Grupo quociente

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Grupo obtido por agregar elementos semelhantes de um grupo maior

A grupo quotidiano ou grupo de fatores é um grupo matemático obtido agregando elementos semelhantes de um grupo maior usando uma relação de equivalência que preserva alguma da estrutura do grupo (o resto da estrutura é "fabricado" para fora). Por exemplo, o grupo cíclico de adição modulo n pode ser obtido a partir do grupo de inteiros sob adição, identificando elementos que diferem por um múltiplo de $n$ e definir uma estrutura de grupo que opera em cada classe (conhecida como uma classe de congruência) como uma única entidade. Faz parte do campo matemático conhecido como teoria do grupo.

Para uma relação de congruência em um grupo, a classe de equivalência do elemento de identidade é sempre um subgrupo normal do grupo original, e as outras classes de equivalência são precisamente os conjuntos desse subgrupo normal. O quociente resultante é escrito ${displaystyle G,/,N}$ , onde $G$ é o grupo original e $N$ é o subgrupo normal. (Isto é pronunciado ${displaystyle G{bmod {N}}}$ , onde ${displaystyle {mbox{mod}}}$ é curto para modulo.)

Grande parte da importância dos grupos quocientes é derivada de sua relação com homomorfismos. O primeiro teorema do isomorfismo afirma que a imagem de qualquer grupo G sob um homomorfismo é sempre isomorfo para um quociente de $G$ . Especificamente, a imagem de $G$ sob um homomorfismo ${displaystyle varphi:Grightarrow H}$ isomorfo para ${displaystyle G,/,ker(varphi)}$ Onde? $ker(varphi)$ denota o kernel do $varphi$ .

A noção dual de um grupo quociente é um subgrupo, sendo estas as duas formas primárias de formar um grupo menor a partir de um maior. Qualquer subgrupo normal tem um grupo quociente correspondente, formado a partir do grupo maior pela eliminação da distinção entre os elementos do subgrupo. Na teoria das categorias, os grupos quocientes são exemplos de objetos quocientes, que são duais para subobjetos.

Definição e ilustração

Dado um grupo $G$ e um subgrupo $H$ e um elemento ${displaystyle ain G}$ , pode-se considerar o coset esquerdo correspondente: ${displaystyle aH:=left{ah:hin Hright}}$ . Cosets são uma classe natural de subconjuntos de um grupo; por exemplo, considere o grupo abeliano G de inteiros, com operação definida pela adição habitual, e o subgrupo $H$ de até inteiros. Então há exatamente dois conjuntos: ${displaystyle 0+H}$ , que são os inteiros pares, e ${displaystyle 1+H}$ , que são os inteiros ímpares (aqui estamos usando notação aditiva para a operação binária em vez de notação multiplicativa).

Para um subgrupo geral $H$ , é desejável definir uma operação de grupo compatível no conjunto de todos os conjuntos possíveis, ${displaystyle left{aH:ain Gright}}$ . Isso é possível exatamente quando $H$ é um subgrupo normal, veja abaixo. Um subgrupo $N$ de um grupo $G$ é normal se e somente se a igualdade coset ${displaystyle aN=Na}$ para todos ${displaystyle ain G}$ . Um subgrupo normal de $G$ é denotado $N$ .

Definição

Vamos. $N$ ser um subgrupo normal de um grupo $G$ . Defina o conjunto ${displaystyle G,/,N}$ para ser o conjunto de todos os cosets esquerdos de $N$ em $G$ . Isso é, ${displaystyle G,/,N=left{aN:ain Gright}}$ . Desde o elemento de identidade ${displaystyle ein N}$ , ${displaystyle ain aN}$ . Defina uma operação binária no conjunto de conjuntos, ${displaystyle G,/,N}$ , como segue. Para cada $aN$ e ${displaystyle bN}$ em ${displaystyle G,/,N}$ , o produto de $aN$ e ${displaystyle bN}$ , ${displaystyle (aN)(bN)}$ , ${displaystyle (ab)N}$ . Isso só funciona porque ${displaystyle (ab)N}$ não depende da escolha dos representantes, $a$ e $b$ , de cada coset esquerdo, $aN$ e ${displaystyle bN}$ . Para provar isso, suponha ${displaystyle xN=aN}$ e ${displaystyle yN=bN}$ para alguns ${displaystyle x,y,a,bin G}$ . Então...

