displaystyle phi:f(x)to g(y)} em Z.Não.. Os morfismos podem ser definidos como um par de morfismos (α α ,β β )(alphabeta)} Onde? α α :x→ → x?{displaystyle alpha:xto x'} e β β :Sim.→ → Sim.?{displaystyle beta:yto y'} tal que para triplos (x,φ φ ,Sim.),(x?,φ φ ?,Sim.?)(x,phiy),(x',phi ',y')}, há um diagrama comutativo em Z.Não. de f(α α ):f(x)→ → f(x?){displaystyle f(alpha):f(x)to f(x')}, g(β β ):g(Sim.)→ → g(Sim.?){displaystyle g(beta):g(y)to g(y)} e o φ φ ,φ φ ?- Sim..

Álgebra homológica

Um complexo de dois termos

C1→ → DC0Não. C_{1}{overset {d} }}C_{0}}

de objetos em uma categoria Abelian concreto pode ser usado para formar um groupoid. Tem como objetos o conjunto C0Não. C_{0}} e como flechas o conjunto C1⊕ ⊕ C0{displaystyle C_{1}oplus C_{0}}; o morfismo fonte é apenas a projeção em C0Não. C_{0}} enquanto o morfismo alvo é a adição de projeção em C1Não. C_{1}} composto com DNão. e projeção sobre C0Não. C_{0}}. Isto é, dado c1+c0∈ ∈ C1⊕ ⊕ C0Não. c_{1}+c_{0}in C_{1}oplus C_{0}}nós temos

)(c1+c0)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =D(c1)+c0.(c_{1}+c_{0})=d(c_{1})+c_{0}.}

Claro, se a categoria abeliana é a categoria de feixes coerentes em um esquema, então esta construção pode ser usada para formar um pré-feixe de grupóides.

Quebra-cabeças

Embora quebra-cabeças como o Cubo de Rubik possam ser modelados usando a teoria de grupo (consulte o grupo Cubo de Rubik), alguns quebra-cabeças são melhor modelados como grupóides.

As transformações do quebra-cabeça quinze formam um grupóide (não um grupo, pois nem todos os movimentos podem ser compostos). Este grupóide atua nas configurações.

Grupoide de Mathieu

O grupóide de Mathieu é um grupóide introduzido por John Horton Conway atuando em 13 pontos de forma que os elementos que fixam um ponto formam uma cópia do grupo de Mathieu M₁₂.

Relação com grupos

Se um grupóide tem apenas um objeto, então o conjunto de seus morfismos forma um grupo. Usando a definição algébrica, tal grupóide é literalmente apenas um grupo. Muitos conceitos da teoria de grupos são generalizados para grupóides, com a noção de funtor substituindo a de homomorfismo de grupo.

Cada groupoid transitivo/conectado - isto é, como explicado acima, um em que quaisquer dois objetos são conectados por pelo menos um morfismo - é isomorfo para um groupoid ação (como definido acima) (G,X)(G,X)}. Por transitividade, haverá apenas uma órbita sob a ação.

Note que o isomorfismo mencionado não é único, e não há escolha natural. Escolher tal isomorfismo para um grupo transitivo essencialmente equivale a escolher um objeto x0{displaystyle x_{0}}, um grupo isomorfismo hNão. a partir de G(x0)(x_{0})} para GNão. G., e para cada xNão. outros x0{displaystyle x_{0}}, um morfismo em GNão. G. a partir de x0{displaystyle x_{0}} para xNão..

Se um groupoid não é transitivo, então é isomorphic a uma união disjunta de groupoids do tipo acima, também chamado de seu componentes conectados (possivelmente com diferentes grupos GNão. G. e conjuntos X- Sim. para cada componente conectado).

