Grupo abeliano

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Grupo comutativo (matemática)

Em matemática, um grupo abeliano, também chamado de grupo comutativo, é um grupo no qual o resultado da aplicação da operação de grupo a dois elementos do grupo não depende de a ordem em que são escritos. Ou seja, a operação de grupo é comutativa. Com a adição como operação, os inteiros e os números reais formam grupos abelianos, e o conceito de grupo abeliano pode ser visto como uma generalização desses exemplos. Os grupos abelianos são nomeados em homenagem ao matemático do início do século XIX, Niels Henrik Abel.

O conceito de um grupo abeliano é a base de muitas estruturas algébricas fundamentais, como corpos, anéis, espaços vetoriais e álgebras. A teoria dos grupos abelianos é geralmente mais simples do que a de suas contrapartes não abelianas, e os grupos abelianos finitos são muito bem compreendidos e totalmente classificados.

Definição

Um grupo abeliano é um conjunto $A$ , juntamente com uma operação $cdot$ que combina dois elementos $a$ e $b$ de $A$ para formar outro elemento de $A,$ denotado $acdot b$ . O símbolo $cdot$ é um placeholder geral para uma operação concretamente dada. Para se qualificar como um grupo abeliano, o conjunto e operação, ${displaystyle (A,cdot)}$ , deve satisfazer quatro requisitos conhecidos como axiomas do grupo abeliano (alguns autores incluem nos axiomas algumas propriedades que pertencem à definição de uma operação: ou seja, que a operação é definido para qualquer par ordenado de elementos de $A$ , que o resultado é bem definido, e que o resultado pertence a $A$ :

Associação: Para todos $a$ , $b$ e $c$ em $A$ , a equação ${displaystyle (acdot b)cdot c=acdot (bcdot c)}$ Detém.
Elemento de identidade: Existe um elemento $e$ em $A$ , tal que para todos os elementos $a$ em $A$ , a equação ${displaystyle ecdot a=acdot e=a}$ Detém.
Elemento inverso: Para cada $a$ em $A$ existe um elemento $b$ em $A$ tal que ${displaystyle acdot b=bcdot a=e}$ , onde $e$ é o elemento de identidade.
Comutação: Para todos $a$ , $b$ em $A$ , ${displaystyle acdot b=bcdot a}$ .

Um grupo no qual a operação de grupo não é comutativa é chamado de "grupo não abeliano" ou "grupo não comutativo".

Fatos

Notação

Existem duas convenções de notação principais para grupos abelianos – aditiva e multiplicativa.

Convenção	Operação	Identidade	Energias	Invertido
Adição	$x+y$	0	${displaystyle nx}$	$-x$
Multiplicação	$xcdot y$ ou $xy$	1	$x^{n}$	$x^{-1}$

Geralmente, a notação multiplicativa é a notação usual para grupos, enquanto a notação aditiva é a notação usual para módulos e anéis. A notação aditiva também pode ser usada para enfatizar que um determinado grupo é abeliano, sempre que grupos abelianos e não abelianos são considerados, algumas exceções notáveis sendo anéis próximos e grupos parcialmente ordenados, onde uma operação é escrita aditivamente mesmo quando não abeliana.

Tabela de multiplicação

Para verificar se um grupo finito é abeliano, uma tabela (matrix) – conhecida como tabela Cayley – pode ser construída de forma semelhante a uma tabela de multiplicação. Se o grupo é ${displaystyle G={g_{1}=e,g_{2},dotsg_{n}}}$ sob o operação $cdot$ , o $(i,j)$ - entrada desta tabela contém o produto ${displaystyle g_{i}cdot g_{j}}$ .

O grupo é abeliano se e somente se esta tabela é simétrica sobre a diagonal principal. Isso é verdade porque o grupo é abeliano iff ${displaystyle g_{i}cdot g_{j}=g_{j}cdot g_{i}}$ para todos ${displaystyle i,j=1,...,n}$ , que é se $(i,j)$ entrada da tabela é igual ao ${displaystyle (j,i)}$ entrada para todos ${displaystyle i,j=1,...,n}$ , ou seja, a tabela é simétrica sobre a diagonal principal.