{textstyle (ab)N=a(bN)=a(yN)=a(Ny)=(aN)y=(xN)y=x(Ny)=x(yN)=(xy)N}

Isso depende do fato de que N é um subgrupo normal. Resta mostrar que esta condição não é apenas suficiente, mas necessária para definir a operação em G/N.

Para mostrar que é necessário, considere que para um subgrupo $N$ de $G$ , temos sido dados que a operação é bem definida. Isso é, para todos ${displaystyle xN=aN}$ e ${displaystyle yN=bN}$ , para ${displaystyle x,y,a,bin G,;(ab)N=(xy)N}$ .

Vamos. $nin N$ e $gin G$ . Desde então ${displaystyle eN=nN}$ , nós temos ${displaystyle gN=(eg)N=(eN)(gN)=(nN)(gN)=(ng)N}$ .

Agora. ${displaystyle gN=(ng)NLeftrightarrow N=(g^{-1}ng)NLeftrightarrow g^{-1}ngin N,;forall ,nin N}$ e $gin G$ .

Daí $N$ é um subgrupo normal de $G$ .

Também pode ser verificado que esta operação em ${displaystyle G,/,N}$ é sempre associativo, ${displaystyle G,/,N}$ tem elemento de identidade $N$ , e o inverso do elemento $aN$ pode sempre ser representado por ${displaystyle a^{-1}N}$ . Portanto, o conjunto ${displaystyle G,/,N}$ em conjunto com a operação definida por ${displaystyle (aN)(bN)=(ab)N}$ forma um grupo, o grupo quociente $G$ por $N$ .

Devido à normalidade de $N$ , os cosets esquerdos e cosets direito de $N$ em $G$ são os mesmos, e assim, ${displaystyle G,/,N}$ poderia ter sido definido como o conjunto de conjuntos certos de $N$ em $G$ .

Exemplo: Módulo de adição 6

Por exemplo, considere o grupo com modulo de adição 6: ${displaystyle G=left{0,1,2,3,4,5right}}$ . Considere o subgrupo ${displaystyle N=left{0,3right}}$ , que é normal porque $G$ é abeliano. Então o conjunto de (esquerda) conjuntos é de tamanho três:

{displaystyle G,/,N=left{a+N:ain Gright}=left{left{0,3right},left{1,4right},left{2,5right}right}=left{0+N,1+N,2+Nright}}

A operação binária definida acima transforma este conjunto em um grupo, conhecido como grupo quociente, que neste caso é isomórfico ao grupo cíclico de ordem 3.

Motivação para o nome "quociente"

A razão ${displaystyle G,/,N}$ é chamado de grupo quociente vem da divisão de inteiros. Ao dividir 12 por 3, obtém-se a resposta 4 porque se pode reagrupar 12 objetos em 4 subcoleções de 3 objetos. O grupo quociente é a mesma ideia, embora nós terminamos com um grupo para uma resposta final em vez de um número porque os grupos têm mais estrutura do que uma coleção arbitrária de objetos.

Para elaborar, ao olhar para ${displaystyle G,/,N}$ com $N$ um subgrupo normal de $G$ , a estrutura do grupo é usada para formar um "reagrupamento natural". Estes são os conjuntos de $N$ em $G$ . Como começamos com um grupo e subgrupo normal, o quociente final contém mais informações do que apenas o número de conjuntos (que é o que a divisão regular produz), mas em vez disso tem uma estrutura de grupo em si.

Exemplos

Inteiros pares e ímpares

Considere o grupo de inteiros $mathbb {Z}$ (sob adição) e o subgrupo ${displaystyle 2mathbb {Z} }$ consistindo de todos até inteiros. Este é um subgrupo normal, porque $mathbb {Z}$ é abeliano. Existem apenas dois conjuntos: o conjunto de inteiros pares e o conjunto de inteiros estranhos, e, portanto, o grupo quociente ${displaystyle mathbb {Z} ,/,2mathbb {Z} }$ é o grupo cíclico com dois elementos. Este grupo quociente é isomorfo com o conjunto ${displaystyle left{0,1right}}$ com modulo de adição 2; informalmente, às vezes é dito que ${displaystyle mathbb {Z} ,/,2mathbb {Z} }$ iguais o conjunto ${displaystyle left{0,1right}}$ com modulo de adição 2.

