Geometria euclidiana

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Modelo matemático do espaço físico

Detalhe de Raphael's A Escola de Atenas apresentando um matemático grego – talvez representando Euclides ou Arquimedes – usando uma bússola para desenhar uma construção geométrica.

Geometria euclidiana é um sistema matemático atribuído ao antigo matemático grego Euclides, que ele descreveu em seu livro de geometria; Elementos. A abordagem de Euclides consiste em assumir um pequeno conjunto de axiomas (postulados) intuitivamente atraentes e deduzir muitas outras proposições (teoremas) a partir deles. Embora muitos dos resultados de Euclides tenham sido declarados anteriormente, Euclides foi o primeiro a organizar essas proposições em um sistema lógico no qual cada resultado é provado a partir de axiomas e teoremas previamente provados.

Os Elementos começam com a geometria plana, ensinada ainda no ensino médio (ensino médio) como o primeiro sistema axiomático e os primeiros exemplos de provas matemáticas. Ele segue para a geometria sólida de três dimensões. Grande parte dos Elementos apresenta resultados do que hoje chamamos de álgebra e teoria dos números, explicados em linguagem geométrica.

Por mais de dois mil anos, o adjetivo "euclidiano" era desnecessário porque nenhum outro tipo de geometria havia sido concebido. Os axiomas de Euclides pareciam tão intuitivamente óbvios (com a possível exceção do postulado das paralelas) que qualquer teorema provado a partir deles era considerado verdadeiro em um sentido absoluto, muitas vezes metafísico. Hoje, no entanto, muitas outras geometrias não euclidianas autoconsistentes são conhecidas, as primeiras foram descobertas no início do século XIX. Uma implicação da teoria da relatividade geral de Albert Einstein é que o espaço físico em si não é euclidiano, e o espaço euclidiano é uma boa aproximação para ele apenas em distâncias curtas (em relação à força do campo gravitacional).

A geometria euclidiana é um exemplo de geometria sintética, pois procede logicamente de axiomas que descrevem propriedades básicas de objetos geométricos, como pontos e linhas, para proposições sobre esses objetos. Isso contrasta com a geometria analítica, introduzida quase 2.000 anos depois por René Descartes, que usa coordenadas para expressar propriedades geométricas como fórmulas algébricas.

Os Elementos

Os Elementos são principalmente uma sistematização de conhecimentos anteriores de geometria. Sua melhora em relação aos tratamentos anteriores foi rapidamente reconhecida, resultando em pouco interesse em preservá-los, e agora estão quase todos perdidos.

Existem 13 livros nos Elementos:

Os livros I–IV e VI discutem a geometria plana. Muitos resultados sobre figuras planas são provados, por exemplo, "Em qualquer triângulo, dois ângulos tomados juntos de qualquer maneira são menores que dois ângulos retos." (Proposição 17 do Livro I) e o teorema de Pitágoras "Em triângulos retângulos, o quadrado do lado que subtende o ângulo reto é igual aos quadrados dos lados que contêm o ângulo reto." (Livro I, proposição 47)

Os livros V e VII–X tratam da teoria dos números, com números tratados geometricamente como comprimentos de segmentos de linha ou áreas de regiões de superfície. Noções como números primos e números racionais e irracionais são introduzidas. Está provado que existem infinitos números primos.

Os livros XI–XIII tratam da geometria sólida. Um resultado típico é a proporção de 1:3 entre o volume de um cone e um cilindro com a mesma altura e base. Os sólidos platônicos são construídos.

Axiomas

O postulado paralelo (Postulado 5): Se duas linhas intersejam um terço de tal forma que a soma dos ângulos internos de um lado é inferior a dois ângulos retos, então as duas linhas inevitavelmente devem se cruzar um ao outro nesse lado, se estendido longe o suficiente.

A geometria euclidiana é um sistema axiomático, no qual todos os teoremas ("afirmações verdadeiras") são derivados de um pequeno número de axiomas simples. Até o advento da geometria não-euclidiana, esses axiomas eram considerados obviamente verdadeiros no mundo físico, de modo que todos os teoremas seriam igualmente verdadeiros. No entanto, o raciocínio de Euclides de suposições para conclusões permanece válido independente de sua realidade física.

Próximo ao início do primeiro livro dos Elementos, Euclides apresenta cinco postulados (axiomas) para a geometria plana, expressos em termos de construções (conforme traduzido por Thomas Heath):

Deixe o seguinte ser postulado:

Para desenhar uma linha reta de qualquer ponto a qualquer ponto.
Produzir (extender) uma linha reta finita continuamente em uma linha reta.
Descrever um círculo com qualquer centro e distância (radius).
Que todos os ângulos certos são iguais uns aos outros.
[O postulado paralelo]: Que, se uma linha reta caindo em duas linhas retas fazem os ângulos interiores no mesmo lado menos de dois ângulos retos, as duas linhas retas, se produzidas indefinidamente, encontram-se naquele lado no qual os ângulos são menos de dois ângulos certos.

