Geometria analítica

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Estudo da geometria usando um sistema de coordenadas

Na matemática, geometria analítica, também conhecida como geometria de coordenadas ou geometria cartesiana, é o estudo da geometria usando um sistema de coordenadas. Isso contrasta com a geometria sintética.

A geometria analítica é usada em física e engenharia, e também em aviação, foguetes, ciência espacial e voos espaciais. É a base da maioria dos campos modernos da geometria, incluindo geometria algébrica, diferencial, discreta e computacional.

Normalmente, o sistema de coordenadas cartesianas é aplicado para manipular equações para planos, linhas retas e círculos, geralmente em duas e às vezes em três dimensões. Geometricamente, estuda-se o plano euclidiano (duas dimensões) e o espaço euclidiano. Conforme ensinado nos livros escolares, a geometria analítica pode ser explicada de forma mais simples: preocupa-se em definir e representar formas geométricas de maneira numérica e extrair informações numéricas das formas. definições e representações numéricas. Que a álgebra dos números reais pode ser empregada para produzir resultados sobre o contínuo linear da geometria depende do axioma de Cantor-Dedekind.

História

Grécia Antiga

O matemático grego Menaechmus resolveu problemas e provou teoremas usando um método que tinha uma forte semelhança com o uso de coordenadas e às vezes foi afirmado que ele introduziu a geometria analítica.

Apolônio de Perga, em Sobre a Seção Determinada, lidou com problemas de uma maneira que pode ser chamada de geometria analítica de uma dimensão; com a questão de encontrar pontos em uma linha que estivessem em proporção com as outras. Apolônio nas Cônicas desenvolveu ainda mais um método que é tão semelhante à geometria analítica que às vezes se pensa que seu trabalho antecipou o trabalho de Descartes em cerca de 1.800 anos. Sua aplicação de linhas de referência, um diâmetro e uma tangente não é essencialmente diferente de nosso uso moderno de um referencial de coordenadas, onde as distâncias medidas ao longo do diâmetro a partir do ponto de tangência são as abcissas e os segmentos paralelos à tangente e interceptados entre o eixo e a curva são as ordenadas. Ele desenvolveu relações entre as abcissas e as ordenadas correspondentes que são equivalentes a equações retóricas (expressas em palavras) de curvas. No entanto, embora Apolônio tenha chegado perto de desenvolver a geometria analítica, ele não conseguiu, pois não levou em conta magnitudes negativas e, em todos os casos, o sistema de coordenadas foi sobreposto a uma determinada curva a posteriori. de a priori. Ou seja, as equações eram determinadas por curvas, mas as curvas não eram determinadas por equações. Coordenadas, variáveis e equações eram noções subsidiárias aplicadas a uma situação geométrica específica.

Pérsia

O matemático persa do século 11 Omar Khayyam viu uma forte relação entre geometria e álgebra e estava indo na direção certa quando ajudou a fechar a lacuna entre álgebra numérica e geométrica com sua solução geométrica das equações cúbicas gerais, mas o decisivo passo veio mais tarde com Descartes. Omar Khayyam é creditado por identificar os fundamentos da geometria algébrica, e seu livro Treatise on Demonstrations of Problems of Algebra (1070), que estabeleceu os princípios da geometria analítica, faz parte do corpo da matemática persa que acabou sendo transmitido para a Europa. Por causa de sua abordagem geométrica completa para equações algébricas, Khayyam pode ser considerado um precursor de Descartes na invenção da geometria analítica.

Europa Ocidental

A geometria analítica foi inventada independentemente por René Descartes e Pierre de Fermat, embora Descartes às vezes receba o crédito exclusivo. Geometria cartesiana, o termo alternativo usado para geometria analítica, é nomeado após Descartes.

Descartes fez progressos significativos com os métodos em um ensaio intitulado La Géométrie (Geometria), um dos três ensaios anexos (apêndices) publicados em 1637 junto com seu Discurso sobre o método para Dirigir corretamente a razão e buscar a verdade nas ciências, comumente referido como Discurso sobre o método. La Geometrie, escrito em sua língua nativa francesa, e seus princípios filosóficos, forneceram uma base para o cálculo na Europa. Inicialmente, o trabalho não foi bem recebido, em parte devido às muitas lacunas nos argumentos e equações complicadas. Somente após a tradução para o latim e a adição de comentários de van Schooten em 1649 (e trabalhos posteriores a partir de então) a obra-prima de Descartes recebeu o devido reconhecimento.

