Googolplex

Um googolplex é o número 10^googol, ou equivalente, 10¹⁰¹⁰⁰ ou 10^{10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 00.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000}. Escrito em notação decimal comum, é 1 seguido de 10¹⁰⁰ zeros; ou seja, um 1 seguido por um googol de zeros.

História

Em 1920, o sobrinho de Edward Kasner, Milton Sirotta, de nove anos, cunhou o termo googol, que é 10¹⁰⁰, e então propôs o termo adicional googolplex para ser "um, seguido por escrever zeros até você se cansar". Kasner decidiu adotar uma definição mais formal porque "pessoas diferentes se cansam em momentos diferentes e nunca faria Carnera [ser] um matemático melhor do que o Dr. Einstein, simplesmente porque ele tinha mais resistência e podia escrever por mais tempo". #34;. Tornou-se assim padronizado para 10^(10100) = 10¹⁰¹⁰⁰, devido à associatividade à direita de exponenciação.

Tamanho

Um livro típico pode ser impresso com 10⁶ zeros (cerca de 400 páginas com 50 linhas por página e 50 zeros por linha). Portanto, são necessários 10⁹⁴ desses livros para imprimir todos os zeros de um googolplex (isto é, imprimir zeros googol). Se cada livro tivesse uma massa de 100 gramas, todos eles teriam uma massa total de 10⁹³ quilogramas. Em comparação, a massa da Terra é de 5,972 × 10²⁴ quilogramas, a massa da Via Láctea é estimada em 2,5 × 10⁴² quilogramas e a massa total de todas as estrelas no universo observável é estimado em 2 × 10⁵² kg.

Para colocar isso em perspectiva, a massa de todos esses livros necessários para escrever um googolplex seria muito maior do que as massas da Via Láctea e das galáxias de Andrômeda juntas (por um fator de aproximadamente 2,0 × 10⁵⁰ ), e maior que a massa do universo observável por um fator de aproximadamente 7 × 10³⁹.

Em matemática pura

Em matemática pura, existem vários métodos de notação para representar grandes números pelos quais a magnitude de um googolplex pode ser representada, como tetração, hiperoperação, notação de seta para cima de Knuth, notação de Steinhaus-Moser ou Conway notação de seta encadeada.

No universo físico

No programa de ciências da PBS Cosmos: A Personal Voyage, Episódio 9: "The Lives of the Stars", o astrônomo e personalidade da televisão Carl Sagan estimou que escrever um googolplex na íntegra forma decimal (ou seja, "10.000.000.000...") seria fisicamente impossível, pois isso exigiria mais espaço do que o disponível no universo conhecido. Sagan deu um exemplo de que, se todo o volume do universo observável estiver preenchido com partículas finas de poeira de aproximadamente 1,5 micrômetros de tamanho (0,0015 milímetros), o número de combinações diferentes nas quais as partículas podem ser organizadas e numeradas seria de cerca de um googolplex.

Escrever o número acabaria levando à morte térmica do universo: se uma pessoa pode escrever dois dígitos por segundo, escrever um googolplex levaria cerca de 1,58×10⁹² anos, que é cerca de 1,1×10⁸² vezes a idade aceita do universo, e cada dígito escrito resultaria em um aumento de entropia pela segunda lei da termodinâmica.

10⁹⁷ é uma estimativa alta das partículas elementares existentes no universo visível (não incluindo a matéria escura), principalmente fótons e outros portadores de força sem massa.

Mod n

Os resíduos (mod n) de um googolplex, começando com o mod 1, são:

0, 0, 1, 0, 0, 4, 4, 0, 1, 0, 1, 4, 3, 4, 10, 0, 1, 10, 9, 0, 4, 12, 13, 16, 16, 10, 4, 24, 10, 5, 0, 1, 18, 25, 28, 10, 28, 16, 0, 1, 4, 24, 12, 10, 36, 9, 16... A067007 no OEIS)

Esta sequência é a mesma que a sequência de resíduos (mod n) de um googol até a 17ª posição.