Exemplos

Para os inteiros e a adição da operação $+$ , denotado ${displaystyle (mathbb {Z}+)}$ , a operação + combina quaisquer dois inteiros para formar um terceiro inteiro, a adição é associativa, zero é a identidade aditiva, cada inteiro $n$ tem um aditivo inverso, $-n$ , e a operação de adição é comutativa desde ${displaystyle n+m=m+n}$ para qualquer dois inteiros $m$ e $n$ .
Cada grupo cíclico $G$ é abeliano, porque se $x$ , $y$ em $G$ , então ${displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx}$ . Assim os inteiros, $mathbb {Z}$ , formar um grupo abeliano sob adição, assim como o integers modulo $n$ , $mathbb {Z} /nmathbb {Z}$ .
Cada anel é um grupo abeliano com relação à sua operação de adição. Em um anel comutativo os elementos invertíveis, ou unidades, formam um grupo abeliano multiplicativo. Em particular, os números reais são um grupo abeliano sob adição, e os números reais nonzero são um grupo abeliano sob multiplicação.
Cada subgrupo de um grupo abeliano é normal, então cada subgrupo dá origem a um grupo quociente. Subgrupos, quocientes e somas diretas de grupos abelianos são novamente abelianos. Os grupos abelianos simples finitos são exatamente os grupos cíclicos de primeira ordem.
Os conceitos do grupo abeliano e $mathbb {Z}$ - O módulo concorda. Mais especificamente, cada $mathbb {Z}$ -módulo é um grupo abeliano com sua operação de adição, e cada grupo abeliano é um módulo sobre o anel de inteiros $mathbb {Z}$ de uma forma única.

Em geral, matrizes, mesmo matrizes invertíveis, não formam um grupo abeliano sob multiplicação porque a multiplicação da matriz geralmente não é comutativa. No entanto, alguns grupos de matrizes são grupos abelianos sob multiplicação de matrizes – um exemplo é o grupo de $2times 2$ matrizes de rotação.

Comentários históricos

Camille Jordan nomeou os grupos abelianos em homenagem ao matemático norueguês Niels Henrik Abel, porque Abel descobriu que a comutatividade do grupo de um polinômio implica que as raízes do polinômio podem ser calculadas usando radicais.

Propriedades

Se $n$ é um número natural e $x$ é um elemento de um grupo abeliano $G$ escrito aditivamente, então ${displaystyle nx}$ pode ser definido como ${displaystyle x+x+cdots +x}$ ( $n$ resumos) e ${displaystyle (-n)x=-(nx)}$ . Desta forma, $G$ torna-se um módulo sobre o anel $mathbb {Z}$ de inteiros. Na verdade, os módulos sobre $mathbb {Z}$ pode ser identificado com os grupos abelianos.

Teoremas sobre grupos abelianos (ou seja, módulos sobre o domínio ideal principal $mathbb {Z}$ ) muitas vezes pode ser generalizado para teoremas sobre módulos sobre um domínio ideal arbitrário principal. Um exemplo típico é a classificação de grupos abelianos gerados finitamente, que é uma especialização do teorema da estrutura para módulos gerados finitamente sobre um domínio ideal principal. No caso de grupos abelianos gerados finitamente, este teorema garante que um grupo abeliano se divide como uma soma direta de um grupo de torção e um grupo abeliano livre. O primeiro pode ser escrito como uma soma direta de finitos muitos grupos da forma ${displaystyle mathbb {Z} /p^{k}mathbb {Z} }$ para $p$ primo, e o último é uma soma direta de finitas muitas cópias de $mathbb {Z}$ .

Se $f,g:Gto H$ são dois homomorfismos de grupo entre grupos abelianos, então sua soma $f + g$ , definido por ${displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ , é novamente um homomorfismo. (Isto não é verdade se $H$ é um grupo não-abelian.) O conjunto ${displaystyle {text{Hom}}(G,H)}$ de todos os homomorfismos de grupo $G$ para $H$ é, portanto, um grupo abeliano em seu próprio direito.