Pierre de Fermat também foi pioneiro no desenvolvimento da geometria analítica. Embora não tenha sido publicado durante sua vida, uma forma manuscrita de Ad locos planos et solidos isagoge (Introdução aos lugares planos e sólidos) estava circulando em Paris em 1637, pouco antes da publicação da obra de Descartes. Discurso. Claramente escrita e bem recebida, a Introdução também lançou as bases para a geometria analítica. A principal diferença entre as ideias de Fermat e Descartes. tratamentos é uma questão de ponto de vista: Fermat sempre começava com uma equação algébrica e depois descrevia a curva geométrica que a satisfazia, enquanto Descartes começava com curvas geométricas e produzia suas equações como uma das várias propriedades das curvas. Como consequência dessa abordagem, Descartes teve que lidar com equações mais complicadas e teve que desenvolver os métodos para trabalhar com equações polinomiais de maior grau. Foi Leonhard Euler quem primeiro aplicou o método de coordenadas em um estudo sistemático de curvas e superfícies espaciais.

Coordenadas

Ilustração de um avião de coordenadas cartesianas. Quatro pontos são marcados e rotulados com suas coordenadas: (2,3) em verde, (−3,1) em vermelho, (−1,5,−2.5) em azul, e a origem (0,0) em roxo.

Na geometria analítica, o plano recebe um sistema de coordenadas, pelo qual cada ponto tem um par de coordenadas de números reais. Da mesma forma, o espaço euclidiano recebe coordenadas onde cada ponto tem três coordenadas. O valor das coordenadas depende da escolha do ponto inicial de origem. Há uma variedade de sistemas de coordenadas usados, mas os mais comuns são os seguintes:

Coordenadas cartesianas (em um plano ou espaço)

O sistema de coordenadas mais comum a ser usado é o sistema de coordenadas cartesianas, onde cada ponto tem uma coordenada x representando sua posição horizontal e uma coordenada y representando sua posição vertical. Normalmente, eles são escritos como um par ordenado (x, y). Este sistema também pode ser usado para geometria tridimensional, onde cada ponto no espaço euclidiano é representado por um triplo ordenado de coordenadas (x, y, z).

Coordenadas polares (em um plano)

Em coordenadas polares, cada ponto do plano é representado por sua distância r da origem e seu ângulo θ, com θ normalmente medida no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo. Usando esta notação, os pontos são normalmente escritos como um par ordenado (r, θ). Pode-se transformar para frente e para trás entre coordenadas cartesianas e polares bidimensionais usando estas fórmulas:

{displaystyle x=r,cos theta,y=r,sin theta;,r={sqrt {x^{2}+y^{2}}},,theta =arctan(y/x).}

Coordenadas cilíndricas (em um espaço)

Em coordenadas cilíndricas, cada ponto do espaço é representado por sua altura z, seu raio r do eixo z e o ângulo θ sua projeção no plano xy faz em relação ao eixo horizontal.

Coordenadas esféricas (em um espaço)

Em coordenadas esféricas, cada ponto no espaço é representado por sua distância ρ da origem, o ângulo θ sua projeção no xy -plano faz em relação ao eixo horizontal, e o ângulo φ que faz em relação ao eixo z. Os nomes dos ângulos são frequentemente invertidos na física.

Equações e curvas

Na geometria analítica, qualquer equação envolvendo as coordenadas especifica um subconjunto do plano, ou seja, o conjunto de soluções para a equação ou lugar geométrico. Por exemplo, a equação y = x corresponde ao conjunto de todos os pontos no plano cujas coordenadas x e y-coordenadas são iguais. Esses pontos formam uma linha, e y = x é considerada a equação dessa linha. Em geral, equações lineares envolvendo x e y especificam linhas, equações quadráticas especificam seções cônicas e equações mais complicadas descrevem figuras mais complicadas.

Normalmente, uma única equação corresponde a uma curva no plano. Esse nem sempre é o caso: a equação trivial x = x especifica o plano inteiro e a equação x² + y² = 0 especifica apenas o ponto único (0, 0). Em três dimensões, uma única equação geralmente fornece uma superfície, e uma curva deve ser especificada como a interseção de duas superfícies (veja abaixo) ou como um sistema de equações paramétricas. A equação x² + y² = r² é a equação para qualquer círculo centrado na origem (0, 0) com um raio de r.

