Googolplex
Um googolplex é o número 10googol, ou equivalente, 1010100 ou 1010.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 00.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000. Escrito em notação decimal comum, é 1 seguido de 10100 zeros; ou seja, um 1 seguido por um googol de zeros.
História
Em 1920, o sobrinho de Edward Kasner, Milton Sirotta, de nove anos, cunhou o termo googol, que é 10100, e então propôs o termo adicional googolplex para ser "um, seguido por escrever zeros até você se cansar". Kasner decidiu adotar uma definição mais formal porque "pessoas diferentes se cansam em momentos diferentes e nunca faria Carnera [ser] um matemático melhor do que o Dr. Einstein, simplesmente porque ele tinha mais resistência e podia escrever por mais tempo". #34;. Tornou-se assim padronizado para 10(10100) = 1010100, devido à associatividade à direita de exponenciação.
Tamanho
Um livro típico pode ser impresso com 106 zeros (cerca de 400 páginas com 50 linhas por página e 50 zeros por linha). Portanto, são necessários 1094 desses livros para imprimir todos os zeros de um googolplex (isto é, imprimir zeros googol). Se cada livro tivesse uma massa de 100 gramas, todos eles teriam uma massa total de 1093 quilogramas. Em comparação, a massa da Terra é de 5,972 × 1024 quilogramas, a massa da Via Láctea é estimada em 2,5 × 1042 quilogramas e a massa total de todas as estrelas no universo observável é estimado em 2 × 1052 kg.
Para colocar isso em perspectiva, a massa de todos esses livros necessários para escrever um googolplex seria muito maior do que as massas da Via Láctea e das galáxias de Andrômeda juntas (por um fator de aproximadamente 2,0 × 1050 ), e maior que a massa do universo observável por um fator de aproximadamente 7 × 1039.
Em matemática pura
Em matemática pura, existem vários métodos de notação para representar grandes números pelos quais a magnitude de um googolplex pode ser representada, como tetração, hiperoperação, notação de seta para cima de Knuth, notação de Steinhaus-Moser ou Conway notação de seta encadeada.
No universo físico
No programa de ciências da PBS Cosmos: A Personal Voyage, Episódio 9: "The Lives of the Stars", o astrônomo e personalidade da televisão Carl Sagan estimou que escrever um googolplex na íntegra forma decimal (ou seja, "10.000.000.000...") seria fisicamente impossível, pois isso exigiria mais espaço do que o disponível no universo conhecido. Sagan deu um exemplo de que, se todo o volume do universo observável estiver preenchido com partículas finas de poeira de aproximadamente 1,5 micrômetros de tamanho (0,0015 milímetros), o número de combinações diferentes nas quais as partículas podem ser organizadas e numeradas seria de cerca de um googolplex.
Escrever o número acabaria levando à morte térmica do universo: se uma pessoa pode escrever dois dígitos por segundo, escrever um googolplex levaria cerca de 1,58×1092 anos, que é cerca de 1,1×1082 vezes a idade aceita do universo, e cada dígito escrito resultaria em um aumento de entropia pela segunda lei da termodinâmica.
1097 é uma estimativa alta das partículas elementares existentes no universo visível (não incluindo a matéria escura), principalmente fótons e outros portadores de força sem massa.
Mod n
Os resíduos (mod n) de um googolplex, começando com o mod 1, são:
- 0, 0, 1, 0, 0, 4, 4, 0, 1, 0, 1, 4, 3, 4, 10, 0, 1, 10, 9, 0, 4, 12, 13, 16, 16, 10, 4, 24, 10, 5, 0, 1, 18, 25, 28, 10, 28, 16, 0, 1, 4, 24, 12, 10, 36, 9, 16... A067007 no OEIS)
Esta sequência é a mesma que a sequência de resíduos (mod n) de um googol até a 17ª posição.