Exemplo mais explicado...

Vamos.

{displaystyle gamma (m)}

ser o restante de

{displaystyle min mathbb {Z} }

quando dividir por

2

. Então,

{displaystyle gamma (m)=0}

quando

m

é mesmo

{displaystyle gamma (m)=1}

quando

m

É estranho.

Por definição

gamma

, o kernel do

gamma

{displaystyle ker(gamma)}

{displaystyle ={min mathbb {Z}:gamma (m)=0}}

, é o conjunto de todos até inteiros.

Vamos.

{displaystyle H=}

{displaystyle ker(gamma)}

. Então,

H

é um subgrupo, porque a identidade em

Z

, que é

{displaystyle 0 }

, está dentro

H

, a soma de dois até inteiros é uniforme e, portanto, se

m

n

H

{displaystyle m+n}

H

(closure) e se

m

é mesmo,

{displaystyle -m}

também é uniforme e assim

H

contém seus inversos.

Definir

{displaystyle mu:}

mathbb {Z}

{displaystyle to mathbb {Z} _{2}}

como

{displaystyle mu (aH)=gamma (a)}

para

{displaystyle ain mathbb {Z} }

mathbb {Z}

é o grupo quociente de cosets esquerdos;

mathbb {Z}

{displaystyle ={H,1+H}}

Note que temos definido

mu

{displaystyle mu (aH)}

1

a

é estranho e

{displaystyle 0 }

a

é mesmo.

Assim,

mu

é um isomorfismo de

mathbb {Z}

para

{displaystyle mathbb {Z} _{2}}

Resto da divisão inteira

Uma ligeira generalização do último exemplo. Mais uma vez considere o grupo de inteiros $mathbb {Z}$ sob adição. Vamos. n ser qualquer inteiro positivo. Vamos considerar o subgrupo ${displaystyle nmathbb {Z} }$ de $mathbb {Z}$ consistindo de todos os múltiplos de $n$ . Mais uma vez. ${displaystyle nmathbb {Z} }$ é normal $mathbb {Z}$ porque $mathbb {Z}$ é abeliano. Os cosets são a coleção ${displaystyle left{nmathbb {Z}1+nmathbb {Z};ldots(n-2)+nmathbb {Z}(n-1)+nmathbb {Z} right}}$ . Um inteiro $k$ pertence ao coset ${displaystyle r+nmathbb {Z} }$ , onde $r$ é o restante ao dividir $k$ por $n$ . O quociente ${displaystyle mathbb {Z} ,/,nmathbb {Z} }$ pode ser pensado como o grupo de modulo "responsáveis" $n$ . Este é um grupo cíclico de ordem $n$ .

Raízes inteiras complexas de 1

Os conjuntos das quartas raízes da unidade N nas décimas raízes da unidade G.

As décimas raízes da unidade, que são pontos no círculo unitário complexo, formam um grupo abeliano multiplicativo $G$ , mostrado na imagem à direita como bolas coloridas com o número em cada ponto dando seu argumento complexo. Considere seu subgrupo $N$ feitas das quartas raízes da unidade, mostradas como bolas vermelhas. Este subgrupo normal divide o grupo em três conjuntos, mostrados em vermelho, verde e azul. Pode-se verificar que os cosets formam um grupo de três elementos (o produto de um elemento vermelho com um elemento azul é azul, o inverso de um elemento azul é verde, etc.). Assim, o grupo quociente ${displaystyle G,/,N}$ é o grupo de três cores, que acaba por ser o grupo cíclico com três elementos.