Um pouco semelhante à dimensão dos espaços vetoriais, todo grupo abeliano tem uma classificação. É definido como a cardinalidade máxima de um conjunto de elementos linearmente independentes (sobre os inteiros) do grupo. Grupos abelianos finitos e grupos de torção têm posto zero, e todo grupo abeliano de posto zero é um grupo de torção. Os inteiros e os números racionais têm posto um, assim como todo subgrupo aditivo diferente de zero dos racionais. Por outro lado, o grupo multiplicativo dos racionais não nulos tem posto infinito, pois é um grupo abeliano livre com base no conjunto dos números primos (isso resulta do teorema fundamental da aritmética).

O centro $Z(G)$ de um grupo $G$ é o conjunto de elementos que comutam com cada elemento de $G$ . Um grupo $G$ é abeliano se e somente se for igual ao seu centro $Z(G)$ . O centro de um grupo $G$ é sempre um subgrupo abeliano característico de $G$ . Se o grupo quociente $G/Z(G)$ de um grupo por seu centro é cíclico então $G$ é abeliano.

Grupos abelianos finitos

Grupos cíclicos de integers modulo $n$ , $mathbb {Z} /nmathbb {Z}$ , estavam entre os primeiros exemplos de grupos. Acontece que um grupo abeliano finito arbitrário é isomorfo para uma soma direta de grupos cíclicos finitos de ordem de poder primo, e essas ordens são exclusivamente determinados, formando um sistema completo de invariantes. O grupo de automorfismo de um grupo abeliano finito pode ser descrito diretamente em termos desses invariantes. A teoria foi desenvolvida pela primeira vez no artigo de 1879 de Georg Frobenius e Ludwig Stickelberger e mais tarde foi simplificada e generalizada para módulos gerados finitamente sobre um domínio ideal principal, formando um importante capítulo de álgebra linear.

Qualquer grupo de ordem principal é isomorfo para um grupo cíclico e, portanto, abeliano. Qualquer grupo cuja ordem é um quadrado de um número primo também é abeliano. Na verdade, para cada número primo $p$ há (até isomorfismo) exatamente dois grupos de ordem $p^{2}$ , ${displaystyle mathbb {Z} _{p^{2}}}$ e ${displaystyle mathbb {Z} _{p}times mathbb {Z} _{p}}$ .

Classificação

O teorema fundamental de grupos abelianos finitos afirma que cada grupo abeliano finito $G$ pode ser expressa como a soma direta de subgrupos cíclicos de ordem de primeira potência; também é conhecido como o teorema de base para grupos abelianos finitos. Além disso, grupos de automorfismo de grupos cíclicos são exemplos de grupos abelianos. Isso é generalizado pelo teorema fundamental de grupos abelianos gerados finitamente, com grupos finitos sendo o caso especial quando G tem zero posto; isto por sua vez admite inúmeras outras generalizações.

A classificação foi comprovada por Leopold Kronecker em 1870, embora não tenha sido declarada em termos modernos de teoria de grupo até mais tarde, e foi precedida por uma classificação semelhante de formas quadráticas por Carl Friedrich Gauss em 1801; veja o histórico para detalhes.

O grupo cíclico ${displaystyle mathbb {Z} _{mn}}$ de ordem $mn$ isomorfo para a soma direta de $mathbb {Z} _{m}$ e $mathbb {Z} _{n}$ se e somente se $m$ e $n$ são coprime. Segue-se que qualquer grupo abeliano finito $G$ é isomorfo para uma soma direta da forma

{displaystyle bigoplus _{i=1}^{u} mathbb {Z} _{k_{i}}}

em uma das seguintes formas canônicas:

os números ${displaystyle k_{1},k_{2},dotsk_{u}}$ são poderes de (não necessariamente distintos) primos,
ou $k_{1}$ divide $k_{2}$ , que divide $k_{3}$ e assim por diante ${displaystyle k_{u}}$ .