Em termos teóricos da categoria, cada componente conectado de um groupoid é equivalente (mas não isomorfo) a um groupoid com um único objeto, ou seja, um único grupo. Assim, qualquer grupoide é equivalente a um multiconjunto de grupos não relacionados. Em outras palavras, para equivalência em vez de isomorfismo, não é necessário especificar os conjuntos X- Sim., mas apenas os grupos G.Não. G. Por exemplo,

• O grupoide fundamental X- Sim. é equivalente à coleção dos grupos fundamentais de cada componente ligado ao caminho X- Sim., mas um isomorfismo requer especificar o conjunto de pontos em cada componente;
• O conjunto X- Sim. com relação de equivalência ∼ ∼ - Sim. é equivalente (como um groupoid) a uma cópia do grupo trivial para cada classe de equivalência, mas um isomorfismo requer especificar o que cada classe de equivalência é:
• O conjunto X- Sim. equipado com uma ação do grupo GNão. G. é equivalente (como um groupoid) a uma cópia de GNão. G. para cada órbita da ação, mas um isomorfismo requer especificar o que é definido cada órbita.

O colapso de um groupoid em uma mera coleção de grupos perde alguma informação, mesmo de um ponto de vista teórico da categoria, porque não é natural. Assim, quando os groupoids surgem em termos de outras estruturas, como nos exemplos acima, pode ser útil manter todo o groupoid. Caso contrário, deve-se escolher uma maneira de ver cada um G(x)G(x)} em termos de um único grupo, e esta escolha pode ser arbitrária. No exemplo da topologia, seria necessário fazer uma escolha coerente de caminhos (ou classes de equivalência de caminhos) de cada ponto. pNão. a cada ponto qNão. no mesmo componente ligado ao caminho.

Como um exemplo mais esclarecedor, a classificação de grupóides com um endomorfismo não se reduz a considerações puramente teóricas de grupo. Isso é análogo ao fato de que a classificação de espaços vetoriais com um endomorfismo não é trivial.

Os morfismos de groupoids vêm em mais tipos do que os de grupos: temos, por exemplo, fibras, cobrindo morfismos, morfismos universais e morfismos quocientes. Assim, um subgrupo H. H. H.Não. H. de um grupo GNão. G. produz uma ação de GNão. G. no conjunto de conjuntos de H. H. H.Não. H. em GNão. G. e, portanto, um morfismo de cobertura pNão. de, digamos, KKNão. para GNão. G., onde KKNão. é um groupoid com grupos de vértices isomorphic a H. H. H.Não. H.. Desta forma, apresentações do grupo GNão. G. pode ser "elevado" para apresentações do groupoid KKNão., e esta é uma maneira útil de obter informações sobre apresentações do subgrupo H. H. H.Não. H.. Para mais informações, consulte os livros de Higgins e de Brown nas Referências.

Categoria de grupóides

A categoria cujos objetos são grupóides e cujos morfismos são morfismos grupóides é chamada de categoria grupóide, ou categoria de grupóides, e é denotada por Grpd.

A categoria Grpd é, como a categoria de pequenas categorias, Cartesiano fechado: para qualquer groupoids H. H. H.,KKNão. H,K nós podemos construir um groupoid GPD⁡ ⁡ (H. H. H.,KK)(H,K)} cujos objetos são os morfismos H. H. H.→ → KKNão. Hto K. e cujas flechas são as equivalências naturais dos morfismos. Assim, se H. H. H.,KKNão. H,K são apenas grupos, então tais flechas são as conjugações de morfismos. O principal resultado é que para qualquer groupoids G,H. H. H.,KKG, H, K. há uma bijeção natural

Grpd⁡ ⁡ (G× × H. H. H.,KK)Gerenciamento Gerenciamento Grpd⁡ ⁡ (G,GPD⁡ ⁡ (H. H. H.,KK)).{displaystyle operatorname {Grpd} (Gtimes H,K)cong operatorname {Grpd} (G,operatorname {GPD} (H,K)). ?

Este resultado é de interesse mesmo se todos os groupoids G,H. H. H.,KKG, H, K. são apenas grupos.

Outra propriedade importante de Grpd é que ele é completo e cocompleto.