Embora Euclides explicitamente afirme apenas a existência dos objetos construídos, em seu raciocínio ele também assume implicitamente que eles são únicos.

Os Elementos também incluem as seguintes cinco e#34;noções comuns ":

As coisas que são iguais à mesma coisa também são iguais entre si (a propriedade transitiva de uma relação euclidiana).
Se os iguais forem adicionados a iguais, então os inteiros são iguais (propriedade de adição de igualdade).
Se os iguais são subtraídos de iguais, então as diferenças são iguais (propriedade de subtração da igualdade).
As coisas que coincidem entre si são iguais entre si (propriedade reflexiva).
O todo é maior do que a parte.

Estudiosos modernos concordam que os postulados de Euclides não fornecem o fundamento lógico completo que Euclides exigia para sua apresentação. Os tratamentos modernos usam conjuntos de axiomas mais extensos e completos.

Postado das paralelas

Para os antigos, o postulado das paralelas parecia menos óbvio que os outros. Eles aspiravam criar um sistema de proposições absolutamente certas e, para eles, parecia que o postulado da linha paralela exigia prova de declarações mais simples. Sabe-se agora que tal prova é impossível, pois podem-se construir sistemas consistentes de geometria (obedecendo aos demais axiomas) nos quais o postulado das paralelas é verdadeiro e outros nos quais é falso. O próprio Euclides parece tê-la considerado qualitativamente diferente das demais, como evidenciado pela organização dos Elementos: suas primeiras 28 proposições são aquelas que podem ser provadas sem ela.

Podem ser formulados muitos axiomas alternativos que são logicamente equivalentes ao postulado das paralelas (no contexto dos outros axiomas). Por exemplo, o axioma de Playfair declara:

Em um avião, através de um ponto não em uma determinada linha reta, no máximo uma linha pode desenhar-se que nunca encontra a linha dada.

O "no máximo" A cláusula é tudo o que é necessário, pois pode ser provado pelos axiomas restantes que existe pelo menos uma linha paralela.

Uma prova de Euclid's Elementos que, dado um segmento de linha, pode-se construir um triângulo equilátero que inclui o segmento como um de seus lados: um triângulo equilátero ΑBΓ é feito por círculos de desenho Δ e Ε centrado nos pontos A e Β, e tendo uma interseção dos círculos como o terceiro vértice do triângulo.

Métodos de prova

A geometria euclidiana é construtiva. Os postulados 1, 2, 3 e 5 afirmam a existência e unicidade de certas figuras geométricas, e essas afirmações são de natureza construtiva: isto é, não apenas nos é dito que certas coisas existem, mas também são dados métodos para criá-las com não mais do que um compasso e uma régua não marcada. Nesse sentido, a geometria euclidiana é mais concreta do que muitos sistemas axiomáticos modernos, como a teoria dos conjuntos, que muitas vezes afirmam a existência de objetos sem dizer como construí-los, ou mesmo afirmam a existência de objetos que não podem ser construídos dentro da teoria. Estritamente falando, as linhas no papel são modelos dos objetos definidos dentro do sistema formal, ao invés de instâncias desses objetos. Por exemplo, uma linha reta euclidiana não tem largura, mas qualquer linha real desenhada terá. Embora quase todos os matemáticos modernos considerem os métodos não construtivos tão sólidos quanto os construtivos, as provas construtivas de Euclides muitas vezes suplantaram as falaciosas não construtivas - por exemplo, algumas das provas dos pitagóricos; provas que envolviam números irracionais, que geralmente exigiam uma declaração como "Encontre a maior medida comum de..."

Euclides costumava usar a prova por contradição. A geometria euclidiana também permite o método de superposição, no qual uma figura é transferida para outro ponto no espaço. Por exemplo, a proposição I.4, congruência lado-ângulo-lado de triângulos, é provada movendo-se um dos dois triângulos de modo que um de seus lados coincida com o lado igual do outro triângulo e, então, provando que o outro os lados também coincidem. Alguns tratamentos modernos acrescentam um sexto postulado, a rigidez do triângulo, que pode ser usado como alternativa à superposição.

Notação e terminologia

Nomeação de pontos e figuras

Os pontos são geralmente nomeados usando letras maiúsculas do alfabeto. Outras figuras, como linhas, triângulos ou círculos, são nomeadas listando um número suficiente de pontos para selecioná-los inequivocamente da figura relevante, por exemplo, o triângulo ABC seria tipicamente um triângulo com vértices nos pontos A, B e C.

Ângulos complementares e suplementares

Os ângulos cuja soma é um ângulo reto são chamados de complementares. Ângulos complementares são formados quando um raio compartilha o mesmo vértice e é apontado em uma direção que está entre os dois raios originais que formam o ângulo reto. O número de raios entre os dois raios originais é infinito.