Por exemplo, ${displaystyle mathbb {Z} _{15}}$ pode ser expressa como a soma direta de dois subgrupos cíclicos da ordem 3 e 5: ${displaystyle mathbb {Z} _{15}cong {0,5,10}oplus {0,3,6,9,12}}$ . O mesmo pode ser dito para qualquer grupo abeliano da ordem 15, levando à conclusão notável de que todos os grupos abelianos da ordem 15 são isomorfos.

Por outro exemplo, cada grupo abeliano da ordem 8 é isomorfo para ambos ${mathbb {Z}}_{8}$ (os inteiros 0 a 7 em modulo de adição 8), ${displaystyle mathbb {Z} _{4}oplus mathbb {Z} _{2}}$ (os inteiros ímpares 1 a 15 abaixo do modulo de multiplicação 16), ou ${displaystyle mathbb {Z} _{2}oplus mathbb {Z} _{2}oplus mathbb {Z} _{2}}$ .

Veja também a lista de pequenos grupos para grupos abelianos finitos de ordem 30 ou menos.

Automorfismos

Pode-se aplicar o teorema fundamental para contar (e às vezes determinar) os automorfismos de um determinado grupo abeliano finito $G$ . Para fazer isso, um usa o fato de que se $G$ divide-se como uma soma direta ${displaystyle Hoplus K}$ de subgrupos de ordem de coprime, então

{displaystyle operatorname {Aut} (Hoplus K)cong operatorname {Aut} (H)oplus operatorname {Aut} (K).}

Dado isto, o teorema fundamental mostra que para computar o grupo de automorfismo de $G$ basta calcular os grupos de automorfismo do Sylow $p$ -subgrupos separadamente (isto é, todas as somas diretas de subgrupos cíclicos, cada um com a ordem um poder de $p$ ). Corrigir um primo $p$ e suponha os expoentes $e_{i}$ dos fatores cíclicos do Sylow $p$ -subgrupo são organizados em ordem crescente:

e_{1}leq e_{2}leq cdots leq e_{n}

para alguns $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n>0- Sim. 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a6a5d982d54202a14f111cb8a49210501b2c96" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/>$ . Um precisa encontrar os automorfismos de

mathbf {Z} _{p^{e_{1}}}oplus cdots oplus mathbf {Z} _{p^{e_{n}}}.

Um caso especial é quando $n=1$ , para que haja apenas um fator cíclico de primeira potência no Sylow $p$ -subgrupo $P$ . Neste caso, a teoria dos automorfismos de um grupo cíclico finito pode ser usada. Outro caso especial é quando $n$ é arbitrário, mas $e_{i}=1$ para ${displaystyle 1leq ileq n}$ . Aqui, um está pensando $P$ para ser da forma

mathbf {Z} _{p}oplus cdots oplus mathbf {Z} _{p},

assim os elementos deste subgrupo podem ser vistos como compreendendo um espaço vetorial de dimensão $n$ sobre o campo finito de $p$ elementos $mathbb {F} _{p}$ . Os automorfismos deste subgrupo são, portanto, dados pelas transformações lineares invertíveis, portanto

{displaystyle operatorname {Aut} (P)cong mathrm {GL} (n,mathbf {F} _{p}),}

Onde? ${displaystyle mathrm {GL} }$ é o grupo linear geral apropriado. Isso é facilmente mostrado para ter ordem

{displaystyle left|operatorname {Aut} (P)right|=(p^{n}-1)cdots (p^{n}-p^{n-1}).}

No caso mais geral, onde o $e_{i}$ e $n$ são arbitrários, o grupo de automorfismo é mais difícil de determinar. É sabido, no entanto, que se definirmos

{displaystyle d_{k}=max{rmid e_{r}=e_{k}}}

{displaystyle c_{k}=min{rmid e_{r}=e_{k}}}

então um tem em particular ${displaystyle kleq d_{k}}$ , ${displaystyle c_{k}leq k}$ e

{displaystyle left|operatorname {Aut} (P)right|=prod _{k=1}^{n}(p^{d_{k}}-p^{k-1})prod _{j=1}^{n}(p^{e_{j}})^{n-d_{j}}prod _{i=1}^{n}(p^{e_{i}-1})^{n-c_{i}+1}.}

Pode-se verificar que isso produz as ordens nos exemplos anteriores como casos especiais (ver Hillar, C., & Rhea, D.).