Os números reais módulo os inteiros

Considere o grupo de números reais $mathbb {R}$ sob adição, e o subgrupo $mathbb {Z}$ de inteiros. Cada conjunto de $mathbb {Z}$ em $mathbb {R}$ é um conjunto da forma ${displaystyle a+mathbb {Z} }$ , onde $a$ é um número real. Desde então ${displaystyle a_{1}+mathbb {Z} }$ e ${displaystyle a_{2}+mathbb {Z} }$ são conjuntos idênticos quando as partes não inteiros de $a_{1}$ e $a_{2}$ são iguais, pode-se impor a restrição $<math alttext="{displaystyle 0leq a0\leq \leq um<1{displaystyle 0leq a<1} <img alt="{displaystyle 0leq a$ sem mudança de significado. Adicionar tais conjuntos é feito adicionando os números reais correspondentes, e subtraindo 1 se o resultado for maior ou igual a 1. O grupo quociente ${displaystyle mathbb {R} ,/,mathbb {Z} }$ é isomorfo para o grupo círculo, o grupo de números complexos de valor absoluto 1 sob multiplicação, ou correspondentemente, o grupo de rotações em 2D sobre a origem, ou seja, o grupo ortogonal especial ${displaystyle {mbox{SO}}(2)}$ . Um isomorfismo é dado por ${displaystyle f(a+mathbb {Z})=exp(2pi ia)}$ (veja a identidade de Euler).

Matrizes de números reais

Se $G$ é o grupo de invertível $3 times 3$ matrizes reais, e $N$ é o subgrupo de $3 times 3$ matrizes reais com determinante 1, então $N$ é normal $G$ (uma vez que é o núcleo do homomorfismo determinante). Os conjuntos de $N$ são os conjuntos de matrizes com um determinado determinante, e daí ${displaystyle G,/,N}$ é isomorfo para o grupo multiplicador de números reais não zero. O grupo $N$ é conhecido como o grupo linear especial ${displaystyle {mbox{SL}}(3)}$ .

Aritmética modular inteira

Considere o grupo abeliano ${displaystyle mathbb {Z} _{4}=mathbb {Z} ,/,4mathbb {Z} }$ (isto é, o conjunto ${displaystyle left{0,1,2,3right}}$ com modulo de adição 4), e seu subgrupo ${displaystyle left{0,2right}}$ . O grupo quociente ${displaystyle mathbb {Z} _{4},/,left{0,2right}}$ o ${displaystyle left{left{0,2right},left{1,3right}right}}$ . Este é um grupo com elemento de identidade ${displaystyle left{0,2right}}$ , e operações de grupo, ${displaystyle left{0,2right}+left{1,3right}=left{1,3right}}$ . Tanto o subgrupo ${displaystyle left{0,2right}}$ e o grupo quociente ${displaystyle left{left{0,2right},left{1,3right}right}}$ são isomórficas com $mathbb{Z } _{2}$ .

Multiplicação inteira

Considere o grupo multiplicador ${displaystyle G=(mathbb {Z} _{n^{2}})^{times }}$ . O conjunto $N$ de $n$ os resíduos é um subgrupo multiplicativo isomorfo para ${displaystyle (mathbb {Z} _{n})^{times }}$ . Então... $N$ é normal $G$ e o grupo factor ${displaystyle G,/,N}$ tem os conjuntos ${displaystyle N,(1+n)N,(1+n)2N,;ldots(1+n)n-1N}$ . O criptosistema Paillier é baseado na conjectura que é difícil determinar o conjunto de um elemento aleatório de $G$ sem saber a fatoração de $n$ .

Propriedades

O grupo quociente ${displaystyle G,/,G}$ é isomorfo para o grupo trivial (o grupo com um elemento) e ${displaystyle G,/,left{eright}}$ isomorfo para $G$ .

A ordem de ${displaystyle G,/,N}$ , por definição, o número de elementos, é igual a ${displaystyle vert G:Nvert }$ , o índice de $N$ em $G$ . Se $G$ é finito, o índice também é igual à ordem de $G$ dividido pela ordem de $N$ . O conjunto ${displaystyle G,/,N}$ pode ser finito, embora ambos $G$ e $N$ são infinitos (por exemplo, ${displaystyle mathbb {Z} ,/,2mathbb {Z} }$ ).