Os ângulos cuja soma é um ângulo reto são suplementares. Ângulos suplementares são formados quando um raio compartilha o mesmo vértice e é apontado em uma direção que está entre os dois raios originais que formam o ângulo reto (ângulo de 180 graus). O número de raios entre os dois raios originais é infinito.

Versões modernas da notação de Euclides

Na terminologia moderna, os ângulos normalmente seriam medidos em graus ou radianos.

Os livros escolares modernos geralmente definem figuras separadas chamadas linhas (infinitas), raios (semi-infinitas) e segmentos de linha (de comprimento finito). Euclides, em vez de discutir um raio como um objeto que se estende ao infinito em uma direção, normalmente usaria locuções como "se a linha for estendida a um comprimento suficiente", embora ele ocasionalmente se referisse a " linhas infinitas". Uma "linha" em Euclides poderia ser reta ou curva, e ele usou o termo mais específico "linha reta" quando necessário.

Alguns resultados importantes ou bem conhecidos

O pons asinorum ou ponte de asses teorema afirma que em um triângulo isosceles, α = β e γ = δ.
O triângulo ângulo soma teorema afirma que a soma dos três ângulos de qualquer triângulo, neste caso ângulos α, β e γ, sempre será igual a 180 graus.
O Teorema de Pitágoras afirma que a soma das áreas dos dois quadrados nas pernas (um e b)) de um triângulo direito iguala a área do quadrado na hipotenusa (c).
Teorema de Thales afirma que se AC é um diâmetro, então o ângulo em B é um ângulo certo.

Pons asinorum

A pons asinorum (ponte de burros) afirma que nos triângulos isósceles os ângulos na base são iguais entre si e, se as linhas retas iguais forem produzidas adiante, então os ângulos sob a base é igual a outra. Seu nome pode ser atribuído ao seu frequente papel como o primeiro teste real nos Elementos da inteligência do leitor e como uma ponte para as proposições mais difíceis que se seguiram. Também pode ser assim chamado por causa da semelhança da figura geométrica com uma ponte íngreme que apenas um burro de pés seguros poderia atravessar.

Congruência de triângulos

A congruência de triângulos é determinada especificando dois lados e o ângulo entre eles (SAS), dois ângulos e o lado entre eles (ASA) ou dois ângulos e um lado adjacente correspondente (AAS). Especificar dois lados e um ângulo adjacente (SSA), no entanto, pode produzir dois triângulos possíveis distintos, a menos que o ângulo especificado seja um ângulo reto.

Os triângulos são congruentes se tiverem todos os três lados iguais (SSS), dois lados e o ângulo entre eles iguais (SAS), ou dois ângulos e um lado igual (ASA) (Livro I, proposições 4, 8 e 26). Triângulos com três ângulos iguais (AAA) são semelhantes, mas não necessariamente congruentes. Além disso, triângulos com dois lados iguais e um ângulo adjacente não são necessariamente iguais ou congruentes.

Soma dos ângulos do triângulo

A soma dos ângulos de um triângulo é igual a um ângulo reto (180 graus). Isso faz com que um triângulo equilátero tenha três ângulos internos de 60 graus. Além disso, faz com que todo triângulo tenha pelo menos dois ângulos agudos e até um ângulo obtuso ou reto.

Teorema de Pitágoras

O célebre teorema de Pitágoras (livro I, proposição 47) afirma que, em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são as duas pernas (os dois lados que se encontram em um ângulo reto).

Tales' teorema

Tales' teorema, nomeado após Tales de Mileto afirma que se A, B e C são pontos em um círculo onde a linha AC é um diâmetro do círculo, então o ângulo ABC é um ângulo reto. Cantor supôs que Tales provou seu teorema por meio do Livro I de Euclides, Proposição 32, à maneira do Livro III de Euclides, Proposição 31.

Escala de área e volume

Na terminologia moderna, a área de uma figura plana é proporcional ao quadrado de qualquer uma de suas dimensões lineares, $Apropto L^{2}$ , e o volume de um sólido para o cubo, $Vpropto L^{3}$ . Euclid provou estes resultados em vários casos especiais, como a área de um círculo e o volume de um sólido paraleloepipedal. Euclid determinou algumas, mas não todas, das constantes relevantes da proporcionalidade. Por exemplo, foi seu sucessor Arquimedes que provou que uma esfera tem 2/3 do volume do cilindro circunscrevendo.

Sistema de medição e aritmética

A geometria euclidiana tem dois tipos fundamentais de medidas: ângulo e distância. A escala angular é absoluta e Euclides usa o ângulo reto como sua unidade básica, de modo que, por exemplo, um ângulo de 45 graus seria referido como metade de um ângulo reto. A escala de distância é relativa; escolhe-se arbitrariamente um segmento de linha com um certo comprimento diferente de zero como unidade, e outras distâncias são expressas em relação a ele. A adição de distâncias é representada por uma construção na qual um segmento de linha é copiado no final de outro segmento de linha para estender seu comprimento e, da mesma forma, para subtração.