Grupos abelianos finitamente gerados

Um grupo abeliano $A$ é gerado finitamente se contém um conjunto finito de elementos (chamados geradores) ${displaystyle G={x_{1},ldotsx_{n}}}$ tal que cada elemento do grupo é uma combinação linear com coeficientes inteiros de elementos de $G$ .

Vamos. $L$ ser um grupo abeliano livre com base ${displaystyle B={b_{1},ldotsb_{n}}.}$ Há um homomorfismo de grupo único ${displaystyle pcolon Lto A,}$ tal que

{displaystyle p(b_{i})=x_{i}quad {text{for }}i=1,ldotsn.}

Esse homomorfismo é sobrejetivo e seu kernel é gerado finitamente (já que inteiros formam um anel Noetheriano). Considere a matriz $M$ com entradas inteiras, de modo que as entradas de seu $j$ a coluna são os coeficientes do $j$ ésima coluna do kernel. Então, o grupo abeliano é isomórfico ao cokernel do mapa linear definido por $M$ . Por outro lado, toda matriz inteira define um grupo abeliano finitamente gerado.

Segue-se que o estudo de grupos abelianos finitamente gerados é totalmente equivalente ao estudo de matrizes inteiras. Em particular, alterar o conjunto gerador de $A$ é equivalente a multiplicar $M$ à esquerda por uma matriz unimodular (ou seja, uma matriz inteira invertível cujo inverso também é uma matriz inteira). Alterar o conjunto gerador do kernel de $M$ é equivalente a multiplicar $M$ à direita por uma matriz unimodular.

A forma normal de Smith de $M$ é uma matriz

{displaystyle S=UMV,}

Onde? $U$ e $V$ são unimodulares, e $S$ é uma matriz tal que todas as entradas não-diagonais são zero, as entradas não-zero diagonal ${displaystyle d_{1,1},ldotsd_{k,k}}$ são os primeiros, e ${displaystyle d_{j,j}}$ é um divisor de ${displaystyle d_{i,i}}$ para $Eu... > JJ$ . A existência e a forma do normal de Smith prova que o grupo abeliano gerado finitamente $A$ é a soma direta

{displaystyle mathbb {Z} ^{r}oplus mathbb {Z} /d_{1,1}mathbb {Z} oplus cdots oplus mathbb {Z} /d_{k,k}mathbb {Z}}

onde $r$ é o número de linhas zero na parte inferior de $r$ (e também a classificação do grupo). Este é o teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente gerados.

A existência de algoritmos para a forma normal de Smith mostra que o teorema fundamental de grupos abelianos finitamente gerados não é apenas um teorema de existência abstrata, mas fornece uma maneira de calcular a expressão de grupos abelianos finitamente gerados como somas diretas.

Grupos abelianos infinitos

O grupo abeliano infinito mais simples é o grupo cíclico infinito $mathbb {Z}$ . Qualquer grupo abeliano gerado finitamente $A$ isomorfo para a soma direta de $r$ cópias de $mathbb {Z}$ e um grupo abeliano finito, que por sua vez é decomposable em uma soma direta de finitamente muitos grupos cíclicos de ordens de poder primo. Mesmo que a decomposição não seja única, o número $r$ , chamado o posto de $A$ , e os poderes primos que dão as ordens de summands cíclicos finitos são exclusivamente determinados.