Há um homomorfismo de grupo surjetivo "natural" ${displaystyle pi:Grightarrow G,/,N}$ , enviando cada elemento $g$ de $G$ para o conjunto de $N$ a que $g$ pertence, isto é: ${displaystyle pi (g)=gN}$ . O mapeamento $pi$ é às vezes chamado de projeção canônica de $G$ sobre ${displaystyle G,/,N}$ . Seu kernel é $N$ .

Há uma correspondência bijetiva entre os subgrupos de $G$ que contêm $N$ e os subgrupos de ${displaystyle G,/,N}$ ; se $H$ é um subgrupo de $G$ contendo $N$ , então o subgrupo correspondente de ${displaystyle G,/,N}$ o ${displaystyle pi (H)}$ . Esta correspondência detém para subgrupos normais de $G$ e ${displaystyle G,/,N}$ também, e é formalizado no teorema do treliça.

Várias propriedades importantes de grupos quocientes são registradas no teorema fundamental sobre homomorfismos e nos teoremas de isomorfismo.

Se $G$ é abeliano, nilpotente, solvável, cíclico ou finitamente gerado, então assim é ${displaystyle G,/,N}$ .

Se $H$ é um subgrupo em um grupo finito $G$ e a ordem de $H$ é uma metade da ordem de $G$ , então $H$ é garantido para ser um subgrupo normal, então ${displaystyle G,/,H}$ existe e é isomorfo para $C_{2}$ . Este resultado também pode ser afirmado como "qualquer subgrupo do índice 2 é normal", e nesta forma aplica-se também a grupos infinitos. Além disso, se $p$ é o menor número primo dividindo a ordem de um grupo finito, $G$ Então, se ${displaystyle G,/,H}$ tem ordem $p$ , $H$ deve ser um subgrupo normal de $G$ .

Conduzido $G$ e um subgrupo normal $N$ , então $G$ é uma extensão de grupo ${displaystyle G,/,N}$ por $N$ . Pode-se perguntar se esta extensão é trivial ou dividida; em outras palavras, pode-se perguntar se $G$ é um produto direto ou produto semidireto de $N$ e ${displaystyle G,/,N}$ . Este é um caso especial do problema de extensão. Um exemplo em que a extensão não está dividida é o seguinte: Vamos. ${displaystyle G=mathbb {Z} _{4}=left{0,1,2,3right}}$ e ${displaystyle N=left{0,2right}}$ , que é isomorfo $mathbb{Z } _{2}$ . Então... ${displaystyle G,/,N}$ também é isomorfo para $mathbb{Z } _{2}$ . Mas... $mathbb{Z } _{2}$ tem apenas o automorfismo trivial, então o único produto semi-direto de $N$ e ${displaystyle G,/,N}$ é o produto direto. Desde então ${displaystyle mathbb {Z} _{4}}$ é diferente de ${displaystyle mathbb {Z} _{2}times mathbb {Z} _{2}}$ , concluímos que $G$ não é um produto semi-direto de $N$ e ${displaystyle G,/,N}$ .

Quocientes de grupos de Lie

Se $G$ é um grupo de Lie e $N$ é um normal e fechado (no topológico ao invés do sentido algébrico da palavra) Subgrupo de mentiras $G$ , o quociente $G$ / $N$ é também um grupo de Lie. Neste caso, o grupo original $G$ tem a estrutura de um feixe de fibra (especificamente, um Principal $N$ - O quê?), com espaço de base $G$ / $N$ e fibra $N$ . A dimensão da $G$ / $N$ iguais ${displaystyle dim G-dim N}$ .

Note que a condição que $N$ é fechado é necessário. De facto, se $N$ não está fechado então o espaço quociente não é um espaço T1 (uma vez que há um coset no quociente que não pode ser separado da identidade por um conjunto aberto), e assim não um espaço Hausdorff.

Para um não-normal Subgrupo de mentiras $N$ , o espaço ${displaystyle G,/,N}$ de cosets esquerdos não é um grupo, mas simplesmente um coletor diferencial em que $G$ Atos. O resultado é conhecido como um espaço homogêneo.

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