Medidas de área e volume são derivadas de distâncias. Por exemplo, um retângulo com largura 3 e comprimento 4 tem uma área que representa o produto, 12. Como essa interpretação geométrica da multiplicação era limitada a três dimensões, não havia uma maneira direta de interpretar o produto de quatro ou mais números, e Euclides evitou tais produtos, embora estejam implícitos, por exemplo, na prova do livro IX, proposição 20.

Um exemplo de congruência. Os dois números à esquerda são congruentes, enquanto o terceiro é semelhante a eles. A última figura não é nenhuma. As congruências alteram algumas propriedades, como localização e orientação, mas deixam os outros inalterados, como distância e ângulos. Este último tipo de propriedades são chamadas invariantes e estudá-las é a essência da geometria.

Euclides refere-se a um par de linhas, ou um par de figuras planas ou sólidas, como "iguais" (ἴσος) se seus comprimentos, áreas ou volumes forem iguais, respectivamente, e da mesma forma para os ângulos. O termo mais forte "congruente" refere-se à ideia de que uma figura inteira tem o mesmo tamanho e forma de outra figura. Alternativamente, duas figuras são congruentes se uma puder ser movida em cima da outra de modo que corresponda exatamente a ela. (Virá-lo é permitido.) Assim, por exemplo, um retângulo 2x6 e um retângulo 3x4 são iguais, mas não congruentes, e a letra R é congruente à sua imagem no espelho. Figuras que seriam congruentes, exceto por seus tamanhos diferentes, são referidas como semelhantes. Os ângulos correspondentes em um par de formas semelhantes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais entre si.

Aplicativos

Devido ao status fundamental da geometria euclidiana na matemática, é impraticável fornecer mais do que uma amostra representativa das aplicações aqui.

Um pesquisador usa um nível
A embalagem da esfera aplica-se a uma pilha de laranjas.
Um espelho parabólico traz raios paralelos de luz para um foco.

Como sugerido pela etimologia da palavra, uma das primeiras razões para o interesse e também um dos usos atuais mais comuns da geometria é a topografia e alguns resultados práticos da geometria euclidiana, como a propriedade do ângulo reto da o triângulo 3-4-5, foram usados muito antes de serem provados formalmente. Os tipos fundamentais de medições na geometria euclidiana são distâncias e ângulos, os quais podem ser medidos diretamente por um agrimensor. Historicamente, as distâncias eram frequentemente medidas por correntes, como a corrente de Gunter, e os ângulos usando círculos graduados e, mais tarde, o teodolito.

Uma aplicação da geometria sólida euclidiana é a determinação de arranjos de empacotamento, como o problema de encontrar o empacotamento mais eficiente de esferas em n dimensões. Este problema tem aplicações na detecção e correção de erros.

A óptica geométrica usa a geometria euclidiana para analisar o foco da luz por lentes e espelhos.

Geometria é usada em arte e arquitetura.
A torre de água consiste em um cone, um cilindro e um hemisfério. Seu volume pode ser calculado usando geometria sólida.
Geometria pode ser usada para projetar origami.

A geometria é amplamente utilizada na arquitetura.

A geometria pode ser usada para desenhar origami. Alguns problemas clássicos de construção de geometria são impossíveis usando compasso e régua, mas podem ser resolvidos usando origami.

Muito do CAD (desenho assistido por computador) e CAM (fabricação assistida por computador) é baseado na geometria euclidiana. A geometria de design geralmente consiste em formas delimitadas por planos, cilindros, cones, toros e outras formas semelhantes. Atualmente, o CAD/CAM é essencial no projeto de quase tudo, incluindo carros, aviões, navios e smartphones. Algumas décadas atrás, desenhistas sofisticados aprenderiam geometria euclidiana bastante avançada, incluindo coisas como o teorema de Pascal e o teorema de Brianchon, mas nos tempos modernos isso não é mais necessário.

História posterior

Arquimedes e Apolônio

Uma esfera tem 2/3 o volume e a área de superfície de seu cilindro circunscrevendo. Uma esfera e um cilindro foram colocados no túmulo de Arquimedes a seu pedido.

Arquimedes (c. 287 aC – c. 212 aC), uma figura colorida sobre a qual muitas anedotas históricas são registradas, é lembrado junto com Euclides como um dos maiores matemáticos antigos. Embora as bases de seu trabalho tenham sido estabelecidas por Euclides, acredita-se que seu trabalho, ao contrário do de Euclides, tenha sido totalmente original. Ele provou equações para os volumes e áreas de várias figuras em duas e três dimensões e enunciou a propriedade arquimediana dos números finitos.

Apolônio de Perga (c. 262 aC – c. 190 aC) é conhecido principalmente por sua investigação de seções cônicas.

René Descartes. Retrato após Frans Hals, 1648.

Século XVII: Descartes

René Descartes (1596–1650) desenvolveu a geometria analítica, um método alternativo para formalizar a geometria que se concentrava em transformar a geometria em álgebra.