Em contraste, a classificação de grupos abelianos gerados infinitamente em geral está longe de ser completa. Grupos divisíveis, ou seja, grupos abelianos $A$ em que a equação ${displaystyle nx=a}$ admite uma solução $xin A$ para qualquer número natural $n$ e elemento $a$ de $A$ , constituem uma classe importante de grupos abelianos infinitos que podem ser completamente caracterizados. Cada grupo divisível é isomorfo para uma soma direta, com summands isomorphic to $mathbb {Q}$ e grupos Prüfer ${displaystyle mathbb {Q} _{p}/Z_{p}}$ para vários números primos $p$ , e a cardinalidade do conjunto de summands de cada tipo é determinada exclusivamente. Além disso, se um grupo divisível $A$ é um subgrupo de um grupo abeliano $G$ então $A$ admite um complemento direto: um subgrupo $C$ de $G$ tal que ${displaystyle G=Aoplus C}$ . Assim, os grupos divisíveis são módulos injetivos na categoria de grupos abelianos, e, inversamente, cada grupo abeliano injetivo é divisível (critério de base). Um grupo abeliano sem subgrupos não-zero divisíveis é chamado reduzido.

Duas classes especiais importantes de grupos abelianos infinitos com propriedades diametralmente opostas são grupos de torção e grupos livres de torção, exemplificado pelos grupos ${mathbb {Q}}/{mathbb {Z}}$ (peródico) e $mathbb {Q}$ (disponível).

Grupos de torção

Um grupo abeliano é chamado periódico ou torção, se cada elemento tem ordem finita. Uma soma direta de grupos cíclicos finitos é periódica. Embora a declaração conversa não seja verdadeira em geral, alguns casos especiais são conhecidos. O primeiro e segundo teoremas de Prüfer afirmam que se $A$ é um grupo periódico, e ou tem exponente vinculado, i.e., ${displaystyle nA=0}$ para algum número natural $n$ , ou é contável e $p$ - alturas dos elementos de $A$ são finitos para cada $p$ , então $A$ é isomorfo para uma soma direta de grupos cíclicos finitos. A cardinalidade do conjunto de summands diretos isomorphic a ${mathbb {Z}}/p^{m}{mathbb {Z}}$ em tal decomposição é um invariante de $A$ . Estes teoremas foram posteriormente subsumidos no Critério de Kulikov. Em uma direção diferente, Helmut Ulm encontrou uma extensão do segundo teorema de Prüfer para abeliano contável $p$ -grupos com elementos de altura infinita: esses grupos são completamente classificados por meio de seus invariantes Ulm.

Grupos mistos e livres de torção

Um grupo abeliano é chamado livre de torção se todo elemento diferente de zero tiver ordem infinita. Várias classes de grupos abelianos sem torção foram estudadas extensivamente:

Grupos abelianos livres, ou seja, somas diretas arbitrárias de $mathbb {Z}$
Cotorsão e grupos livres de torção algébricamente compactos, como o $p$ - inteiros adic
Grupos delgados

Um grupo abeliano que não é periódico nem livre de torção é chamado mistura. Se $A$ é um grupo abeliano e $T(A)$ é seu subgrupo de torção, então o grupo fator ${displaystyle A/T(A)}$ é livre de torção. No entanto, em geral, o subgrupo de torção não é uma soma direta de $A$ Então... $A$ o não isomorfo para ${displaystyle T(A)oplus A/T(A)}$ . Assim, a teoria dos grupos mistos envolve mais do que simplesmente combinar os resultados sobre grupos periódicos e livres de torção. O grupo aditivo $mathbb {Z}$ de inteiros é livre de torção $mathbb {Z}$ - módulo.

Invariantes e classificação

Um dos invariantes mais básicos de um grupo abeliano infinito $A$ é sua classificação: a cardinalidade do subconjunto maximal linearmente independente de $A$ . Grupos abelianos do posto 0 são precisamente os grupos periódicos, enquanto os grupos abelianos livres de torção do posto 1 são necessariamente subgrupos de $mathbb {Q}$ e pode ser completamente descrito. Mais geralmente, um grupo abeliano sem torção de posição finita $r$ é um subgrupo de ${displaystyle mathbb {Q} _{r}}$ . Por outro lado, o grupo de $p$ - inteiros adic $mathbb {Z} _{p}$ é um grupo abeliano sem torção de infinito $mathbb {Z}$ -rank e os grupos ${displaystyle mathbb {Z} _{p}^{n}}$ com diferente $n$ são não-isomorfos, então este invariante nem sequer capta totalmente propriedades de alguns grupos familiares.