Retas e planos

As linhas em um plano cartesiano, ou mais geralmente, em coordenadas afins, podem ser descritas algebricamente por equações lineares. Em duas dimensões, a equação para linhas não verticais geralmente é fornecida na forma de interceptação de inclinação:

{displaystyle y=mx+b}

m é a inclinação ou o gradiente da linha.
b) é o y-intercept da linha.
x é a variável independente da função Sim. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = f(x).

De maneira análoga à maneira como as linhas em um espaço bidimensional são descritas usando uma forma ponto-inclinação para suas equações, os planos em um espaço tridimensional têm uma descrição natural usando um ponto no plano e um vetor ortogonal a (o vetor normal) para indicar sua "inclinação".

Especificamente, deixe $mathbf {r} _{0}$ ser o vetor de posição de algum ponto $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ e deixar $mathbf {n} =(a,b,c)$ ser um vetor nonzero. O plano determinado por este ponto e vector consiste nesses pontos $P$ , com vetor de posição $mathbf {r}$ , tal que o vetor extraído $P_{0}$ para $P$ é perpendicular a $mathbf {n}$ . Recordando que dois vetores são perpendiculares se e somente se seu produto do ponto é zero, segue que o plano desejado pode ser descrito como o conjunto de todos os pontos $mathbf {r}$ tal que

{displaystyle mathbf {n} cdot (mathbf {r} -mathbf {r} _{0})=0.}

{displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,}

que é o ponto normal forma da equação de um avião.

{displaystyle ax+by+cz+d=0,{text{ where }}d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}).}

umb)cDumb)c

{displaystyle ax+by+cz+d=0,}

é um avião tendo o vetor

mathbf {n} =(a,b,c)

como um normal.forma geral

Em três dimensões, as linhas não podem ser descritas por uma única equação linear, então elas são frequentemente descritas por equações paramétricas:

{displaystyle x=x_{0}+at}

{displaystyle y=y_{0}+bt}

{displaystyle z=z_{0}+ct}

x, Sim.e zangão. são todas as funções da variável independente ) que varia sobre os números reais.
(x₀, Sim.₀, zangão.₀) é qualquer ponto na linha.
um, b)e c estão relacionados à inclinação da linha, tal que o vetor (um, b), c) é paralelo à linha.

Seções cônicas

No sistema de coordenadas cartesianas, o gráfico de uma equação quadrática em duas variáveis é sempre uma seção cônica – embora possa ser degenerada, e todas as seções cônicas surgem dessa maneira. A equação será da forma

{displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0{text{ with }}A,B,C{text{ not all zero.}}}

mathbf {P} ^{5}.

As seções cônicas descritas por esta equação podem ser classificadas usando o discriminante

{displaystyle B^{2}-4AC.}

se <math alttext="{displaystyle B^{2}-4ACB2- Sim. - Sim. 4AC<0Não. B^{2}-4AC<0}<img alt="B^{2}-4AC, a equação representa uma elipse;
- se $A=C$ e $B=0$ , a equação representa um círculo, que é um caso especial de elipse;
se $B^{2}-4AC=0$ , a equação representa um parabola;
se 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">B2- Sim. - Sim. 4AC>0Não. B^{2}-4AC>0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd9e76abadd219198741167893eb5f8692958a7f" style="vertical-align: -0.505ex; width:14.591ex; height:2.843ex;"/>, a equação representa uma hiperbola;
- se nós também $A+C=0$ , a equação representa uma hiperbola retangular.

Superfícies quádricas

Uma quádrica, ou superfície quádrica, é uma superfície 2dimensional no espaço tridimensional definida como o local dos zeros de um polinômio quadrático. Nas coordenadas x₁, x₂,x₃, a quádrica geral é definida pela equação algébrica

{displaystyle sum _{i,j=1}^{3}x_{i}Q_{ij}x_{j}+sum _{i=1}^{3}P_{i}x_{i}+R=0.}

As superfícies quádricas incluem elipsóides (incluindo a esfera), parabolóides, hiperbolóides, cilindros, cones e planos.

Distância e ângulo

A fórmula de distância no avião segue do teorema de Pythagorean.