Nesta abordagem, um ponto em um plano é representado por suas coordenadas cartesianas (x, y), uma linha é representada por sua equação e assim por diante.

Na abordagem original de Euclides, o teorema de Pitágoras decorre dos axiomas de Euclides. Na abordagem cartesiana, os axiomas são os axiomas da álgebra, e a equação que expressa o teorema de Pitágoras é então uma definição de um dos termos dos axiomas de Euclides, que agora são considerados teoremas.

A equação

|PQ|={sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}},

definindo a distância entre dois pontos P = (p_x, p_y) e Q = (q_x, q_y) é então conhecida como métrica euclidiana, e outras métricas definem geometrias não euclidianas.

Em termos de geometria analítica, a restrição da geometria clássica para construções com régua e compasso significa uma restrição para equações de primeira e segunda ordem, por exemplo, y = 2x + 1 (uma linha), ou x² + y² = 7 (um círculo).

Também no século XVII, Girard Desargues, motivado pela teoria da perspectiva, introduziu o conceito de pontos, linhas e planos idealizados no infinito. O resultado pode ser considerado como um tipo de geometria generalizada, geometria projetiva, mas também pode ser usado para produzir provas em geometria euclidiana comum em que o número de casos especiais é reduzido.

Squaring o círculo: as áreas deste quadrado e este círculo são iguais. Em 1882, foi comprovado que esta figura não pode ser construída em um número finito de passos com uma bússola idealizada e straightedge.

Século XVIII

Os geómetras do século XVIII lutaram para definir os limites do sistema euclidiano. Muitos tentaram em vão provar o quinto postulado dos quatro primeiros. Em 1763, pelo menos 28 provas diferentes foram publicadas, mas todas foram consideradas incorretas.

Até esse período, os geômetras também tentaram determinar quais construções poderiam ser realizadas na geometria euclidiana. Por exemplo, o problema da trissecção de um ângulo com régua e compasso é aquele que ocorre naturalmente dentro da teoria, pois os axiomas se referem a operações construtivas que podem ser realizadas com essas ferramentas. No entanto, séculos de esforços falharam em encontrar uma solução para este problema, até que Pierre Wantzel publicou uma prova em 1837 de que tal construção era impossível. Outras construções que se mostraram impossíveis incluem dobrar o cubo e quadrar o círculo. No caso da duplicação do cubo, a impossibilidade da construção decorre do fato de que o método do compasso e da régua envolvem equações cuja ordem é uma potência inteira de dois, enquanto a duplicação de um cubo requer a solução de uma equação de terceira ordem.

Euler discutiu uma generalização da geometria euclidiana chamada geometria afim, que retém o quinto postulado inalterado enquanto enfraquece os postulados três e quatro de uma forma que elimina as noções de ângulo (daí que triângulos retângulos se tornam sem sentido) e de igualdade de comprimento de segmentos de linha em geral (de onde os círculos se tornam sem sentido), mantendo as noções de paralelismo como uma relação de equivalência entre linhas e igualdade de comprimento de segmentos de linha paralelos (então os segmentos de linha continuam a ter um ponto médio).

Século XIX

Comparação de geometrias elípticas, euclidianas e hiperbólicas em duas dimensões

No início do século XIX, Carnot e Möbius desenvolveram sistematicamente o uso de ângulos com sinal e segmentos de reta como forma de simplificar e unificar os resultados.

Dimensões superiores

Na década de 1840, William Rowan Hamilton desenvolveu os quaternions, e John T. Graves e Arthur Cayley os octonions. Estas são álgebras normadas que estendem os números complexos. Mais tarde entendeu-se que os quatérnios também são um sistema geométrico euclidiano com quatro coordenadas cartesianas reais. Cayley usou quaternions para estudar rotações no espaço euclidiano 4-dimensional.

Em meados do século Ludwig Schläfli desenvolveu o conceito geral de espaço euclidiano, estendendo a geometria euclidiana a dimensões mais altas. Ele definiu poliesquemas, mais tarde chamado politopes, que são os análogos de poligões e polihedra. Ele desenvolveu sua teoria e descobriu todos os politopos regulares, ou seja, os $n$ Análogos dimensionais de polígonos regulares e sólidos platônicos. Ele encontrou seis politopos convexos regulares na dimensão quatro, e três em todas as dimensões mais altas.