Os teoremas de classificação para grupos abelianos finitamente gerados, divisíveis, contáveis, periódicos e livres de torção explicados acima foram todos obtidos antes de 1950 e formam uma base da classificação de grupos abelianos infinitos mais gerais. Ferramentas técnicas importantes usadas na classificação de grupos abelianos infinitos são subgrupos puros e básicos. A introdução de vários invariantes de grupos abelianos livres de torção tem sido uma via de progresso adicional. Veja os livros de Irving Kaplansky, László Fuchs, Phillip Griffith e David Arnold, bem como os anais das conferências sobre a teoria de grupos abelianos publicados em Lecture Notes in Mathematics para descobertas mais recentes.

Grupos aditivos de anéis

O grupo aditivo de um anel é um grupo abeliano, mas nem todos os grupos abelianos são grupos aditivos de anéis (com multiplicação não trivial). Alguns tópicos importantes nesta área de estudo são:

Produto tensor
Os resultados do A.L.S. Corner em grupos sem torção contáveis
O trabalho de Shelah para remover restrições de cardinalidade
Anel de Burnside

Relação com outros tópicos matemáticos

Muitos grandes grupos abelianos possuem uma topologia natural, que os transforma em grupos topológicos.

A coleção de todos os grupos abelianos, juntamente com os homomorfismos entre eles, forma a categoria ${displaystyle {textbf {Ab}}}$ , o protótipo de uma categoria abeliana.

Wanda Szmielew (1955) provou que a teoria de primeira ordem de grupos abelianos, ao contrário de sua contraparte não abeliana, é decidível. A maioria das estruturas algébricas, exceto as álgebras booleanas, são indecidíveis.

Ainda existem muitas áreas de pesquisa atual:

Entre os grupos abelianos sem torção de posição finita, apenas o caso gerado finitamente e o caso de classificação 1 são bem compreendidos;
Há muitos problemas não resolvidos na teoria de grupos abelianos sem torção infinitas;
Enquanto grupos abelianos de torção contáveis são bem compreendidos através de apresentações simples e invariantes de Ulm, o caso de grupos mistos contáveis é muito menos maduro.
Muitas extensões suaves da teoria da primeira ordem de grupos abelianos são conhecidas por serem indecidíveis.
Os grupos abelianos finitos permanecem um tópico de pesquisa na teoria dos grupos computacionais.

Além disso, grupos abelianos de ordem infinita levam, surpreendentemente, a questões profundas sobre a teoria dos conjuntos comumente considerada subjacente a toda a matemática. Considere o problema de Whitehead: todos os grupos de Whitehead de ordem infinita também são grupos abelianos livres? Na década de 1970, Saharon Shelah provou que o problema de Whitehead é:

Indecidível em ZFC (Zermelo-Fraenkel axioms), a teoria do conjunto axiomático convencional da qual quase toda a matemática atual pode ser derivada. O problema da Whitehead é também a primeira questão na matemática ordinária mostrou-se indecidável no ZFC;
Indecidível mesmo se ZFC é aumentada, tomando a hipótese de continuidade generalizada como um axioma;
Positivamente respondeu se ZFC é aumentada com o axioma da construibilidade (veja as declarações verdadeiras em L).

Uma nota sobre tipografia

Entre os adjetivos matemáticos derivados do nome próprio de um matemático, a palavra "abelian" é raro porque muitas vezes é escrito com a minúsculo, em vez de A maiúsculo, sendo a falta de letras maiúsculas um reconhecimento tácito não apenas do grau em que Abel&# O nome de 39 foi institucionalizado, mas também de quão onipresentes na matemática moderna são os conceitos introduzidos por ele.

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