Relação com o gato

A inclusão Eu...:GRpD→ → Cum){displaystyle i:mathbf {Grpd} to mathbf {Cat} } tem tanto uma esquerda e uma adjunção direita:

Olá.GRpD⁡ ⁡ (CNão.C- Sim. - Sim. 1],G)Gerenciamento Gerenciamento Olá.Cum)⁡ ⁡ (C,Eu...(G))(C[C^{-1}],G)cong hom _{mathbf {Cat} }(C,i(G)})}

Olá.Cum)⁡ ⁡ (Eu...(G),C)Gerenciamento Gerenciamento Olá.GRpD⁡ ⁡ (G,CoRe(C)){displaystyle hom _{mathbf {Cat} }(i(G),C)cong hom _{mathbf {Grpd} }(G,mathrm {Core} (C)}

Toma. CNão.C- Sim. - Sim. 1][C^{-1}] denota a localização de uma categoria que inverte cada morfismo, e CoRe(C)(C)} denota a subcategoria de todos os isomorfismos.

Relação com sSet

O funtor nervoso N:GRpD→ → SSe){displaystyle N:mathbf {Grpd} to mathbf {sSet} } embutidos Grpd como uma subcategoria completa da categoria de conjuntos simpliciais. O nervo de um groupoid é sempre um complexo Kan.

O nervo tem um adjunto esquerdo

Olá.GRpD⁡ ⁡ (D D 1(X),G)Gerenciamento Gerenciamento Olá.SSe)⁡ ⁡ (X,N(G)){displaystyle hom _{mathbf {Grpd} }(pi _{1}(X),G)cong hom _{mathbf {sSet} }(X,N(G)})}

Toma. D D 1(X)(X)} denota o groupoid fundamental do conjunto simplicial X.

Grupoides no Grpd

Há uma estrutura adicional que pode ser derivada de groupoids internos para a categoria de groupoids, duplo-groupoids. Porque... Grpd é uma 2-categoria, estes objetos formam uma 2-categoria em vez de uma 1-categoria, uma vez que há estrutura extra. Essencialmente, estes são groupoids G1,G0{displaystyle {mathcal {G}}_{1},{mathcal {G}}_{0}} com funtores

S,):G1→ → G0Não. s,t: {G}}_{1}to - Sim. {G}}_{0}}

e uma incorporação dada por um functor de identidade

Eu...:G0→ → G1(em inglês) {G}}_{0}to - Sim. {G}}_{1}}

Uma maneira de pensar nesses 2 grupos é que eles contêm objetos, morfismos e quadrados que podem compor juntos vertical e horizontalmente. Por exemplo, dados quadrados

? ? → → ? ? ↓ ↓ ↓ ↓ ? ? →um? ? {displaystyle {begin{matrix}bullet &to &bullet \downarrow &&downarrow \bullet &xrightarrow {a} &bullet end{matrix}}}} e ? ? →um? ? ↓ ↓ ↓ ↓ ? ? → → ? ? {displaystyle {begin{matrix}bullet &xrightarrow {a} &bullet \downarrow &&downarrow \bullet &to &bullet end{matrix}}}

com umNão. o mesmo morfismo, eles podem ser verticalmente conjuntados dando um diagrama

? ? → → ? ? ↓ ↓ ↓ ↓ ? ? →um? ? ↓ ↓ ↓ ↓ ? ? → → ? ? {displaystyle {begin{matrix}bullet &to &bullet \downarrow &&downarrow \bullet &xrightarrow {a} &bullet \downarrow &&downarrow \\bullet &to &bullet end{matrix}}}}

que pode ser convertido em outro quadrado compondo as setas verticais. Existe uma lei de composição semelhante para anexos horizontais de quadrados.

Grupóides com estruturas geométricas

Ao estudar objetos geométricos, os grupóides que surgem muitas vezes carregam uma topologia, transformando-os em grupóides topológicos, ou mesmo alguma estrutura diferenciável, transformando-os em grupóides de Lie. Estes últimos objetos também podem ser estudados em termos de seus algebróides de Lie associados, em analogia à relação entre grupos de Lie e álgebras de Lie.

Os grupóides que surgem da geometria geralmente possuem outras estruturas que interagem com a multiplicação dos grupóides. Por exemplo, na geometria de Poisson tem-se a noção de um grupóide simplético, que é um grupóide de Lie dotado de uma forma simplética compatível. Da mesma forma, pode-se ter grupóides com uma métrica Riemanniana compatível, ou estrutura complexa, etc.