Regular convex 4-polytopes
Symmetry group	A4	B4		F4	H4
Name	5-cell Hyper-tetrahedron 5-point	16-cell Hyper-octahedron 8-point	8-cell Hyper-cube 16-point	24-cell 24-point	600-cell Hyper-icosahedron 120-point	120-cell Hyper-dodecahedron 600-point
Schläfli symbol	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Coxeter mirrors
Mirror dihedrals	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/4 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/4 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/4 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/5 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/5 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2
Graph
Vertices	5 tetrahedral	8 octahedral	16 tetrahedral	24 cubical	120 icosahedral	600 tetrahedral
Edges	10 triangular	24 square	32 triangular	96 triangular	720 pentagonal	1200 triangular
Faces	10 triangles	32 triangles	24 squares	96 triangles	1200 triangles	720 pentagons
Cells	5 tetrahedra	16 tetrahedra	8 cubes	24 octahedra	600 tetrahedra	120 dodecahedra
Tori	1 5-tetrahedron	2 8-tetrahedron	2 4-cube	4 6-octahedron	20 30-tetrahedron	12 10-dodecahedron
Inscribed	120 in 120-cell	675 in 120-cell	2 16-cells	3 8-cells	25 24-cells	10 600-cells
Great polygons		2 𝝅/2 squares x 3	4 𝝅/2 rectangles x 3	4 𝝅/3 hexagons x 4	12 𝝅/5 decagons x 6	50 𝝅/15 dodecagons x 6
Petrie polygons	1 pentagon	1 octagon	2 octagons	2 dodecagons	4 30-gons	20 30-gons
Long radius	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
Edge length	${displaystyle {sqrt {tfrac {5}{2}}}approx 1.581}$	$sqrt{2} approx 1.414$	$1$	$1$	${displaystyle {tfrac {1}{phi }}approx 0.618}$	${displaystyle {tfrac {1}{phi ^{2}{sqrt {2}}}}approx 0.270}$
Short radius	$tfrac{1}{4}$	${tfrac {1}{2}}$	${tfrac {1}{2}}$	${displaystyle {sqrt {tfrac {1}{2}}}approx 0.707}$	${displaystyle {sqrt {tfrac {phi ^{4}}{8}}}approx 0.926}$	${displaystyle {sqrt {tfrac {phi ^{4}}{8}}}approx 0.926}$
Area	${displaystyle 10left({tfrac {5{sqrt {3}}}{8}}right)approx 10.825}$	${displaystyle 32left({sqrt {tfrac {3}{4}}}right)approx 27.713}$	$24$	${displaystyle 96left({sqrt {tfrac {3}{16}}}right)approx 41.569}$	${displaystyle 1200left({tfrac {sqrt {3}}{4phi ^{2}}}right)approx 198.48}$	${displaystyle 720left({tfrac {sqrt {25+10{sqrt {5}}}}{8phi ^{4}}}right)approx 90.366}$
Volume	${displaystyle 5left({tfrac {5{sqrt {5}}}{24}}right)approx 2.329}$	${displaystyle 16left({tfrac {1}{3}}right)approx 5.333}$	$8$	${displaystyle 24left({tfrac {sqrt {2}}{3}}right)approx 11.314}$	${displaystyle 600left({tfrac {sqrt {2}}{12phi ^{3}}}right)approx 16.693}$	${displaystyle 120left({tfrac {15+7{sqrt {5}}}{4phi ^{6}{sqrt {8}}}}right)approx 18.118}$
4-Content	${displaystyle {tfrac {sqrt {5}}{24}}left({tfrac {sqrt {5}}{2}}right)^{4}approx 0.146}$	${displaystyle {tfrac {2}{3}}approx 0.667}$	$1$	$2$	${displaystyle {tfrac {{text{Short}}times {text{Vol}}}{4}}approx 3.863}$	${displaystyle {tfrac {{text{Short}}times {text{Vol}}}{4}}approx 4.193}$

Schläfli executou este trabalho em relativa obscuridade e foi publicado na íntegra apenas postumamente em 1901. Teve pouca influência até ser redescoberto e totalmente documentado em 1948 por H.S.M. Coxeter.

Em 1878, William Kingdon Clifford introduziu o que hoje é chamado de álgebra geométrica, unificando os quatérnios de Hamilton com a álgebra de Hermann Grassmann e revelando a natureza geométrica desses sistemas, especialmente em quatro dimensões. As operações da álgebra geométrica têm o efeito de espelhar, girar, transladar e mapear os objetos geométricos que estão sendo modelados para novas posições. O toro de Clifford na superfície da 3-esfera é a imersão plana mais simples e simétrica do produto cartesiano de dois círculos (no mesmo sentido que a superfície de um cilindro é "plana").

Geometria não euclidiana

O desenvolvimento mais influente do século na geometria ocorreu quando, por volta de 1830, János Bolyai e Nikolai Ivanovich Lobachevsky publicaram separadamente um trabalho sobre geometria não euclidiana, na qual o postulado das paralelas não é válido. Como a geometria não euclidiana é comprovadamente relativamente consistente com a geometria euclidiana, o postulado das paralelas não pode ser provado a partir dos outros postulados.