Na geometria analítica, noções geométricas como distância e medida de ângulo são definidas usando fórmulas. Essas definições são projetadas para serem consistentes com a geometria euclidiana subjacente. Por exemplo, usando coordenadas cartesianas no plano, a distância entre dois pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) é definido pela fórmula

{displaystyle d={sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},}

{displaystyle theta =arctan(m),}

Em três dimensões, a distância é dada pela generalização do teorema de Pitágoras:

{displaystyle d={sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},}

{displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} {stackrel {mathrm {def} }{=}}left|mathbf {A} right|left|mathbf {B} right|cos theta}

θAB

Transformações

a) y = f(x) = |x| b) y = f(x+3) c) y = f(x)-3 d) y = 1/2 f(x)

As transformações são aplicadas a uma função pai para transformá-la em uma nova função com características semelhantes.

O gráfico de $R(x,y)$ é alterado por transformações padrão como segue:

Mudança $x$ para $x-h$ move o gráfico para a direita $h$ Unidades.
Mudança $y$ para $y-k$ move o gráfico para cima $k$ Unidades.
Mudança $x$ para $x/b$ estende o gráfico horizontalmente por um fator de $b$ . (pensar do $x$ como sendo dilatado)
Mudança $y$ para $y/a$ estende o gráfico verticalmente.
Mudança $x$ para $xcos A+ysin A$ e mudando $y$ para $-xsin A+ycos A$ gira o gráfico por um ângulo $A$ .

Existem outras transformações padrão que normalmente não são estudadas na geometria analítica elementar porque as transformações alteram a forma dos objetos de maneiras geralmente não consideradas. Inclinação é um exemplo de uma transformação geralmente não considerada. Para obter mais informações, consulte o artigo da Wikipédia sobre transformações afins.

Por exemplo, a função pai $y=1/x$ tem um assintoto horizontal e vertical, e ocupa o primeiro e terceiro quadrante, e todas as suas formas transformadas têm um assintototo horizontal e vertical, e ocupa o 1o e 3o ou 2o e 4o quadrante. Em geral, se $y=f(x)$ , então pode ser transformado em $y=af(b(x-k))+h$ . Na nova função transformada, $a$ é o fator que se estende verticalmente a função se for maior que 1 ou verticalmente comprime a função se for menor que 1, e para negativo $a$ valores, a função é refletida no $x$ -axis. O $b$ valor comprime o gráfico da função horizontalmente se maior que 1 e estende a função horizontalmente se menor que 1, e como $a$ , reflete a função na $y$ - O eixo é negativo. O $k$ e $h$ valores introduzem traduções, $h$ , vertical, e $k$ horizontal. Positivo $h$ e $k$ valores significam que a função é traduzida para o final positivo de seu eixo e tradução de significado negativo para o fim negativo.

As transformações podem ser aplicadas a qualquer equação geométrica, quer a equação represente ou não uma função. As transformações podem ser consideradas como transações individuais ou em combinações.

Suponha que $R(x,y)$ é uma relação na $xy$ avião. Por exemplo,

{displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}

Encontrando interseções de objetos geométricos

Para dois objetos geométricos P e Q representados pelas relações $P(x,y)$ e $Q(x,y)$ a interseção é a coleção de todos os pontos $(x,y)$ que estão em ambas as relações.

Por exemplo, $P$ pode ser o círculo com raio 1 e centro $(0,0)$ : $P={(x,y)|x^{2}+y^{2}=1}$ e $Q$ pode ser o círculo com raio 1 e centro $(1,0):Q={(x,y)|(x-1)^{2}+y^{2}=1}$ . A interseção destes dois círculos é a coleção de pontos que tornam ambas as equações verdadeiras. Faz sentido. $(0,0)$ fazer ambas as equações verdadeiras? Usando $(0,0)$ para $(x,y)$ , a equação para $Q$ torna-se $(0-1)^{2}+0^{2}=1$ ou $(-1)^{2}=1$ que é verdade, então $(0,0)$ é em relação $Q$ . Por outro lado, ainda usando $(0,0)$ para $(x,y)$ a equação para $P$ torna-se $0^{2}+0^{2}=1$ ou $0=1$ que é falso. $(0,0)$ não está dentro $P$ então não está no cruzamento.

A interseção $P$ e $Q$ pode ser encontrado resolvendo as equações simultâneas:

{displaystyle x^{2}+y^{2}=1}

{displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1.}

Os métodos tradicionais para encontrar interseções incluem substituição e eliminação.