No século XIX, percebeu-se também que os dez axiomas e noções comuns de Euclides não bastavam para provar todos os teoremas declarados nos Elementos. Por exemplo, Euclides assumiu implicitamente que qualquer linha contém pelo menos dois pontos, mas essa suposição não pode ser provada a partir de outros axiomas e, portanto, deve ser um axioma em si. A primeira prova geométrica nos Elementos, mostrado na figura acima, é que qualquer segmento de linha é parte de um triângulo; Euclides constrói isso da maneira usual, desenhando círculos em torno de ambas as extremidades e tomando sua interseção como o terceiro vértice. Seus axiomas, porém, não garantem que os círculos realmente se intersectam, pois não afirmam a propriedade geométrica da continuidade, que em termos cartesianos equivale à propriedade de completude dos números reais. Começando com Moritz Pasch em 1882, muitos sistemas axiomáticos aprimorados para geometria foram propostos, sendo os mais conhecidos os de Hilbert, George Birkhoff e Tarski.

Século 20 e a relatividade

Uma desproteção da geometria euclidiana como uma descrição do espaço físico. Em um teste de 1919 da teoria geral da relatividade, as estrelas (marcadas com linhas horizontais curtas) foram fotografadas durante um eclipse solar. Os raios da luz estrela foram dobrados pela gravidade do Sol a caminho da Terra. Isto é interpretado como evidência a favor da predição de Einstein de que a gravidade causaria desvios da geometria euclidiana.

A teoria da relatividade especial de Einstein envolve um espaço-tempo quadridimensional, o espaço de Minkowski, que não é euclidiano. Isso mostra que as geometrias não euclidianas, que foram introduzidas alguns anos antes para mostrar que o postulado das paralelas não pode ser provado, também são úteis para descrever o mundo físico.

No entanto, a "parte espacial" do espaço de Minkowski permanece o espaço da geometria euclidiana. Este não é o caso da relatividade geral, para a qual a geometria da parte espacial do espaço-tempo não é geometria euclidiana. Por exemplo, se um triângulo é construído com três raios de luz, então, em geral, os ângulos internos não somam 180 graus devido à gravidade. Um campo gravitacional relativamente fraco, como o da Terra ou o do Sol, é representado por uma métrica que é aproximadamente, mas não exatamente, euclidiana. Até o século 20, não havia tecnologia capaz de detectar esses desvios em raios de luz da geometria euclidiana, mas Einstein previu que tais desvios existiriam. Eles foram posteriormente verificados por observações como a ligeira curvatura da luz das estrelas pelo Sol durante um eclipse solar em 1919, e tais considerações agora são parte integrante do software que executa o sistema GPS.

Como uma descrição da estrutura do espaço

Euclides acreditava que seus axiomas eram declarações auto-evidentes sobre a realidade física. As provas de Euclides dependem de suposições talvez não óbvias nos axiomas fundamentais de Euclides, em particular que certos movimentos de figuras não mudam suas propriedades geométricas, como comprimentos de lados e ângulos internos, os chamados Movimentos euclidianos, que incluem translações, reflexões e rotações de figuras. Tomado como uma descrição física do espaço, o postulado 2 (estendendo uma linha) afirma que o espaço não tem buracos ou limites; o postulado 4 (igualdade dos ângulos retos) diz que o espaço é isotrópico e as figuras podem ser movidas para qualquer local mantendo a congruência; e o postulado 5 (o postulado paralelo) de que o espaço é plano (não tem curvatura intrínseca).

Como discutido acima, a teoria da relatividade de Albert Einstein modifica significativamente essa visão.

O caráter ambíguo dos axiomas originalmente formulados por Euclides permite que diferentes comentaristas discordem sobre algumas de suas outras implicações para a estrutura do espaço, como se ele é infinito ou não (veja abaixo) e qual é sua topologia é. As reformulações modernas e mais rigorosas do sistema normalmente visam uma separação mais clara dessas questões. Interpretando os axiomas de Euclides no espírito desta abordagem mais moderna, os axiomas 1–4 são consistentes com o espaço infinito ou finito (como na geometria elíptica), e todos os cinco axiomas são consistentes com uma variedade de topologias (por exemplo, um plano, um cilindro ou um toro para geometria euclidiana bidimensional).

Tratamento do infinito

Objetos infinitos

Euclides às vezes distinguia explicitamente entre "linhas finitas" (por exemplo, Postulado 2) e "linhas infinitas" (livro I, proposição 12). No entanto, ele normalmente não fazia tais distinções, a menos que fossem necessárias. Os postulados não se referem explicitamente a linhas infinitas, embora, por exemplo, alguns comentaristas interpretem o postulado 3, a existência de um círculo com qualquer raio, como implicando que o espaço é infinito.

A noção de quantidades infinitesimais já havia sido discutida extensivamente pela Escola Eleática, mas ninguém foi capaz de colocá-las em uma base lógica firme, com paradoxos como o de Zenão ocorrendo que não foram resolvidos para universal satisfação. Euclides usou o método de exaustão em vez de infinitesimais.

Comentaristas antigos posteriores, como Proclus (410–485 EC), trataram muitas questões sobre o infinito como questões que exigiam prova e, por exemplo, Proclus alegou provar a divisibilidade infinita de uma linha, com base em uma prova por contradição na qual ele considerou os casos de números pares e ímpares de pontos que o constituem.

Processos infinitos

Os antigos geômetras podem ter considerado o postulado paralelo – que duas linhas paralelas nunca se cruzam – menos certo do que os outros porque faz uma afirmação sobre regiões infinitamente remotas do espaço e, portanto, não pode ser verificado fisicamente.

A formulação moderna da prova por indução não foi desenvolvida até o século XVII, mas alguns comentaristas posteriores a consideram implícita em algumas das provas de Euclides, por exemplo, a prova da infinitude dos primos.

Supostos paradoxos envolvendo séries infinitas, como o paradoxo de Zenão, são anteriores a Euclides. Euclides evitou tais discussões, dando, por exemplo, a expressão para as somas parciais da série geométrica em IX.35 sem comentar a possibilidade de deixar o número de termos tornar-se infinito.

Base lógica

Lógica clássica

Euclides freqüentemente usava o método de prova por contradição e, portanto, a apresentação tradicional da geometria euclidiana assume a lógica clássica, na qual toda proposição é verdadeira ou falsa, ou seja, para qualquer proposição P, a proposição "P ou não P" é automaticamente verdadeiro.

Padrões modernos de rigor

Colocar a geometria euclidiana em uma base axiomática sólida foi uma preocupação dos matemáticos durante séculos. O papel das noções primitivas, ou conceitos indefinidos, foi claramente apresentado por Alessandro Padoa da delegação de Peano na conferência de Paris de 1900:

...quando começamos a formular a teoria, podemos imaginar que os símbolos indefinidos são completamente desprovido de significado e que as proposições não aprovadas são simplesmente condições imposto sobre os símbolos indefinidos.
Então, o sistema de ideias que nós escolhemos inicialmente é simplesmente uma interpretação dos símbolos indefinidos; mas.esta interpretação pode ser ignorada pelo leitor, que é livre para substituí-lo em sua mente por outra interpretação.. que satisfaz as condições...
Lógica as perguntas tornam-se completamente independentes empírico ou psicológico perguntas...
O sistema de símbolos indefinidos pode então ser considerado como o abstração obtidos a partir de teorias especializadas que resulta quando...o sistema de símbolos indefinidos é sucessivamente substituído por cada uma das interpretações...
—Padoa, Essai d'une théorie algébrique des nombre entiers, avec une Introdução à une théorie déductive quelconque

Ou seja, a matemática é um conhecimento independente do contexto dentro de uma estrutura hierárquica. Como dito por Bertrand Russel:

Se a nossa hipótese é sobre Qualquer coisa., e não sobre algumas coisas particulares, então nossas deduções constituem matemática. Assim, a matemática pode ser definida como o assunto em que nunca sabemos do que estamos falando, nem se o que estamos dizendo é verdade.
—Bertrand Russell, Matemática e metafísica

Essas abordagens fundamentais variam entre fundacionalismo e formalismo.

Formulações axiomáticas

Geometria é a ciência do raciocínio correto em figuras incorretas.
—George Pólya, Como Resolvê-lo, p. 208

Axiomas de Euclid: Em sua dissertação ao Trinity College, Cambridge, Bertrand Russell resumiu o papel em mudança da geometria de Euclid nas mentes dos filósofos até então. Foi um conflito entre certo conhecimento, independente de experimento e empirismo, exigindo entrada experimental. Esta questão ficou clara, pois foi descoberto que o postulado paralelo não era necessariamente válido e sua aplicabilidade era uma matéria empírica, decidindo se a geometria aplicável era euclidiana ou não euclidiana.
Os axiomas de Hilbert: Os axiomas de Hilbert tinham o objetivo de identificar um simples e completo conjunto de independente axiomas dos quais os teoremas geométricos mais importantes poderiam ser deduzidos. Os objetivos pendentes foram tornar a geometria euclidiana rigorosa (evitando suposições ocultas) e deixar claro as ramificações do postulado paralelo.
Os axiomas de Birkhoff: Birkhoff propôs quatro postulados para geometria euclidiana que podem ser confirmados experimentalmente com escala e protractor. Este sistema depende fortemente das propriedades dos números reais. As noções de ângulo e distância tornam-se conceitos primitivos.
Axiomas de Tarski: Alfred Tarski (1902-1983) e seus alunos definiram elementar Geometria euclidiana como a geometria que pode ser expressa na lógica de primeira ordem e não depende da teoria dos conjuntos para sua base lógica, em contraste com os axiomas de Hilbert, que envolvem conjuntos de pontos. Tarski provou que sua formulação axiomática da geometria euclidiana elementar é consistente e completa em certo sentido: há um algoritmo que, para cada proposição, pode ser mostrado ou verdadeiro ou falso. (Isso não viola o teorema de Gödel, porque a geometria euclidiana não pode descrever uma quantidade suficiente de aritmética para que o teorema se aplique.) Isto é equivalente à decidabilidade de campos fechados reais, dos quais a geometria euclidiana elementar é um modelo.

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