Substituição: Resolver a primeira equação para $y$ em termos de $x$ e, em seguida, substituir a expressão para $y$ na segunda equação:

{displaystyle x^{2}+y^{2}=1}

{displaystyle y^{2}=1-x^{2}.}

Substituímos então este valor $y^{2}$ na outra equação e prossiga para resolver $x$ :

{displaystyle (x-1)^{2}+(1-x^{2})=1}

{displaystyle x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1}

{displaystyle -2x=-1}

{displaystyle x=1/2.}

Em seguida, colocamos este valor de $x$ em qualquer uma das equações originais e resolver para $y$ :

{displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}

{displaystyle y^{2}=3/4}

{displaystyle y={frac {pm {sqrt {3}}}{2}}.}

Portanto, nossa interseção tem dois pontos:

{displaystyle left(1/2,{frac {+{sqrt {3}}}{2}}right);;{text{and}};;left(1/2,{frac {-{sqrt {3}}}{2}}right).}

Eliminação: Adicionar (ou subtrair) um múltiplo de uma equação à outra equação para que uma das variáveis seja eliminada. Para o nosso exemplo atual, se subtraímos a primeira equação do segundo, obtemos $(x-1)^{2}-x^{2}=0$ . O $y^{2}$ na primeira equação é subtraída da $y^{2}$ na segunda equação não deixando $y$ termo. A variável $y$ foi eliminado. Então resolvemos a equação restante para $x$ , da mesma forma que no método de substituição:

{displaystyle x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1}

{displaystyle -2x=-1}

{displaystyle x=1/2.}

Então colocamos este valor $x$ em qualquer uma das equações originais e resolver para $y$ :

{displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}

{displaystyle y^{2}=3/4}

{displaystyle y={frac {pm {sqrt {3}}}{2}}.}

Portanto, nossa interseção tem dois pontos:

{displaystyle left(1/2,{frac {+{sqrt {3}}}{2}}right);;{text{and}};;left(1/2,{frac {-{sqrt {3}}}{2}}right).}

Para seções cônicas, até 4 pontos podem estar na interseção.

Encontrando interceptações

Um tipo de interseção que é amplamente estudado é a interseção de um objeto geométrico com o $x$ e $y$ coordena eixos.

A interseção de um objeto geométrico e o $y$ -axis é chamado de $y$ -intercepto do objecto. A interseção de um objeto geométrico e o $x$ -axis é chamado de $x$ -intercepto do objecto.

Para a linha $y=mx+b$ , o parâmetro $b$ especifica o ponto onde a linha cruza o $y$ eixo. Dependendo do contexto, ou $b$ ou o ponto $(0,b)$ é chamado de $y$ - Intercepto.

Eixo geométrico

Eixo em geometria é a linha perpendicular a qualquer linha, objeto ou superfície.

Também para isso pode ser usado o uso da linguagem comum como uma: linha normal (perpendicular), caso contrário, em engenharia como linha axial.

Em geometria, uma normal é um objeto como uma linha ou vetor que é perpendicular a um determinado objeto. Por exemplo, no caso bidimensional, a linha normal a uma curva em um determinado ponto é a linha perpendicular à linha tangente à curva no ponto.

No caso tridimensional, uma superfície normal, ou simplesmente normal, a uma superfície em um ponto P é um vetor que é perpendicular ao plano tangente àquela superfície em P. A palavra "normal" também é usado como adjetivo: uma linha normal a um plano, a componente normal de uma força, o vetor normal, etc. O conceito de normalidade se generaliza para ortogonalidade.

Planos esféricos e não lineares e suas tangentes

Tangente é a aproximação linear de uma linha esférica ou outra curva ou torcida de uma função.

Retas e planos tangentes

Em geometria, a linha tangente (ou simplesmente tangente) a uma curva plana em um determinado ponto é a linha reta que "apenas toca" a curva naquele ponto. Informalmente, é uma linha que passa por um par de pontos infinitamente próximos na curva. Mais precisamente, diz-se que uma linha reta é a tangente de uma curva y = f(x) em um ponto x = c na curva se a linha passar pelo ponto (c, f(c)) na curva e tem inclinação f'(c) onde f' é a derivada de f. Uma definição semelhante se aplica a curvas de espaço e curvas no espaço euclidiano ndimensional.

À medida que passa pelo ponto onde a linha tangente e a curva se encontram, chamado de ponto de tangência, a linha tangente está "indo na mesma direção" como a curva e, portanto, é a melhor aproximação em linha reta para a curva naquele ponto.

Da mesma forma, o plano tangente a uma superfície em um determinado ponto é o plano que "apenas toca" a superfície naquele ponto. O conceito de tangente é uma das noções mais fundamentais da geometria diferencial e tem sido extensivamente generalizado; veja Espaço tangente.

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